Periods of hyperplane arrangements and motivic coproduct

156 Pages·2016·1.96 MB·English

by  Clement Dupont

Periods of hyperplane arrangements and motivic
coproduct
Clement Dupont
To cite this version:
Clement Dupont. Periods of hyperplane arrangements and motivic coproduct. General Math-
ematics [math.GM]. Universit´e Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2014. English. <NNT :
2014PA066207>. <tel-01083524>
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Université Pierre et Marie Curie
École Doctorale de Sciences Mathématiques de Paris Centre
Thèse de doctorat
Discipline : Mathématiques
présentée par
Dupont
Clément
Périodes des arrangements d’hyperplans et coproduit motivique
dirigée par Francis Brown
Rapporteurs :
Alexandru Dimca Université Nice Sophia Antipolis
Marc Levine Universität Duisburg-Essen
Soutenue le 26 septembre 2014 devant le jury composé de :
Yves André ÉNS
Francis Brown IHÉS
Pierre Cartier IHÉS
Loïc Foissy Université du Littoral Côte d’Opale
Marc Levine Universität Duisburg-Essen
Ivan Marin Université de Picardie Jules Verne
Joseph Oesterlé Université Pierre et Marie Curie
2
Institut de Mathématiques de Jussieu - UPMC
Paris Rive Gauche Ecole Doctorale de Sciences
(UMR 7586) Mathématiques de Paris Centre
4 place Jussieu 4 place Jussieu
75005 Paris 75252 Paris Cedex 05
Boite courrier 290
Remerciements
Je voudrais en premier lieu exprimer mon immense reconnaissance à mon directeur de thèse,
Francis Brown, pour sa générosité et sa constante confiance en mon travail. Francis, merci
d’avoir partagé avec moi ton goût et ta vision des mathématiques, de m’avoir initié au métier de
chercheur et à un domaine de recherche passionnant, d’avoir su me conseiller, m’encourager, me
guider, m’écouter, me supporter, me soutenir. C’était tout simplement un plaisir de travailler
avec toi.
JetiensàremercierAlexandruDimcaetMarcLevinequiontacceptéderapportercettethèse
et de me transmettre leur précieux commentaires. Merci aussi à Pierre Cartier pour m’avoir
toujoursprêtéuneoreilleattentiveetpoursaprésenceàlasoutenance. YvesAndré, LoïcFoissy,
Ivan Marin et Joseph Oesterlé me font l’honneur d’être membres du jury de ma thèse et je les
en remercie vivement.
Ma gratitude s’adresse également à Pierre Lochak qui m’a fait faire mes premiers pas dans
la recherche mathématique. A la même époque, j’ai eu la chance de rencontrer Bruno Vallette
(et sa grande famille opéradique) que je remercie pour ses encouragements et son amitié. Merci
aussi à Spencer Bloch pour nos discussions mathématiques toujours enrichissantes et son sou-
tien. J’ai énormément profité de mes interactions avec nombre de physiciens de tout poil et de
toutes origines - notamment le groupe de recherche de Dirk Kreimer à Berlin - que je tiens à
remercier collectivement. Merci aussi à ma jeune famille mathématique pour tous les moments
passés ensemble: mes frangins Claire et David, à qui je souhaite tout le bonheur mathématique
qu’ils méritent, et le cousin Samuel qui a eu la patience de relire un premier jet de cette thèse.
J’aibénéficiédeconditionsdetravailidéalesàl’IMJ-PRG.Quetoussesmembres,chercheurs
et personnel administratif, soient ici remerciés. Merci surtout aux doctorants de Chevaleret et
à ceux du couloir 15-16 de toutes les générations que j’ai eu le plaisir de côtoyer. Votre bonne
humeur, votre folie douce, votre alcoolisme, votre enthousiasme, votre écoute, ont fait briller un
beau soleil sur chaque jour de ces longues années de travail. A ceux pour qui le voyage de la
thèse n’est pas encore terminé, je vous souhaite le meilleur.
Plusgénéralement, merciàtou(te)smesami(e)s, deParisetd’ailleurs. Jemesuremachance
de vous avoir à mes côtés.
Mes derniers remerciements vont évidemment à ma famille: Camou, Lénou, Mamou, vous
êtes géniales.

Résumé
Résumé
Danscettethèse,ons’intéresseàdesquestionsrelativesauxarrangementsd’hyperplansdupoint
de vue des périodes motiviques. Suivant un programme initié par Beilinson et al., on étudie une
familledepériodesappeléepolylogarithmesd’Aomotoetleursvariantesmotiviques,vuescomme
élémentsdel’algèbredeHopffondamentaledelacatégoriedesstructuresdeHodge-Tatemixtes,
ou de la catégorie des motifs de Tate mixtes sur un corps de nombres.
On commence par calculer le coproduit motivique d’une famille de telles périodes, appelées
polylogarithmes de dissection génériques, en montrant qu’il est régi par une formule combina-
toire. Ce résultat généralise un théorème de Goncharov sur les intégrales itérées.
Puis, on introduit les bi-arrangements d’hyperplans, objets géométriques et combinatoires
qui généralisent les arrangements d’hyperplans classiques. Le calcul de groupes de cohomologie
relative associés aux bi-arrangements d’hyperplans est une étape cruciale dans la compréhension
du coproduit motivique des polylogarithmes d’Aomoto. On définit des outils cohomologiques et
combinatoires pour calculer ces groupes de cohomologie, qui éclairent dans un cadre global des
objets classiques tels que l’algèbre d’Orlik-Solomon.
Mots-clefs
Périodes, polylogarithmes, arrangements d’hyperplans, motifs de Tate mixtes, structures de
Hodge mixtes, algèbres de Hopf combinatoires.
Periods of hyperplane arrangements and motivic coproduct
Abstract
Inthisthesis,wedealwithsomequestionsabouthyperplanearrangementsfromtheviewpointof
motivic periods. Following a program initiated by Beilinson et al., we study a family of periods
calledAomotopolylogarithmsandtheirmotivicvariants, viewedaselementsofthefundamental
Hopf algebra of the category of mixed Hodge-Tate structures, or the category of mixed Tate
motives over a number field.
We start by computing the motivic coproduct of a family of such periods, called generic
dissection polylogarithms, showing that it is governed by a combinatorial formula. This result
generalizes a theorem of Goncharov on iterated integrals.
6
Then, we introduce bi-arrangements of hyperplanes, which are geometric and combinato-
rial objects which generalize classical hyperplane arrangements. The computation of relative
cohomology groups associated to bi-arrangements of hyperplanes is a crucial step in the un-
derstanding of the motivic coproduct of Aomoto polylogarithms. We define cohomological and
combinatorial tools to compute these cohomology groups, which recast classical objects such as
the Orlik-Solomon algebra in a global setting.
Keywords
Periods, polylogarithms, hyperplane arrangements, mixed Tate motives, mixed Hodge struc-
tures, combinatorial Hopf algebras.
Contents
1 Introduction 9
1.1 The philosophy of periods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Aomoto polylogarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Motivic periods and motivic Galois theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 The Tannakian formalism in the mixed Tate setting . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Motivic Aomoto polylogarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 The motivic coproduct of Aomoto polylogarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7 Arrangements and cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8 The results of Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9 The results of Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.10 The results of Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.11 Open questions and developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Notations and terminology 35
2 The combinatorial Hopf algebra of motivic dissection polylogarithms 37
2.1 A combinatorial Hopf algebra on dissection diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Bi-arrangements of hyperplanes and relative cohomology . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Dissection polylogarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Motivic dissection polylogarithms and their coproduct . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Appendix: proof of Lemma 2.1.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6 Appendix: proof of Lemma 2.4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.7 Appendix: proof of Lemma 2.4.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 The Orlik-Solomon model for hypersurface arrangements 73
3.1 The Orlik-Solomon algebra of a hypersurface arrangement . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Logarithmic forms and the weight filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 A functorial mixed Hodge structure and the Orlik-Solomon model . . . . . . . . 83
3.4 Wonderful compactifications and the Orlik-Solomon model . . . . . . . . . . . . . 89
3.5 Configuration spaces of points on curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4 The motive of a bi-arrangement 95
4.1 The Orlik-Solomon bi-complex of a bi-arrangement of hyperplanes . . . . . . . . 95
4.2 Deletion and restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 Bi-arrangements of hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.4 The geometric Orlik-Solomon bi-complex and the main theorem. . . . . . . . . . 118
4.5 Application to projective bi-arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6 Proof of the main theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.7 Appendix: normal crossing divisors and relative cohomology . . . . . . . . . . . . 136
4.8 Appendix: Chern classes, blow-ups, and some cohomological identities . . . . . . 140
8 Contents
Bibliography 145
Chapter 1
Introduction
1.1 The philosophy of periods
Following [KZ01], we introduce periods and some very general ideas related to them.
1.1.1 The algebra of periods
In their modern definition, periods are the values of the integrals that “come from algebraic
geometry”, even though it is fair to say that an important part of modern algebraic geometry
and number theory actually finds its source in the study of these integrals.
For instance, let us consider the classical problem of finding a formula for the arc length of
an ellipse, studied by Fagnano and Euler in the first half of the 18th century. If we consider an
ellipse with major radius a and minor radius b, then its arc length is given by the value of the
integral
Z 1 1−ε2x2
‘ = 4a dx (1.1)
p
0 (1−x2)(1−ε2x2)
where ε2 = 1− a2 denotes the square of the eccentricity of the ellipse.
b2
b
a
In terms of algebraic geometry, this leads to the introduction of the elliptic curve given by
the equation
y2 = (1−x2)(1−ε2x2).
We may indeed rewrite the above integral as
Z (1−ε2x2)
‘ = 4a dx.
0(cid:31)x(cid:31)1;y(cid:30)0; y
y2=(1−x2)(1−ε2x2)
If ε2 is a rational number, then the dimensionless quantity ‘ is an effective period in the
a
sense of the following definition.