PdW - Grafy oraz formy kwadratowe

28 Pages·2007·0.257 MB·Polish

by  Justyna Kosakowska

1. Przekształcenia dwuliniowe oraz formy kwadratowe
Niech K będzie dowolnym ciałem (zwykle będziemy przyjmować K = R lub K = Q).
Oznaczmy przez M (K) zbiór wszystkich macierzy prostokątnych
n×m
 
a ... a
11 1m
A = [aij]1‹i‹n,1‹j‹m =  ... ... ... 
 
a ... a
n1 nm
o współczynnikach w ciele K. Ponadto niech M (K) = M (K). Dla danej macierzy A
n n×n
symbolem Atr lub AT oznaczamy macierz transponowaną do macierzy A. Symbolem E
oznaczamy macierz diagonalną, której współczynnikami głównej przekątnej są 1. Przez 0
oznaczamy macierz, której wszystkie współczynniki są równe 0.
1.1. Przekształcenia dwuliniowe
Niech V , V , W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Funkcję f : V → W
1 2 1
nazywamy przekształceniem liniowym, jeśli spełnione są warunki
1. dla wszystkich v ,v ∈ V zachodzi f(v +v ) = f(v )+f(v ),
1 2 1 1 2 1 2
2. dla wszystkich v ∈ V , a ∈ K zachodzi f(a·v) = a·f(v).
1
Funkcję f : V × V → W nazywamy przekształceniem dwuliniowym, jeśli dla
1 2
wszystkich v ∈ V oraz v ∈ V funkcje f(v ,−) : V → W oraz f(−,v ) : V → W są
1 1 2 2 1 2 2 1
przekształceniami liniowymi.
Niech V, W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Dowolne przekształcenie
liniowe f : V → K nazywamy funkcjonałem liniowym. Dowolne przekształcenie liniowe
f : V ×W → K nazywamy funkcjonałem dwuliniowym.
Funkcjonał dwuliniowy f : V ×V → K nazywamy symetrycznym, jeśli dla wszystkich
v ,v ∈ V zachodzi f(v ,v ) = f(v ,v ).
1 2 1 2 2 1
Przykład 1.1. Niech h−,−i : Kn ×Kn → K będzie określony wzorem
n
X
h(x ,...,x ),(y ,...,y )i = x y (standardowy iloczyn skalarny)
1 n 1 n i i
i=1
jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym.
W dalszym ciągu będziemy zakładać, że dim V = n < ∞ oraz, że f : V ×V → K jest
K
funkcjonałem dwuliniowym. Ustalmy bazę v = {v ,...,v } przestrzeni V. Macierz Mv ∈
1 n f
M (K) taką, że
n
(Mv) = f(v ,v )
f ij i j
nazywamy macierzą funkcjonału dwuliniowego f w bazie v.
1
Przykład 1.2. (a)Nieche = {e ,...,e }będziebazą standardową przestrzeniKn,
1 n
tzn. e = (1,0,...,0), e = (0,1,0,...,0), ... , e = (0,0,...,0,1). Rozważmy funkcjonał
1 2 n
dwuliniowy h−,−i zdefiniowany w Przykładzie 1.1. Łatwo pokazać, że
 
1 0 ... 0 0
 0 1 ... 0 0 
 
Me = E =  ... ... ... ... ... 
h−,−i  
 
 0 0 ... 1 0 
 
0 0 ... 0 1
(b) Niech f : R3 ×R3 → R będzie funkcjonałem określonym wzorem
3
X
f((x ,x ,x ),(y ,y ,y )) = x y −2x y −x y .
1 2 3 1 2 3 i i 1 2 3 2
i=1
Wtedy
 
1 −2 0
Me =  0 1 0 .
f  
0 −1 1
Zauważmy,że(x ,x ,x )·Me·(y ,y ,y )tr = P3 x y −2x y −x y = f((x ,x ,x ),(y ,y ,y )).
1 2 3 f 1 2 3 i=1 i i 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3
Wniosek 1.3. Niech v = {v ,...,v } będzie dowolną bazą przestrzeni V. Funkcjonał
1 n
dwuliniowy f : V × V → K jest symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz Mv jest
f
symetryczna.
Uwaga 1.4. Niech A = (a ) ∈ M (K) będzie macierzą. Wtedy funkcja f : Kn×Kn →
ij n
K określona wzorem f(x,y) = x·A·ytr jest funkcjonałem dwuliniowym takim, że Me = A.
f
Ponadto
n
f((x ,...,x ),(y ,...,y )) = x·A·ytr = X a x y .
1 n 1 n ij i j
i,j=1
1.2. Określoność funkcjonałów dwuliniowych
Definicja 1.5. Funkcjonał dwuliniowy f : Kn ×Kn → K nazywamy rzeczywistym
(odp. wymiernym), jeśli K = R (odp K = Q).
Definicja 1.6. Rzeczywisty funkcjonał dwuliniowy f : Rn ×Rn → R nazywamy
(a) dodatnio określonym, jeśli f(v,v) > 0 dla wszystkich 0 6= v ∈ Rn,
(b) nieujemnie określonym, jeśli f(v,v) › 0 dla wszystkich v ∈ Rn,
(c) nieokreślonym, jeśli istnieje v ∈ Rn taki, że f(v,v) < 0.
Twierdzenie 1.7 (KryteriumSylvestera). Niechf : Rn×Rn → Rbędziefunkcjonałem
dwuliniowym symetrycznym oraz niech Me = (a ). Funkcjonał f jest dodatnio określony
f ij
wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich k = 1,...,n, minory
(cid:12) a a ... a (cid:12)
(cid:12) 11 12 1k (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) a a ... a (cid:12)
(Mfe)k = (cid:12)(cid:12)(cid:12) ...21 ...22 ... ...2k (cid:12)(cid:12)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) ak1 ak2 ... akk (cid:12)
są dodatnie.
2
Przykład 1.8. Założenie o symetryczności funkcjonału w Twierdzeniu 1.7 jest istotne.
Świadczyotymnastępującyprzykład.Niechf : R2×R2 → Rbędziefunkcjonałemokreślonym
wzorem
f((x ,x ),(y ,y )) = x y −x y +x y .
1 2 1 2 1 1 1 2 2 1
Wtedy f((0,1),(0,1)) = 0, więc f nie jest dodatnio określony. Zauważmy, że f nie jest też
symetryczny. Z drugiej strony
" #
1 −1
Me = ,
f 1 0
więc (Me) = 1 > 0 oraz det Me = 1 > 0.
f 1 f
Twierdzenie 1.9. Niechf : Rn×Rn → Rbędziefunkcjonałemdwuliniowymsymetrycznym
oraz niech Me = (a ). Funkcjonał f jest nieujemnie określony wtedy i tylko wtedy, gdy dla
f ij
wszystkich k = 1,...,n oraz {i ,...,i } ⊆ {1,...,n}, minory
1 k
(cid:12) a a ... a (cid:12)
(cid:12)(cid:12) i1i1 i1i2 i1ik (cid:12)(cid:12)
(cid:12) a a ... a (cid:12)
(Mfe)i1,...,ik = (cid:12)(cid:12)(cid:12) i...2i1 i...2i2 ... i...2ik (cid:12)(cid:12)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) aiki1 aiki2 ... aikik (cid:12)
są nieujemne.
Zadanie na ćwiczenia. Dla symetrycznego dwuliniowego funkcjonału f opracować
algorytm sprowadzania macierzy Me do postaci diagonalnej D = [d ] tak, aby spełnione
f ij
były warunki
1. Funkcjonał f jest dodatnio określony wtedy i tylko wtedy, gdy d > 0 dla wszystkich
ii
i = 1,...,n.
2. Funkcjonał f jest nieujemnie określony wtedy i tylko wtedy, gdy d › 0 dla wszystkich
ii
i = 1,...,n.
1.3. Formy kwadratowe
Definicja 1.10. Formą kwadratową nazywamy funkcję q : Kn → K postaci
n
X
q(x ,...,x ) = a x x .
1 n ij i j
i,j=1
Jeżeli K = R (odp. K = Q), to formę q nazywamy rzeczywistą (odp. wymierną).
Zauważmy, że jeśli f : Kn × Kn → K jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym,
to f((x ,...,x ),(y ,...,y )) = Pn b x y , gdzie b = b . Zatem funkcja q : Kn → K
1 n 1 n i,j=1 ij i j ij ji
określona wzorem
n
X
q(x ,...,x ) = f((x ,...,x ),(x ,...,x )) = b x x
1 n 1 n 1 n ij i j
i,j=1
jest formą kwadratową. Ponadto
q(x+y) = f(x+y,x+y) = f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y),
3
a więc
q(x+y)−q(x)−q(y) = f(x,y)+f(y,x) = 2f(x,y).
Zauważmy również, że dla a ∈ K, mamy
q(ax) = f(ax,ax) = a2f(x,x) = a2q(x).
Niech charK 6= 2. Jeśli q : Kn → K jest formą kwadratową, to funkcja b : Kn ×Kn →
q
K określona wzorem b (x,y) = 1(q(x + y) − q(x) − q(y)) jest funkcjonałem dwuliniowym
q 2
symetrycznym.
Konwencja. W dalszej części wykładu będziemy zakładać, że dla formy
n
X
q(x ,...,x ) = a x x
1 n ij i j
i,j=1
zachodzi a = a . Wtedy
ij ji
n n n n
q(x ,...,x ) = Xa x2 + X 2a x x = Xb x2 + X b x x ,
1 n ii i ij i j i i ij i j
i=1 i<j=1 i=1 i<j=1
gdzie b = a oraz b = 2a dla i 6= j.
i ii ij ij
Definicja 1.11. Macierzą Grama formy kwadratowej q : Rn → R
n n
q(x ,...,x ) = Xa x2 + X a x x
1 n ii i ij i j
i=1 i<j=1
nazywamy macierz postaci
 a 1a ... 1a 
11 2 12 2 1n
 1a a ... 1a 
Mq =  2 ...12 ...22 ... 2 ...2n .
 
1a 1a ... a
2 n1 2 n2 nn
Zauważmy, że M = Me . Istotnie,
q bq
1
b (e ,e ) = (q(2e )−2q(e )) = q(e ) = a
q i i i i i ii
2
oraz
2·b (e ,e ) = q(e +e )−q(e )−q(e ) = a +a +a −a −a = a
q i j i j i j ii jj ij ii jj ij
dla i 6= j.
Definicja 1.12. Rzeczywistą formę kwadratową q : Rn → R nazywamy
(a) dodatnio określoną, jeśli q(v) > 0 dla wszystkich 0 6= v ∈ Rn,
(b) nieujemnie określoną, jeśli q(v) › 0 dla wszystkich v ∈ Rn,
(c) nieokreśloną, jeśli istnieje v ∈ Rn taki, że q(v) < 0.
4
Wniosek 1.13. Formakwadratowaq jestdodatniookreślona(odp.nieujemnie określona)
wtedy i tylko wtedy, gdy funkcjonał dwuliniowy b jest dodatnio określony (odp. nieujemnie
q
określony).
Z powyższego wniosku wynika, że aby sprawdzić dodatnią (nieujemną) określoność formy
kwadratowej można skorzystać z kryterium opisanego w Twierdzeniu 1.7 (Twierdzeniu 1.9).
Uwaga 1.14 Zauważmy, że dla każdego i = 1,...,n mamy
2·b (e ,x) = 2·b (x,e ) = q(x+e )−q(e )−q(x) = ...
q i q i i i
jest równe pochodnej cząstkowej funcji q(x) względem zmiennej x .
i
1.4 Grafy oraz formy kwadratowe
Niech q : Rn → R będzie formą kwadratową postaci
n
q(x) = Xx2 +Xa x ,x , a ∈ R.
i ij i j ij
i=1 i<j
Z formą q stowarzyszamy graf ważony nieskierowamy G = (G ,G ,w) w następujący
q 0 1
sposób. Zbiór wierzchołków G = {1,...,n}, zbiór krawędzi:
0
G = {i−j ; a 6= 0},
1 ij
wagąkrawędzii−j jest−a .Zauważmy,żewtensposóbotrzymaliśmyjednoznacząodpowiedniość
ij
pomiędzygrafamiważonymi(takimi,żekażdaichkrawędźmaniezerowąwagę)orazformami
kwadratowymi powyższej postaci.
Definicja 1.15 Formękwadratowąq nazywamyspójną,jeśligrafG jestspójnymgrafem.
q
Zadanie na ćwiczenia. Opracować algorytm sprawdzania spójności formy oraz jej
rozkładu na spójne składowe.
Przykład 1.16 Składowe spójności formy q.
Innymsposobemkodowaniaformykwadratowejbędąposety(zbioryczęściowouporządkowane).
Niech I = (I,(cid:22)) będzie skończonym zbiorem częściowo uporządkowanym (posetem), gdzie
|I| = n oraz (cid:22) jest relacją częściowego porządku. Piszemy i ≺ j jeśli i (cid:22) j oraz i 6= j. Niech
max I oznacza zbiór elementów maksymalnych posetu I tzn. takich elementów p ∈ I, że nie
istnieje i ∈ I spełniający p ≺ i. Niech I− = I\max I. Z posetem I stowarzyszamy całkowitą
formę kwadratową q : Zn → Z postaci
I
q (x ,...,x ) = Xx2 + X x x − X (Xx )x .
I 1 n i i j i p
i∈I i≺j∈I− p∈maxI i≺p
Zauważmy, że poset może być zakodowany za pomocą kołczanu. Kołczanem Hasse
posetu I nazywamy kołczan H taki, że (H ) = I oraz istnieje strzałka i → j ∈ (H )
I I 0 I 1
wtedy i tylko wtedy gdy i ≺ j oraz relacja ta jest minimalna.
Uwaga 1.17 Proszę zwrócić uwagę, na różnice i podobieństwa kołczanu Hasse posetu I
oraz grafu G formy q .
qI I
5
1.5. Algorytm Lagrange’a
Rozważmyformękwadratowąq : Kn → K,gdzieK = QlubK = R.Poniżejprzedstawimy
algorytm Lagrange’a sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej.
Sprowadzanie słabo nieujemnej formy kwadratowej do powyższej postaci jest zawsze
możliwe w myśl poniższego twierdzenia.
Twierdzenie 1.18. Niech 0 6= q : Kn → K (K = R lub K = Q) będzie formą
kwadratową postaci
n
X
q(x ,...,x ) = a x x
1 n ij i j
i,j=1
Istnieją b ∈ K oraz s ∈ K takie, że macierz (s ) ∈ M (K) jest nieosobliwa oraz
i ij ij n
q(x ,...,x ) = b y2 +...+b y2,
1 n 1 1 n n
gdzie y = s x +...+s x dla i = 1,...,n.
i i1 1 in n
Dowód (Metoda Lagrange’a). Przeprowadzimy indukcję względem n. Dla n = 1
dowód jest oczywisty, ponieważ q(x ) = a x2.
1 11 1
Niech n > 1. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb mniejszych od
n. Załóżmy ponadto, że
n
X
q(x) = a x x
ij i j
i,j=1
oraz a = a .
ij ji
Rozważmy teraz przypadek, w którym przynajmniej jeden ze współczynników a jest
ii
niezerowy. Bez straty ogólności możemy założyć, że jest to a .
11
Mamy wówczas
n
X a x x = a x2 +2x (a x +a x +...+a x )+G(x ,...,x ).
ij i j 11 1 1 12 2 13 3 1n n 2 n
i,j=1
Zauważmy, że wyrażenie G nie zależy już od zmiennej x . Wykorzystując wzór skóconego
1
mnożenia oraz modyfikując G otrzymujemy
a a a a
a (x2 +2x ( 12x +...+ 1nx )+( 12x +...+ 1nx )2)+G (x ,...,x ).
11 1 1 a 2 a n a 2 a n 1 2 n
11 11 11 11
Wszystkiedodatkoweskładniki,powstałeprzyostatnimprzekształceniu,włączyliśmydoG .
1
Łatwo zauważyć, że G nie zależy od x . Dalej otrzymujemy
1 1
a a
a (x +( 12x +...+ 1nx ))2 +G (x ,...,x ) = b y2 +G (x ,...,x ),
11 1 a 2 a n 1 2 n 1 1 1 2 n
11 11
gdzie b = a oraz y = x +(a12x +...+ a1nx ). Do wyrażenia G (x ,...,x ) stosujemy
1 11 1 1 a11 2 a11 n 1 2 n
założenie indukcyjne.
Rozważmy teraz przypadek, w którym a = 0 dla i = 1,2,...,n. Ponieważ q 6= 0, więc
ii
nie wszystkie a = 0. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że a 6= 0, i wtedy mamy:
ij 12
1
q(x ,...,x ) = 2a x x +H(x ,...,x ) = a [(x +x )2 −(x −x )2]+H(x ,...,x ).
1 n 12 1 2 1 n 12 1 2 1 2 1 n
2
6
Zauważmy, że w H(x ,...,x ) nie występuje składnik x x . Dokonujemy podstawienia
1 n 1 2
y = x +x
1 1 2
y = x −x
2 1 2
y = x ,i > 2
i i
i otrzymujemy
a
q(x) = 12(y2 −y2)+H (y ,...,y ).
2 1 2 1 1 n
Ponieważ w wyrażeniu H nie występował składnik x x , więc sprowadziliśmy omawiany
1 2
przypadek do poprzedniego.
Zauważmy, że wszystkie zamiany zmiennych dokonywane były za pomocą odwracalnych
przekształceń liniowych. Zatem macierz (s ) ∈ M (K) jest nieosobliwa. To kończy dowód
ij n
twierdzenia (cid:3)
Wniosek 1.19. Niech q : Rn → R będzie formą kwadratową postaci
n
X
q(x ,...,x ) = a x x
1 n ij i j
i,j=1
oraz niech
q(x ,...,x ) = b y2 +...+b y2,
1 n 1 1 n n
gdzie y , b , s są jak w Twierdzeniu 1.18. Forma q jest dodatnio określona (odp. nieujemnie
i i ij
określona) wtedy i tylko wtedy, gdy b > 0 (odp. b › 0) dla wszystkich i = 1,...,n.
i i
Dowód. Zauważmy, że jeśli b > 0 dla i = 1,...,n, to dla wszystkich x 6= 0 mamy
i
q(x ,...,x ) = b y2 +...+b y2 > 0, a więc q jest dodatnio określona.
1 n 1 1 n n
Przypuśćmy, że forma q jest dodatnio określona oraz, że istnieje b ‹ 0. Bez straty
i
ogólności możemy założyć, że b ‹ 0. Rozwiązujemy nieosobliwy układ równań y = 1,y =
1 1 2
0,...,y = 0 ze względu na zmienne x ,...,x . Niech x będzie takim rozwiązaniem, wtedy
n 1 n
q(x) = b ‹ 0. Forma q nie jest więc dodatnio określona, wbrew założeniu. Zatem b > 0 dla
1 i
i = 1,...,n.
Dowód w przypadku nieujemnej określoności przebiega analogicznie. (cid:3)
Twierdzenie 1.20. Forma kwadratowa q : Rn → R jest dodatnio określona (odp.
nieujemnie określona) wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie wartości własne macierzy M są
q
dodatnie (odp. nieujemne).
Dowód. Ponieważ M jest symetryczną rzeczywistą macierzą, więc istnieje macierz
q
ortogonalna U (tzn. Utr = U−1) taka, że A = UM Utr jest macierzą diagonalną. Zauważmy,
q
że na przekątnej macierzy A znajdują się jej wartości własne.
Pokażemy,żeλjestwartościąwłasnąmacierzyAwtedyitylkowtedy,gdyλjestwartością
własną macierzy M . Istotnie, niech λ będzie wartością własną macierzy A. Istnieje wtedy
q
wektor x taki, że Ax = λx. Wtedy Ax = UM Utrx = λx, a więc M (Utrx) = λU−1x =
q q
λ(Utrx). Zatem λ jest wartością własną macierzy M .
q
Odwrotnie, niech λ będzie wartością własną macierzy M . Istnieje x taki, że M x = λx.
q q
PonieważmacierzU jestodwracalna,więcistniejey taki,żex = Utry.StądM x = M Utry =
q q
7
λx = λUtry = λU−1y. Ostatecznie UM Utry = λy. Pokazaliśmy, że λ jest wartością własną
q
macierzy UM Utr.
q
Pokażemy teraz, że q jest dodatnio określona (odp. nieujemnie określona) wtedy i tylko
wtedy, gdy xUM Utrxtr > 0 dla wszystkich x 6= 0 (odp. xUM Utrxtr › 0 dla wszystkich x).
q q
Istotnie, jeżeli q jest dodatnio określona, to xM xtr > 0 dla x 6= 0. Stąd łatwo wynika, że
q
(xU)M (xU)tr > 0 dla x 6= 0. Odwrotnie, jeśli xUM Utrxtr > 0 dla x 6= 0, to z faktu, że
q q
macierzU jestodwracalnawynika,żexM xtr > 0dlax 6= 0.Dowódwprzypadkunieujemnej
q
określoności przebiega analogicznie.
Teraz już łatwo jest udowodnić tezę twierdzenia. (cid:3)
Wniosek 1.21. Niech B będzie macierzą odwracalną. Forma q jest dodatnio określona
(odp. nieujemnie określona) wtedy i tylko wtedy, gdy xBM Btrxtr > 0 dla x 6= 0 (odp.
q
xBM Btrxtr › 0 dla x).
q
Dowód. Wniosek z dowodu z poprzedniego twierdzenia. (cid:3)
1.6. rad q oraz Ker q
K K
Definiujemy dwa zbiory
Kerq = Ker q = {x ∈ Kn ; q(x) = 0} ⊆ Kn
K
oraz
n
rad q = {x ∈ Kn ; b (e ,x) = b (e ,x) = ... = b (e ,x) = 0} = \ Ker b (e ,−) ⊆ Kn.
K q 1 q 2 q n K q i
i=1
Zbiór Kerq nazywamy jądrem formy q, zbiór radq = rad q nazywamy radykałem formy
K
kwadratowej q.
Lemat 1.22. Niech q : Rn → R będzie formą kwadratową. Zachodzą następujące warunki
(a) radq jest podprzestrzenią liniową w Rn,
(b) radq ⊆ Kerq.
Dowód. (a) Zauważmy, że v ∈ radq wtedy i tylko wtedy, gdy v jest rozwiązaniem

b (e ,v) = 0
 q 1
jednorodnego układu równań liniowych ... . Zatem radq jest podprzestrzenią
 b (e ,v) = 0
q n
liniową w Rn.
(b) Niech v = λ e + ... + λ e ∈ Rn. Jeśli v ∈ radq, to mamy q(v) = b (v,v) =
1 1 n n q
λ b (e ,v)+...+λ b (e ,v) = 0. Zatem v ∈ Kerq. (cid:3)
1 q 1 n q n
Lemat 1.23. Niech q : Rn → R będzie całkowitą formą kwadratową. Jeśli q jest
nieujemnie określona, to Kerq jest podprzestrzenią liniową w Rn oraz Kerq = radq.
8
Dowód. Niech v,w ∈ Kerq. Pokażemy, że wówczas v + w ∈ Kerq. Ponieważ q(v) = 0
oraz q(w) = 0, więc 2b (v,w) = q(v + w) − q(v) − q(w) = q(v + w) oraz −2b (v,w) =
q q
2b (v,−w) = q(v −w). Dodając te równania stronami, dostajemy q(v −w)+q(v +w) = 0.
q
Ponieważ forma q jest nieujemnie określona, więc q(v+w) › 0 oraz q(v−w) › 0. Ostatecznie
q(v + w) = q(v − w) = 0, więc v + w ∈ Kerq. Ponadto q(av) = a2q(v) = 0, jeśli a ∈ K.
Ostatecznie Kerq jest podprzestrzenią liniową w Rn.
Pozostało udowodnić równość Kerq = radq. Na podstawie Lematu 1.22 wystarczy
pokazać, że Kerq ⊆ radq. Niech v ∈ Rn będzie takie, że q(v) = 0. Ponieważ forma q
jest nieujemnie określona, więc q posiada w punkcie v minimum lokalne. Zatem wszystkie
pochodne cząstkowe dq (v) = 2b (e ,v) = 0 są w punkcie v równe zero. Ostatecznie v ∈ radq.
dxi q i (cid:3)
2. Całkowite formy kwadratowe
Funkcję q : Zn → Z zadaną wzorem
n
q(x ,...,x ) = Xa x +Xa x x , gdzie a ∈ Z
1 n ii i ij i j ij
i=1 i<j
nazywamy całkowitą formą kwadratową.
2.1. Formy stowarzyszone z grafami oraz posetami
Niech Q = (Q ,Q ) będzie skończonym grafem skierowanym (kołczanem), gdzie Q jest
0 1 0
zbiorem wierzchołków (n = |Q | oraz niech Q = {1,...,n}), a Q jest zbiorem strzałek.
0 0 1
Z kołczanem Q stowarzyszamy całkowitą formę kwadratową q : Zn → Z postaci
Q
q (x ,...,x ) = X x2 − X x x .
Q 1 n i i j
i∈Q0 i→j∈Q1
Twierdzenie 2.1. Niech Q = (Q ,Q ) będzie spójnym kołczanem oraz niech q będzie
0 1 Q
formą kwadratową stowarzyszoną z Q. Forma q jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy,
Q
gdy Q jest jednym z kołczanów Dynkina A , D , E , E , E .
n n 6 7 8
Twierdzenie 2.2. Niech Q = (Q ,Q ) będzie spójnym kołczanem bez zorientowanych
0 1
cykli oraz niech q będzie formą kwadratową stowarzyszoną z Q. Forma q jest nieujemnie
Q Q
określona wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest jednym z kołczanów Dynkina A , D , E , E , E
n n 6 7 8
lub jednym z kołczanów Euklidesa Af, Df, Ef, Ef, Ef.
n n 6 7 8
2.2. Pierwiastki form kwadratowych
Niech q : Zn → Z będzie całkowitą formą kwadratową.
Definicja 2.3. Wektor v ∈ Zn nazywamy (całkowitym) pierwiastkiem formy q jeśli
q(v) = 1. Oznaczmy przez
R = {v ∈ Zn ; q(v) = 1}
q
zbiór wszystkich pierwiastków formy q.
9
Pierwiastek v formy q taki, że v ∈ Nn nazywamy dodatnim pierwiastkiem. Oznaczmy
przez
R+ = {v ∈ Nn ; q(v) = 1} ⊆ R
q q
zbiór wszystkich dodatnich pierwiastków formy q.
Pierwiastekv formyq taki,że−v ∈ Nn nazywamyujemnym pierwiastkiem.Oznaczmy
przez
R− = {v ∈ −Nn ; q(v) = 1} ⊆ R
q q
zbiór wszystkich ujemnych pierwiastków formy q.
Problem. 1) Opisać algorytm wyznaczający zbiory R oraz R+.
q q
2) Podać kryterium, które sprawdza, czy zbiory R oraz R+ są skończone.
q q
Niech q : Zn → Z będzie całkowitą formą kwadratową postaci
n
(2.4) q(x) = Xx2 +Xa x x .
i ij i j
i=1 i<j
Twierdzenie 2.5. Jeżeli całkowita forma kwadratowa postaci
n
q(x) = Xx2 +Xa x x , gdzie a ∈ {0,−1}
i ij i j ij
i=1 i<j
jest dodatnio określona, to zbiór R jest skończony oraz R = R+ ∪R−.
q q q q
Wniosek 2.6. Jeżeli Q jest kołczanem Dynkina, to zbiór R jest skończony.
qQ
Definicja 2.7. Całkowitąformękwadratowąq nazywamysłabo dodatnią(odp.słabo
nieujemną),jeśliq(v) > 0dlawszystkich0 6= v ∈ Nn (odp.q(v) › 0dlawszystkichv ∈ Nn).
Przykład 2.8. Rozważmy formę kwadratową
q(x ,x ) = x2 +x2 +2x x = (x +x )2.
1 2 1 2 1 2 1 2
Zauważmy, że q jest słabo dodatnia, ale nie jest dodatnio określona. Ponadto zbiory
R+ = {(1,0),(0,1)} ; R− = {(−1,0),(0,−1)}
q q
są skończone natomiast zbiór
R = {(x,x+1),(x,x−1) ; x ∈ Z}
q
jest nieskończony.
10