Partielle Differenzialgleichungen: Eine Einführung in analytische und numerische Methoden

357 Pages·2010·3.2 MB·German

by  Prof. Dr. Wolfgang Arendt, Prof. Dr. Karsten Urban (auth.)

Partielle Di≠ erenzialgleichungen
Wolfgang Arendt Karsten Urban
Partielle
Di≠ erenzialgleichungen
Eine Einführung in analytische und
numerische Methoden
Autoren
Prof. Dr. Wolfgang Arendt
Institut für Angewandte Analysis
Universität Ulm
[email protected]
Prof. Dr. Karsten Urban
Institut für Numerische Mathematik
Universität Ulm
[email protected]
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Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Bianca Alton
Redaktion: Alexander Reischert (Redaktion ALUAN)
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Umschlaggestaltung: SpieszDesign, Neu-Ulm
Titelfotogra(cid:191) e: Die Abbildung auf der Titelseite zeigt die Lebesgue’sche Cusp (vgl. Abschnitt 6.8, Seite 211)
und stammt aus Arendt und Daners [7].
ISBN 978-3-8274-1942-2
Für Frauke und Almut
Vorwort
Zahlreiche Vorgänge in Natur, Medizin, Wirtschaft und Technik werden durch
partielleDifferenzialgleichungen(PDGen)beschrieben.Dieserklärtdasenorme
InteresseanPDGen,dassichu.a.anderriesigenZahlvonVeröffentlichungenin
diesemGebietzeigt.Esüberraschtdahernicht,dassesaufdemMarkteinegroße
AnzahlvonLehrbücherngibt.WarumalsonocheinLehrbuch?
Die Umstellung der bisherigen Diplom-Studiengänge auf Bachelor und Master
hatauchzueinerVeränderungderklassischenVorlesungszyklengeführt.Wenn
manvonVeranstaltungenimbisherigenUmfangausgeht,dannistdasZieleiner
breiten mathematischen Ausbildung, die laut den Bologna-Beschlüssen gleich-
sam berufsqualifizierend sein soll, fast nicht zu erreichen. Will man sowohl die
BreitedermathematischenAusbildungerhaltenalsauchWahlmöglichkeitenfür
Studierende sichern, dann kann man dies z.B. durch einführende Vorlesungen
realisieren,diemehrereThemenmiteinanderverbinden.AnalysisundNumerik
vonPDGeneignen sichfüreine solche Verbindung. Für derartigeVeranstaltun-
gensindjedochkaumeinführendeLehrbücheraufdemMarkt.
DieseKombinationistinhaltlichbegründet.EsliegtinderNaturderSache,dass
PDGenaufallgemeinenGebieten(wiemansiefürdieAnwendungbraucht)nicht
exakt gelöst werden können. Was damit gemeint ist, wird im Buch genau er-
läutert. Man ist in solchen Fällen auf Näherungsverfahren auf dem Computer
angewiesen, also auf numerische Methoden. In denletzten Jahrenhat sich aber
immer mehr gezeigt,dassbesondersgute numerische Methoden aufmodernen
ErkenntnissenausderAnalysisvonPDGenberuhen.DaheristdieKombination
vonanalytischenundnumerischenMethodensowohlinnerhalbderMathematik
alsauchindenjeweiligenAnwendungenvongroßerBedeutung.
Wir haben versucht, ein einführendes Lehrbuch zu schreiben, das die Aspekte
AnalysisundNumerikkombiniertundaufeinanderabstimmt.DieAuswahlder
Inhalte ist durch diese Kombination geprägt. Dabei versuchen wir auch, eine
BrückezudenAnwendungenzuschlagen.DasBuchbeginntmiteinemKapitel
überModellierung,alsoderÜbersetzungeinesspeziellenAnwendungsproblems
in die Sprache der Mathematik, hier also speziell in eine PDG. Wir beschreiben
die Kategorisierung von PDGen und stellen danachelementare Lösungsmetho-
den zusammen. Es stellt sich heraus, dass sowohl die Modellierung als auch
numerische Verfahren auf die Verwendung von Hilbert-Räumen führen. Unse-
reEinführungzeigt,dassdieentsprechendenMethodenauchmathematisch„die
richtigen“ sind. Wir beschreiben die Hilbert-Raum-Methode möglichst einfach
undbeschränkenunsaufzentraleKlassenvonPDGen(elliptischeundparaboli-
scheGleichungen).BesondersfürdienumerischenVerfahrensindAussagenüber
diemaximaleRegularitätvonLösungenvongroßerBedeutung.Nebendenklas-
sischennumerischenVerfahren(FiniteDifferenzenundFiniteElemente)fürellip-
tische und parabolische Problemegebenwir abschließend einige Hinweise, wie
manauchmitHilfevoncomputerbasiertenFormel-Manipulationssystemenwie
(cid:2)
etwaMapleR zumindesteinigePDGenlösenkann.
Schließlich haben wir ein Thema in das Buch aufgenommen, das in besonderer
Weise für Studierende der Wirtschaftsmathematik von Interesse ist. Die Bewer-
tung von risikobehafteten Produkten auf demFinanz- und Versicherungsmarkt
erforderteine tiefere mathematische Analyse. Gerade in der Finanz- und Versi-
cherungswirtschaftwerdenheutezunehmendPDG-basierteModelleeingesetzt.
WirbehandelnindiesemBuchexemplarischdieBlack-Scholes-Gleichung.
EinpaarWortezurGliederungdesBucheskönntendessenNutzungerleichtern.
EsbestehtausdreiTeilen:
A ElementareMethodenundModellierung(Kapitel1bis3)
B Hilbert-Raum-Methoden(Kapitel4bis8)
C NumerischeundcomputerbasierteMethoden(Kapitel9und10)
Teil A kann völlig unabhängig gelesen werden, er vermittelt in konkreten Si-
tuationen ein Gefühl für das Wesen von PDGen und enthält insbesondere die
obenerwähnte Untersuchung derBlack-Scholes-Gleichung. TeilB hatwachsen-
den Schwierigkeitsgrad, was den Inhalt und die Darstellung angeht. Er enthält
eine Einführung in Hilbert- und Sobolev-Räume, die zunächst in einer Dimen-
sionbetrachtetwerden.EineBesonderheitistdiekonsequenteVerwendungvon
Sobolev-RäumenzurBehandlungvonharmonischenFunktionenunddesDirich-
let-Problems. In Teil C wird u.a. eine Einführung in die Methode der Finiten
Elemente gegeben. Durch Einschränkung auf lineare Dreieckselemente in zwei
Raumdimensionen haben wir eine einfache Situation gewählt, in der aber die
wesentlichenIdeentransparentwerden.JedesKapitelendetmiteinerSammlung
von Aufgaben, die vielfach zusätzliche Information geben. Lösungen befinden
sichaufderHomepagedesBuches.Mit∗gekennzeichneteAbschnitteenthalten
nützlicheZusatzinformationen.
OhnedieHilfezahlreicherKollegen,FreundeundMitarbeiterwärediesesBuch
sichernichtentstanden.WirdankendemSpektrumAkademischerVerlag,beson-
dersDr.AndreasRüdingerundBiancaAltonfürdieMöglichkeit,diesesBuchzu
schreiben, und für die Unterstützung bei der Umsetzung. Für zahlreiche wert-
volleHinweisedankenwirunserenKollegenTomterElst,WilhelmForst,Stefan
Funken, Rüdiger Kiesel, Werner Kratz, Stig Larsson und Delio Mugnolo. Wei-
terhin danken wir Thomas Richard (Scientific Computers) sowie unseren Mit-
arbeitern Markus Biegert, Iris Häcker, Daniel Hauer, Sebastian Kestler, Michael
Lehn,RobinNittka,MarioRometsch,ManfredSauter,KristinaSteih,TimoTonn
undFarazToorundunserenStudentenfürvielehilfreicheBemerkungen,Ergän-
zungenundsorgfältigesKorrekturlesendesManuskriptes.PetraHildebrandgilt
unserbesondererDankfürdiesehrsorgfältigeUmsetzungdesManuskriptesin
LATEXunddieErstellungzahlreicherGraphiken.
Ulm,im WolfgangArendt
Februar2010 KarstenUrban
Inhaltsverzeichnis
1 ModellierungoderwiemanaufeineDifferenzialgleichungkommt 1
1.1 MathematischeModellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Transportprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 DieWellengleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 DieBlack-Scholes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Jetztwirdesmehrdimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
∗
1.7 Esgibtnochmehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 KlassifikationpartiellerDifferenzialgleichungen . . . . . . . . . 28
∗
1.9 KommentarezuKapitel1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 KategorisierungundCharakteristiken 33
2.1 CharakteristikenvonAnfangswertproblemenaufR . . . . . . . 34
2.2 GleichungenzweiterOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
∗
2.3 NichtlineareGleichungenzweiterOrdnung . . . . . . . . . . . . 47
∗
2.4 GleichungenhöhererOrdnungundSysteme . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 ElementareLösungsmethoden 53
3.1 DieeindimensionaleWellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 DieLaplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 DieWärmeleitungsgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5 DieBlack-Scholes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6 Integraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.7 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4 Hilbert-Räume 111
4.1 UnitäreRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2 Orthonormalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4 OrthogonaleProjektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.5 LinearformenundBilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6 SchwacheKonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.7 StetigeundkompakteOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.8 DerSpektralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
X Inhaltsverzeichnis
∗
4.9 KommentarezuKapitel4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5 Sobolev-RäumeundRandwertaufgabenineinerDimension 143
5.1 Sobolev-RäumeineinerVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2 RandwertproblemeaufeinemIntervall . . . . . . . . . . . . . . . 152
∗
5.3 KommentarezuKapitel5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6 Hilbert-Raum-MethodenfürelliptischeGleichungen 165
6.1 Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2 Sobolev-RäumeüberΩ⊆Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.3 DerRaumH01(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4 DieVerbandsoperationenaufH1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.5 DiePoisson-GleichungmitDirichlet-Randbedingungen . . . . . 185
6.6 Sobolev-RäumeundFourier-Transformation . . . . . . . . . . . . 188
6.7 LokaleRegularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.8 InhomogeneDirichlet-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . 198
6.9 DasDirichlet-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.10 ElliptischeGleichungenmitDirichlet-Randbedingungen. . . . . 209
6.11 H2-Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
∗
6.12 KommentarezuKapitel6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.13 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7 Neumann-undRobin-Randbedingungen 219
7.1 DerSatzvonGauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.2 BeweisdesSatzesvonGauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.3 DieFortsetzungseigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.4 DiePoisson-GleichungmitNeumann-Randbedingungen . . . . 235
7.5 DerSpursatzundRobin-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . 238
∗
7.6 KommentarezuKapitel7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8 SpektralzerlegungundEvolutionsgleichungen 245
8.1 EinvektorwertigesAnfangswertproblem . . . . . . . . . . . . . . 246
8.2 DieWärmeleitungsgleichung:Dirichlet-Randbedingungen . . . 249
8.3 DieWärmeleitungsgleichung:Robin-Randbedingungen . . . . . 255
8.4 DieWellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.5 InhomogeneEvolutionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 262
∗
8.6 KommentarezuKapitel8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
8.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
9 NumerischeVerfahren 271
9.1 FiniteDifferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.2 FiniteElemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
∗
9.3 ErgänzungenundErweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
9.4 ParabolischeProbleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Inhaltsverzeichnis XI
∗
9.5 KommentarezuKapitel9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
9.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
(cid:2)
10 MapleR odermanchmalhilftderComputer 327
(cid:2)
10.1 MapleR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
10.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Anhang 337
A.1 Banach-RäumeundlineareOperatoren . . . . . . . . . . . . . . . 337
A.2 DerRaumC(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
A.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
1 Modellierung oder wie man
auf eine Differenzial-
gleichung kommt
PartielleDifferenzialgleichungenbeschreibenzahlreicheVorgängeinderNatur,
derTechnik,derMedizinoderderWirtschaft.IndiesemerstenKapitelwollenwir
für einige prominente Beispiele die Herleitung von partiellen Differenzialglei-
chungen mit Hilfe von Naturgesetzenund mathematischen Tatsachenbeschrei-
ben. Eine solche Herleitung nennt man (mathematische) Modellierung. Die Bei-
spiele sollen auch die Vielfältigkeit der partiellen Differenzialgleichungen illus-
trieren,dieindiversenAnwendungenauftreten.EineerstegrobeKlassifizierung
wirdamEndedesKapitelsvorgenommen.
Übersicht
1.1 MathematischeModellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Transportprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 DieWellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 DieBlack-Scholes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Jetztwirdesmehrdimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7∗ Esgibtnochmehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 KlassifikationpartiellerDifferenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 28
1.9∗ KommentarezuKapitel1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30