Выполнение арифметических операций в позиционных системах счисления с основанием p

24 Pages·2014·0.311 MB·Russian

by  Любомудров А.А.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

А.А. Любомудров

ВЫПОЛНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
С ОСНОВАНИЕМ p

Рекомендовано к изданию УМО
«Ядерные физика и технологии»

Москва 2014
УДК 511.11(07)
ББК 22.130я7
Л 93

Любомудров А.А. Выполнение арифметических операций в пози-
ционных системах счисления с основанием p: Учебно-методическое
пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2014. 24 с.

Cоставлено в соответствии с программой изучения дисциплины «Дис-
кретная математика» и предназначено для подготовки студентов к прак-
тическому занятию по теме «Выполнение арифметических операций в
системах счисления с основанием p». В пособии приводятся теоретиче-
ские основы, примеры, а также предлагаются тесты для проверки знаний
студентов по этой теме.
Предназначено для студентов направления «Информатика и вычисли-
тельная техника», а также может быть полезно для аспирантов и препода-
вателей данного направления.

Подготовлено в рамках Программы создания и развития
НИЯУ МИФИ.

Рецензент нач. НИУ-4 ОАО «Концерн «Системпром»,
канд. техн. наук С.В. Коротков.

ISBN 978-5-7262-2028-4
© Национальный исследовательский ядерный
университет «МИФИ», 2014
Содержание

1. Выполнение операций сложения в позиционных системах
счисления с основанием p ……………………………………4
2. Выполнение операций вычитания в позиционных системах
счисления с основанием p ……………………………………6
3. Выполнение операций умножения в позиционных системах
счисления с основанием p ……………………………………8
4. Выполнение операций деления в позиционных системах
счисления с основанием p ………………………………….....11
5. Тесты ……………………………………………………….....14
Список литературы …………………………………………….. 22

3
1. Выполнение операций сложения в позиционных системах
счисления с основанием p

Пусть имеется два числа А = аа … а и B = b b … b , задан-
р 1 2 n p 1 2 n
ных в позиционной системе счисления с основанием p, где a и b —
i i
цифры этих чисел, i = 1, 2, … n, р = 2, 3, 4… .
Тогда результатом суммирования (суммой) чисел A и B будет
p p
являться число C = c c … c , где цифры c, i = 0, 1, …, n числа C
p 0 1 n i p
формируются по следующему правилу.
Правило формирования цифры c числа C = cc … c :
i p 0 1 n
1) c = a + b + П , c = a + b ,
i i i i+1 i-1 i-1 i-1
если a + b + П < p;
i i i+1
2) c = a + b + П - p, c = a + b + 1,
i i i i+1 i-1 i-1 i-1
если a + b + П ≥ p,
i i i+1
где П – перенос из разряда c в разряд c.
i+1 i+1 i
Из записи правила суммирования следует, что суммирование чисел
A и B в позиционной системе счисления с произвольной величиной
p p
основания p выполняется аналогично суммированию чисел в десятич-
ной системе счисления. Суммирование начинается с младших разря-
дов. Процесс суммирования распространяется справа налево.
В качестве примеров рассмотрим суммирования чисел в позици-
онных системах счисления с основаниями p = 2, 3, 5, 7, 16.

Пример 1.1. Пусть заданы числа A = 101001,10 и B =
2 2 2
=110010,11 в позиционной системе счисления с основанием p = 2.
2
Требуется найти сумму этих чисел.
Суммируя числа в соответствии с вышеизложенным правилом, по-
лучаем:
A = 101001,10
2 2
+
B = 110010,11
2 2
____________
C = 1011100,01
2 2

Ответ: С = 1011100,01
2 2.
4
Пример 1.2. Пусть заданы числа A = 1211,21 и B = 2012,11 в
3 3 3 3
позиционной системе счисления с основанием p = 3. Требуется найти
сумму этих чисел.
Суммируя числа в соответствии с вышеизложенным правилом, по-
лучаем:
A = 1211,21
3 3
+
B = 2012,11
3 3
____________
C = 11001,02
3 3

Ответ: С = 11001,02
3 3.

Пример 1.3. Пусть заданы числа A = 1343,23 и B = 2421,34 в
5 5 3 5
позиционной системе счисления с основанием p = 5. Требуется найти
сумму этих чисел.
Суммируя числа, получаем:

A = 1343,23
5 5
+
B = 2421,34
5 5
____________
C = 4320,12
5 5

Ответ: C = 4320,12
5 5.

Пример 1.4. Пусть нам заданы числа A = 5326,14 и B =
7 7 7
=1463,23 в позиционной системе счисления с основанием p = 7. Тре-
7
буется найти сумму этих чисел.
Суммируя числа, получаем:

A = 5326,14
7 7
+
B = 1463,23
7 7
____________
C = 10122,40
7 7
Ответ: C = 10122,40
7 7.
5
Пример 1.5. Пусть заданы числа A = 1ABC,E2 и B = 24F6,D1 в
16 16
позиционной системе счисления с основанием p = 16. Требуется найти
сумму этих чисел.
Суммируя числа, получаем:
A = 1ABC,E2
16 16
+
B = 24F6,D1
16 16
____________
C = 3FB3,B3
16 16

Ответ: C = 3FB3,B3
16 16.

2. Выполнение операций вычитания в позиционных
системах счисления с основанием p

Пусть имеются два числа А = а а … а и B = bb … b , задан-
р 1 2 n p 1 2 n
ных в позиционной системе счисления с основанием p, где a и b —
i i
цифры этих чисел, i = 1, 2, … n.
Тогда результатом вычитания (разностью) чисел A и B будет
p p
являться число R = r r … r , где цифры r, i = 0, 1, …, n числа R
p 0 1 n i p
формируются по следующему правилу.
Правило формирования цифры r числа R = r r … r :
i p 0 1 n
1) r = a – b – z, r = a – b ,
i i i i i-1 i-1 i-1
≥
если a – b – z 0;
i i i
2) r = p + a – b – z, r = a – b – 1,
i i i i i-1 i-1 i-1
если a – b – z < 0,
i i i
где z — заем из разряда a в разряд a .
i i i+1
Согласно вышеизложенному правилу вычитание чисел A и B в
p p
позиционных системах счисления с произвольной величиной осно-
вания p выполняется аналогично вычитанию чисел в десятичной
системе счисления. Вычитание начинается с младших разрядов.
Процесс вычитания распространяется справа налево.
В качестве примеров рассмотрим вычитания чисел в позицион-
ных системах счисления с основаниями p = 2, 3, 5, 7, 16.
6
Пример 2.1. Пусть заданы числа А = 1100101,01 и В =
2 2 2
=111001,10 в позиционной системе счисления с основанием p = 2.
2
Требуется найти разность R этих чисел.
2
Выполняя вычитание в соответствии с вышеизложенным прави-
лом, получаем:
А = 1100101,01
2 2
-
В = 111001,10
2 2
R = 101011,11
2 2
Ответ: R = 101011,11
2 2.

Пример 2.2. Пусть заданы числа А =10220,22 и В =2012,01 в
3 3 3 3
позиционной системе счисления с основанием p = 3. Требуется
найти разность R этих чисел.
3
Выполняя вычитание в соответствии с вышеизложенным прави-
лом, получаем:
А = 10220,22
3 3
-
В = 2012,01
3 3
R = 1201,21
3 3
Ответ: R = 1201,21
3 3.

Пример 2.3. Пусть заданы числа А = 4320,12 и В =2421,34 в
5 5 5 5
позиционной системе счисления с основанием p = 5. Требуется
найти разность R этих чисел.
5
Выполняя вычитание, получаем:

А = 4320,12
5 5
-
В = 2421,34
5 5
R = 1343,23
5 5
Ответ: R = 1343,23
5 5.

Пример 2.4. Пусть заданы числа А = 10122,40 и В = 1463,23
7 7 7 7
в позиционной системе счисления с основанием p = 7. Требуется
найти разность R этих чисел.
7

7
Выполняя вычитание, получаем:
А = 10122,40
7 7
-
В = 1463,23
7 7
R = 5326,14
7 7
Ответ: R = 5326,14
7 7.

Пример 2.5. Пусть заданы числа А = 3FC3,B3 и В =
16 16 16
=24F6,D1 в позиционной системе счисления с основанием p = 16.
16
Требуется найти разность R этих чисел.
16
Выполняя вычитание, получаем:
А = 3FC3, B3
16 16
-
В = 24F6, D1
16 16
R = 1ACC, E2
16 16
Ответ: R = 1ACC,E2
16 16.

3. Выполнение операций умножения в позиционных
системах счисления с основанием p

Пусть имеются два целых положительных n-разрядных числа
А = a a a и B = b b … b , заданных в системе счисления с
p 1 2 … n p 1 2 n
основанием p, где a и b – цифры этих чисел.
i i
Требуется вычислить результат умножения (произведение) этих
чисел.
Записывая число B в виде развёрнутой записи, получаем
p

A ×B = A ×(b ·pn-1 + b ·pn-2 + …+ b ·p + b ·p0) =
p p p 1 2 n-1 n
n n
= A ·b ·p0 + A ·b ·p1 +…+ A ·b ·p -2 + A ·b ·p -1. (3.1)
p n p n-1 p 2 p 1

Запись (3.1) является записью алгоритма умножения двух чисел
в позиционной системе счисления с основанием p с младших раз-
рядов множителя. При p=10, т.е. в десятичной системе счисления,
этот алгоритм наиболее широко применяется на практике при руч-
ных расчётах.
8
При использовании алгоритма (3.1), умножение двух n-
разрядных чисел в системе счисления с основанием p сводится к
n
суммированию n слагаемых вида A ·b·p -I, где i = n, n-1, … 2, 1.
p i
Таким образом, умножение двух n-рядных чисел в системе счисле-
ния с основанием p сводится к суммированию n слагаемых вида
A ·b, каждое из которых сдвинуто влево относительно слагаемого
p i
A ·b ·p0 на n-i разрядов.
p n
В качестве примеров рассмотрим умножения чисел в системах
счисления с основаниями p = 2, 3, 5, 7, 16.

Пример 3.1. Пусть нам заданы числа А = 1101,11 и В = 101 .
2 2 2 2
Требуется найти произведение этих чисел.
Выполняя операцию умножения, получаем:

1101,11
2
×

101
2
110111
+
110111
1000100,11
2

×
Ответ: А В = 1000100,11
2 2 2.

Пример 3.2. Пусть заданы числа А = 122,12 и В = 12 . Требует-
3 3 3 3
ся найти произведение этих чисел.
Выполняя операцию умножения, получаем:
122,12
3
×

12
3
102201
+
12212
10020,21
3

×
Ответ: А В = 10020,21
3 3 3.
9
Пример 3.3. Пусть заданы числа А =234,11 и В = 23 . Требует-
5 5 5 5
ся найти произведение этих чисел.
Выполняя операцию умножения, получаем:
234,11
5
×

23
5
131233
+
102322
12100,03
5

×
Ответ: А В = 12100,03
5 5 5.

Пример 3.4. Пусть заданы числа А = 634,12 и В = 34 . Требу-
7 7 7 7
ется найти произведение этих чисел.
Выполняя операцию умножения, получаем:
634,12
7
×

34
7
350251
+
253536
32156,41
7

×
Ответ: А В = 32156,41
7 7 7.

Пример 3.5. Пусть заданы числа А = A0F,12 и В =FA . Тре-
16 16 16 16
буется найти произведение этих чисел.
Выполняя операцию умножения, получаем:
A0F,12
16
×

FA
16
6496B4
+
96E20E
9D2B7,94
16

×
Ответ: А В = 9D2B7,94
16 16 16.
10