Table Of ContentÖvningar i
Linjär algebra
Jonas Månsson & Patrik Nordbeck
~
Studentlitteratur
1·
Förord
Detta övningshäfte är speciellt anpassat till författarnas bok Linjär algebra, i
häftet refererad till som läroboken.
Uppgifterna är ordnade på följande sätt: I varje kapitel, som precis motsva
rar ett kapitel i läroboken, har vi först en uppsättning uppgifter sorterade efter
lärobokens underkapitel. Dessa är tänkta att utgöra ett grundblock, och har i
stor utsträckning motsvarigheter i lärobokens exempel. Tanken är att du arbe
tar med detta grundblock parallellt med läroboken. I slutet av varje kapitel har
vi samlat ett antal blandade uppgifter, vilka generellt är lite svårare, och in
te lika ofta har en direkt motsvarighet i läroboken. I några av dessa uppgifter
kombineras flera olika metoder av det du just gått igenom, och vissa är av mer
teoretisk karaktär. Slutligen har vi i ett avslutande kapitel, Kapitel B, samlat
ett antal blandade uppgifter för repetition av hela lärobokens innehåll, där du i
många fall behöver kombinera metoder från olika delar och kapitel.
Vissa uppgifter är märkta med ett T eller ett L. Detta betyder att det till
uppgiften finns ett tips respektive en lösning. Varje kapitel är indelat så att
själva uppgifterna kommer först, sedan tipsen och svaren, och sist lösningarna.
Du kommer att upptäcka att det finns många tips i grundblocket i varje kapitel,
men att dessa tips blir glesare i blandat-delen, för att till sist helt upphöra i
Kapitel B. 'fanken är att du på detta sätt skall uppmuntras att arbeta mer och
mer självständigt med uppgifterna. Alla uppgifter har ett svar, förutom de som
är av karaktären att du ombeds visa något samband.
Vi har medvetet valt att inte inkludera så många fullständiga lösningar. I
stället har många av de grundläggande uppgifterna ett tips, som vanligtvis är
en hänvisning till ett direkt motsvarande exempel i läroboken. Vi tror nämligen
att det är betydligt mer lärorikt att återskapa en lösning, med de i uppgiften
aktuella siffrorna, än att bara skriva av en komplett lösning till problemet. För
en del uppgifter är tipset i stället en direkt hänvisning till vilken sats eller vil
ket resultat som skall användas. Genom att i tipsen refe'rera till läroboken vill
vi uppmuntra dig som läsare att arbeta parallellt med denna, vilket vi tror är
nyttigt. I de fall vi har inkluderat en fullständig lösning handlar det oftast om
en uppgift där det krävs en metod utan direkt motsvarighet i läroboken.
Författarna, dagen innan midsommarafton 2019.
iii
Kapitel 1
Vektorer
Vektorbegreppet
1.1 Låt u = (4,0,- 1,3) och v = (2,1,4,-2). Beräkna vektorn 2u-3v.
= =
1.2 Rita ut vektorerna u (3,1) och v (-2,2) i samma koordinatsystem.
Illustrera additionerna/subtraktionerna u+v, u-v och -u+ ½v geomet
riskt. Vad blir koordinaterna för dessa vektorer?
1.3 Vektorerna u, v, w i lffi2 illustreras
i figuren till höger. Rita ut vekto
rerna
a) 2u+3v
b) u-v-w
c) u+2v+w.
1.4 Parallellogrammet i figuren har diagonalen u + v. ~ u+ v
Uttryck den andra diagonalen i vektorerna u och v.
V U
Egenskaper hos vektorer
T 1.5 Avgör vilka par av nedanstående vektorer i !ffi3 som är parallella:
u=(- 2,4,2), V = (2, 0, -2), w=(l,-2,-1).
1.6 För vilka tal a gäller det att vektorerna u och v är parallella, om
a) u=(-2,a+l,-4), v =(a,- 1,2)
b) u=(l,0,a), v =(2,a+l,4)
G
0 c) u=(a,1,2), v=(0,0,0).
z<(
"'
<(
1f--- T 1. 7 Avgör om vektorn w = (-7, 7) är en linjärkombination av u = (1, 2),
~
0,, V= (3,-1).
1
2
= =
1.8 Avgör om vektorn w (3, -5) är en linjärkombination av u (1, -3),
v = (-2, 6). Vilka vektorer w går att skriva som en linjärkombination
av u,v?
1.9 Studera figuren i Uppgift 1.3. Är w en linjärkombination av u och v?
T 1.10 Vid förbränning av propan (CaHs), som exempelvis sker i gasolgrillar, får
vi följande kemiska reaktion:
Ställ upp ett linjärt ekvationssystem för att balansera reaktionen.
T 1.11 Bestäm längderna av vektorerna u = (3, -1) och v = (2, 2, -1).
T 1.12 Normera vektorn u = (1,3,-2), dvs. bestäm den vektor e av längd 1 som
är lika riktad med u.
1.13 Normera vektorerna i Uppgift 1.11.
Skalärprodukt
T 1.14 Låt u = (1,2,-2) och v = (1,0,3). Beräkna skalärprodukterna
a) u·v b) u·u c) v•v.
Beräkna även llull och llvll. Jämför dessa längder med resultaten i b) och c).
TL 1.15 För vektorerna u, vi [ij2 gäller det att llull = 3, llvll = 2, och att vinkeln 0
mellan vektorerna är n/3. Beräkna skalärprodukten (2u + v) · (u - 2v).
T 1.16 För vektorerna u, vi [ij2 gäller det att llull = 3, llvll = 2, och att vinkeln 0
mellan vektorerna är n/3. Bestäm längden av vektorn u + v.
1.17 Verifiera att den så kallade triangelolikheten (se läroboken sidan 15) gäl
ler för vektorerna u och vi Uppgift 1.16. f<
T 1.18 Låt u= (1,2,-1) och v= (1,-1,2).
a) Beräkna skalärprodukten u · v.
b) Beräkna längderna llull och llvll.
c) Beräkna vinkeln 0 mellan u och v.
1.19 Beräkna vinkeln mellan vektorerna (2,1,2) och (1,-1,4).
Vektorer 3
T 1.20 Bestäm talet a så att vektorerna u = (1, a, 2), v = (4a,'-1, 3) blir ortogonala.
1.21 Låt u = (1, -2).
a) Bestäm alla vektorer som är ortogonala mot u.
b) Bestäm alla enhetsvektorer, dvs. vektorer av längd 1, soin är ortogo
nala mot u.
}g
T 1.22 Låt u = (2, 3) och e = (2, 1).
a) Kontrollera att e är en enhetsvektor.
b) Beräkna den ortogonala projektionen u' av vektorn u på vektorn e.
Illustrera ditt resultat i ett koordinatsystem för planet.
c) Bestäm den vektor u" som är ortogonal mot u' och uppfyller att
u = u' + u". Illustrera additionen i din figur.
1.23 Låtu=(l,2,3)ochv=(l,2,-2).
a) Beräkna den ortogonala projektionen u' av vektorn u på vektorn v.
b) Komposantuppdela vektorn u som en summa av två ortogonala vek
torer där den ena är parallell med vektorn v.
Vektorprodukt
T 1.24 Beräkna vektorprodukten u x v av u = (1,-2,3) och v = (4,2,-1). Verifiera
med skalärprodukt att u x v är ortogonal mot både u och v.
1.25 Låt u = (1,2,3) och v = (1, 1,2).
a) Bestäm alla vektorer som är ortogonala mot både u och v.
b) Bestäm alla enhetsvektorer som är ortogonala mot både u och v.
T 1.26 Visa att u x v = 0 om och endast om vektorerna u och v är parallella.
L 1.27 Låt u, v, w vara vektorer i IR3. Förenkla följande uttryck så långt det går:
(u+v)•((u+w)xv).
1.28 Utifrån figurerna, avgör om u, vi IR2 är positivt eller negativt orienterade:
4
1.29 Utgående från figuren, avgör om vektorerna
a) u,v,w b) w;v,u c) w,u,v
är positivt eller negativt orienterade. ·
T 1.30 Antag att vektorerna u, v, w i ~3 är positivt orienterade. Avgör om
a) u,w,v b) v,w,u C) V,U,U X V d) uxv,u,v
är positivt eller negativt orienterade.
Blandade uppgifter
1.31 För vektorerna u och v i ~3 gäller det att u + v = (1,2, -4) och u -v =
(3,4,0). Bestäm u och v.
1.32 Bestäm, om möjligt, talet a så att vektorerna u = (a,a + 2) och v = (3,2)
i ~2 blir parallella.
1.33 Låt u = (2,1,-1) och v = (1,2,0). Avgör för var och en av vektorerna w
nedan huruvida w är en linjärkombination av u, v:
a) w=(-1,4,2) b) w=(l,3,-1) c) w=(-4,-2,2).
,.
1.34 Låt u = (1, 1) och v = (0, 1).
a) Rita ut de nio linjärkombinationer A-1 u + Å2v man får genom att kom
binera A-1, A-2 = 0, 1/2, l.
b) Hur kan man geometriskt beskriva mängden av alla linjärkombina
tioner
1.35 Kraften F = (1,3) (enhet Newton) verkar på ett fö "::',
remål som förflyttas en sträcka svarande mot vek ~
torn u = (5,2) (enhet meter). Beräkna det arbete :ffw: ,
som utförs. f-
~
0
::,
t;;
L 1.36 Vektorerna u, v spänner upp en romb i planet (se figuren). v[J uI
0
a) Uttryck de båda diagonalerna i romben som linjär "z"
;",'
kombinationer av u och v.
~
b) Visa att diagonalerna skär varandra under rät vinkel. 0
u
Vektorer 5
1.37 Komposantuppdela vektorn u = (1,2,3,-1) som en summa av två ortogo
nala vektorer där den ena är parallell med vektorn v = (1,-3,5, 1).
1.38 Ge exempel på två vektorer u och v i lll3 som både är ortogonala mot
vektorn w = (1,2,-2) och mot varandra.
1.39 Kraften F = (1,-1,2) appliceras på en
hävarm given av r= (1,0,-3). Bestäm
storleken av det vridningsmoment T
som då uppstår. Vilken blir riktning
en för rotationsaxeln?
L 1.40 Är det sant att
(u x v) x w = u x (v x w)
för alla u, v, w i lll3, dvs. är vektorprodukten associativ? Ge ett bevis eller
ett motexempel.
6
Tips Kapitel 1
1.5 Se Exempel 1.1 på sidan 9 i läroboken.
1.7 Jämför med uppställningen i Exempel 1.2 på sidan 11 i läroboken. Lös
sedan det ekvationssystem du får genom att, från en av ekvationerna,
uttrycka en av de obekanta i den andra. Sätt sedan in detta uttryck i den
återstående ekvationen. (Alternativt kan du använda Gausselimination
om du redan känner till denna metod.)
1.10 Se Exempel 1.3 på sidan 12 i läroboken.
1.11 Se Exempel 1.4 på sidan 14 i läroboken.
1.12 Se Exempel 1.5 på sidan 14 i läroboken.
1.14 Se Definition 1.3 på sidan 17 i läroboken.
1.15 Utnyttja räknelagarna för skalärprodukt (1.14)-(1.17) på sidan 17, samt
den geometriska tolkningen (1.19) på sidan 19 i läroboken.
1.16 Utnyttja sambandet llu + vll2 = (u+v) · (u+v), och beräkna skalärproduk
ten på motsvarande sätt som i Uppgift 1.15.
1.18 c) Se Exempel 1. 7 på sidan 19 i läroboken.
1.20 För definitionen av att två vektorer är ortogonala, se Definition 1.4 på
sidan 20 i läroboken.
1.22 För a) och b), jämför med Exempel 1.8 på sidan 21 i läroboken. För c),
jämför med Anmärkning 1.3 på sidan 22.
1.24 Se Exempel 1.11 på sidan 25 i läroboken.
1.26 Utnyttja Sats 1.2 på sidan 27 i läroboken.
1.30 Utnyttja att ett platsbyte av två vektorer i uppräkningen gör att vi byter
orientering.
Vektorer 7
Svar Kapitel 1
1.1 (2, -3, -14, 12)
1.2 u+v= (1,3), u-v = (5,-1) och -u+ ½v= (-4,0)
u+iv= (1,3)
........ · ..... ,,),,, .. ,.:, ..
...... . ,,, .:. . ,,,,':,,',,,
. ' .
.. J>..'- '
·-- u
. . .
........•.... ~;~"'"';
',~V
1.4 u - v (e ller v - u)
= =
; 1.5 Vektorerna u, w är parallella; det gäller attu -2w(alternativtw -½u).
11:
1.6 a) a = 1 b) inga a c) alla a
z
1. 7 Vektorn w är en linjärkombination av u, v eftersom w = 2u - 3v.
1.8 Vektorn w är ej en linjärkombination av u, v. Notera att vektorerna u, v
i denna uppgift är parallella (det gäller att v = -2u). Det är då enbart
vektorer w parallella med u och v, dvs. vektorer på formen w = t(l, -3),
t E lffi, som kan fås som en linjärkombination.
8
1.9 Ja, eftersom det gäller att w = -u - 2v.
1.10
1.11 llull = Jlo, llvll = 3
!
1.12 e= u= }a<l,3,-2)
11 11
1.13 Jio-<3,-1) respektive ½<2,2,-1)
1.14 a) -5 b) 9 c) 10
Längderna ges av 3 respektive Jlo. Notera sambandet u · u = llull2.
1.15 1
1.16 /19
1.17 Det gäller att llu + vll = /19, llull + llvll = 3+2 = 5, och vi noterar att /19:::; 5.
1.18 a) -3 b) v6 för båda vektorerna c) 2n/3
1.19 n/4
1.20 a=-2
1.21 a) t(2, 1), t E [ij b) ± }g(2, 1)
1.22 a) llell = 15 ✓22 + 12 = 1
b) u' = i<2, 1)
c) u" = u-u' = g(-1,2)
1.23 a) u' = -å(l,2,-2)
b) u=u'+u" däru'=-1(12 -2)ochu"= 2(2 4 5)
' 9 ' ' 9 ' '
