Outils de base en analyse appliquée

228 Pages·2015·0.84 MB·French

Notes de cours
Outils de base en analyse appliquée
Hervé Le Dret
12 décembre 2015
2
Table des matières
1 Topologie 1
1.1 Espacestopologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Espacesmétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Espacescomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Espacescompacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 Espacesséparables,espacesconnexes . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.6 QuelquesremarquessurlatopologiedesouvertsdeRd . . . . . . 52
2 Espacesvectorielsnormés,espacesdeBanach 57
2.1 Définitiondesespacesvectorielsnormés . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 EspacesdeBanach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3 InversesetspectredansL(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4 Opérateurscompacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3 DualitédanslesespacesdeBanach 81
3.1 Leconceptdedualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Identificationd’undualàl’aided’unespacedeBanach . . . . . . 84
3.3 UnenotionaffaibliedeconvergencedansE(cid:48) . . . . . . . . . . . . 88
3.4 Lanotiond’applicationlinéairetransposée . . . . . . . . . . . . . 91
4 EspacesdeHilbertréelsetcomplexes 93
4.1 Produitscalaireetorthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 PropriétésdesespacesdeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 DualitédesespacesdeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Lanotiond’adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5 Spectred’unopérateurauto-adjointcompact . . . . . . . . . . . . 110
5 LesespacesLp 115
5.1 Rappelssurlathéoriedelamesureetl’intégration . . . . . . . . . 115
5.2 DensitédesfonctionscontinuesdansLp . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3 DualitéentreLp etLp(cid:48) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3
4 TABLEDESMATIÈRES
5.4 Convolutionetrégularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6 DistributionssurunouvertdeRd 153
6.1 Présentationdesidées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.2 Définitiondesdistributionsetpremièrespropriétés . . . . . . . . 157
6.3 Opérationssurlesdistributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4 Exemplesdedistributionsetd’équationsdansD(cid:48) . . . . . . . . . 171
6.5 Supportd’unedistribution,distributionsàsupportcompact . . . . 176
7 TransformationdeFourier 181
7.1 Définitionsurl’espaceL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2 Formuled’inversiondeFourieretextensionàL2 . . . . . . . . . 185
7.3 EspacedeSchwartzettransformationdeFourier . . . . . . . . . 187
7.4 Distributionstempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.5 Opérations et transformation de Fourier sur les distributions tem-
pérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8 EspacesdeSobolev 201
8.1 DéfinitiondesespacesdeSobolevsurRd . . . . . . . . . . . . . 201
8.2 InjectionsdeSobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.3 LesespacesHm(Ω),Hm(Ω)etH−m(Ω) . . . . . . . . . . . . . . 210
0
9 Deuxexemplesderésolutiond’EDP 215
9.1 RésolutionduproblèmedeDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.2 Résolubilitélocaledesopérateurselliptiques . . . . . . . . . . . . 217
Avant-propos
Les notes de cours : mode d’emploi
Lesnotesquisuiventsontàbiendeségardstropfournies.Lecoursenamphi
n’en traitera qu’une partie, parfois sans entrer dans les détails. Les lecteurs et
lectricescurieux etcurieusespourront souvent trouverlesdétails enquestiondans
cesnotesetpourrontégalement,dumoinsonl’espère,conservercelles-cipours’y
référerplustard,dansuneétapeultérieuredeleurcarrièremathématique.
Certains points particulièrement épineux, ou qui peuvent être passés en pre-
mière voire deuxième lecture, sont indiqués par un signe de danger radioactif
danslamarge.Certainessectionssontmêmetotalementradioactives.Onnes’en
approcheraquemunidesprotectionsappropriées.
ii TABLEDESMATIÈRES
Chapitre 1
Topologie
1.1 Espaces topologiques
La notion d’espace topologique a mis un certain temps à prendre sa forme
axiomatiqueactuelle.Lebutestdeformaliserlesconceptsintuitifsdeproximité
etdecontinuitédelafaçonlaplusgénéraleetlaplussimplepossible.Iln’estpas
nécessairement évident que ce but soit atteint quand on lit la définition qui suit
pourlapremièrefoisdesavie.L’expériencemontrepourtantquec’estbienlecas.
Définition1.1.1 SoitX unensemble.OnappelletopologiesurX ladonnéed’un
sous-ensembleO del’ensembleP(X)despartiesdeX,O devantvérifierlestrois
conditionssuivantes:
— Lesensembles0/ etX appartiennentàO,
— Soit(U ) unefamillequelconqued’élémentsdeO,alors
λ λ∈Λ
(cid:91) U ∈O,
λ
λ∈Λ
— Soit(U ) unefamillefinied’élémentsdeO,alors
j 1≤j≤N
N
(cid:92)U ∈O.
j
j=1
Les éléments de l’ensemble O sont appelés ouverts (pour la topologie O). Le
complémentaired’unouvertestappeléunfermé.
Un couple (X,O) tel que O vérifie les trois propriétés ci-dessus est appelé
espacetopologique.
Commentaires.Dansladeuxièmepropriétéportantsurlaréunion,ilfautbienno-
terquel’ensembledesindicesΛquisertàindexerlafamille(U )estunensemble
λ
2 1.Topologie
absolument quelconque. À ce propos, on rappelle qu’une famille (U ) n’est
λ λ∈Λ
rien d’autrequ’une applicationde Λà valeurs dansP(X), maisque l’on adécidé
(cid:83)
de noterU l’image de λ par cette application, et que U ={x∈X;∃λ ∈
λ λ∈Λ λ
Λ,x∈U }.Parcontre,danslatroisièmepropriétéquiportesurl’intersection,on
λ
ne considère que des familles finies, c’est-à-dire Λ={1,...,N} pour un certain
N ∈N1.Onparaphrasesouventladéfinition1.1.1endisantquel’onaaffaireàune
topologiesurX sil’ensemblevideetl’ensembleX toutentiersontdesouverts,si
uneréunionquelconqued’ouvertsestunouvertetsiuneintersectionfinied’ouverts
est un ouvert. On dit encore parfois que O contient l’ensemble vide et X et est
stableparréunionquelconqueetintersectionfinie.
Remarquonstoutdesuiteenpassantauxcomplémentairesquel’ensemblevide
etX sontaussi desfermés, qu’uneintersection quelconque defermés estun fermé
etqu’uneréunionfiniedefermésestunfermé.
Exemples d’espaces topologiques. Prenons X = R et désignons par O l’en-
0
sembledespartiesU deRtellesque,pourtoutpointx deU,ilexisteunintervalle
ouvert(ausensusuel,c’est-à-diredelaforme]a,b[)contenantx etinclusdansU.
OnaainsidéfiniunetopologiesurR(exercice:vérifiez-le!)quiestlatopologie
usuellementutiliséesurR.
Deux curiosités : soit X un ensemble quelconque, on définit O(cid:48) ={0/,X} et
O(cid:101)=P(X).Danslesdeuxcas,nousavonsdéfiniunetopologiesurX.Lapremière
topologies’appellelatopologiegrossièresurX etlasecondelatopologiediscrète
sur X. Ces deux topologies n’ont guère d’intérêt pratique en général, si ce n’est
celui denous convaincre quela définition 1.1.1 n’estpas absurde, puisqu’il existe
toujoursaumoinsunetopologiesurtoutensembleX !Lavraiequestionpourles
applicationsestdesavoirs’ilexisteunetopologieintéressantesurX,unetopologie
qui soit bien adaptée à tel ou tel problème que l’on a à résoudre, ce qui est une
autrehistoire.
Exercice1.1.1 PrenonsànouveauX =R.
1) On définit O comme l’ensembleU des parties de R telles que, pour tout
d
pointx deU,ilexisteunintervalle[a,b[inclusdansU etcontenantx.Démontrez
quel’onabiendéfiniunetopologiesurR.
2) On définit O comme l’ensembleU des parties de R telles que, pour tout
g
pointx deU,ilexisteunintervalle]a,b]inclusdansU etcontenantx.Démontrez
quel’onabiendéfiniunetopologiesurR.
1. NotonsqueΛ=0/ définitégalementunefamillefinie,àzéroéléments,etque∩ U =X,
i∈0/ i
donccecasapparemmentparticulier,etquin’apparaîtpasdansladéfinitiontellequ’elleestécrite
plushautparcequ’ilneprésentepasgrandintérêt,n’enestpasun.Danslemêmeordred’idées,
∪ U =0/,etlapremièrepropriétédetopologiepeutêtreconsidéréecommeredondante,àune
λ∈0/ λ
petiteréécritureprès.Maisonl’écrittraditionnellementàpartetnoussuivonslatradition.
1.1.Espacestopologiques 3
3)LestroisensemblesO ,O etO sont-ilségaux?Peut-onlescomparerau
0 d g
sensdel’inclusion?
Lelangagedesvoisinagesestsouventutilisédanslalittérature.Voiciladéfini-
tiond’unvoisinaged’unpointdanslecadredesespacestopologiques.
Définition1.1.2 Soit x un point d’un espace topologique (X,O). On dit qu’une
partieV deX estunvoisinagedexsietseulementsiilexisteunouvertcontenantx
etinclusdansV.
Remarquonsqu’unvoisinagedexn’estjamaisvide,quesiV estunvoisinagede
xalorstoutensemblequicontientV estaussiunvoisinagedexetquel’intersection
d’unnombrefinidevoisinagesdex estunvoisinagedex (onditquel’ensemble
de voisinages d’un point forme un filtre). Les voisinages d’un même point sont
doncnaturellementpartiellementordonnésparl’inclusion.Lanotiondevoisinage
permetalorsdequantifierl’idéeintuitivepourunpointydeX d’être«plusoumoins
près » d’un élément donné x, au sens de la topologie considérée naturellement,
un voisinage inclus dans un autre traduisant une plus grande proximité. Il faut
faireattentionàcequ’unvoisinagen’estpasengénéralunouvert.Ilestpossible
d’axiomatiser la topologie uniquement en termes de voisinages, plutôt qu’en
termes d’ouverts, cette façon équivalente de voir les choses étant juste un peu
moinscourante.
Ondéfinitégalementunvoisinaged’unepartiequelconqueAdeX enrempla-
çantlepointx deladéfinitionci-dessusparlapartieA.
Remarque de vocabulaire. On utilise couramment l’expression « telle ou telle
propriétéalieuauvoisinagedex oudeA»poursignifierqu’ilexisteunvoisinage
dex oudeAoùlapropriétéenquestionalieu.
À l’aide du langage des voisinages, on peut caractériser les ouverts de la
manièresuivante.
Proposition1.1.1 Soit (X,O) un espace topologique. Une partieU de X est un
ouvertsietseulementsi,pourtoutx appartenantàU,U estunvoisinagedex.
Démonstration. SoitU unouvertdeX etx unpointdeU,alorsU estévidemment
un voisinage de x, on prend comme ouvert contenant x l’ensembleU lui-même.
Réciproquement, soit U ⊂ X un ensemble qui est voisinage de chacun de ses
éléments. Soit V l’ensemble des ouverts inclus dans U. On pose U˜ = ∪V∈VV,
c’estunouvertpuisqueréuniond’ouvertsetilestinclusdansU puisquechaqueV
l’est.Or pourtout x∈U,il existe pardéfinition d’unvoisinage unouvertV ⊂U
tel que x∈V. Par conséquent, x∈U˜, ce qui implique queU˜ =U etU est donc
ouvert. (cid:3)
4 1.Topologie
Nous allons maintenant définir la notion de sous-espace topologique. Ce
conceptessentielestfondésurlapropositionsuivante.
Proposition1.1.2 SoitAunepartied’unespacetopologique(X,O),onconsidère
l’ensembleO despartiesV deApourlesquellesilexisteU appartenantàO tel
A
queV =A∩U.Lecouple(A,O )estunespacetopologique.
A
Démonstration. Toutd’abord,ilestclairque0/ =0/∩AetA=X∩Aappartiennent
àO . Considérons ensuiteune famille quelconque(V ) deO . Par définition,
A λ λ∈Λ A
pourtoutλ ∈Λ,ilexisteU dansO telqueV =A∩U .Maisl’ona
λ λ λ
(cid:91) U ∈O donc (cid:91) V = (cid:91) (A∩U )=A∩ (cid:91) U ∈O .
λ λ λ λ A
λ∈Λ λ∈Λ λ∈Λ λ∈Λ
Soitmaintenantunefamillefinie(V ) d’élémentsdeO .Ilexisteunefamille
j 1≤j≤N A
finie(Uj)1≤j≤N d’élémentsdeO tellequeVj =Uj∩A.Maisl’ona
N N N N
(cid:92)U ∈O donc (cid:92)V = (cid:92)(A∩U )=A∩ (cid:92)U ∈O .
j j j j A
j=1 j=1 j=1 j=1
Lestroispropriétésrequisespourparlerdetopologiesontdoncbiensatisfaites.(cid:3)
Convention:Saufmentionexpresseducontraire,onconsidèretoujoursunepartie
d’unespacetopologiquecommemuniedecettetopologie,ditetopologieinduite.
Attention, les ouverts de A pour la topologie induite ne sont manifestement pas
nécessairementdesouvertsdeX !Plusprécisément:
Exercice1.1.2 Soient(X,O)unespacetopologiqueetAunepartiedeX.Démon-
trezqueO estinclusdansO sietseulementsiAestunouvertdeX.Endéduire
A
quesiAestfermé,lesfermésdeAsontdesfermésdeX.
Définition1.1.3 Onditqu’unespacetopologique(X,O)estséparésietseulement
sipourtoutcouple(x,y)depointsdistinctsdeX,ilexistedeuxouvertsU etV tels
que
x∈U, y∈V et U∩V =0/.
Commentaires. Un espace topologique séparé est aussi dit être de Hausdorff. Il
existetouteunezoologiedepropriétésdeséparationplusoumoinsfortes.Celle
quinous intéresseicisignifie quel’on peuttoujoursinclure deuxpointsdistincts
de X dans deux ouverts disjoints, qui les séparent donc au sens de la topologie
considérée.
À titre d’exemple, le lecteur vérifiera que la topologie grossière O(cid:48) ={0/,X}
n’est pas séparée dès que X a plus d’un élément alors que la topologie discrète