Table Of ContentOTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA E
PROGRAMAÇÃO LINEAR
Modelos e Algoritmos
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OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA E
PROGRAMAÇÃO LINEAR
Modelos e Algoritmos
© 2005, Elsevier Editora Ltda.
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Editoração Eletrônica
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Revisão Gráfica
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Singular Traduções e Serviços Editoriais
Projeto Gráfico
Elsevier Editora Ltda.
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0800-0265340
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ISBN 978-85-352-1520-5
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Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ
G654o
2.ed.
Goldbarg, Marco Cesar
Otimização combinatória e programação linear: modelos e
algoritmos / Marco Cesar Goldbarg, Henrique Pacca L. Luna.
-2.ed. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2005 – 10areimpressão.
il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-352-1520-5
1. Otimização combinatória. 2. Programação linear.
I. Luna, Henrique Pacca L. (Henrique Pacca Loureiro).
II. Título.
04-2886. CDD – 519.4
CDU – 519.68
PREFÁCIO
Osautoressãoprofessoresreconhecidosnasáreasdeotimização,programaçãomatemáticaepesquisa
operacional.Orientamtesesdepós-graduação,lecionamdisciplinasdegraduaçãoedepós-graduação
nosassuntostratadosnestelivro,publicamemrevistascientíficasindexadaseexercemliderançaaca-
dêmica em suas universidades.
MarcosC.GoldbargeHenriqueP.L.Lunaforamfelizesemlançarestelivro,poisescolheramum
momentopropícioemquehámuitosestudanteseprofissionaisnoBrasilinteressadosnosprocessos
científicos de apoio à decisão.
OtimizaçãoCombinatóriaeProgramaçãoLinear:ModeloseAlgoritmosconsegueumequilíbrioentrea
artedemodelagemmatemáticaemotimizaçãoeosalgoritmosparasolucionaressesmodelos.Apartir
dométododosimplexparasolucionarproblemasdeprogramaçãolinearosautorespercorremdema-
neira muito didática temas importantes como fluxo em redes, caminho mais curto em um grafo e
árvoregeradoramínimadeumgrafo,ondeoleitoroualeitorapodeperceberanecessidadeounão
deorientarumgrafo.Estámuitobemintroduzidaanoçãodeprogramaçãolinearcomvariáveisintei-
rasesuasaplicaçõesemproblemasdedecisão,nosquaisalgumasvariáveissãobivalentes(0-1).Amo-
delagem0-1édegrandeutilidadeparaproblemasdelocalizaçãodefacilidades,concepçãoderedesde
serviço, de percursos de veículos.
Háproblemasclássicosdeotimizaçãocombinatóriaparaosquaismétodosespecíficosdeprogra-
maçãolinearcomvariáveisbivalentesforamdesenvolvidos.Dentreessesproblemas,osautoresdes-
crevemcommuitaclarezaosseguintes:docaixeiroviajante,departicionamento,derecobrimento,de
corte, de carregamento, de empacotamento e de percurso de veículos.
Dadaaexplosãocombinatorialdealgunsproblemasdeotimizaçãocombinatóriamuitasvezesnão
seconsegueobterumasoluçãoótima;assimsendo,osautoresconsideraramtambémmétodosheurís-
ticos, com complexidade numérica polinomial, visando à busca de soluções boas.
Olivroestábemredigido,bemilustrado,contendobonsexercícioseumabibliografiaatualizada.
Considero um trabalho essencial para o ensino de otimização combinatória no Brasil.
NELSONMACULAN
Secretário de Ensino Superior do Ministério da Educação
Professor Titular
Universidade Federal do Rio de Janeiro
INTRODUÇÃO À SEGUNDA EDIÇÃO
A segunda edição do livro Otimização Combinatória e Programação Linear: Modelos e Algoritmos chega
nummomentooportuno,emquesealiamanecessidadedeatualizaçãodamatériaeamaturidadedos
autorescomrelaçãoàobra.Cincoanossepassaram,quatromilheirosforamimpressos,comumamé-
diademaisdeumatiragemporano.Asmelhoriasagoraintroduzidasestãocalcadasnaexperiência
oriundadoprópriousodolivroemsaladeaulaenoscomentáriosdecolegasprofessoresquenoshon-
raram com o uso da primeira edição.
Constituindoumaversãoatualizadaquepreservaoconteúdooriginalemelhoraaformadeapre-
sentação,estasegundaediçãocontemplaumasignificativainclusãodereferênciasàproduçãocientífi-
cadoprimeirolustredonovomilênio.Aatualizaçãoresultouemumsaldopositivodedezenasdepá-
ginas,comasupressãodealgumaspáginasdoapêndicequenãoeramreferenciadasnotextoprincipal
daprimeiraedição.Aricailustraçãodolivrofoireorganizadacomanumeraçãorestritaaoescopode
cadacapítulo,abrangendoasreferênciasafiguras,equações,quadrosetabelas,queporsuaveztive-
ram apresentação padronizada.
A presente edição buscou principalmente atualizar as citações bibliográficas, especialmente no
concernenteaosalgoritmosdesoluçãodosproblemasdeotimizaçãocombinatóriaabordados,erevi-
sarastaxonomiasutilizadasnoscapítulosaplicados.Porexemplo,oCapítulo9,quetratade“Proble-
masdeRoteamento”,foicompletamenterefeitocomumesquemamaisatualdeclassificaçãodalitera-
turapertinente.Porsuavez,osCapítulos8e10,tratando,respectivamente,doProblemadoCaixeiro
Viajanteedosproblemasde“Cobertura,ParticionamentoeLocalização”foramtambémenriquecidos
eatualizados.Algummaterialmigroudecapítulo,comofimdeaglutinarmatériasafinsededarmaior
aderência aos nomes que rotulam os capítulos.
Estasegundaediçãosurgenumaépocaemqueseconsolidaaligaçãoentreotimizaçãocombinató-
riaeprogramaçãolinear,oqueratificaoacertodonomedolivroeaimportânciadamatérianeleensi-
nada.Outratendênciaquetambémjáhaviasidoantecipadanaprimeiraediçãoserefereaointeresse
dousodeheurísticasclássicasedemeta-heurísticasnaabordagemdeproblemasdeotimizaçãocombi-
natória. Essas duas tendências mundiais são realçadas no livro e se refletem no próprio trabalho de
pesquisadosautoresedeseusalunosdepós-graduação,cujosartigoscientíficos,tesesedissertações
possuemcarátermaisavançadoecomplementaràtemáticafundamentadanolivro.Noâmbitodaoti-
mizaçãocombinatória,busca-seumequilíbrioentreoensinodealgoritmosexatos,queemregrapas-
sam pelo uso de programação linear inteira mista, e de algoritmos aproximados, que em regra hoje
usammeta-heurísticas.Oestudantedeveseconscientizarqueabuscadaotimalidadeglobalésempre
umidealaserperseguido,masquefaceàcomplexidadedosproblemasdomundorealémuitasvezes
necessário cunhar um método heurístico para a resolução do problema em questão. A lição é que o
bomsenso,aavaliaçãocríticaeacompetênciadevemprevalecernaabordagemdeumproblema,evi-
tando-se tanto o medo da complexidade quanto a obsessão pela exatidão.
Lançadanocomeçodosegundolustredonovomilênio,estasegundaediçãomuitosebeneficiade
umaépocaemqueasredesdecomunicaçãosetornaramumagenteefetivodeapoioaoensinoeàpes-
quisa.Afaltadeboasbibliotecasdeixoudeser,emtermosdecapacidadedebuscadeconhecimento,
um dos fatores determinantes das desigualdades regionais.
XIV OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA E PROGRAMAÇÃO LINEAR ELSEVIER
Do Nordeste brasileiro os autores obtiveram praticamente todo o acervo da produção científica,
cujareferênciaficaacrescidanestasegundaedição.Naturalmentecabeaoleitoroaproveitamentodire-
todessaricainformaçãoeletrônica.Nesseperíodoentreaprimeiraeasegundaediçãocresceumuitoa
acessibilidadeaoconhecimentogeradonomundo.Omaterialcomplementarqueosautoresdisponibi-
lizamnaWebéapenaspartedainformaçãoqueoleitormaisinteressadodeverecuperar.Nossomeio
acadêmicoprecisaserincentivadoatirarmaiorproveitodagratuidadedericasfontesdeinformação
pelaInternete,principalmente,dopagamentoedifusãopelaCAPESdasediçõeseletrônicasdosprin-
cipais periódicos científicos.
Hámuitosexercíciosresolvidosnolivroe,emboraamaioriadosexercíciospropostossejamtratá-
veis,hátodograudedificuldadenosexercíciossugeridos,algunsconstituindoemsiproblemaspara
dissertaçõesdemestradooumesmotesesdedoutorado.Énormal,portanto,quehajaalgunsexercícios
emaberto,eoleitorprofessoroualunodeveentenderquenessescasosaresoluçãopodeeventualmen-
teserobtidadepoisdeumesforçodepesquisaqueaindanãofoiempreendidonemmesmopelosauto-
res.Nessesentido,olivrodeveserentendidocomoumtrampolimparaaatividadedepesquisa,eépor
isso que serve também a cursos de pós-graduação.
Apropósito,alémdosítiodaeditora,oleitorinteressadotambémpoderecuperarinformação
em repositórios de cursos de pós-graduação e de laboratórios de pesquisa. Inclusive, a CAPES
atualmenterecomendatransparênciaeconteúdoeletrônicoparatodocursodepós-graduação,dis-
ponibilizandonaredeseumaterialdeensinoeincentivandohomepagesdosprópriosalunos,nas
quaisdevemexibirseusexercíciosresolvidoseseustrabalhosdecomputaçãocientífica.Essareco-
mendaçãoéadotadanoProgramadePós-GraduaçãoemModelagemComputacionaldeConheci-
mento da UFAL, em Maceió (http://www.tci.ufal.br/mcc). Em particular, nesse programa estão lan-
çandosuashomepagesosonzealunosmatriculadosnosegundosemestrede2004dadisciplinade
OtimizaçãoContínuaeCombinatória,ministradapeloautorHenriquePaccaL.Luna,naqualnos-
solivroéadotado,eosalunosdevemrodaremdiferentespacotesdeotimizaçãomuitosdosexercí-
ciosresolvidosepropostosnolivro.Devidoaumagrandequantidadedeinformação,comodevi-
docuidado,oleitorpodeusardiretamenteessetipodehomepagecomofontedeinformaçãocom-
plementarparaolivro.Outrafontedecarátercomplementarestánossítiosdelaboratóriosdepes-
quisaedoCNPq,emparticulardosistemaLattes,noqualseencontramcurrículosediretóriosde
gruposdepesquisabrasileiros.Emparticular,oNúcleodeExcelênciaemOtimizaçãodeSistemas
Complexos,quearticulaumconsórciodepesquisadeinstituiçõesnordestinas,mineirasefrance-
sas, e disponibiliza material digital em http://nexos.tci.ufal.br, em que se encontram artigos, teses,
dissertações,palestras,figuras,modeloscomputacionaiseexercíciosresolvidosdenossoslivrose
notasdeaula.
Reafirmamos nossos agradecimentos a todos que foram citados explícita ou implicitamente na
introdução à primeira edição. A eles se somam colegas de ensino e alunos de graduação e de
pós-graduação,dosquaismuitossegraduaramouvirarammestresedoutoresnesseperíododecin-
coanosentreaprimeiraeasegundaediçãodolivro.Oscolegasprofessoresdaáreacontinuamaqui
representados pelo professor Nelson Maculan, hoje Secretário de Educação Superior do MEC, que
muitonoshonroucomaapresentaçãodolivro.AprofessoraElizabethFerreiraGouveia,daUFRN,
nosajudoutambémnestasegundaediçãoemereceumagradecimentoespecial.Dessaveztambém,
apesar de todo o esforço de revisão, erros que eventualmente persistirem são de responsabilidade
dos autores, que continuam à disposição, por meio dos endereços eletrônicos [email protected] e
[email protected]íticasesugestões.Efinalmenteagradecemosaosleitores,cujointeres-
sesuscitouaviabilidadeeconômicadestasegundaediçãonumtemaquetantonosfascina.
Marco C. Goldbarg
Henrique P. L. Luna
novembro de 2004
INTRODUÇÃO À PRIMEIRA EDIÇÃO
Autilizaçãodoferramentalda“PesquisaOperacional”napromoçãodaeficiênciaeeficáciaorganiza-
cionalemtodososníveisdagestãoéumarealidadetornadaviávelpelomicrocomputadorepeloavan-
çodoestadodaarte.Defato,arelevânciadaáreadesistemasdeapoioàdecisãovemcrescendocomo
adventodasestaçõesdetrabalho,queaumbaixocusto,ecommaiorproximidadefísicadosexecuti-
vos,oferecemcapacidadedecálculo,dearmazenamentoerecursosgráficosantesdisponíveisapenas
em máquinas de grande porte.
Dentro desse cenário, torna-se cada vez mais crucial o pleno domínio desse ferramental, especial-
mentepelosprofissionaisdasáreasdeciênciasexatasedeadministração.Nessesentidoopresentetraba-
lhofoielaboradoparafacilitaroacessoeodomíniodastécnicasdeotimizaçãocombinatóriaeprograma-
çãolinear.
Olivrobuscacobrirumalacunaexistentenaliteraturanacionalnoquedizrespeitoaodesenvolvi-
mentodehabilidadesnecessáriasàmodelagemmatemáticaeàsoluçãodeimportantesproblemasde
otimização.Oobjetivoprincipaldestaobraépropiciarsubsídiostécnicos,descrevermodelosmatemá-
ticos,debateralgoritmosdesoluçãoesugerirtemasdeaplicação,dentrodavisãoquantitativadeanáli-
sedofenômenodetomadadedecisão,principalmenteaosalunosdegraduaçãodasengenharias,cur-
sos de administração e de ciência da computação.
Aceito como um texto introdutório, o livro poderá ser utilizado também no contexto da pós-
graduação.Objetivandotalpossibilidade,évastaeatualizadaarevisãobibliográficaqueacompanha
cadatemaespecífico,demodoqueoestudantedepós-graduaçãopossa,commaisfacilidade,alcançar
o aprofundamento necessário.
OconteúdoprogramáticocobertopelosCapítulosde1a5englobaoqueénormalmenteexigido
emdisciplinasquesãodenominadasclassicamentecomo“PesquisaOperacional”,“OtimizaçãodeSis-
temasdeEngenharia”,“ProgramaçãoLinear”etc.Oprofessordessasdisciplinasdegraduaçãopoderá
tambémoptarpelasubstituiçãodoCapítulo5pelaspartesiniciaisdosCapítulos6e7,principalmente
se o curso contar com apenas uma disciplina básica nessa área do conhecimento.
OconteúdodosCapítulos6a10abordatemasemotimizaçãocombinatóriaquesãoobjetodedisci-
plinas como “Otimização Combinatória”, “Algoritmos em Grafos”, “Fluxos em Redes” etc. Essa se-
gundapartedolivrocontémmaterialumpoucomaisavançado,servindotipicamenteadisciplinasop-
tativas de nossos cursos de graduação ou a disciplinas de pós-graduação.
Dessaformaotextofoiorganizadoparaauxiliarosdocentesnodecursodesuatarefadeincentivar
efacilitaroprocessodeconstruçãodoconhecimentodosalunos,pormeiodadisponibilizaçãodeum
arcabouço de consulta adequado, consistente e compacto.
Umaoutracaracterísticamarcantedestetrabalhosãoasváriasaplicaçõespráticasretiradasdarea-
lidadebrasileira,oquepermiteaproximaradisciplinaaodia-a-diadoestudante,aumentandooincen-
tivoàmotivação.Noâmbitodaprogramaçãolinear,olivroécaracterizadopelousointensivodeinter-
pretaçãoeconômicadométodosimplexedasrelaçõesdedualidadeesensibilidade.Aideiaéinsistir
nopontodequeasferramentasdeotimizaçãoindicamasatividadesdemaiorprodutividadenasem-
presas, e de que o uso dessas ferramentas também indicam os preços de maior competitividade.
No âmbito da otimização combinatória, como o próprio nome indica, o livro se caracteriza pela
apresentaçãodosproblemasatravésdousodeliberadodeformulaçõesdeprogramaçãolinearinteira
mista.Alémdointeresseteórico,aformulaçãodeproblemascombinatóriosatravésdaprogramaçãoin-
XVI OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA E PROGRAMAÇÃO LINEAR ELSEVIER
teira abre caminho para o uso dos eficientes pacotes comerciais de programação matemática, cujo
avançonasoluçãoexatadeimportantesproblemaspráticostemsidomarcante.Mesmoparaheurísti-
casquedispensamaformulaçãodeprogramaçãolinearinteira,avaliaçõesdequalidadedesoluçãopo-
dem ser feitas muitas vezes mediante o uso de relaxação do problema de programação linear.
Lançadonaviradadomilênio,olivrosebeneficiadeumaépocaemqueasredesdecomunicação
setornaramumagenteefetivodeapoioaoensino,inserindo-seemumapropostadaeditoraemdispo-
nibilizar material complementar por meio da Internet, principalmente para os professores cadastra-
dos.Maisdetalhesserãofornecidosnositecorrespondente,emfunçãodadinâmicadainteraçãocom
professoresealunos.Paraajudá-loaobteromáximoproveitodestelivro,colocamosalgunsíconesas-
sociadosaosexercíciosresolvidosearesolver.Assim,ossímbolos(cid:2),(cid:3),(cid:4),(cid:5)e(cid:6)indicamograudedi-
ficuldade do exercício, em ordem crescente.
Omaterialdestaprimeiraediçãofoiexperimentadoerevisadoduranteumano,emdisciplinasde
graduaçãoedepós-graduação,tantonaUFRNquantonaUFMG.Alistaseriamuitolonga,masagrade-
cemoscomatençãoespecialatodosessesalunosqueserviramdecobaias.Algunscolegasdaáreanos
ajudaramdediferentesformas,eentendemosquetodosestãoaquirepresentadospeloProfessorNelson
Maculan,quemuitonoshonracomaapresentaçãodolivro.Umpapelimportantetambémcoubeaopes-
soaldemonitoriadasdisciplinasdePesquisaOperacionaldaUFMGduranteoanode1999.Odoutoran-
doRicardoPoleyMartinsFerreiraproduziuumasériedetransparênciasquepermitiramoacompanha-
mentodolivronasaulas.AmestrandaRenataCoutoMoreira([email protected])eograduando
AdrianoCésarMachadoPereira([email protected])continuamtrabalhandoconosconoapoioaoen-
sinoenaproduçãodematerialdidático,principalmentenaresoluçãodeexercícios.Foigraçasaessepes-
soaldeapoioquepudemosdisponibilizarmaterialcomplementarpelaInternet.
ÀprofessoraElizabethFerreiraGouvêanossosagradecimentospelasimportantesobservaçõesfei-
tas na fase da revisão final.
Apesardetodooesforçoderevisão,errosqueeventualmentepersistiremsãonaturalmentederespon-
sabilidadedosautores,quesecolocamàdisposição,pormeiodosendereçoseletrô[email protected]
[email protected],parareceberobservações,críticasesugestõesjulgadasoportunas.Esperamosqueoli-
vrocontribuaparaoapoioaoensinodessaáreadoconhecimentoquetantonosfascina.
M. C. Goldbarg
H. P. L. Luna
novembro de 1999
1
MODELAGEM
DE PROBLEMAS
1.1 – PRINCÍPIOS DO PROCESSO DE MODELAGEM
1.1.1 – Conceito Intuitivo de Modelo
Ohomemsempredesejouentenderoseuplanetaeomundoemgeral.Asimposiçõesdasobrevivência
assimodeterminaram.Rodeadadeelementosmateriais,aprimeiranecessidadedahumanidadefoicon-
quistarodomíniodeseumeioambiente.Asegurançacontrapredadoresefenômenosnaturais,abusca
daalimentação,aorganizaçãosocialdosnúcleoshumanosetc.despertaramosprimeirosquestionamen-
tosdohomem,privilegiandoaaçãosobreoconcreto. Àmedida queasnecessidadesdoespíritohumano
foramsetornandomaiscomplexas,cresceramascarênciasporaperfeiçoaroprocessodecompreensão
do mundo. Já na Antiguidade, inúmeras e sofisticadas estruturas de abstração foram se apresentando
para representar as propriedades e os diversos graus de interação entre os vários interferentes desse
todo.Naimpossibilidadedelidardiretamentecomacomplexidadedomundo,ohomemtemsemostra-
docadavezmaishábilnacriaçãodemetáforasparaarepresentaçãoesoluçãodesuarelaçãocomesse
mesmomundo.
Esseprocessodebuscadeumavisãobemestruturadadarealidade(esclarecimento)éfundamental-
menteumfenômenodemodelagem.Apalavramodelopodeterdiversossignificados.Modelocomo
representaçãosubstitutivadarealidadedistingue-sedoverbomodelar.Overbointroduzaideiadesi-
mulação da realidade, que é mais ampla que a simples representação.
Ummodeloéumveículoparaumavisãobemestruturadadarealidade.Ummodelopodetambémser
visto, com os devidos cuidados,como uma representação substitutiva da realidade.
Todosnósjálidamoscommodelos,mesmoemocasiõesnaisquaisnãopossuíamosamínimacons-
ciênciadisso.Quandoexplicamosalgoaumapessoausandofotografiasougráficos,ouquandorepre-
sentamos planos ou sólidos através de equações matemáticas, nada mais estamos fazendo do que
transmitir e interpretar a estranha realidade através de metáforas de substituição oumodelos.
AGeometriaEuclidianaéummodeloquesatisfazaumconjuntodeaxiomas,ouaummodelode
contextoaxiomático.Deformasemelhante,nessalinhapodemosidentificaroutrosmodelosquevão
desdeastransformadas deLaplaceesua MécaniqueCéleste atéaTeoriaQuânticaeoátomodeBohr.
Obviamentenãoexistemsomentemodelosaxiomáticos.Ocontextoepistemológicoéumexemplodis-
so.Lidandocomoconcretoouabordandooimaginário,amentedohomemtrabalhacomestruturasde
“substituição”quevisamafacilitaroraciocínio,estruturasessasquedenominaremosgenericamente
de modelos.
Osmodelos,paraseremimplementáveis,devemserlivresdepequenosdetalhesonerosos.Nessa
abordagem a importância do equilíbrio simplificação vezes validade é básica. Concluímos que:
