Oscillation of irrational measure function in the multidimensional case

0.22 MB·English

by  Denis Shatskov

Oscillation of irrational measure function in the multidimensional case.
D. O. Shatskov
Abstract
Let Θ is a matrix of size m n. We denote the irrational measure function, as
×
ψ (t) = min max θ1x +...+θnx .
Θ xi Z 16j6mk j 1 j nk
16max∈ xi6t
16i6n| |
We proved that difference function ψ ψ for almost all pairs Θ, Θ in cases m = 1, n = 2 or
Θ Θ ′
− ′
m > 2 and n = 1 changes its sign infinity many times as t + .
5 → ∞
1 Bibliography: 5 titles.
0
2 For a real matrix
θ1 ... θn
n 1 1
Ja Θ =  ... ... ... 
8 θ1 ... θn
 m m 
2
we consider the irrationality measure function 

]
T ψ (t) = min max θ1x +...+θnx ,
N Θ xi Z 16j6mk j 1 j nk
16max∈ xi6t
. 16i6n| |
h
t here stands for the distance to the nearest integer. For two matrix Θ and Θ we consider the
a k ·k ′
m difference function ψ (t) ψ (t).
Θ Θ
− ′
[ If m = n = 1 then Θ = α and

ψ (t) = min qα .
1 α
16q6tk k
v
7 In the paper [2] it is proved that for any two real numbers α and β, such that α β Z the
9 ± 6∈
difference function
0
7 ψ (t) ψ (t)
α β
0 −
. changes its sign infinitely many often as t + .
1 → ∞
Two theorems below are well-known.
0
5 Theorem 1. (A. Khintchine, 1926). Let a function ψ(t) decrease to zero as t + . Then
1 → ∞
there exist two algebraically independent real numbers α and β such that for all t large enough one
:
v
has
i
X ψ (t) = min x α+x β 6 ψ(t).
(αβ) 1 2
r 16max(x1,x2)6tk k
a | || |
Theorem 2. (A. Khintchine, 1926). Let a function ψ(t) decrease to zero as t + and the
→ ∞
function tψ(t) increase to infinity as t + . Then there exist two algebraically independent real
→ ∞
numbers α and β such that for all t large enough
ψ (t) = min max( xα , xβ ) 6 ψ(t).
α 16x6t k k k k
(cid:18) β (cid:19)
This shows that there is no general oscillation property for difference function in any dimension
greater than one.
The main result of this note is the following
Theorem. Let m = 1 and n = 2 or m > 2 and n = 1, than for almost all matrix Θ and Θ of
′
size m n the difference function
×
ψ (t) ψ (t)
Θ Θ
− ′
changes its sign infinitely many times as t + .
→ ∞
0Research is supported by the grant RNF 14-11-00433.
1
Осцилляция функции меры иррациональности в многомерном случае
Д.О. Шацков
1. Введение. Для матрицы
θ1 ... θn
1 1
Θ =  ... ... ... 
θ1 ... θn
 m m 
 
рассмотрим функцию меры иррациональности
ψ (t) = min max θ1x +...+θnx ,
Θ xi Z 16j6mk j 1 j nk
16max∈ xi6t
16i6n| |
где обозначает расстояние до ближайшего целого. Для двух матриц Θ и Θ составим
′
k · k
разность ψ (t) ψ (t). Нас интересует как ведет себя эта разность при t + .
Θ Θ
− ′ → ∞
В одномерном случае Θ = α и функцию ψ можно записать так
Θ
ψ (t) = min qα .
α
16q6tk k
Н.Г. Мощевитин и И.Д. Кан в совместной работе [2] доказали, что для двух вещественных
чисел α и β, таких что α β Z разность
± 6∈
ψ (t) ψ (t)
α β
−
бесконечно много раз меняет знак при t + .
→ ∞
Известны две теоремы.
Теорема (Хинчин, 1926). Пусть функция ψ(t) убывает к нулю при t + . Тогда
→ ∞
существуют два алгебраически независимых числа α и β такие, что для достаточно больших t
выполняется
ψ (t) = min x α+x β 6 ψ(t).
(αβ) 1 2
16max(x1,x2)6tk k
| || |
Теорема (Хинчин, 1926). Пусть функция ψ(t) убывает к нулю при t + и функция
→ ∞
tψ(t) бесконечно возрастает при t + . Тогда существуют два алгебраически независимых
→ ∞
действительных числа α и β таких, что для достаточно больших t выполняется
ψ (t) = min max( xα , xβ ) 6 ψ(t).
α 16x6t k k k k
(cid:18) β (cid:19)
Следствием этих двух теорем служит утверждение, что для больших размерностей в общем
случае осцилляции нет.
В данной работе будет доказан следующий результат
Теорема. Пусть m = 1 и n = 2 или m > 2 и n = 1, тогда для почти всех матриц Θ и Θ
′
размера m n разность
×
ψ (t) ψ (t)
Θ Θ
− ′
осциллирует бесконечное число раз при t + .
→ ∞
2. Изучение функции ψ (t) в случае m = 1 и n = 2.
Θ
Далее в работе 0 < λ < λ , (λ эффективно вычисляется из лемм 3, 4, 5, 13 и 14) 0 < ε < 1
0 0
(ε эффективно вычисляется из лемм 3, 4, 5, 12 и 14), 0 < δ < 1 (δ эффективно вычисляется из
0Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 14-11-00433.
2
леммы 14) и k > K = K (λ), (K эффективно вычисляется из лемм 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 13, 14 и
0 0 0
15).
В случае m = 1 и n = 2 функция ψ (t) имеет вид
Θ
ψ (t) = min x α+x β .
(αβ) 1 2
16max(x1,x2)6tk k
| || |
На квадрате [0;1]2 рассмотрим два множества:
ε
M = (α,β) [0;1]2 : ψ (k) > =
k ∈ (αβ) k2
n o
ε
= (α,β) [0;1]2 : (x ,x ) Z2 1 6 max( x , x ) 6 k x α+x β > =
∈ ∀ 1 2 ∈ | 1| | 2| k 1 2 k k2
n o ε
= (α,β) [0;1]2 : (x ,x ) Z2 1 6 max( x , x ) 6 k q Z x α+x β q > ;
1 2 1 2 1 2
∈ ∀ ∈ | | | | ∀ ∈ | − | k2
n ε o
M = (α,β) [0;1]2 : ψ (k) 6 =
k ∈ (αβ) k2
n o ε
= (α,β) [0;1]2 : (x ,x ) Z2 1 6 max( x , x ) 6 k x α+x β 6 =
∈ ∃ 1 2 ∈ | 1| | 2| k 1 2 k k2
n o ε
= (α,β) [0;1]2 : (x ,x ) Z2 1 6 max( x , x ) 6 k q Z x α+x β q 6 .
1 2 1 2 1 2
∈ ∃ ∈ | | | | ∃ ∈ | − | k2
n o
Верно равенство
µ(M ) = 1 µ(M ). (1)
k k
−
Рассмотрим плоскость Oαβ. Для любых целых чисел x , x и q зададим множество
1 2
ε
A(x ,x ,q) = (α,β) R2 : x α+x β q 6 .
1 2 1 2
∈ | − | k2
n o
Обозначим
ε
A(x ,x ) = (α,β) R2 : q Z x α+x β q 6 = A(x ,x ,q).
1 2 ∈ ∃ ∈ | 1 2 − | k2 1 2
n o q[∈Z
Выпишем свойства множества A(x ,x ):
1 2
1 1
A(x ,x )+ Z Z = A(x ,x );
1 2 1 2
x × x
(cid:18) 1 (cid:19) (cid:18) 2 (cid:19)
A(x ,x ) = A( x , x );
1 2 1 2
− −
2ε
µ A(x ,x ) [0;1]2 = ,
1 2 ∩ k2
где µ( ) - мера Лебега, а знак обоз(cid:0)начает прямое п(cid:1)роизведение множеств.
· ×
Для любых двух линейно независимых пар (x ,x ) и (y ,y ) и любых q и q пересечением
1 2 1 2 1 2
множеств A(x ,x ,q ) и A(y ,y ,q ) будет параллелограмм с площадью
1 2 1 1 2 2
1 4ε2
µ(A(x ,x ,q ) A(y ,y ,q )) = . (2)
1 2 1 ∩ 1 2 2 x x k4
det 1 2
y y
1 2
(cid:12) (cid:18) (cid:19)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Замечание 1. Диаметр этого параллелограмма(cid:12)не более 4ε. (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
k
Обозначим через Λ - решетку, построенную на векторах y2, x2 и y1, x1 .
− −
∆ ∆ ∆ ∆
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
3
Замечание 2. Центрыпараллелограммов,получаемыхприпереборевсевозможныхцелочисленных
значений q , q лежат в узлах решетки Λ.
1 2
Верно равенство
M = A(x ,x ) [0;1]2 . (3)
k 1 2
∩
16m(axx1(,[xx21)∈,xZ22)(cid:0)6k (cid:1)
| || |
ДляудобстваздесьидалеевработечерезS будемобозначатьпараллелепипеды, соответствующей
размерности, со сторонами параллельными координатным гиперплоскостям.
Теорема Ярника. Пусть G — выпуклая область на плоскости, N — число целых точек
в области G, P — площадь области G, L — периметр области G, L > 1, тогда выполнены
неравенства
P L < N < L+P.
−
x x
Лемма 1. Пусть S — квадрат со стороной λ, ∆ = det 1 2 , ∆ = 0, x ,x ,y ,y Z и
y y 6 1 2 1 2∈
1 2
(cid:12) (cid:18) (cid:19)(cid:12)
x ,x ,y ,y > 1, N - число точек решетки Λ в квадрат(cid:12)е S, тогда выпо(cid:12)лняется неравенство
1 2 1 2 λ (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
N < λ2∆+2λ x2 +y2 +2λ x2 +y2.
1 1 2 2
q q
Доказательство. Подействуем на решетку Λ справа линейным преобразованием T =
x x
1 2 , которое переводит решетку Λ в ортонормированную решетку Z2. Квадрат S
y y
1 2
(cid:18) (cid:19)
при этом преобразовании перейдет в параллелограмм с площадью λ2∆, длины сторон этого
параллелограмма будут равны λ x2 +y2 и λ x2 +y2. Применим теорему Ярника и получим
1 1 2 2
неравенство.
p p
Лемма 1 доказана.
Обозначим E = (x ,x ) N2 : (x ,x ) = 1, k 6 x ,x 6 k .
k 1 2 ∈ 1 2 2 1 2
x x
Лемма 2. Пусть(cid:8)∆ = det 1 2 , тогда выполняет(cid:9)ся неравенство
y y
1 2
(cid:12) (cid:18) (cid:19)(cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) 1
(cid:12) (cid:12) 6 9k2lnk.
∆
(x1,Xx2)∈Ek
(y1,y2) Ek
∈
(x1,x2)=(y1,y2)
6
Доказательство. Рассмотрим плоскость Oy y . Для точки (x ,x ) E построим семейство
1 2 1 2 k
∈
прямых x y x y = q, где q Z. Уравнение прямой из этого семейства можно переписать
1 2 2 1
− ∈
x x
в таком виде det 1 2 = q. Все точки решетки Z2 лежат на этих прямых. Расстояние
y y
1 2
(cid:18) (cid:19)
между соседними прямыми из этого семейства равно 1 . Расстояние между соседними
√x2+x2
1 2
целыми точками на каждой прямой из этого семейства равно x2 +x2 > k . На каждой
1 2 √2
прямой будет не более 2 точек (y ,y ) E . Так как мы рассматриваем пары (x ,x ) E и
1 2 ∈ k p 1 2 ∈ k
(y ,y ) E , то ∆ 6 k2. Оценим интересующую нас сумму
1 2 k
∈
k2 k2
1 1 4
= 6 6
∆ ∆ n
((xy11,,Xyx22))∈∈EEkk (x1,Xx2)∈EkXn=1(y1∆,Xy2=)n∈Ek (x1,Xx2)∈EkXn=1
(x1,x2)=(y1,y2)
6
4
6 (4+8lnk) 6 9k2lnk.
(x1,Xx2)∈Ek
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Для любого квадрата S со стороной λ, верны неравенства
ε ε2
λ2 37 6 µ(M S) 6 5ελ2.
3ζ(2) − ζ2(2) k∩
(cid:18) (cid:19)
Доказательство. ЧерезS(x ,x ,k ,k )прямоугольниксосторонами k1 и k2,гдеx ,x ,k ,k N .
1 2 1 2 x1 x2 1 2 1 2∈ 0
В случае x = 0 или x = 0 под S понимается бесконечная полоса параллельная оси Oα или
1 2
оси Oβ соответственно.
Для любого квадрата S и любой пары чисел (x ,x ), если положить k = [λx ] и k = [λx ],
1 2 1 1 2 2
то можно указать два прямоугольника, центры которых совпадают с центром квадрата S и
выполняется условие S(x ,x ,k ,k ) S S(x ,x ,k +1,k +1).
1 2 1 2 1 2 1 2
⊂ ⊂
Запишем ограничение снизу на меру пересечения M и S
k
µ M S > µ(A(x ,x ) S) µ(A(x ,x ) A(y ,y ) S). (4)
k 1 2 1 2 1 2
∩ ∩ − ∩ ∩
(cid:0) (cid:1) (x1,Xx2)∈Ek (x1,Xx2)∈Ek
(y1,y2) Ek
∈
(x1,x2)=(y1,y2)
6
Для доказательства это неравенства воспользуемся формулой (3) и формулой включения-
исключения
µ M S = µ (A(x ,x ) S)>µ (A(x ,x ) S) >
k 1 2 1 2
∩ ∩  ∩ 
(cid:0) (cid:1) 16m(xax1(,[|xx21)|∈,|xZ22|)6k  (x1,[x2)∈Ek 
 
> µ(A(x ,x ) S) µ(A(x ,x ) A(y ,y ) S).
1 2 1 2 1 2
∩ − ∩ ∩
(x1,Xx2)∈Ek (x1,Xx2)∈Ek
(y1,y2) Ek
∈
(x1,x2)=(y1,y2)
6
Применив свойства множества A(x ,x ), можно показать, что выполняются равенства
1 2
2ε k1k2, x ,x = 0;
k2x1x2 1 2 6

µ(A(x ,x ) S(x ,x ,k ,k )) = 2εk2, x = 0,x = 0;
1 2 ∩ 1 2 1 2  k2x2 1 2 6


2εk1, x = 0,x = 0.
 k2x1 2 1 6



Оценим снизу первую сумму из неравенства (4)
2ε k k
µ(A(x ,x ) S) > µ(A(x ,x ) S(x ,x ,k ,k )) = 1 2 >
1 2 1 2 1 2 1 2
∩ ∩ k2 x x
1 2
(x1,Xx2)∈Ek (x1,Xx2)∈Ek (x1,Xx2)∈Ek
2ε (λx 1)(λx 1) 2ε λ λ 1
> 1 − 2 − = λ2 + =
k2 x x k2 − x − x x x
(x1,Xx2)∈Ek 1 2 (x1,Xx2)∈Ek(cid:18) 1 2 1 2(cid:19)
2ε k2 λ2ε lnk λ2ε
= λ2 +O(klnk) = +O > .
k2 4ζ(2) 2ζ(2) k 3ζ(2)
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
5
Оценим сверху меру множества A(x ,x ) A(y ,y ) S. Квадрат S и параллелограмм могут
1 2 1 2
∩ ∩
пересекаться, если расстояние между их центрами меньше, чем λ +2ε 6 λ. Если взятьквадрат
√2 k
3S, у которого центр совпадает с центром квадрата S и сторона равна 3λ, то центры тех
параллелограммов, которые задевают квадрат S будут лежать внутри квадрата 3S. По лемме
1 будет
#(3S Λ) 6 9λ2∆+6λ x2 +y2 +6λ x2 +y2,
∩ 1 1 2 2
q q
x x
где ∆ = det 1 2 .
y y
1 2
(cid:12) (cid:18) (cid:19)(cid:12)
Симв(cid:12)ол #( ), здесь и(cid:12)далее, обозначает количество элементов в множестве.
(cid:12) · (cid:12)
Для о(cid:12)граничения све(cid:12)рху второй суммы из неравенства (4) воспользуемся формулой (2) и
леммой 2
4ε2
µ(A(x ,x ) A(y ,y ) S) 6 #(3S Λ) 6
1 2 1 2
∩ ∩ ∩ ∆k4
(x1,Xx2)∈Ek (x1,Xx2)∈Ek
(y1,y2) Ek (y1,y2) Ek
∈ ∈
(x1,x2)=(y1,y2) (x1,x2)=(y1,y2)
6 6
4ε2
6 9λ2∆+6λ x2 +y2+6λ x2 +y2 6
1 1 2 2 ∆k4
(x1,Xx2)∈Ek(cid:18) q q (cid:19)
(y1,y2) Ek
∈
(x1,x2)=(y1,y2)
6
12ε2 2√2k 2√2k 36λ2ε2 48√2λε2 1
6 3λ2 +λ +λ = 1+ 6
k4 ∆ ∆ k4 k3 ∆
!
(x1,Xx2)∈Ek (x1,Xx2)∈Ek (x1,Xx2)∈Ek
(y1,y2) Ek (y1,y2) Ek (y1,y2) Ek
∈ ∈ ∈
(x1,x2)=(y1,y2) (x1,x2)=(y1,y2) (x1,x2)=(y1,y2)
6 6 6
36λ2ε2 432√2λε2lnk 37λ2ε2
6 1+ 6 .
k4 k ζ2(2)
(x1,Xx2)∈Ek
(y1,y2) Ek
∈
Ограничение снизу для µ(M S) доказано.
k
∩
Обозначим E = (x ,x ) Z2 : 16x 6k,16 x 6k и S =S(x ,x ,k +1,k +1).
k∗ { 1 2 ∈ 1 | 2| } ∗ 1 2 1 2
Воспользуемсяформулой(3),свойствомA(x ,x )=A( x , x )иполучимограничениесверху
1 2 1 2
− −
на µ(M S)
k
∩
µ(M S) = µ (A(x ,x ) S) 6 µ (A(x ,x ) S) +
k 1 2  1 2 
∩ ∩ ∩
16m(axx1(,[xx21)∈,Zx22)6k  16x[1x=260k 
| || |  
 
+µ (A(x ,x ) S) +µ (A(x ,x ) S) 6
 1 2  1 2
∩  ∩ 
16x[2x=160k  (x1,[x2)∈Ek∗
 
 
k
4ε k +1
62 µ(A(x ,x ) S )+ µ(A(x ,x ) S )= 2 +
1 2 ∩ ∗ 1 2 ∩ ∗ k2 x
2
16xX1x=260k (x1,Xx2)∈Ek∗ xX2=1
k
2ε (k +1)(k +1) 4ε λx +1 2ε (λx +1)(λx +1)
+ 1 2 6 2 + 1 2 =
k2 x x k2 x k2 x x
1 2 2 1 2
(x1,Xx2)∈Ek∗ xX2=1 (x1,Xx2)∈Ek∗
6
k
4ε 1 2ε λ λ 1
= λ+ + λ2 + + + =
k2 x k2 x x x x
xX2=1(cid:18) 2(cid:19) (x1,Xx2)∈Ek∗(cid:18) 1 2 1 2(cid:19)
2ε lnk
= 2λ2k2 +O(klnk) = 4ελ2+O 6 5ελ2.
k2 k
(cid:18) (cid:19)
(cid:0) (cid:1)
Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Для любого квадрата S со стороной λ верно неравенство
λ2 5λ2ε 6 µ(S M ).
k
− ∩
Доказательство. Воспользуемся равенством (1) и леммой 3
µ(S M ) = µ(S) µ(S M ) > λ2 5ελ2.
k k
∩ − ∩ −
Лемма 4 доказана.
3. Изучение функции ψ (t) в случае m > 2 и n = 1.
Θ
В этом случае функция ψ (t) имеет вид
Θ
ψ (t) = min max xα .
α1 16x6tj=1,...,mk jk
.
 . 
.
 αm 
На кубе [0;1]m рассмотрим два множества:
 ε 
M = (α ,...,α ) [0;1]m : ψ (k) > =
k  1 m ∈  α...1  √m k
 αm 
 
 
 
 
 ε
= (α ,...,α ) [0;1]m : q [1;k] max α q > =
1 m ∈ ∀ ∈ 16i6m{k i k} √m k
(cid:26) (cid:27)
ε
= (α ,...,α ) [0;1]m : q [1;k] (p ,...,p ) Zm max α q p > =
1 m ∈ ∀ ∈ ∃ 1 m ∈ 16i6m{| i − i|} m√k
(cid:26) (cid:27)
p ε
= (α ,...,α ) [0;1]m : q [1;k] (p ,...,p ) Zm max α i > ;
1 m ∈ ∀ ∈ ∃ 1 m ∈ 16i6m i − q q √m k
(cid:26) (cid:26)(cid:12) (cid:12)(cid:27) (cid:27)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
 ε 
M = (α ,...,α ) [0;1]m : ψ (k) 6 =
k  1 m ∈  α...1  √m k
 αm 
 
 
 ε
= (α ,...,α ) [0;1]m : q [1;k] max α q 6  =
1 m ∈ ∃ ∈ 16i6m{k i k} √m k
(cid:26) (cid:27)
ε
= (α ,...,α ) [0;1]m : q [1;k] (p ,...,p ) Zm max α q p 6 =
1 m ∈ ∃ ∈ ∀ 1 m ∈ 16i6m{| i − i|} √m k
(cid:26) (cid:27)
p ε
= (α ,...,α ) [0;1]m : q [1;k] (p ,...,p ) Zm max α i 6 .
1 m ∈ ∃ ∈ ∀ 1 m ∈ 16i6m i − q q √m k
(cid:26) (cid:26)(cid:12) (cid:12)(cid:27) (cid:27)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
7 (cid:12) (cid:12)
Верно равенство
µ(M ) = 1 µ(M ). (5)
k k
−
ДлячислаqопределиммножествоA(q),какобъединениекубовсцентрамивточках p1, p2,..., pm
q q q
при p = 0,1,...,q и со стороной 2ε . (cid:16) (cid:17)
i qm√k
Верно равенство
k
M = (A(q) [0,1]m). (6)
k
∩
q=1
[
Символ обозначает целую часть сверху.
⌈·⌉
Лемма 5. Для любого куба S со стороной λ выполняется неравенство
λm 2(4λε)m 6 µ(S M ).
k
− ∩
Доказательство. ПроекциямножестваA(q)накаждуюкоординатнуюосьэтообъединение
отрезков вида p ε , p + ε при p = 0,1,...,q. Очевидно отрезок длины λ заденет не
q − qm√k q qm√k
более λ+ 2εh : 1 6 λ+ 2iε q + 1 6 λq + 2 отрезков из проекции множества A(q) по
qm√k q qm√k
каждоlй(cid:16)оси. Пол(cid:17)учаеmм нер(cid:16)авенство(cid:17)
(2ε)m
µ(S A(q)) 6 (λq +2)m .
∩ kqm
Применим формулу (6) и найдем ограничение сверху на меру пересечения
k k k (2ε)m
µ(S M ) = µ (S A(q)) 6 µ(S A(q)) 6 (λq +2)m 6
∩ k ∩ ∩ kqm
!
q=1 q=1 q=1
[ X X
k (2ε)m (4λε)m k 8mεm k 1
6 ((2λq)m +4m) = 1+ 6
kqm k k qm
q=1 q=1 q=1
X X X
8mεm ∞ 1
6 (4λε)m + 6 2(4λε)m.
k q2
q=1
X
Применим полученное неравенство и формулу (5)
µ(S M ) = µ(S) µ(S M ) > λm 2(4λε)m.
k k
∩ − ∩ −
Лемма 5 доказана.
Лемма 6. Для m > 2 верно неравенство
(q ,q )m 2k
1 2 6 .
qm 5
⌈k/2⌉6Xq1<q26k 2
Доказательство. Пусть (q ,q ) = d, q =dl l> k и q =dp p>l+1> k +1 с условием
1 2 1 2d 2 2d
(l,p) = 1, тогда
(cid:0) (cid:6) (cid:7)(cid:1) (cid:0) (cid:6) (cid:7) (cid:1)
(q ,q )m k q2−1 (q ,q )m [k/2] [k/d] p−1 1
1 2 = 1 2 = 6
qm qm pm
⌈k/2⌉6Xq1<q26k 2 q2=X⌈k2⌉+1q1X=⌈k2⌉ 2 Xd=1 p=⌈X2kd⌉+1 l=Xl2kdm
(l,p)=1
8
[k/2] [k/d] p 1 [k/2] [k/d] k [k/p]
− 1 ϕ(p) ϕ(p)
6 = 6 =
pm pm pm
Xd=1 p=⌈X2kd⌉+1 (lX,lp=)1=1 Xd=1 p=⌈X2kd⌉+1 Xp=2 Xd=1
k k
k ϕ(p) ϕ(p) ∞ ϕ(p) ζ(m) ζ(2) 2k
= 6k 6k 1 =k 1 6k 1 6 .
p pm pm+1 pm+1− ζ(m+1) − ζ(3)− 5
!
p=2(cid:20) (cid:21) p=2 p=1 (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
X X X
Доказательство равенства
∞ ϕ(p) ζ(m 1)
= −
pm ζ(m)
p=1
X
можно найти в [5] на стр. 250.
Лемма 6 доказана.
Лемма 7. Пусть W - выпуклая область на плоскости, N - число целых точек в области W.
Если найдутся 3 целые точки внутри области не лежащие на одной прямой, то
N 6 2µ(W)+2.
Доказательство. Рассмотрим все целые точки, лежащие в области W, для них построим
выпуклую оболочку. Получим выпуклый многоугольник. Применив формулу Пика, получим
неравенство
Γ
B + 1 6 µ(W).
2 −
где B есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Γ — количество точек
на границе многоугольника. Из соотношения N = B +Γ получаем
N 2 6 2µ(W).
−
Лемма 7 доказана.
Рассмотрим плоскость Op p . Для пары (q ,q ) N2 и числа δ > 0 введем обозначения:
1 2 1 2
∈
C — прямоугольник со сторонами (1+δ)λq и (1+δ)λq , параллельными осям;
1 2
C = 0, (1+δ)λq 0, (1+δ)λq ;
0 2 1 × 2 2
h i h i
D = (p ,p ) R2: q p q p 6 d ε(q1+q2) , где d — наибольший общий делитель чисел
1 2 ∈ | 2 1 − 1 2| dm√k
q и q .
1 2 n h io
l — прямая q p q p = q.
q 2 1 1 2
−
Запишем несколько свойств прямых вида l :
q
1. Расстояние между двумя соседними прямыми вида l равно 1 .
q √q2+q2
1 2
2. Всецелые точки(p ,p ) Z2 лежат напрямых видаl , расстояние между двумя соседними
1 2 q
∈
точками на одной прямой равно q2 +q2.
1 2
p
Запишем некоторые свойства области D:
1. Количество прямых l в области D равно 2d ε(q1+q2) +1;
q dm√k
2. Ширина полосы D равна h = 2 ε(q1+q2) dh 6 2√i2ε.
dm√k √q2+q2 m√k
1 2
3. Если d > 2εk1 1/m, то D = l . h i
− 0
9
Определим множества:
Tr = (q ,q ) Z2: k/2 6 q < q 6 k ;
k 1 2 1 2
{ ∈ ⌈ ⌉ }
J = (q ,q ) Tr : C = C #(D C Z2) > N , где N = 8(1+δ)ελk1 1/m +6;
1 2 k 1 1 0 0 −
{ ∈ ∃ ∩ ∩ }
J = (q ,q ) Tr : (q ,q ) = d > d , где d = 9εk1 1/m;
0 1 2 k 1 2 0 0 −
{ ∈ }
J = (q ,q ) Tr : #(D C Z2) > N0 ;
1 1 2 ∈ k ∩ 0∩ 2
Pr =(cid:8) (p ,p ) 0, m√k 2 N2: (p ,p )(cid:9)= 1,1 6 p2 6 2 .
k 1 2 ∈ 4ε ∩ 1 2 p1
(cid:26) (cid:27)
Лемма 8. Дляhкаждоiй пары (q ,q ) J все целые точки в D C лежат на одной прямой l c
1 2 1
∈ ∩
шагом γ, где
√m k
1 6 γ 6 .
4ε
Доказательство. ОбластьD C можновложитьвпараллелограммсвысотойhистороной
1
∩
√2(1+δ)λk. Таким образом мера µ(D C ) 6 4(1+δ)ελk1 1/m.
1 −
∩
Пусть точки не лежат на одной прямой, тогда по лемме 7, количество целых точек N в
области µ(D C ) будет
1
∩
N 6 2µ(D C )+2 6 8(1+δ)ελk1 1/m +2,
1 −
∩
получаем противоречие с тем, что (q ,q ) J.
1 2
∈
Максимальный отрезок в D C это диагональ прямоугольника C . Длина диагонали равна
1 1
∩
√2(1+δ)λk, минимальное количество точек на отрезке такой длины должно быть не менее N ,
0
поэтому шаг γ не может превышать величины
√2(1+δ)λk √2(1+δ)λk √2 √m k √m k
6 = 6 .
N 1 N 6 8ε 4ε
0 0
− −
Лемма 8 доказана.
Лемма 9. Пусть l - прямая из леммы 8, γ - расстояние между двумя соседними целыми
точками на этой прямой, ω - угол между прямыми l и l , тогда
0
1
sinω 6 .
2kλγ
Доказательство. Определимчислоa = d ε (q +q ) . Построимпрямоугольныйтреугольник
dm√k 1 2
A1A2A3 с гипотенузой A1A2, где h i
A = l l ;
1 a
∩
A = l l ;
2 a
∩ −
A l ;
3 a
∈
A A l.
1 3
⊥
Длины сторон A A > (N 1)γ и A A = h. Оценим синус угла между прямыми l и l
1 2 0 1 3 0
| | − | |
A A h 2√2ε 1
sinω = | 1 3| 6 6 6 .
A A (N 1)γ √m k(N 6)γ 2kλγ
| 1 2| 0 − 0 −
Если D = l , то l = l и sinω = 0.
0 0
Лемма 9 доказана.
10