Table Of ContentLecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold and .B Eckmann
808
yuG yruaM
seuqcaJ duanyaR
Ordres xuamixaM
ua Sens ed .K onasA
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg New kroY 1980
Auteurs
Guy Maury
Raynaud Jacques
etisrevinU Claude-Bernard noyL( )I
43 .db ud Onze Novembre 8191
69622 Cedex Villeurbanne
ecnarF
AMS 16-02, Subject (1980): Classifications Primary: 16A08, 16A18,
16A66;
:yradnoceS 16A02, 16A04, 16A05, 16A10, 16A12, 16A14, 16A33,
16A34, 16A38, 16A50, 16A52, 16B35
ISBN 3-540-10016-4 Heidelberg Berlin Springer-Verlag New York
ISBN 0-387-10016-4 Springer-Verlag New Heidelberg York Berlin
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Guy: Maury,
Ordres au sens maximaux de .K Asano / Guy ; Maury Jacques Raynaud.
- Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1980. -
(Lecture notes in mathematics; 808)
ISBN 3-540-10016-4 (Berlin, Heidelberg, New York)
ISBN 0-38?-10016-4 York, (New Heidelberg, Berlin)
:EN Jacques: Raynaud,
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or
part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting,
re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or
similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright
Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the
publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher.
© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1980
Printed in Germany
Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr.
2141/3140-543210
PREFACE.
aL notion d'ordre maximal ua sens de .K Asano, introduite par ONASA.K en 1949 [3],
est enu g~n~ralisation ua sac non commutatif de la notion de domaine d'int~grit~
compl~tement int~gralement clos.
seL R-ordres maximaux classiques, les R-ordres maximaux de mussoF dans enu alg~-
bre centrale simple sont des cas particuliers d'ordres maximaux ua sens de .K Asano
(Chapitre I), ainsi que les ordres d'Asano (Chapitre III) et les anneaux de Krull
premiers r~guliers ua sens ed Marubayashi (Chapitre XI).
eL but ed ces Notes est de donner sed propri~t~s des ordres maximaux ua sens ed
.K Asano connus ~ ce jour (premier septembre 1979) ainsi euq ed nombreux exemples ed
tels anneaux de diff~rents types. seL R-ordres maximaux classiques tr~s ~tudi~s ont
des propri~t~s particuli~res qui ne figurent sap toutes dans ce travail. seL livres
de GNIRUED [41] et ed I. RENIER [94], uniquement consacr~s aux R-ordres maximaux
classiques, contiennent de nombreuses propri~t~s ed ces anneaux et enu bibliographie
tr~s compl~te jusqu'en 1975.
L'int~r6t de la th@orie sed ordres maximaux est double : d'une part elle utilise
nu tr~s grand hombre de theories ed l'alg~bre moderne (la th~orie sed treillis, des
groupes r~ticul~s, la th~orie ed Lesieur et Croisot, la th~orie ed la localisation,
sed anneaux ~ identit~ polynSmiale, sed anneaux d'endomorphismes, sed alg~bres enve-
loppantes, etc...) et conduit ~ la d~couverte ed belles propri~t~s. D'autre part
cette th~orie s'applique : elle permet ed donner des propri~t~s sed R-ordres classi-
ques uo de Fossum, non obligatoirement maximaux (Chapitre IX). Elle permet aussi
d'obtenir sed propri~t~s nouvelles sed alg~bres enveloppantes d'une alg6bre ed Lie,
k-module libre ed type fini sur nu domaine d'int~grit~ noeth~rien int~gralement clos
k, car d'apr~s nu r~sultat r~cent ed .M ,EIRAMAHC ces alg~bres enveloppantes sont
sed ordres maximaux (Chapitre X).
VI
suoN venons ed voir euq la thSorie sed ordres maximaux utilise ed nombreuses
thSories d'algSbre:il estdonc impossiblequeleprSsenttravail soit"self contained".
suoN avons adopts la rSgle suivante :dans chaque chapitre, gSnSralement ua dSbut,
nous rappelons les dSfinitions et les rSsultats ed la th~orie utilisSe, sans d~mons-
trations mais avec sed rSfSrences prScises, par contre tout rSsultat concernant la
thSorie sed ordres maximaux uo ses applications est dSmontrS (si l'on excepte ceux
donnSs ua dernier chapitre).
euqahC chapitre sauf le dernier es termine par enu notice bibliographique qui
indique de fa~on prScise ed quels mSmoires sont tirSs les rSsultats SnoncSs et dS-
montrSs dans le chapitre.
eL lecteur trouvera ~ la fin ed sec Notes nu index sed principaux termes utilisSs
et enu bibliographie que nous espSrons complSte (8 la date ud premier septembre1979)
pour les mSmoires sur les ordres maximaux ua sens ed .K Asano, mais qui en l'est
certainement sap ne ec qui concerne les R-ordres maximaux.
seL notions ed base pourront 6tre trouvSes dans nu traits d'algSbre non commuta-
tive (par exemple [46] uo [105] uo [96]).
TABLE DES MATIERES
SNOITATON TE SNOITNEVNOC page viii
ERTIPAHC I. - ,SERDRO SERDRO ,XUAMIXAM .SELPMEXE
i. Anneaux ed fractions egap 1
2. Ordres et id~aux page 3
3. Ordres maximaux egap 6
4. Ordres r~guliers egap 01
5. Ordres maximaux commutatifs egap 21
6. Sur les alg~bres centrales simples page 31
7. R-ordres d'une alg~bre centrale simple : Exemple d'un ordre
maximal r~gulier et ed type fini sur nos centre egap 41
8. Exemples d'ordre maximal non r~gulier et d'ordre maximal
r~gulier qui n'est sap de type fini sur nos centre egap 91
9. Notice bibliographique egap 42
ERTIPAHC II. - ECNELAVIUQE'L D'ARTIN.
i. eL groupe d'Artin page 52
2. Application ~ nu ordre maximal egap 63
3. Notice bibliographique egap 34
ERTIPAHC III. - SERDRO .ONASA'D
i. Pr~liminaires egap 44
2. Ordres d'Asano egap 74
3. Tout ordre d'Asano premier, r~gulier et noeth~rien est
h~r~ditaire egap 65
4. Exemples d'ordres d'Asano egap 06
5. Notice bibliographique egap 26
ERTIPAHC NOITASILACOL SNAD SEL SERDRO .XUAMIXAM
IV. -
I. Sur la th6orie ed la localisation egap 36
Vl
2. Localis~s bilat~res d'un ordre maximal, premier noeth~rien
non n~cessairement r~gulier egap 96
3. Localis~s bilat6res d'un ordre maximal r~gulier (cas non
noeth~rien) page 28
4. Notice bibliographique egap 98
ERTIPAHC XUAEVUON SELPMEXE SERDRO'D XUAMIXAM : SERDRO XUAMIXAM
V. -
TE XUAENNA ED SEMONYLOP ED .ERO
.1 Sur les anneaux ed polyn6mes ed erO egap 09
2. Ordres maximaux et anneaux ed polyn6mes ed erO egap 19
3. Application ~ la recherche d'exemples d'ordres maximaux egap 99
4. stnem~lpmoC page 101
5, Notice bibliographique page 301
ERTIPAHC VI. - NOITACILPPA ED AL EIROEHT ED RUEISEL TE TOSIORC XUA
SERDRO .XUAI~IXAM
.1 Sur la th~orie ed Lesieur et Croisot page 401
2. eL th~or~me ed l'id~al a gauche principal dans les ordres
maximaux r~guliers noeth~riens ~ gauche page 901
3. Application : Caract~risation sed anneaux premiers, noeth~riens
ordres maximaux r~guliers ed leur anneau classique ed fractions page 111
4. eL th~or~me ed l'id~al ~ gauche principal dans les ordres
maximaux premiers noeth~riens non n~cessairement r~guliers page 411
5. Notice bibliographique page 711
ERTIPAHC VII, EDIOPUORG ED .TDNARB .SNOITACILPPA
-
1. Groupo~de ed Brandt page 811
2. Ordres maximaux ~quivalents ~ nu ordre d'Asano r~gulier
noeth~rien page 421
3. Notice bibliographique page 231
ERTIPAHC VIII. - NOITASILACOL SNAD SERD RSOE-LR XUAMIXAM : SERDRO
XUAMIXAM TE XUAENNA A IDENTITE .ELAIMONYLOP
i. Localisation dans les R-ordres maximaux classiques page 331
2. Anneaux ~ identit~ polyn6miale page 931
3. Ordres maximaux et R-ordres maximaux page 241
4. Localisation dans les R-ordres maximaux ed mussoF page 641
5. Localis~s bilat~res d'anneaux pseudo-factoriels et ne parti-
culier ed R-ordres maximaux de mussoF pseudo-factoriels page 351
6. Notice bibliographique p~ge 551
ERTIPAHC IX. SNOITACILPPA XUA SERDRO-R NON( TNEMERIASSECEN .)XUAMIXAM
-
i. Applications aux R-ordres ed mussoF page 751
Vll
2. Applications aux R-ordres classiques page 164
3. Notice bibliographique page 761
ERTIPAHC X, - APPLICATIONS XUA SERBEGLA .SETNAPPOLEVNE
I. Sur les anneaux filtr~s page 168
2. nU th~or@me sur les anneaux filtr~s page 071
3. Application aux alg@bres enveloppantes page 171
4, Notice bibliographique page 371
ERTIPAHC XI. - .STATLUS ESRERTUA
1, La th~orie des anneaux de Krull non n~cessairement commutatifs
au sens de Marubayashi page 471
2. Ordres maximaux et anneaux d'endomorphismes page 771
3. Rl-ordres maximaux page 178
4. Compl~ments sur les ordres d'Asano et divers page 179
SEUQLEUQ SEMELBORP STREVUO page 181
EIHPARGOILBIB page 183
XEDNI page 091
NOTATIONS ET CONVENTIONS
Dans ce travail, tousles anneaux consid~r6s seront des anneaux associatifs (mais
non n~cessairement commutatifs) avec 61~ment unit6 (nots I). Tousles morphismes
d'anneaux et tousles modules seront unitaires. Les sous-anneaux seront supposes
avoir le m~me ~l~ment unit~ que l'anneau.
Pour simplifier, lorsque nous parlerons d'une notion ou d'une propri6t~ sans
indication de c6t6 cela voudra dire que cette notion ou propri6t~ est suppos~e vraie
gauche et ~ droite (par exemple : anneau noeth~rien signifie anneau noeth~rien
gauche et ~ droite), sinon nous pr~ciserons.
Si Rest nu anneau, nous d~signerons par u(R) le groupe des ~l~ments inversibles
de R ; si A et B sont deux sous-ensembles non vides de R alors nous d~signerons par
BA l'ensemble de tousles ~lements de R qui s'6crivent comme somme finie de produits
ab, avec a E A et b E B, et BA sera appel~ le produit de A et de B.
D'une mani~re g~n~rale (et sauf pr~cisions contraires) les notions et notations
utilis~es sont celles de [1051 ou de [46].
CHAPITRE .I
ORDRES, ORDRES MAXIMAUX, EXEMPLES.
§ I. XUAENNA ED .SNOITCARF
eC paragraphe contient des rappels sur les anneaux de fractions. Pour des d~mons-
trations et pour plus de d~tails, le lecteur pourra se reporter ~ [2], [105], [46]
et [53].
Soit Run anneau. D#signons par M l'ensemble des kl#ments non diviseurs de z~ro
(ou @l~ments rkguliers) de R et consid#rons 'M nu sous-demi-groupe du demi-groupe
multiplicatif .M
DEFINITION. - On dit qu'un anneau S est un anneau de fractions ~ gauche de R
selon M' si l'on a :
)I Rest un sous-anneau de S (voir les conventions).
2) Tout ~l~ment de M' est inversible dans S (donc appartient d u(S)).
)3 Tout ~l~ment x de S est de la fo~e x = a-la, avec ~ @ M' eta E R.
nU anneau de fractions ~ gauche S de R selon 'M existe si et seulement si R
v~rifie la condition de Ore ~ gauche selon M', c'est-~-dire : Va E R, V~ E M',
3b E R, 36 E M' b~ = ~a.
Si R v#rifie la condition de Ore a gauche selon 'M nous avons la tr~s utile
propri~t~ suivante : si ~1,~2 .... 'Xn sont des kl~ments quelconques de M', il existe
Cl,C 2 ..... n c #l#ments de R tels que Cl~ 1 = ~2c 2 ..... ~nC n = ? et 7 E M'.
nU anneau de fractions ~ gauche de R selon M' est d6termin# ~ un isomorphisme
pr@s.
nO d~finitde m6me nu anneau de fractions ~ droite de R selon M'.
Si les anneaux de fractions ~ gauche et ~ droite de R selon 'M existent alors ils
coincident ~ un isomorphisme pr6s, et on parle alors de l'anneau de fractions de R
selon M'.
L'anneau de fractions ~ gauche de R selon M est appel~ l'anneau classique (ou
l'anneau total) de fractions a gauche de R.
DEFINITION. - Un anneau Rest appeld anneau de quotients si tout dl~ment non
diviseur de zdro de Rest inversible dans R (c'est-~-dire si Rest son propre anneau
classique de fractions).
Avant de terminer ce paragraphe avec l'un des plus imporants r~sultats sur les
anneaux de fractions, rappelons qu'un anneau ed Goldie ~ gauche Rest un anneau qui
v~rifie la condition de cha~ne ascendante sur les annulateurs ~ gauche et qui ne
poss#de aucune somme directe infinie d'id~aux ~ gauche non nuls. nO a :
THEOREMEI.I. (Th~orgme de GOLDIE). - Les propridtds suivantes de l'anneau R
sont dquivalentes :
)a( Rest un anneau de Goldie ~ gauche semt-premier.
)b( R a un anneau classique de fractions ~ gauche qui est semi-simple.
)c( Un iddal ~ gauche de Rest essentiel (dans )R si et seulement sril contient
un dldment r~gulier.
Si on appelle anneau simple un anneau n'admettant pas d'autres id~aux bilat#res
que 0 et lui-m~me, il vient :
COROLLAIRE 1.2. - Les propridt~s suivantes de l'anneau R sont ~quivalentes :
)a( Rest un anneau de Goldie d gauche premier.
)b( R a un anneau classique de fractions ~ gauche qui est simple artinien.
nE particulier si Rest nu anneau noeth~rien ~ gauche sans diviseurs de z~ro
alors l'anneau classique de fractions ~ gauche de Rest un corps.
