Ordnungen und Verbände [Lecture notes]

15 Pages·2016·0.178 MB·German

by  Henri Mühle

Ordnungen und Verba¨nde
(nachKapitel12inP.Cameron:“Combinatorics”)
1. GRUNDLAGEN
Definition1.1(Teilordnung). SeiPeineMenge.EineRelationR ⊆ P×PheißtTEILORDNUNGaufP,
wennsiediefolgendenEigenschaftenbesitzt.
• Fu¨rallex ∈ Pist(x,x) ∈ R. (REFLEXIVITA¨T)
• Fu¨rallex,y ∈ Pfolgtaus(x,y) ∈ Rund(y,x) ∈ Rstetsx = y. (ANTISYMMETRIE)
• Fu¨rallex,y,z ∈ Pfolgtaus(x,y) ∈ Rund(y,z) ∈ Rstets(x,z) ∈ R. (TRANSITIVITA¨T)
Beispiel 1.1 (Duale Ordnung). Zu jeder Teilordnung R ist die DUALE Relation Rd, definiert durch
(x,y) ∈ Rd genaudannwenn(y,x) ∈ R,wiedereineTeilordnung.
WirbezeichneneineTeilordnungu¨blicherweisemit≤anstellevonR.
Beispiel 1.2 (Teilmengenverband). Die Teilmengenrelation ⊆ ist eine Teilordnung auf der Potenz-
menge℘(M)einerendlichenMenge M,denn:
• fu¨rX ⊆ MgiltX ⊆ X;
• fu¨rX,Y ⊆ MfolgtausX ⊆YundY ⊆ XgeradeX =Y;
• fu¨rX,Y,Z ⊆ MfolgtausX ⊆YundY ⊆ ZgeradeX ⊆ Z.
Beispiel1.3(Teilerverband). DieTeilerrelation|isteineTeilordnungaufdennatu¨rlichenZahlenN,
denn
• fu¨ra ∈Ngilta | a;
• fu¨ra,b ∈Nfolgtausa | bundb | ageradea = b;
• fu¨ra,b,c ∈Nfolgtausa | bundb | cgeradea | c.
WirerhaltendarauseineendlicheTeilordnung,wennwirunsaufdieMengeD(n)allerTeilereiner
festennatu¨rlichenZahlneinschra¨nken.
Definition 1.2 (Bedeckungsrelation). Sei (P,≤) eine teilgeordnete Menge. Zwei Elemente x,y ∈ P
bildeneineBEDECKUNGSRELATION,wennx ≤ yundfu¨rjedesz ∈ Pmitx ≤ z ≤ ygiltentwederx = z
oderz = y.Wirschreibenx(cid:108)y.
Definition1.3(Ordnungsdiagramm). SeiP = (P,≤)eineteilgeordneteMenge.DasORDNUNGSDIA-
GRAMM von P ist der gerichtete Graph (P,(cid:108)). Hierbei gilt die Konvention, dass die Kanten nach oben
(cid:108)
orientiertsind,alsodassystriktoberhalbvonxgezeichnetwird,wennx y.
(cid:0) (cid:1)
Beispiel1.4(Teilmengenverband). SeiM = {a,b,c}.DasOrdnungsdiagrammvon ℘(M),⊆ sieht
wiefolgtaus:
1
2
{a,b,c}
{a,b} {a,c} {b,c}
{a} {b} {c}
∅
(cid:0) (cid:1)
Beispiel1.5(Teilerverband). Sein =12.DasOrdnungsdiagrammvon D(12),| siehtwiefolgtaus:
12
4 6
2 3
1
Definition1.4(direktesProdukt). SeienP = (P,≤ )undQ = (Q,≤ )zweiteilgeordneteMengen.
P Q
DasDIREKTE PRODUKTvonP undQistP ×Q = (P×Q,≤),wobeifu¨rx,x(cid:48) ∈ Pundy,y(cid:48) ∈ Qgilt
dass(x,y) ≤ (x(cid:48),y(cid:48))genaudann,wennx ≤ x(cid:48) undy ≤ y(cid:48).
P Q
Fu¨rdasdirekteProduktvonnteilgeordnetenMengenschreibenwirauch∏n (P,≤ )anstelle
i=1 i i
von(P ,≤ )×(P ,≤ )×···×(P ,≤ ).SindalleFaktorengleich,benutzenwirauchdiePotenz-
1 1 2 2 n n
schreibweise(P,≤)n.
(cid:0) (cid:1)
Lemma1.5. Sei M eineendlicheMengemit n Elementen.Weitersei 2 = {0,1},≤ gegebendurchdie
(cid:16) (cid:17)
(nichttriviale)Relation0<1.Esgilt ℘(M),⊆ ∼= 2n.
Beweis. BetrachtezuX ⊆ M = {m1,m2,...,mn}denCHARAKTERISTISCHENVEKTOR(a1,a2,...,an),
deru¨ber
(cid:40)
1, wennm ∈ X,
a = i
i 0, wennm ∈/ X
i
definiert ist. Damit erhalten wir eine Bijektion von ℘(M) nach {0,1}n. Seien nun X,Y ⊆ M mit
charakteristischenVektoren(a ,a ,...,a )und(b ,b ,...,b ).Esgilt
1 2 n 1 2 n
X ⊆Y ⇐⇒fu¨rallei ∈ {1,2,...,n}giltm ∈ X ⇒ m ∈Y
i i
⇐⇒fu¨rallei ∈ {1,2,...,n}gilt a =1⇒ b =1
i i
⇐⇒fu¨rallei ∈ {1,2,...,n}gilt a ≤ b.
i i
(cid:3)
3
(cid:0) (cid:1)
Beispiel1.6(Teilmengenverband). SeiM = {a,b,c}.DasOrdnungsdiagrammvon ℘(M),⊆ unter
demIsomorphismusinLemma1.5siehtwiefolgtaus:
(1,1,1)
(1,1,0) (1,0,1) (0,1,1)
(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)
(0,0,0)
Lemma1.6. Sein ∈NmitPrimfaktorzerlegungn = ∏p∈Ppαp.Esgilt
(cid:0)D(n),|(cid:1) ∼= ∏ (cid:0)D(pαp),|(cid:1).
p∈P
Beweis. Offenbargiltn = pα1pα2···pαk fu¨reingenu¨gendgroßesk.WirbetrachtenzundenPRIM-
1 2 k
POTENZVEKTOR (α1,α2,...,αk).Dasistbereitsdiegewu¨nschteBijektion.Seiennund1,d2 ∈ D(n)
mitPrimpotenzvektoren(β ,β ,...,β )und(γ ,γ ,...,γ ).Esgilt,dass
1 2 k 1 2 k
d | d ⇐⇒fu¨rallei ∈ {1,2,...,k}gilt β ≤ γ.
1 2 i i
(cid:3)
(cid:0) (cid:1)
Beispiel1.7(Teilerverband). Sein = 12 = 223.DasOrdnungsdiagrammvon D(12),| unterdem
IsomorphismusinLemma1.6siehtdannwiefolgtaus:
(2,1)
(2,0) (1,1)
(1,0) (0,1)
(0,0)
Definition 1.7 (maximales Element, minimales Element). Sei (P,≤) eine teilgeordnete Menge. Ein
Elementx ∈ PistMAXIMAL,wennfu¨rjedesz ∈ Pgilt,dassz ≤ x.
DualdazuistxMINIMAL,wennesmaximalbzgl.derdualenOrdnungist.
Definition1.8(untereSchranke,obereSchranke). Sei(P,≤)eineteilgeordneteMenge,undseienx,y ∈
P.EinElementz ∈ PheißtUNTERESCHRANKEvonxundy,wennz ≤ xundz ≤ y.Weiterheißtzeine
MAXIMALEUNTERESCHRANKE,wennsieeinmaximalesElementinderMengeallerunterenSchranken
ist.
DualdazudefinierenwirOBERESCHRANKENundMINIMALEOBERESCHRANKENvonxundy.
4
Definition 1.9 (Verband; ordnungstheoretisch). Eine teilgeordnete Menge (P,≤) heißt VERBAND,
wenn zu je zwei Elementen x,y ∈ P eine gro¨ßte untere Schranke (INFIMUM), und eine kleinste obere
Schranke (SUPREMUM) existiert. Wir schreiben x∧y fu¨r das Infimum von x und y, und x∨y fu¨r das
Supremumvonxundy.
(cid:0) (cid:1)
Beispiel 1.8 (Teilmengenverband). Fu¨r jede Menge M ist die teilgeordnete Menge ℘(M),⊆ ein
Verband.EsgiltX∧Y = X∩YundX∨Y = X∪Y.
Beispiel1.9(Teilerverband). DieteilgeordneteMenge(cid:0)N,|)isteinVerband.Esgilta∧b =ggT(a,b)
unda∨b =kgV(a,b).
Beispiel1.10(Fliege). SeiF = {1,2,3,4}und
(cid:8)
Z = (1,1),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,4)}.
DieteilgeordneteMenge(F,Z)besitztdasfolgendeOrdnungsdiagramm.
3 4
1 2
Offenbarist(F,Z)keinVerband,dadieMengederunterenSchrankenvon3und4zweimaximale
Elementebesitzt,na¨mlich1und2.
Definition1.10(Verband;algebraisch). SeiPeineMenge,∧und∨zweibina¨reOperationen,und0und
1zweiElementevonP.DieStruktur(P,∧,∨,0,1)heißtVERBAND,wennsiediefolgendenEigenschaften
erfu¨llt.
• Fu¨rallex,y,z ∈ Pgiltx∧(y∧z) = (x∧y)∧zundx∨(y∨z) = (x∨y)∨z
(ASSOZIATIVITA¨T)
• Fu¨rallex,y ∈ Pgiltx∧y = y∧xundx∨y = y∨x (KOMMUTATIVITA¨T)
• Fu¨rallex ∈ Pgiltx∧x = x = x∨x (IDEMPOTENZ)
• Fu¨rallex,y ∈ Pgiltx∧(x∨y) = x = x∨(x∧y) (ABSORPTION)
• Fu¨rallex ∈ Pgiltx∧0=0undx∨1=1 (EINHEIT)
Satz 1.11. Wenn P endlich ist, sind die ordnungstheoretische und die algebraische Verbandsdefinition
a¨quivalent.
Beweis. Sei(P,≤)einVerband.Zuna¨chstzeigenwir,dasseseineindeutigbestimmtesmaximales
Element 1 in (P,≤) gibt. Fu¨r zwei maximale Elemente x,y von (P,≤), existiert nach Definition
z = x∨y,undesgilt x ≤ z und y ≤ z.EsfolgtmitderMaximalita¨t,dass x = z = y.Dualfolgt
dieExistenzeineseindeutigbestimmtenminimalenElements.DamitistdieStruktur(P,∧,∨,0,1)
wohldefiniert.Esbleibtzuzeigen,dasssiediegefordertenEigenschaftenbesitzt.
DieAssoziativita¨tvonSupremumundInfimumla¨sstsichleichtnachrechnen,Kommutativita¨t
undIdempotenzfolgendirektmitderDefinitionvonSupremumundInfimum.
Fu¨r x,y ∈ Pgiltoffenbarauch,dassaus x ≤ ystets x∧y = xund x∨y = yfolgt.Damitzeigt
manAbsorptionundEinheit.
Sei nun (P,∧,∨,0,1) ein Verband. Wir definieren eine Teilordnung auf P durch x ≤ y genau
dannwennx∧y = x.DieReflexivita¨tvon≤folgtausderIdempotenz.Fu¨rx,y ∈ Pgiltx ≤ yund
y ≤ x genau dann wenn x = x∧y und y = y∧x, woraus mitder Kommutativita¨t von ∧ direkt
x = yfolgt,alsogiltdieAntisymmetrie.Fu¨r x,y,z ∈ Pmit x ≤ yundy ≤ zfolgtnachDefinition
5
x = x∧yundy = y∧z,alsox∧z = (x∧y)∧z = x∧(y∧z) = x∧y = x,unddamitx ≤ z,also
giltdieTransitivita¨t.
DasEinheitsaxiomzeigtdassfu¨rjedesx ∈ PdieBeziehungenx ≤1und0≤ xgilt,esexistieren
alsoeindeutigbestimmteminimaleundmaximaleElemente.
Esbleibtzuzeigen,dassfu¨r x,y ∈ P dasElement x∧y tatsa¨chlichdiegro¨ßteuntereSchranke
von x und y ist. (Mit der Dualita¨t folgt dann dass x∨y die kleinste obere Schranke von x und y
ist.) Mit Assoziativita¨t und Idempotenz folgt x∧(x∧y) = x∧y, also x∧y ≤ x. Damit ist x∧y
tatsa¨chlicheineuntereSchrankevonxundy.SeinunzeineandereuntereSchrankevonxundy,
danngiltz∧(x∧y) = (z∧x)∧y = z∧y = z,alsoz ≤ x∧y. (cid:3)
DieKorrespondenzinSatz1.11la¨sstsichaufunendlicheGrundmengenerweitern,wennman
den ordnungstheoretischen Verbandsbegriff auf den des VOLLSTA¨NDIGEN VERBANDS erweitert,
indemmanfordert,dassInfimaundSupremafu¨rbeliebigeTeilmengenderGrundmengeexistie-
ren.
2. BIRKHOFFSDARSTELLUNGSSATZDISTRIBUTIVERVERBA¨NDE
Definition 2.1 (Distributiver Verband). Ein Verband (P,∧,∨,0,1) ist DISTRIBUTIV, wenn er die fol-
gendeEigenschafterfu¨llt.
• Fu¨rallex,y,z ∈ Pgilt(x∧y)∨z = (x∨z)∧(y∨z)und(x∨y)∧z = (x∧z)∨(y∧z)
(DISTRIBUTIVITA¨T)
Beispiel 2.1 (Teilmengenverband). Fu¨r jede Menge M ist der Verband (℘(M),⊆) distributiv, da
dasselbefu¨rdenDurchschnittunddieVereinigungvonMengengilt.
Beispiel2.2(Teilerverband). DerVerband(N,|)istebenfallsdistributiv,dafu¨rzweiZahlena,b ∈N
mitPrimfaktorzerlegunga = ∏p∈Ppαp undb = ∏p∈Ppβp gilt:
ggT(a,b) = ∏ pmin{αp,βp} und kgV(a,b) = ∏ pmax{αp,βp},
p∈P p∈P
undminundmaxdistributivsind.
Beispiel2.3. Diekleinstennicht-distributivenVerba¨ndesind M undN :
3 5
e
w
d
c
x y z
b
v a
Esgilt(x∧y)∨z = z < w = (x∨z)∧(y∨z),sowie(b∨c)∧d = d > b = (b∧d)∨(c∧d).
Definition2.2(Ordnungsideal,Hauptideal). SeiP = (P,≤)eineteilgeordneteMenge.EineTeilmenge
X ⊆ P heißt ORDNUNGSIDEAL, wenn fu¨r alle x ∈ X und alle y ≤ x folgt, dass y ∈ X. Wenn X ein
eindeutigesmaximalesElementbesitzt,sprechenwirvoneinemHAUPTIDEAL.
Jedes Ordnungsideal wird von seinen maximalen Elementen erzeugt. Fu¨r ein Ordnungsideal
X, dessen maximale Elemente die Menge A bilden, schreiben wir auch A↓ anstelle von X. Falls
A = {a},schreibenwirkurza↓.ZuletztseiI(P)dieMengeallerOrdnungsidealevonP.
6
Lemma2.3. DerDurchschnittunddieVereinigungzweierOrdnungsidealeistwiedereinOrdnungsideal.
Beweis. Seien X und Y zwei Ordnungsideale. Wa¨hle x ∈ X∩Y und y ≤ x. Es folgt x ∈ X und
x ∈ Y,unddabeideMengenOrdnungsidealesind,folgty ∈ X undy ∈ Y,alsoy ∈ X∩Y.Wa¨hle
nun x ∈ X∪Y und y ≤ x. Ohne Beschra¨nkung der Allgemeinheit ko¨nnen wir annehmen, dass
x ∈ X,unddamity ∈ X ⊆ X∪Y. (cid:3)
Definition2.4(Idealverband). SeiP eineteilgeordneteMenge.DerIDEALVERBANDvonP istdieteil-
(cid:0) (cid:1)
geordneteMenge I(P),⊆ .
(cid:0) (cid:1)
Lemma2.5. Fu¨rjedeteilgeordneteMengeP ist I(P),⊆ eindistributiverVerband.
(cid:3)
Beweis. DasfolgtdirektausderDistributivita¨tdesTeilmengenverbands.
Satz 2.6 (Darstellungssatz endlicher distributiver Verba¨nde; G. Birkhoff, 1937). Ein endlicher Ver-
band L ist genau dann distributiv, wenn es eine endliche teilgeordnete Menge P mit L ∼= (cid:0)I(P),⊆(cid:1)
gibt.
Lemma2.7. SeiP eineendlicheteilgeordneteMenge.Fu¨rX ⊆ PgiltX↓ = (cid:83) x↓.
x∈X
Beweis. Sei y ∈ X↓. Nach Definition gibt es ein x¯ ∈ X mit y ≤ x¯, und damit y ∈ x¯↓ ⊆ (cid:83) x↓.
x∈X
Sei umgekehrt y ∈ (cid:83) x↓. Dann gibt es ein x¯ ∈ X mit y ∈ x¯↓, also y ≤ x¯. Wegen x¯ ∈ X, folgt
x∈X
y ∈ X↓. (cid:3)
EineKonsequenzvonLemma2.7ist,dassdieeinzigenOrdnungsidealevonP,diesichnichtals
VereinigungandererOrdnungsidealeschreibenlassengeradedieHauptidealesind.Diefolgende
DefinitionverallgemeinertdieseIdee.
Definition2.8(supremumirreduziblesElement). Sei(L,≤)einVerband.EinElementx ∈ L\{0}ist
SUPREMUMIRREDUZIBELwennfu¨rjezweiElementey,z ∈ Lmitx = y∨zfolgt,dassx = yoderx = z
ist.
WirbezeichnendieMengeallersupremumirreduziblenElementevonL = (L,≤)mitJ(L).
Korollar2.9. SeiP = (P,≤)eineendlicheteilgeordneteMenge.Esgilt
J(cid:0)I(P),⊆)(cid:1) = (cid:8)x↓ | x ∈ P}.
Lemma2.10. Sei L = (L,≤)einendlicherVerband.JedesElement x ∈ L\{0} istdasSupremumaller
j ∈ J(L)mitj ≤ x.
Beweis. Zuna¨chst zeigen wir, dass jedes x ∈ L\{0} als Supremum von supremumirreduziblen
Elementendargestelltwerdenkann,undwirargumentierenmitInduktionu¨ber f(x) = (cid:12)(cid:12)x↓(cid:12)(cid:12).Der
InduktionsanfangistdurchElemente x ∈ L mit f(x) = 2gegeben(dawir x = 0ausgeschlossen
haben).JedesdieserElementebildeteineBedeckungsrelationmit0,undistdaheroffenbarsupre-
mumirreduzibel. Nun sei x ∈ L\{0} beliebig, und wir setzen voraus, dass die Behauptung fu¨r
allex(cid:48) ∈ L\{0}mit f(x(cid:48)) < f(x)gilt.Entwederistxselbstsupremumirreduzibel,dannistnichts
zuzeigen,oderx = y∨zmity < xundz < x.Insbesondereist f(y) < f(x)und f(z) < f(x),also
giltdieBehauptungnachInduktionsvoraussetzungfu¨ryundz,unddamitauchfu¨rx.
Sei nun x ∈ L\{0}. Nach dem vorigen Absatz wissen wir, dass x = j ∨ j ∨···∨ j fu¨r
1 2 s
j ,j ,...,j ∈ J(L). Nach Definition des Supremums folgt j ≤ x fu¨r alle i ∈ {1,2,...,s}. Da
1 2 s i
ausy ≤ xstetsx = x∨yfolgt,sindwirfertig. (cid:3)
7
NundefinierenwirdiefolgendeAbbildung:
(cid:0) (cid:1) (cid:8) (cid:9)
(1) β : L → I J(L) , x (cid:55)→ j ∈ J(L) | j ≤ x ,
undwirbehauptendassdieseAbbildungdergewu¨nschteIsomorphismusinSatz2.6ist.
Lemma2.11. DieAbbildungβistwohldefiniert.
Beweis. Wirmu¨ssenzeigen,dassfu¨rx ∈ LdasBildβ(x)tatsa¨chlicheinOrdnungsidealist.Seidazu
j ∈ β(x)undj(cid:48) ∈ J(L)mitj(cid:48) ≤ j.MitderTransitivita¨tfolgtj(cid:48) ≤ x,alsoj(cid:48) ∈ β(x). (cid:3)
Lemma2.12. WennLeinendlicherdistributiverVerbandist,istdieAbbildungβeineBijektion.
Beweis. Zuna¨chst zeigen wir, dass β injektiv ist. Seien dazu x,y ∈ L mit β(x) = {j ,j ,...,j } =
1 2 s
β(y).NachLemma2.10folgtx = j ∨j ∨···∨j = y,wiegewu¨nscht.
1 2 s
(cid:0) (cid:1)
Nun zeigen wir, dass β surjektiv ist. Sei dazu X ∈ I J(L) , und schreibe X = {j ,j ,...,j }.
1 2 s
Seiy = j ∨j ∨···∨j .Seiweiterx ∈ J(L)mitx ≤ y.Esgilt
1 2 s
x = x∧(j ∨j ∨···∨j ) = (x∧j )∨(x∧j )∨···(x∧j ),
1 2 s 1 2 s
da L distributivist.Da x supremumirreduzibelist,folgt x = x∧j fu¨rirgendeini ∈ {1,2,...,s},
i
also insbesondere x ≤ j. Da X ein Ordnungsideal ist, folgt x ∈ X. Also ist X = β(y) nach Lem-
i
(cid:3)
ma2.10.
Lemma2.13. WennLeinendlicherdistributiverVerbandist,istdieAbbildungβeinVerbandsisomorphis-
(cid:16) (cid:0) (cid:1) (cid:17)
musvonL = (L,≤)nach I J(L) ,⊆ .
Beweis. Lemma 2.12 sagt bereits aus, dass β in dem Fall eine Bijektion ist. Es bleibt zu zeigen,
dass βdieVerbandsoperationenbewahrt,alsodass(i) β(x∧y) = β(x)∩β(y)und(ii) β(x∨y) =
β(x)∪β(y)fu¨rallex,y ∈ L.
(i)Sei j ∈ J(L)mit j ≤ x∧y.Dasistoffenbara¨quivalentdazu,dass j ≤ xund j ≤ y.Alsogilt
β(x∧y) = β(x)∩β(y).
(ii)Sei j ∈ J(L) mit j ∈ β(x)∪β(y).Danngilt j ∈ β(x) oder j ∈ β(y),unddamit j ≤ x oder
j ≤ y,alsoaufjedenFallj ≤ x∨y.Esfolgtj ∈ β(x∨y).Seiumgekehrtj ∈ β(x∨y),alsoj ≤ x∨y.
Dasista¨quivalentzuj∧(x∨y) = (j∧x)∨(j∧y),daLdistributivist.Dajsupremumirreduzibel
ist,folgtj = j∧xoderj = j∧y,alsoj ≤ xoderj ≤ y.Wirerhaltenj ∈ β(x)∪β(y). (cid:3)
BeweisvonSatz2.6. Lemma 2.5 zeigt, dass fu¨r jede endliche teilgeordnete Menge P der Verband
(I(P),⊆)stetsdistributivist.
(cid:0) (cid:1)
SeinunLeinendlicherdistributiverVerband,undwa¨hleP = J(L),≤ .Lemma2.13besagt,
dassLisomorphzu(cid:0)I(P),⊆(cid:1)ist. (cid:3)
Beispiel 2.4 (Teilmengenverband). Sei erneut M = {a,b,c}. Die supremumirreduziblen Elemente
(cid:0) (cid:1)
von ℘(M),⊆ sind{a},{b}und{c},unddiesesindpaarweiseunvergleichbar.AlsoistjedeTeil-
mengevon MeinOrdnungsideal.
(DiesupremumirreduziblenElementevon M bildeneineisomorpheTeilordnung.)
3
(cid:0) (cid:1)
Beispiel 2.5 (Teilerverband). Die supremumirreduziblen Elemente von D(12),| sind 2, 3, und 4
(gerade die mo¨glichen Potenzen der Primteiler von n). Die Ordnungsideale entsprechen gerade
denpartiellenProduktenallermo¨glichenPotenzenderPrimteilervonn.
(DiesupremumirreduziblenElementevonN bildeneineisomorpheTeilordnung.)
5
8
3. DERSATZVONDILWORTH
Definition3.1(Kette,Antikette). EineteilgeordneteMenge(P,≤)heißtANTIKETTE,wennfu¨rx,y ∈ P
ausx ≤ ystetsx = yfolgt.WirnennenindemFall|P|ihreWEITE.
Es heißt (P,≤) KETTE, wenn fu¨r alle x,y ∈ P stets x ≤ y oder y ≤ x gilt. Wir nennen in dem Fall
|P|−1ihreLA¨NGE.
(cid:0)
Beispiel3.1(Teilmengenverband). DiesupremumirreduziblenElementevon ℘(M),⊆)bildeneine
AntikettederWeite|M|.
(cid:0) (cid:1)
Beispiel 3.2 (Teilerverband). Die supremumirreduziblen Elemente von D(n),| bilden eine dis-
junkteVereinigungvonKetten,gegebendurchdiePrimteilervonn.DieLa¨ngendieserKettensind
durchdieExponentenderPrimteilerinderPrimfaktorzerlegungvonnbestimmt.
Definition 3.2 (Zerlegung). Eine ZERLEGUNG von (P,≤) ist eine Mengenpartition P = D1(cid:93)D2(cid:93)
···(cid:93)D ,wobeifu¨ri ∈ {1,2,...,s}undx,y ∈ D gilt,wennx(cid:108)yin(D,≤),dannx(cid:108)yin(P,≤).
s i i
Lemma3.3. WennP eineKettederLa¨ngesentha¨lt,dannexistiertkeineZerlegungvonP inwenigerals
s+1Antiketten.
WennP eineAntikettederWeitesentha¨lt,dannexistiertkeineZerlegungvonP inwenigeralssKetten.
Beweis. Fu¨reinebeliebigeKetteCundeinebeliebigeAntiketteAgilt|A∩C| ≤1,daalleElemente
indiesemDurchschnittpaarweisevergleichbar,undpaarweiseunvergleichbarseinmu¨ssen.Damit
(cid:3)
folgtdieBehauptung.
Satz3.4(L.Mirsky,1971). SeiP = (P,≤)eineendlicheteilgeordneteMenge,undseisdiegro¨ßteLa¨nge
einerKetteinP.DannbesitztP eineZerlegungingenaus+1Antiketten.
Beweis. Fu¨rx ∈ PdefinieredieHO¨HEvonxals
(cid:40)
0, xistminimal,
h(x) = (cid:8) (cid:9)
sup |C|−1|CistKette,und x,m ∈C , sonst.
m≤xminimal
Definiere A = (cid:8)x ∈ P | h(x) = i(cid:9). Nach Voraussetzung ist A = ∅ for i > s, und es gilt
i i
P = A (cid:93)A (cid:93)···(cid:93)A .Seinunx ∈ A undx < y.DannexistierteineKettex < x < ··· < x =
0 1 s i 0 1 i
x < y,alsogilth(x) < h(y).Esfolgt,dass(A,≤)fu¨rjedesi ∈ {0,1,...,s}eineAntiketteist. (cid:3)
i
Satz 3.5 (Satz von Dilworth; R. Dilworth, 1950). Sei P = (P,≤) eine endliche teilgeordnete Menge,
undseisdiegro¨ßteWeiteeinerAntiketteinP.DannbesitztP eineZerlegungingenausKetten.
Beweis. WirbeweisendiesenSatzmittelsvollsta¨ndigerInduktionu¨berdieKardinalita¨tvon P.Ist
|P| =1,danngiltdieAussageoffenbar.Wirnehmenalsoan,dasdieAussagefu¨ralleteilgeordne-
tenMengenderKardinalita¨t< |P|gilt.WirfixiereneinminimalesElementx ∈ Pundunterschei-
denzweiFa¨lle.SeiP(cid:48) = P\{x}.
(i) x ist mit keinem Element in P(cid:48) vergleichbar. Die gro¨ßte Weite einer Antikette in (P(cid:48),≤) ist
demnach s−1,undnachInduktionsvoraussetzungla¨ßtsich (P(cid:48),≤)in s−1Kettenzerlegen.Die
Menge{x}istselbsteineKette,alsogiltdieBehauptung.
(ii) Es gibt mindestens ein Element in P(cid:48) das gro¨ßer als x ist. Sei nun s(cid:48) die gro¨ßte Weite einer
Antikettein (P(cid:48),≤).Offenbargilt s(cid:48) ∈ {s,s−1}.Wenn s(cid:48) = s−1,dannverfahrenwiranalogzu
(i).AndernfallsfindenwirnachInduktionsvoraussetzungeineZerlegungvon (P(cid:48),≤) in s Ketten
C ,C ,...,C .Fu¨ri ∈ {1,2,...,s},definiere T = {x(cid:48) ∈ C | x ≤ x(cid:48)}und B = C \T.DieMenge
1 2 s i i i i i
9
B = B ∪B ∪···∪B entha¨ltalleElementevon P(cid:48),dienichtmit x vergleichbarsind.Wirfa¨rben
1 2 s
dieElementevonBmitsFarben,na¨mlicherha¨ltx(cid:48) ∈C dieFarbei.
i
Seirdiegro¨ßteWeiteeinerAntikettein(B,≤);nachVoraussetzungistr < s.NachInduktions-
voraussetzungko¨nnenwir(B,≤)inrKettenC(cid:48),C(cid:48),...,C(cid:48) zerlegen.Fu¨ri ∈ {1,2,...,r}seix(cid:48) das
1 2 r i
maximaleElementvon C(cid:48).WenneineFarbe i mehrfachin {x(cid:48),x(cid:48),...,x(cid:48)} auftaucht,sagenwirin
i 1 2 r
denElementen x(cid:48) ,x(cid:48) ,...,x(cid:48) ,definiereU alsdieMengeallereinfarbigen,zusammenha¨ngenden
i1 i2 ir(cid:48)
Segmente von C(cid:48) die x(cid:48) enthalten. Es gilt U ⊆ C, also ist U selbst eine Kette. Sei u das mini-
ij ij i
male Element von U, und j der Index sodass u ∈ C(cid:48). Dann erga¨nze C(cid:48) um U, und entferne die
j j
entsprechendenAnteilevonUausdenu¨brigenKetteninB.
Wir erhalten r Ketten C(cid:48)(cid:48),C(cid:48)(cid:48),...,C(cid:48)(cid:48) die immernoch eine Zerlegung von (B,≤) bilden, und
1 2 r
deren Anzahl von einfarbigen, zusammenha¨ngenden Segmenten echt kleiner ist als zuvor. Wir
ko¨nnen also folgern, dass eine Wiederholung dieses Prozesses irgendwann terminiert. Insbeson-
dere dann, wenn wir eine Zerlegung von (B,≤) in r Ketten erreicht haben, deren maximale Ele-
mentealleverschiedeneFarbenhaben.Seien C˜ ,C˜ ,...,C˜ dieseKetten.OhneBeschra¨nkungder
1 2 r
Allgemeinheit ko¨nnen wir annehmen, dass das maximale Element von C˜ die Farbe i hat. Fu¨r
i
i ∈ {1,2,...,r}, definiere T˜i = C˜i ∪Ti, und definiere T˜r+1 = {x}∪Tr und T˜i = Ti fu¨r i ∈
{r+2,r+3,...,s}.Dasistdiegewu¨nschteZerlegungvonP insKetten. (cid:3)
(cid:0)
Beispiel3.3(Teilmengenverband). Sei M = {a,b,c}.Diegro¨ßteWeiteeinerAntikettein ℘(M),⊆)
ist3,undeineZerlegungindreiKettenistzumBeispieldiefolgende.
{a,b,c}
{a,b} {a,c} {b,c}
{a} {b} {c}
∅
(cid:0) (cid:1)
Beispiel3.4(Teilerverband). Diegro¨ßteWeiteeinerAntikettein D(12),| ist2,undeineZerlegung
inzweiKettenistzumBeispieldiefolgende.
12
4 6
2 3
1
10
4. DIEINZIDENZALGEBRAEINERTEILGEORDNETENMENGE
Definition 4.1 (Lineare Erweiterung). Sei (P,≤) eine teilgeordnete Menge. Eine Kette (P,≺) heißt
LINEAREERWEITERUNGvon(P,≤),wennfu¨rx,y ∈ Pausx ≤ ystetsx ≺ yfolgt.
(cid:0) (cid:1)
Beispiel 4.1 (Teilmengenverband). Sei M = {a,b,c}. Eine lineare Erweiterung von ℘(M),≤ ist
zumBeispiel
∅ ≺ {a} ≺ {b} ≺ {c} ≺ {a,b} ≺ {a,c} ≺ {b,c} ≺ {a,b,c}.
(cid:0) (cid:1)
Beispiel4.2(Teilerverband). EinelineareErweiterungvon D(12),| istzumBeispiel
1≺2≺3≺4≺6≺12.
Definition 4.2 (Intervall). Sei P = (P,≤) eine teilgeordnete Menge, und seien x,y ∈ P. Die Menge
[x,y] = {z ∈ P | x ≤ z ≤ y}istdasvonxundyerzeugteINTERVALLinP.
Definition 4.3 (Inzidenzalgebra). Sei P = (P,≤) eine endliche teilgeordnete Menge. Die INZIDENZ-
ALGEBRAA(P)vonP istdieMengeallerFunktionen f : P×P →Rmit f(x,y) =0wennx (cid:54)≤ y.Dabei
sind Addition und skalare Multiplikation punktweise definiert, und die Multiplikation zweier Funktionen
f,g ∈ A(P)alsFaltung
∑
(f ·g)(x,y) = f(x,z)g(z,y).
x≤z≤y
Proposition4.4. SeiP = (P,≤)eineendlicheteilgeordneteMengemit|P| = n.DannistdieInzidenz-
algebra A(P) isomorph zu einer Unteralgebra der Algebra aller oberen Dreiecksmatrizen. Eine Funktion
f ∈ A(P)istgenaudanninvertierbar,wenn f(x,x) (cid:54)=0fu¨rallex ∈ P.
Beweis. Sei ≺ eine lineare Erweiterung von P, sodass wir P = {x ,x ,...,x } schreiben ko¨nnen
1 2 n
mit i ≤ j genau dann wenn x ≺ x . Wir bilden eine Funktion f : P×P → R auf die n×n-
i j
Matrix A = (ai,j)1≤i,j≤n ab,wobeiai,j = f(xi,xj).Dannist AeineobereDreiecksmatrix,unddiese
AbbildungisteinIsomorphismus,dafu¨rzweiFunktionen f,g ∈ A(P)mitzugeho¨rigenMatrizen
A = (a ),B = (b )gilt,dass
i,j i,j
∑ ∑ ∑
(f ·g)(x,x ) = f(x,x )g(x ,x ) = a b = a b .
i j i k k j i,k k,j i,k k,j
xi≺xk≺xj i≤k≤j 1≤k≤n
Insbesondereist(f ·g)(x,x ) =0,wennx (cid:54)≤ x ,also f ·g ∈ A(P).
i j i j
Nun sei f ∈ A(P) so, dass f(x,x) (cid:54)= 0 fu¨r alle x ∈ P. Es folgt, dass die zugeho¨rige Matrix A
invertierbarist.WirdefinierennuneineFunktiong ∈ A(P)mit(f ·g)(x,x) =1und(f ·g)(x,y) =
0fu¨rx (cid:54)= y.DieEindeutigkeitderInversenzeigtdann,dassg = f−1.Seidazu

0, wenn x (cid:54)≤ y,
(2) g(x,y) = f(x,x)−1, wenn x = y,
(cid:16) (cid:17)
−f(x,x)−1 ∑x<z≤y f(x,z)g(z,y) , wenn x < y.
Dasistwohldefiniert,daimFallx < yfu¨rjedesx < z ≤ ydieWertefu¨rg(z,y)induktivberechnet
werden ko¨nnen. Es gilt dann offenbar (f ·g)(x,x) = 1 und (f ·g)(x,y) = 0 falls x (cid:54)≤ y. Nun sei