Order estimation of the best approximations and of the approximations by Fourier sums of classes of $(ψ,β)$--diferentiable functions

0.15 MB·English

by  A. S. Serdyuk

УДК 517.5
А.С. Сердюк (Iнститут математики НАН України, Київ)
У.З. Грабова (Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iменi Лесi Українки, Лу-
цьк)
A.S. Serdyuk (Institute of Mathematics of The National Academy of Sciences of Ukraine,
3 Kiev)
1
0 U.Z. Grabova (Lesja Ukrainka East European National University, Lutsk)
2

n
a
J
Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур’є класiв (ψ,β) –

1
3 диференцiйовних функцiй

]
A
C
Order estimation of the best approximations and of the approximations by Fourier sums of
.
h
t classes of (ψ,β)–differentiable functions
a
m
[ Встановлено точнi за порядком оцiнки найкращих рiвномiрних наближень тригономет-

1 ричними полiномами на класах Cψ — 2π–перiодичних неперервних функцiй f, якi зоб-
β,p
v
0 ражуються згортками функцiй, що належать одиничним кулям просторiв Lp, 1 ≤ p < ∞,
2
6 з фiксованими твiрними ядрами Ψβ ⊂ Lp′, 1p + p1′ = 1, коефiцiєнти Фур’є яких спадають
7
до нуля приблизно як степеневi функцiї. Точнi порядковi оцiнки найкращих наближень
.
1
ψ
0 встановлено також i в Lp–метрицi, 1 < p ≤ ∞, для класiв Lβ,1 — 2π–перiодичних функцiй
3
f еквiвалентних вiдносно мiри Лебега до згорток ядер Ψ ⊂ L iз функцiями з одинич-
1 β p
v: ної кулi простору L1. Показано, що в усiх розглядуваних випадках порядки найкращих
i
X наближень реалiзують суми Фур’є.
r
a
There were established the exact–order estimations of the best uniform approximations by
ψ
the trigonometrical polynoms on the C classes of 2π–periodic continuous functions f, which
β,p
are defined by the convolutions of the functions, which belong to the unit ball in L , 1 ≤ p < ∞
p
spaces with generating fixed kernels Ψβ ⊂ Lp′, 1p + p1′ = 1, whose Fourier coefficients decreasing
to zero approximately as power functions. The exact order estimations were also established
ψ
in L –metrics, 1 < p ≤ ∞ for L classes of 2π–periodic functions f, which are equivalent by
p β,1
means of Lebesque measure to the convolutions of Ψ ⊂ L kernels with the functions that
β p
belong to the unit ball in L space. We showed that in investigating cases the orders of best
1
approximations are realized by Fourier sums.
2
Нехай L , 1 ≤ p ≤ ∞, — простiр 2π–перiодичних сумовних функцiй f зi скiнченною
p
2π 1
нормою kfk , де при p ∈ [1,∞) kfk = |f(t)|pdt p, а при p = ∞ kfk = esssup|f(t)|,
p p ∞
0 t
C — простiр 2π–перiодичних неперервн(cid:16)иRх функцiй(cid:17), у якому норма задається рiвнiстю
kfk = max|f(t)|.
C
t
Нехай, далi Lψ — клас 2π–перiодичних функцiй f(x), котрi майже для всiх x ∈ R
β,p
представляються згортками
π
a 1
f(x) = 0 + Ψ (x−t)ϕ(t)dt, a ∈ R, ϕ ⊥ 1, (1)
β 0
2 π
Z
−π
де kϕk ≤ 1, 1 ≤ p ≤ ∞, Ψ (t) — сумовна на (0,2π) функцiя, ряд Фур’є якої має вигляд
p β
∞
βπ
ψ(k)cos kt− , ψ(k) > 0, β ∈ R. (2)
2
k=1
X (cid:0) (cid:1)
Функцiю ϕ взображеннi (1),згiдно зО.I.Степанцем [1,с.132],називають(ψ,β)–похiдною
ψ
функцiї f i позначають через f .
β
Приψ(k) = k−r класи Lψ перетворюються у вiдомiкласиВейля–Надя Wr ,аїх (ψ,β)–
β,p β,p
похiднifψ майжескрiзьспiвпадаютьзпохiднимивсенсiВейля–Надяfr,останнiприr = β,
β β
r ∈ N майже скрiзь збiгаються зi звичайними r–ми похiдними функцiї f.
Якщо твiрне ядро Ψβ класу Lψβ,p задовольняє включенню Ψβ ∈ Lp′, p1 + p1′ = 1,
ψ
то L ⊂ L , 1 ≤ p ≤ ∞, а згортки виду (1) є неперервними функцiями
β,p ∞
(див. твердження 3.8.1 роботи [1, с. 137]). Тому клас усiх функцiй f виду (1), для яких
ψ
kϕkp ≤ 1, Ψβ ∈ Lp′ будемо позначати через Cβ,p.
У випадку, якщо Ψ ∈ L , 1 ≤ p ≤ ∞, то (див., наприклад, [2, с. 71]) має мiсце вклю-
β p
ψ
чення L ⊂ L .
β,1 p
В данiй роботiрозглядається задача про знаходження точних порядкових оцiнок функ-
ψ ψ
цiональних класiв L та L сумами Фур’є S (t) порядку n−1 у метриках L та L
β,p β,1 n−1 ∞ p
вiдповiдно
ψ
E (L ) = sup kf(·)−S (f;·)k , 1 ≤ p < ∞, (3)
n β,p L∞ n−1 ∞
f∈Lψ
β,p
ψ
E (L ) = sup kf(·)−S (f;·)k , 1 < p ≤ ∞, (4)
n β,1 Lp n−1 p
f∈Lψβ,1
а також задача про знаходження точних порядкових оцiнок найкращих наближень класiв
ψ ψ
L та L в метриках L та L вiдповiдно
β,p β,1 ∞ p
ψ
E (L ) = sup inf kf(·)−t (·)k , 1 ≤ p < ∞, (5)
n β,p L∞ n−1 ∞
f∈Lψ tn−1∈T2n−1
β,p
ψ
E (L ) = sup inf kf(·)−t (·)k , 1 < p ≤ ∞, (6)
n β,1 Lp n−1 p
f∈Lψβ,1tn−1∈T2n−1
3
де T — пiдпростiр усiх тригонометричних полiномiв t порядку не вищого за n−1.
2n−1 n−1
ψ
Зрозумiло, що у випадку класiв C норму k·k в (3) i (5) слiд замiнити на k·k i при
β,p ∞ C
ψ ψ ψ ψ
цьому E (C ) = E (L ) , E (C ) = E (L ) .
n β,p C n β,p L∞ n β,p C n β,p L∞
Для класiв Вейля–Надя Wr , β ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞ точнi порядковi оцiнки величин
β,p
(3) – (6) вiдомi i мають вигляд (див., наприклад, [3, с. 47–49])
En(Wβr,p)∞ ≍ n−r+p1, 1 ≤ p < ∞, r > p1, (7)
En(Wβr,p)∞ ≍ n−r+p1, 1 ≤ p ≤ ∞, r > 1p, (8)
En(Wβr,1)p ≍ n−r+p1′, 1 < p ≤ ∞, r > p1′, 1p + p1′ = 1, (9)
En(Wβr,1)p ≍ n−r+p1′, 1 ≤ p ≤ ∞, r > p1′, 1p + p1′ = 1, (10)
E (Wr ) ≍ n−rlnn, p = 1,∞, r > 0, n ∈ N\{1}. (11)
n β,p p
У формулах (7) – (11) i надалi пiд записом A ≍ B будемо розумiти iснування додатних
n n
сталих K i K таких, що K B ≤ A ≤ K B , n ∈ N.
1 2 1 n n 2 n
Щодо випадку p = 1,∞ зауважимо, що завдяки роботам А.М. Колмогорова [4],
В.Т. Пiнкевича [5], С.М. Нiкольського [6], [7], А.В. Єфiмова [8] та С.О. Теляковсько-
го [9] для величин E (Wr ) та E (Wr ) при r > 0, β ∈ R вiдомi асимптотичнi рiвностi
n β,∞ ∞ n β,1 1
при n → ∞.
Що ж стосується найкращих наближень E (Wr ) та E (Wr ) , то завдяки роботам
n β,∞ ∞ n β,1 1
Ж. Фавара [10, 11], В.К. Дзядика [12], [13], С.Б. Стєчкiна [14] та Сунь Юн–шена [15]
встановленi точнi значення цих величин при усiх n ∈ N, r > 0 i β ∈ R. Точнi значення
величин E (Wr ) вiдомi також у випадку p = 2 [16].
n β,p ∞
ψ ψ ψ
На класах L точнi порядковi оцiнки величин E (L ) та E (L ) у випадку, коли
β,p n β,p s n β,p s
ψ(k)kp1−1s монотонно незростають i ψ(k) ≤ K < ∞, k ∈ N були знайденi у роботi О.I. Сте-
ψ(2k)
панця та О.К. Кушпеля [17] при довiльних 1 < p, s < ∞.
ψ ψ
Крiм того, точнi порядковi оцiнки величин E (L ) та E (L ) одержанi О.I. Сте-
n β,p s n β,p s
панцем [18, с. 48] при довiльних 1 ≤ p, s ≤ ∞ за умови ψ ∈ M′ (в цьому випадку ψ(k)
∞
спадають до нуля не повiльнiше нiж члени деякої геометричної прогресiї), а також при
довiльних 1 < p, s < ∞ за умови ψ ∈ M′′ (в зазначеному випадку ψ(k) спадають до нуля
∞
швидше довiльної степеневої функцiї, але не швидше за деяку геометричну прогресiю).
Згодом В.С. Романюк [19] у випадку ψ ∈ M′′ доповнив згаданi результати О.I. Степан-
∞
ψ ψ
ця, встановивши точнi порядки величин E (C ) , 1 < p < ∞ (для величин E (C )
n β,p C n β,p C
при ψ ∈ M′′ питання про точнi порядковi оцiнки до цих пiр залишається вiдкритим).
∞
Зазначимо також, що при p = 2 точнi значення величин E (Cψ ) для всiх n ∈ N, β ∈ R
n β,p C
∞
за умови збiжностi ряду ψ2(k) знайденi у роботi А.С. Сердюка та I.В. Соколенка [20].
k=1
P
4
ψ ψ
Задача про точнi значення величин E (L ) та E (L ) повнiстю розв’язана у роботi
n β,2 2 n β,2 2
О.I. Степанця та О.К. Кушпеля [17].
ψ
При p = 1,∞ результати, що мiстять асимптотично точнi оцiнки величин E (L ) , а
n β,p p
ψ
також точнi порядковi оцiнки величин E (L ) в залежностi вiд швидкостi прямування
n β,p p
до нуля послiдовностi ψ(k) при k → ∞ найбiльш повно викладенi в монографiях [1], [21].
В данiй роботiвстановлено точнi порядковi оцiнки величин (3)–(6) при довiльних β ∈ R
у випадку, коли послiдовнiсть ψ(k) спадає до нуля не повiльнiше i не швидше деяких
степеневих функцiй. Тим самим доповнено основнi результати роботи [17] по вiдшуканню
ψ ψ
слабкої асимптотики величин E (L ) та E (L ) на випадки p = 1 i s = ∞.
n β,p s n β,p s
Перейдемо до точних формулювань.
Вважаючи, що послiдовнiсть ψ(k), що визначає клас Cψ , є слiдом на множинi N
β,p
деякої неперервної функцiї ψ(t) неперервного аргументу t ≥ 1, позначимо через Θ ,
p
1 ≤ p < ∞, множину монотонно незростаючих функцiй ψ(t), для яких iснує стала
α > 1 така, що функцiя tαψ(t) майже спадає, тобто знайдеться додатна стала K така, що
p
tαψ(t ) ≤ Ktαψ(t ) для будь–яких t > t ≥ 1; через B позначимо множину монотон-
1 1 2 2 1 2
но незростаючих при t ≥ 1 додатних функцiй ψ(t), для кожної з яких можна вказати
додатну сталу K таку, що
ψ(t)
≤ K, ∀t ≥ 1.
ψ(2t)
Надалi скрiзь будемо вважати, що ψ ∈ B ∩ Θ , 1 ≤ p < ∞. Умо-
p
ва ψ ∈ Θ , 1 ≤ p < ∞, як неважко переконатись, гарантує справедливiсть
p
включення Ψβ ∈ Lp′, 1p + p1′ = 1 (див., наприклад, [22, с. 657]). Як випливає
з [1, с. 165, 175], якщо ψ ∈ B ∩ M, де M — множина усiх опуклих донизу на [1,∞)
функцiй ψ(t), таких, що lim ψ(t) = 0, то можна вказати таке r > 0, що при всiх t ≥ 1 буде
t→∞
виконуватись нерiвнiсть ψ(t) ≥ Kt−r.
Прикладами функцiй ψ, що задовольняють умову ψ ∈ B∩Θ , є, зокрема, функцiї виду
p
ψ(t) = 1, r > 1; ψ(t) = 1 , α ≥ 0, c > 0, r > 1, t ≥ 1; ψ(t) = lnα(t+c), α ≥ 0,
tr p trlnα(t+c) p tr
c > eαr −1, r > 1, t ≥ 1.
p
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай 1 < p < ∞, β ∈ R, ψ ∈ B ∩Θ . Тодi iснують додатнi величини K(1),
p ψ,p
K(2), що можуть залежати лише вiд ψ i p такi, що для довiльних n ∈ N
ψ,p
(2) 1 ψ ψ (1) 1
Kψ,pψ(n)np ≤ En Cβ,p ≤ En Cβ,p ≤ Kψ,pψ(n)np. (12)
C C
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
Доведення. Для довiльної функцiї f ∈ Cψ , згiдно з iнтегральним зображенням (1),
β,p
одержимо
π
1
f(x)−S (f;x) = Ψ (x−t)ϕ(t)dt, (13)
n−1 β,n
π
Z
−π
5
де
∞
βπ
Ψ (t) = ψ(k)cos kt− . (14)
β,n
2
k=n
X (cid:0) (cid:1)
Застосовуючи нерiвнiсть Гельдера, з рiвностi (13) маємо
1 1
ψ
E C ≤ Ψ (·) kϕ(·)k ≤ Ψ (·) , (15)
n β,p C π β,n p′ p π β,n p′
де 1p + p1′ = 1, 1 ≤ p < ∞(cid:0). (cid:1) (cid:13)(cid:13) (cid:13)(cid:13) (cid:13)(cid:13) (cid:13)(cid:13)
Перетворивши функцiю Ψ (t) за допомогою перетворення Абеля, при довiльному
β,n
n ∈ N, одержимо
∞
Ψ (t) = ∆ψ(k)D (t)−ψ(n)D (t), (16)
β,n k,β n−1,β
k=n
X
df
де △ψ(k)=ψ(k)−ψ(k +1), а
k
1 βπ βπ
D (t) = cos + cos νt− =
k,β
2 2 2
Xν=1 (cid:16) (cid:17)
βπ sin 2k+1t βπ cos t −cos 2k+1t
= cos 2 +sin 2 2 . (17)
2 2sin t 2 2sin t
" # " #
2 2
Оскiльки (див., наприклад, [23, с. 13])
1 1
|D (t)| ≤ +k, |D (t)| ≤ (1+π) , 0 < |t| ≤ π, (18)
k,β k,β
2 |t|
(cid:16) (cid:17)
то для будь–яких k ∈ N i 1 < p′ < ∞ маємо
π
1 dt
|Dk,β(t)|p′dt ≤ ( +k)p′dt+ (1+π)p′ ′ ≤ Kp′kp′−1, (19)
2 |t|p
Z Z Z
−π 0≤|t|≤1 1≤|t|≤π
k k
де Kp′ — стала, що залежить вiд p′. З (18) та оцiнки (19) отримаємо
1 1 1
kDk,β(t)kp′ ≤ Kp,1kp, k ∈ N, 1 ≤ p < ∞, + = 1, β ∈ R, (20)
p p′
де K — стала, що залежить вiд p. Iз (16) та (20) випливає нерiвнiсть
p,1
∞
1 1
kΨβ,n(t)kp′ ≤ Kp,1 ∆ψ(k)kp +ψ(n)np , 1 ≤ p < ∞. (21)
k=n
(cid:0)X (cid:1)
∞ 1
Для оцiнки суми ∆ψ(k)kp нам буде корисним наступне твердження.
k=n
Лема 1. Нехай r ∈ P(0,1], а ψ(k) > 0, монотонно незростає i для неї знайдеться ε > 0
таке, що послiдовнiсть kr+εψ(k) майже спадає. Тодi iснує стала K, залежна вiд ψ i r
така, що для довiльних n ∈ N
∞
ψ(n)nr ≤ △ψ(k)kr ≤ Kψ(n)nr. (22)
k=n
X
6
Доведення. Оскiльки ψ(k) монотонно незростає, то для ∀r > 0
∞ ∞
∆ψ(k)kr ≥ nr ∆ψ(k) = nrψ(n). (23)
k=n k=n
X X
Залишається показати, що за виконання умов леми 1 виконується нерiвнiсть
∞
∆ψ(k)kr ≤ Kψ(n)nr. (24)
k=n
X
Застосування перетворення Абеля дозволяє для будь–яких натуральних n ≤ M, i до-
вiльного r ∈ (0,1] записати рiвнiсть
M M k n−1 M
1 1 1
ψ(k)kr−1 = ∆ψ(k) −ψ(n) +ψ(M +1) . (25)
ν1−r ν1−r ν1−r
k=n k=n ν=1 ν=1 ν=1
X X X X X
В силу простих геометричних мiркувань неважко переконатись, що для довiльних m ∈ N
i r ∈ (0,1]
m
1 1 1
(mr −1) < ≤ mr. (26)
r ν1−r r
ν=1
X
Тому в силу (25) i (26)
M M
1
ψ(k)kr−1 > ∆ψ(k)(kr −1)−ψ(n)(n−1)r >
r
Xk=n (cid:16)Xk=n (cid:17)
M
1
> ∆ψ(k)kr −ψ(n) (n−1)r +1 . (27)
r
(cid:16)Xk=n (cid:0) (cid:1)(cid:17)
При M → ∞ iз () одержуємо
∞ ∞
∆ψ(k)kr ≤ r ψ(k)kr−1 +ψ(n) (n−1)r +1 . (28)
k=n k=n
X X (cid:0) (cid:1)
Оскiльки за умовою леми iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть kr+εψ(k) майже спадає, то
знайдеться стала K така, що
1
ψ(k)kr+ε ≤ K ψ(n)nr+ε,k = n,n+1,..., (29)
1
тому
∞ ∞ ψ(k)kr+ε ∞ 1
ψ(k)kr−1 = ≤ K ψ(n)nr+ε ≤ K ψ(n)nr. (30)
k1+ε 1 k1+ε 2
k=n k=n k=n
X X X
Iз (28) i (30) випливає (22). Лему доведено.
Оскiлькиψ ∈ Θ ,то,застосувавшилему1,приr = 1 iз(15)та(21)отримуємонерiвнiсть
p p
ψ ψ (1) 1
En Cβ,p ≤ En Cβ,p C ≤ Kψ,pψ(n)np, 1 ≤ p < ∞, (31)
C
(cid:16) (cid:17)
(cid:0) (cid:1)
7
(1)
K — величина, що залежить вiд ψ i p.
ψ,p
Для того, щоб одержати оцiнку знизу розглянемо при заданому n ∈ N функцiю
αψ(n)
f∗ = V (t)−V (t) , α > 0, n ∈ N,
n,α 1 2n n
n1−p
(cid:16) (cid:17)
де V (t) — ядра методу Валле Пуссена
m
2m−1
1
V (t) = D (t), m ∈ N, (32)
m k
m
k=m
X
D (t) — ядра Дiрiхле
k
1 k sin k + 1 t
D (t) = + cosνt = 2 , k ∈ N.
k 2 2sin t
ν=1 (cid:0) 2 (cid:1)
X
Покажемо, спочатку, що при певному виборi значення параметра α виконується нерiв-
нiсть
f∗ (·) ψ ≤ 1, 1 < p < ∞. (33)
n,α β
p
(cid:13) (cid:13)
Для цього скористаємось насту(cid:13)п(cid:0)ним тв(cid:1)ер(cid:13)дженням роботи [21, с. 117], в якiй встановлено
(cid:13) (cid:13)
нерiвностi Бернштейна для (ψ,β)-похiднихв L – метриках для полiномiв,тобтонерiвностi
p
ψ
мiж k(t ) k та kt k , де t — тригонометричнi полiноми порядку m.
m β p m p m
Твердження 1. Нехай 1 < p < ∞, β ∈ R, ψ(k) — довiльна незростаюча послiдов-
нiсть невiд’ємних чисел. Тодi для довiльного тригонометричного полiнома t (·) порядку
m
m знайдеться величина C , що може залежати тiльки вiд функцiї ψ(·) та числа p
ψ,p
така, що
t (·) ψ ≤ C (ψ(m))−1kt (·)k . (34)
m β p ψ,p m p
Оскiльки f∗ є тригон(cid:13)о(cid:0)метри(cid:1)чн(cid:13)им полiномом порядку 4n − 1, то, використовуючи
n,α (cid:13) (cid:13)
твердження 1, отримаємо
αC ψ(n)
f∗ (t) ψ ≤ ψ,p kV (t)−V (t)k . (35)
n,α β p n1−p1 ψ(4n−1) 2n n p
(cid:13) (cid:13)
(cid:0) (cid:1)
(cid:13) (cid:13)
Знайдемо оцiнку k(cid:13)V2n(t)−Vn(cid:13)(t)kp. Враховуючи, що
V (t) = 2F (t)−F (t), (36)
m 2m−1 m−1
де F (t) — ядра Фейєра
k
1 k 1 k sin ν + 1 t
F (t) = D (t) = 2 , k ∈ N
k k +1 ν k +1 2sin t
ν=0 ν=0 (cid:0) 2 (cid:1)
X X
i вiдомi оцiнки для ядер Фейєра (див., наприклад, [23, с. 148–151])
A
1
0 < F (t) < k +1, F (t) ≤ , 0 < t ≤ π,
k k
(k +1)t2
8
одержимо наступнi оцiнки для V (t):
m
A
3
|V (t)| < A m, |V (t)| ≤ , 0 < t ≤ π,
m 2 m mt2
A — абсолютнi сталi. Тодi, при 1 ≤ p < ∞
i
1
1 p 1
kV2n(t)−Vn(t)kp ≤ A4 npdt+ (nt2)pdt ≤ A5n1−p. (37)
!
Z Z
0≤|t|≤1 1≤|t|≤π
n n
Зауважимо, що при p = 1 з нерiвностi (37) випливає оцiнка
kV (t)−V (t)k ≤ A . (38)
2n n 1 5
Далi, враховуючи включення ψ ∈ B та нерiвнiсть (37), з (35) отримуємо
fn∗,α(t) ψβ p ≤ αnC1−p,p1ψn1−p1 = αCp,ψ, (39)
(cid:13)(cid:0) (cid:1) (cid:13) e
(cid:13) (cid:13)
e
C — величина, що залежи(cid:13)ть вiд ψ i(cid:13)p. При α = α = (C )−1 з (39) випливає нерiвнiсть
p,ψ ∗ p,ψ
(33), а, отже, i включення f∗ ∈ Cψ .
n,α∗ β,p
e e
Знайдемо коефiцiєнти Фур’є функцiї V (t) − V (t). Згiдно з формулою (3.3.5) роботи
2n n
[1, с. 31] для ядер V (t) виконується рiвнiсть
m
2m−1
k
V (t) = D (t)+2 1− coskt, m ∈ N. (40)
m m
2m
k=Xm+1(cid:16) (cid:17)
Застосовуючи (40) при m = n i m = 2n, одержуємо
V (t)−V (t) =
2n n
2n−1 4n−1
k k
= D (t)−D (t)−2 1− coskt+2 1− coskt =
2n n
2n 4n
k=Xn+1(cid:16) (cid:17) k=X2n+1(cid:16) (cid:17)
2n 4n−1
k k
= − 1− coskt+2 1− coskt. (41)
n 4n
k=Xn+1(cid:16) (cid:17) k=X2n+1(cid:16) (cid:17)
В силу рiвностi Парсеваля
2n 4n−1
k 2 k 2
kV (t)−V (t)k2 = π 1− +4 1− =
2n n 2 n 4n
!
k=Xn+1(cid:16) (cid:17) k=X2n+1(cid:16) (cid:17)
2n 4n−1 n 2n−1
π 1 π 1
= (n−k)2 + (4n−k)2 = k2 + k2 =
n2 4 n2 4
! !
k=n+1 k=2n+1 k=1 k=1
X X X X
π n(n+1)(2n+1) (2n−1)2n(4n−1) 1
= + = π(n+ ). (42)
n2 6 24 4n
!
9
Iз () випливає, що (V −V ) ⊥ t для будь–якого полiнома t ∈ T . Тому
2n n n−1 n−1 2n−1
π π
f∗ (t)−t (t) V (t)−V (t) dt = f∗ (t) V (t)−V (t) dt−
n,α∗ n−1 2n n n,α∗ 2n n
Z Z
−π (cid:0) (cid:1)(cid:0) (cid:1) −π (cid:0) (cid:1)
π π
− t (t) V (t)−V (t) dt = f∗ (t) V (t)−V (t) dt =
n−1 2n n n,α∗ 2n n
Z Z
−π (cid:0) (cid:1) −π (cid:0) (cid:1)
α ψ(n)
= ∗ kV (t)−V (t)k2. (43)
n1−p1 2n n 2
З iншого боку, використовуючи нерiвнiсть Гельдера та враховуючи (38), отримуємо
π
f∗ (t)−t (t) V (t)−V (t) dt ≤
n,α∗ n−1 2n n
Z
−π (cid:0) (cid:1)(cid:0) (cid:1)
≤ kf∗ (t)−t (t)k kV (t)−V (t)k ≤ A kf∗ (t)−t (t)k . (44)
n,α∗ n−1 ∞ 2n n 1 5 n,α∗ n−1 ∞
Iз () – () одержуємо
(2)
kfn∗,α∗(t)−tn−1(t)k∞ ≥ Aα∗5ψn1(−n1p)kV2n(t)−Vn(t)k22 ≥ Kψn,1p−ψp1(n)n = Kψ(2,p)ψ(n)np1. (45)
З (31) та (45) випливає (12). Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай β ∈ R, ψ ∈ B ∩Θ i виконується одна з умов
1
∆2 1/ψ(k) ≥ 0, k ∈ N (46)
(cid:0) (cid:1)
або
∆2 1/ψ(k) ≤ 0, k ∈ N, (47)
де ∆2 1/ψ(k) =df 1 − 2 + 1 (cid:0). (cid:1)
ψ(k) ψ(k+1) ψ(k+2)
Тодi iснують додатнi величини K(1) i K(2), що можуть залежати лише вiд ψ такi,
(cid:0) (cid:1) ψ ψ
що для довiльних n ∈ N
(2) ψ ψ (1)
K ψ(n)n ≤ E C ≤ E C ) ≤ K ψ(n)n. (48)
ψ n β,1 C n β,1 C ψ
(cid:0) (cid:1) (cid:0)
Доведення. Застосувавши нерiвнiсть (31) при p = 1 маємо
ψ ψ (1)
E C ≤ E C ≤ K ψ(n)n, (49)
n β,1 C n β,1 C ψ
(1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
де K — величина, що залежить лише вiд ψ.
ψ
Для того, щоб одержати оцiнку знизу, розглянемо функцiю
f(1)(t) = αψ(n) V (t)−V (t) , α > 0, n ∈ N,
n,α 2n n
(cid:0) (cid:1)
деV (t) —ядраВалле Пуссена вигляду (32).Покажемо,щоприпевному виборiпараметра
m
(1) ψ
α > 0 f ∈ C . Для цього нам буде корисним твердження роботи [21, с. 120] в якому
n,α β,1
10
встановлено оцiнки норм нерiвностi Бернштейна для (ψ,β)-похiдних в L -метрицi для
1
полiномiв t ∈ T .
m 2m+1
Твердження 2. Нехай ψ(k) — довiльна незростаюча послiдовнiсть невiд’ємних чисел,
для яких виконується одна з умов (46) або (47) i, крiм того,
n−1
βπ
−1
sin ψ(n) kψ(k) = O(1), (50)
2
(cid:12) (cid:12)Xk=1 (cid:0) (cid:1)
(cid:12) (cid:12)
де O(1) — величина, рiвном(cid:12)iрно обм(cid:12)ежена по n. Тодi для довiльного тригонометричного
полiнома t (·) порядку m знайдеться стала C , що може залежати тiльки вiд функцiї
m ψ
вiд ψ(·), така, що
ψ −1
t (·) ≤ C ψ(m) kt (·)k . (51)
m β 1 ψ m 1
Зауважимо, що коли ψ ∈(cid:13)(cid:0)Θ , 1(cid:1)≤(cid:13)p < ∞,(cid:0)то ум(cid:1)ова (50) завжди виконується, оскiльки
(cid:13) p (cid:13)
в цьому випадку iснує число α > 1 таке, що послiдовнiсть ϕ(n) = n−αψ(n) монотонно
p
спадна, а також
n−1 ψ(n) n−1 ϕ(n)kα K n−1 kα
1
= ≤ ≤ K < ∞. (52)
kψ(k) nαϕ(k)k nα k 2
k=1 k=1 k=1
X X X
Зокрема, якщо ψ ∈ Θ , то умова (50) виконується при будь-яких β ∈ R. Зогляду на це,
1
(1)
оскiлькиf (t)—тригонометричнийполiномпорядку4n−1,товсилу(51),зурахуванням
n,α
включення ψ ∈ B ∩Θ та виконання однiєї з умов (46) або (47), одержимо
1
f(1)(t) ψ = αψ(n)k V (t)−V (t) ψk ≤
n,α β 2n n β 1
1
(cid:13) (cid:13)
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
(cid:13) (cid:13)ψ(n)
(cid:13) (cid:13)
≤ αC kV (t)−V (t)k ≤ αC , (53)
ψ 2n n 1 ψ
ψ(4n−1)
де C — величина, що залежить вiд ψ. При α = α = e(C )−1 з () випливає, що
ψ 1 ψ
(1) ψ
f (t) ≤ 1.
n,α1 β
e 1 e
(cid:13) Провiвш(cid:13)и тi ж мiркування, якi використовувались для знаходження оцiнки (45) для
(cid:0) (cid:1)
(cid:13) (cid:13)
(cid:13)функцiї f(1)(cid:13)(t) одержимо нерiвнiсть
n,α
kf(1) (t)−t (t)k ≥ K(2)ψ(n)n, (54)
n,α1 n−1 ∞ ψ
(2)
де K — величина, що залежить вiд ψ. Iз (49) та (54) випливає оцiнка (48). Теорему 2
ψ
доведено.
Теорема 3. Нехай 1 < p ≤ ∞, β ∈ R, ψ ∈ B ∩Θp′, p1 + p1′ = 1, i виконується одна з умов
(46) або (47). Тодi iснують додатнi величини K(3) i K(4), що можуть залежати лише
ψ,p ψ,p
вiд ψ i p, такi, що для довiльних n ∈ N
1 1
Kψ(4,p)ψ(n)np′ ≤ En Lψβ,1 p ≤ En Lψβ,1)p ≤ Kψ(3,p)ψ(n)np′. (55)
(cid:0) (cid:1) (cid:0)