Optique ondulatoire : Exercices

240 Pages·2007·3.57 MB·French

3032_00_p001_002 27/06/07 17:13 Page 1
B E L I N
Physique
Optique ondulatoire
R
APPELS DE COURS
ET EXERCICES
M
Agnès AUREL
B
Gilles OUCHET
B E L I N
8, rue Férou 75278 Paris cedex 06
www.editions-belin.com
3032_00_p001_002 27/06/07 17:13 Page 2
DANS LA COLLECTION BELIN SUP SCIENCES
A. MAUREL
Optique géométrique, cours
A. MAURELet J.-M. MALBEC
Optique géométrique, rappels de cours et exercices
M. SAINT-JEAN, J. BRUNEAUXet J. MATRICON
Électrostatique et magnétostatique, cours
J. BRUNEAUX, M. SAINT-JEANet J. MATRICON
Électrostatique et magnétostatique, rappels de cours et exercices
DANS LA COLLECTION BELIN SUP HISTOIRE DES SCIENCES
A. BARBEROUSSE
La mécanique statistique. De Clausius à Gibbs
M. BLAY
La science du mouvement. De Galilée à Lagrange
Photo de couverture© DigitalVision
Schémas: Laurent Blondel/Coredoc
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© Éditions Belin, 2003 ISSN 1158-3762 ISBN 978-2-7011-3032-3
S
ommaire
1. Lesondeslumineuses ................................................... 5
2. Polarisationd’uneondelumineuse....................................... 23
3. Interférencesàdeuxondespardivisiondufrontd’onde.................... 49
4. Interférencesàdeuxondespardivisiond’amplitude.LeMichelson......... 81
5. Interférenceàtroisondesouplus.Réseaux................................ 125
6. Diffractiond’uneondelumineuse........................................ 173
7. Interférenceetdiffraction.Réseauxoptiquesréels......................... 203
3

1
C h a p i t r e
L
es ondes lumineuses
Un peu d´histoire
Un débat sur la lumière
L’optique connaît un véritable renouveau au XVIIe siècle. Les scientifiques de la
premièremoitiédusiècleseconsacrentprincipalementàl’optiquegéométrique,et
dès 1604, Johan Kepler précise les lois de la propagation rectiligne de la lumière.
Parailleurs,desprogrèstechniquessontréalisésdanslafabricationdesinstruments
optiques.Lespremièreslunettesàoculairedivergentsontconstruitesautoutdébut
dusiècle.Galilée(1564-1642),quiestlepremieràs’enservir,publiesesobserva-
tions du ciel en 1610. Si celles-ci suscitent d’abord une certaine méfiance quant
à leur véracité, Kepler démontre dès 1611 leur bien-fondé dans un livre (le Diop-
trice) entièrement consacré à l’optique géométrique des lentilles et de la lunette
astronomique. En 1637, Descartes détermine la loi de la réfraction, dite loi des
sinus.
Dans la seconde moitié du siècle, les théories physiques, c’est-à-dire l’étude de
la nature de la lumière, prennent leur essor. En 1665, Francesco Maria Gri-
maldi (1618-1663) met en évidence les phénomènes de diffraction, tandis que
Robert Boyle (1627-1691), puis Robert Hooke (1635-1703) effectuent les pre-
mièresrecherchessurlesphénomènesd’interférence.IsaacNewton(1642-1727)
démontrequelalumièreblanchen’estpaspureethomogènecommeonlepensait
maisunmélangedelumièreshomogènesdecouleursdifférentes.En1675,Olaus
Römer(1644-1710)déterminelavitessedelalumière.
Jusqu’au milieu du XIXe siècle, les physiciens vont travailler à l’élaboration d’une
théorie de la lumière qui rende compte de tous les phénomènes nouvellement
observés.Ilsseregroupentautourdedeuxgrandesthéoriesconcurrentes,héritières
des conceptions de Descartes qui sont reprises et modifiées : certains, comme
Newton,considèrentquelalumièreestuncorps(théoriecorpusculaire);d’autres,
commeChristianHuygens(1629-1695),larapprochentdumouvementd’uncorps
sanstransportdematière(théorieondulatoire).
1.LESONDESLUMINEUSES 5
1. LA LUMIÈRE : UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Lesondeslumineusesappartiennentàlafamilledesondesélectromagnétiques,décrites
−→ −→
par deux champs vectoriels, électrique E((cid:1)r,t) et magnétique B((cid:1)r,t) qui vérifient
l’équationd’ondesuivantedansunmilieutransparent,homogèneetisotrope:
−→ 1 ≠2 −→ −→
DE((cid:1)r,t)− E((cid:1)r,t) 5 0
v2≠t2
−→ 1 ≠2 −→ −→
DB((cid:1)r,t)− B((cid:1)r,t) 5 0
v2≠t2
v désigne la vitesse de propagation de l’onde dans le milieu considéré. Si n est l’in-
dice optique du milieu, on a v 5 c/n, où c est la vitesse de la lumière (dans le vide,
c 5 3·108 m/s).
2. LUMIÈRE MONOCHROMATIQUE
Uneondelumineusemonochromatique est une onde dont la dépendance temporelle
estsinusoïdale.Lechampélectriques’écritalors:
(cid:1) (cid:2)
−→ −→
E((cid:1)r,t) 5 E ((cid:1)r)cos vt−(cid:1)k·(cid:1)r
0
ouennotationcomplexe:
(cid:3) (cid:1) (cid:2)(cid:4)
−→ −→
E((cid:1)r,t) 5 E ((cid:1)r)exp i vt−(cid:1)k·(cid:1)r
0
−→ −→
B((cid:1)r,t)sedéduitde E((cid:1)r,t)parlarelation:
−→ −→
1
B((cid:1)r,t) 5 (cid:1)k∧ E((cid:1)r,t)
v
(cid:1)k est le vecteurd’onde associé à la propagation de l’onde lumineuse et v la pulsation.
L’onde a donc une double périodicité, temporelle avec T 5 2p/v et spatiale avec
l 5 2p/k (k, module du vecteur d’onde, est appelé le nombre d’onde). On définit
égalementlafréquencef 5 1/T 5 2p/vdel’ondesinusoïdale.
Larelationl 5 cT permetd’écrirev 5 kc.
3. STRUCTURE D’UNE ONDE LUMINEUSE
3.1. Définition
Uneondelumineusemonochromatiqueestdite:
−→ −→ −→ −→ −→
• plane si son champ E s’écrit E((cid:1)r,t) 5 E(x,t) 5 E exp[i(vt−kx)], avec E de
0 0
normeconstante,
6
−→
−→ −→ −→ −→
A
•sphériquesisonchamp E s’écrit E((cid:1)r,t) 5 E(r,t) 5 0 exp[i(vt−kr)],avec A
0
r
denormeconstante,
−→
−→ −→ −→
A
• cylindrique si son champ E s’écrit E((cid:1)r,t) 5 E(r,t) 5 √0 exp[i(vt−kr)], avec
−→ r
A denormeconstante.
0
Rappelonsenfinquesikdésignelenombred’onded’uneondesepropageantdanslevide
à la vitesse c et avec une pulsation v, l’onde passant dans un milieu d’indice n garde la
mêmepulsation:onditquelapulsationestuninvariantdelapropagation.Savitessede
propagationestdonnéeparv 5 c/netsonnombred’ondedevient:
k 5 v/v 5 nk
n
3.2. Plan et surface d’onde
Un pland’onde est définicomme le plan localement perpendiculaire au vecteur d’onde
entoutpointdurayonlumineux.
Lasurfaced’ondeestalorsdéfiniecommel’enveloppedesplansd’ondeàuninstantdonné
de la propagation de la lumière dans un faisceau lumineux. Par convention, lorsqu’on
représente plusieurs surfaces d’onde, on espace les plans d’onde correspondants d’une
distanceégaleàlalongueurd’ondellelongdesrayonslumineux.
4. INTENSITÉ LUMINEUSE
4.1. Définition
−→
L’intensitélumineuse(ouéclairement)d’uneondedécriteparsonchampélectrique E
est proportionnelle à la moyenne de E2(t), notée (cid:1)E2(cid:2) (ou, en notation complexe, à la
∗ ∗
moyennedeE(t)E (t)avecE lecomplexeconjuguédeE).Cettemoyennes’effectuesur
letempsderéponsetdudétecteur(parexemplel’œil):
(cid:5)
1 t
I(t) ∝ E2(t(cid:3))dt(cid:3)
t
t−t
4.2. Expression
Si le temps caractéristique du détecteur est très supérieur à la période T 5 2p/v de
E(t) 5 E cos(vt 1 w), l’intensité ne dépend pas du temps et s’identifie au carré du
0
moduledeE:
E2
I(t) ∝ 0
2
1.LESONDESLUMINEUSES 7
PROPAGATION D’UNE ONDE LUMINEUSE
Exercice1 Longueur d’onde d’une radiation émise par un laser
Unlaserémetuneradiationrougedelongueurd’ondel 5 0,6329923±10−7mm.Cal-
1
culerlalongueurd’ondel durayonnementémisdansl’aird’indicen 5 1,00028±10−5.
2 2
Solution
CONSEIL: sesouvenirquelafréquenceestuninvariantdelapropagation.
v
Lafréquencef del’ondeétantconservée,onaf 5 ,oùvestlavitessedel’ondedans
c l
lemilieuconsidéré:v 5 (cvitessedel’ondedanslevideetnindicederéfractiondu
n
milieu).Lalongueurd’ondel étantdonnéedanslevide,ona:
1
c c
f 5 5
l n l
1 2 2
Onendéduit:
l
l 5 1 5 0,6328151mm
2
n
2
Laprécisionsurlavaleurdel estobtenueendifférentiantlelogarithmedel’expression
2
ci-dessus(dérivéelogarithmique):
dl dl dn
2 5 1 − 2
l l n
2 1 2
Onpassedesdifférentiellesàl’incertitudeDensommantlesvaleursabsolues:
Dl Dl Dn
2 5 1 1 2
l l n
2 1 2
AvecDl 5 10−7 etDn 5 10−5,onobtientDl 5 10−7.Onafinalement:
1 2 2
l 5 0,6328151±10−7 mm
2
Exercice2 Onde lumineuse émise par une source ponctuelle
OnconsidèreunpointsourceOémettantuneondelumineusemonochromatiquedans
un milieu homogène, isotrope et transparent. Le champ électrique au point source
s’écrit:
E(O, t) 5 E cos(vt)
0
1.Quelleestlaformedessurfacesd’onde?
2.Donnerl’expressiondelasurfaced’ondedontladifférencedephaseaveclasourceestw.
3.Commentobteniruneondeplaneavecunesourceponctuelle?
8
Solution
1.Unesourceponctuelleémetuneondesphériquedansunmilieuhomogèneisotrope:
lessurfacesd’ondesontdessphèresdecentreO.
2.L’amplitudedel’ondedépenddelapositiondupointMsurlasurfaced’ondeconsidérée.
Puisquel’intensitélumineuseestconservée,l’amplitudedécroîtaufuretàmesurequ’on
s’éloignedelasource.NotonsE l’amplitudeduchampélectriquesurlasurfaced’onde
M
considérée. La phase de l’onde correspond à la propagation de l’onde (la phase s’écrit
(vt −kr) pour une onde sphérique). Si w désigne la différence de phase entre le point
considéréetlasource,lasurfaced’ondecherchéeapouréquationw 5 kr.Finalement,le
champélectriques’écrit:
E(M, t) 5 E cos(vt−w)
M
3. Lorsqu’on se place très loin de la
source,lessurfacesd’ondesphériques
ontunrayondecourburetrèsimpor-
tant;onpeutdonclesassimilerloca-
lement à des droites : on retrouve les
frontsd’onded’uneondeplane.C’est
ce qui se passe par exemple avec les F
ondeslumineusesémisesparleSoleil
auniveaudelaTerre.Unefaçonplus
rigoureusedegénéreruneondeplane
àpartird’unesourceponctuelleestde
placerlasourcedansleplanfocalobjet
d’unelentilleconvergente:lefaisceau
émergeantdelalentilleestunfaisceau
de rayons parallèles correspondant à
uneondeplane.
DÉTECTION D’UNE ONDE LUMINEUSE
Exercice3 Condition de séparation de deux signaux lumineux
On considère une fibre creuse rectiligne : la gaine de la fibre est constituée d’un verre
d’indicen 5 1,5etonréaliselevideàl’intérieurdelafibre.Onéclaireuneextrémité
delafibreavecunbrefsignallumineux.Àl’extrémitédelafibre,delongueurL 5 1m,
onplaceundétecteurdontletempsderéponseestnotét.
1. Écrire l’expression de l’onde (notée 1) se propageant dans l’air le long de la fibre, et de
celle(notée2)sepropageantdanslagainedeverrelelongdelafibre.
2.Auboutdecombiendetempsledétecteurreçoit-illapremièreonde?laseconde?
3.Endéduireletempsderéponsequedoitavoirledétecteurpourséparerlesdeuxsignaux.
1.LESONDESLUMINEUSES 9
4.Sachantquelesdétecteursusuelsontuntempsderéponsede10−6 s,quelledevraitêtre
lalongueurdelafibrepourqu’undétecteurusuelséparelesdeuxsignaux?
Solution
CONSEIL: danslapremièrequestion,ondemanded’écrirelechampélectriqueassociéàchaqueonde;les
ondesconsidéréessontplanesetils’agitsimplementdecalculerlenombred’ondekdanschaquemilieu.
Dansladernièrequestion,onremarqueraqueledétecteurnepeutdistinguerlesdeuxondesquesison
tempsderéponseestinférieuràladifférencedestempsd’arrivée.
1.Lesondessepropagentdansladirectionxdelafibre;leurpulsationvestcommune
2p
puisqu’ellenedépendpasdumilieudepropagation.Levecteurd’ondes’écrit:k 5 ,
l
2pc
oùlalongueurd’ondeldépenddel’indicedumilieu:l 5 .Lechampélectriquede
nv
l’ondeplanes’écrit E(x,t) 5 E cos(vt−kx).Onadonc,danslemilieu1,d’indiceégal
0
à1etdanslemilieu2d’indicen 5 1,5:
(cid:6) (cid:6) (cid:7)(cid:7)
1
E (x,t) 5 E cos v t− x
1 0
c
(cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:2)
n
E (x,t) 5 E cos v t− x
2 0
c
2. Le temps au bout duquel le détecteur reçoit les deux ondes correspond au temps de
c
parcoursdelafibredelongueurL àlavitessev 5 c(respectivementv 5 ):
1 2
n
L L
T 5 5
1
v c
1
L L
T 5 5 n
2 2
v c
2
A.N.T 5 3,33·10−9 setT 5 5·10−9 s.
1 2
3.Pourqueledétecteursoitcapabledeséparerlesdeuxsignaux,ilfautdoncqu’ilaitun
tempsderéponsedel’ordrede10−9s,cequiesttrèsau-dessusdesperformancesactuelles
desdétecteurs.
4. Avec un temps de réponse de l’ordre de t 5 10−6 s, les deux signaux doivent être
séparésd’aumoinst.LalongueurL(cid:3) delafibredoitêtretelleque:
L(cid:3)
t < T(cid:3)−T(cid:3) 5 (n −1)
2 1 c 2
D’où
ct
(cid:3)
L >
−
n 1
2
A.N.L(cid:3) 5 600m.
10