Optimizing tCS and TMS multi-sensor setups using realistic head models

196 Pages·2015·63.52 MB·German

Westfälische
Wilhelms-Universität
Münster
Fach: Mathematik
Optimizing tCS and TMS multi-sensor
setups using realistic head models
Inaugural Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades der Naturwissenschaften
– Dr. rer. nat. –
im Fachbereich Mathematik und Informatik
der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät
der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster
eingereicht von
Sven Wagner
aus Herten
– 2015 –
Dekan: Prof. Dr. Martin Stein
Erster Gutachter: Priv.-Doz. Dr. Carsten H. Wolters
(Institut für Biomagnetismus und Biosignalanalyse)
Zweiter Gutachter: Prof. Dr. Martin Burger
(Universität Münster)
Tag der mündlichen Prüfung: 26.08.2015
Tag der Promotion:
Abstract
Thescopeofthisthesiswastointroduceandanalyzeanovelsimulationpipelinefortranscranial
current stimulation (tCS), transcranial magnetic stimulation (TMS) or combined tCS and
TMS (tCMS) which can be used to predict inter-individually optimized stimulation protocols
for patients and their specific disease. Major findings of this thesis include:
(1) A guideline for efficient yet accurate volume conductor modeling in tCS, TMS and tCMS
was developed and presented. This head model generation pipeline allows to build highly
realistic, individually shaped, geometry-adapted hexahedral head models in less than one day
of working time.
(2) By providing analytical forward expressions for the adjoint approach (Vallaghe and
colleagues [135]) and the partial integration approach (Schimpf and colleagues [120]), EEG
forward computations and tCS simulations were linked in a clear mathematical way. Using
this relation, the accuracy and efficiency of commonly-used tetrahedral and hexahedral finite
element approaches for brain stimulation techniques were investigated. It was shown that
while the accuracy of the most easy to realize approach based on regular hexahedral elements
is already quite high, it can substantially be improved if a geometry-adaptation of the elements
is employed in conjunction with an isoparametric FEM approach. While the latter approach
does not involve any additional difficulties for the user, it reaches the high accuracies of surface-
segmentation based tetrahedral FEM, which is considerably more difficult to implement and
topologically less flexible in practice.
(3) In order to find an optimal solver method for brain stimulation, the accuracy and efficiency
of three preconditioner methods were investigated: Incomplete cholesky without fill in (IC(0)),
Jacobi and algebraic multigrid (AMG) for the conjugate gradient (CG) method. It was shown
that a solver accuracy level of 10−7 is sufficient to attain realistic numerical solutions with the
three preconditioner methods. However, the investigation of the solver clock time revealed
that the AMG-CG solver significantly outperforms the Jacobi-CG and IC(0)-CG solvers with
regard to computational efficiency.
(4) With quantification of the optimized current flow fields in simplified, spherical models and
realistically shaped FE head models, a proof of concept that the novel optimization method
for tCS, TMS and tCMS is working properly was presented. The optimized current flow fields
were visually inspected. A quantification revealed that the optimized current flow fields show
substantially higher focality and directional agreement with the target vectors in comparison
to standard current density vector fields. Finally, an in-depth mathematical analysis of the
optimization method was provided. While the numerical and modeling errors are thus clearly
under control, the influence of inter-individually varying conductivity profiles on optimal
electrode configurations was investigated for an auditory cortex stimulation. The probability
density functions of the optimized stimulation protocols at the main electrodes were shown to
be most sensitive to the uncertainty in the skull conductivity.
ii
In conclusion, a proof of concept that the simulation pipeline for tCS/TMS and tCMS is
working properly was presented and that the calculation of individually optimized stimulation
is not only feasible for single patients but also for a larger number of patients in clinical trial
studies.
iii
Zusammenfassung
Das Hauptziel dieser Arbeit war die Entwicklung und die Untersuchung eines Simulationsleit-
fadens für die elektrische und magnetische Hirnstimulation, welcher es erlaubt, individuelle
Stimulationsprotokolle für Patienten und deren Krankheiten zu bestimmen. Hauptresultate
dieser Arbeit sind:
(1) Für die transkranielle Stromstimulation (tCS) und die transkranielle Magnetstimulation
(TMS)wurdenRichtlinienzureffizientenVolumenleitermodellierungentwickelt,vorgestelltund
untersucht. Aufgrund der Effizienzsteigerung können nun patientenspezifische, praxistaugliche
und sehr realistische Kopfmodelle innerhalb von weniger als zwei Arbeitstagen erzeugt werden.
(2) In einer weiteren Studie wurden analytische Formeln für zwei EEG Vorwärts-Verfahren
entwickelt und miteinander verglichen. Als Ergebnis konnte gezeigt werden, dass die EEG
Quellenanalyse und die Simulationen der durch tCS induzierten Ströme direkt miteinander
gekoppelt sind, und dass quasi-analytische EEG Vorwärts-Formeln in Kugelmodellen dazu
benutztwerdenkönnen,umdienumerischenGenauigkeitenvonverschiedenenModellierungsan-
sätzen für tCS zu untersuchen. Während die Genauigkeit des kubischen Ansatz schon relativ
hoch war, lieferte der geometrie-adaptierte kubische Ansatz noch deutlich bessere numerische
Ergebnisse. Die Genauigkeiten des geometrie-adaptierten Ansatzes lagen auf dem Niveau des
Tetraederansatzes, welcher, im Gegensatz zu den kubischen Ansätzen, deutlich schwerer zu
implementieren ist, und auf teilweise unrealistischen praktischen Annahmen basiert.
(3) Um einen optimalen iterativen Löser für tCS und TMS zu bestimmen, wurden numerische
Genauigkeiten und die benötigte Löserzeit der Jacobi, IC(0) und AMG Vorkonditionierermeth-
oden für die konjugierte Gradientenmethode (CG) untersucht. Durch die Berechnung der
numerischen Fehler RDM und MAG konnte gezeigt werden, dass alle drei Löser identische
numerische Resultate liefern. Durch eine Untersuchung der benötigten Löserzeit wurde zusät-
zlich verdeutlicht, dass der AMG-CG Löser schneller und effektiver ist, als die Löser IC(0)-CG
und Jacobi-CG.
(4) Eine neue und hoch-innovative Optimierungsmethode, welche sowohl für die tCS und TMS,
wie auch für eine kombinierte Stimulation mit beiden Methoden anwendbar ist, wurde en-
twickelt und in verschiedenen Kopfmodellen getestet. Im Gegensatz zu einer standartmäßigen
Stimulation mit zwei großen Elektroden, wiesen die optimierten Ströme eine deutlich höhere
Fokalität und einen leicht verbesserten Stromfluss parallel zum Zielvektor auf. Um die Ergeb-
nisse auf ein solides mathematisches Fundament zu bringen, wurde die Optimierungsmethode
mathematisch analysiert. Die Existenz (und in manchen Fällen Eindeutigkeit) eines Mini-
mums für das Optimierungsproblem mit Nebenbedindungen wurde bewiesen. Während die
numerischen Ungenauigkeiten und die Modellierungsfehler daher klar kontrolliert werden
können, sind die Auswirkungen von individuellen Leitfähigkeiten auf die Berechnung der
optimierten Stimulationsprotokolle bisher weitestgehend unbekannt. In einer weiteren Studie
konnte gezeigt werden, dass die Stimulation an den Hauptelektroden sehr stark durch die
Unsicherheit in der Leitfähigkeit des Schädel beeinflusst wird.
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die in dieser Arbeit entwickelten Simulations-
und Optimierungsmethoden für die transkranielle Stromstimulation und die transkranielle
Magnetstimulation anwendbar sind und zu realitätsnahen Stromverteilungen im Gehirn führen.
Da zusätzlich die Effizienz der Modellgenerierung deutlich gesteigert wurde, ist die Berechnung
von individualisierten Stimulationsprotokollen nicht nur für einzelne Patienten, sondern auch
für eine breite Masse an Patienten in klinischen Studien möglich.
Acknowledgements
I want to thank everyone who made this thesis possible, especially:
• My thesis supervisor PD. Dr. rer. nat. Carsten Wolters for the opportunity to work in
his group, his valuable scientific advice and his professional guidance during the last
years.
• My co-supervisor Prof. Dr. Martin Burger for his scientific input and always being
willing to provide rapid and helpful feedback.
• Prof. Dr. Xiaoyi Jiang for accepting to be a reviewer of this work.
• Prof. Dr. Christo Pantev for giving me the opportunity to work at the Institute for
Biomagnetism and Biosignalanalysis.
• Felix Lucka, Johannes Vorwerk and Benjamin Lanfer for proofreading this thesis and for
scientific information exchange.
• Simon Homölle and Britte Agsten for a great cooperation.
• All colleagues at the IBB for the great working atmosphere.
• TheSCIRunteamforprovidingapowerful, flexibleandfreely-availabletoolformodeling,
simulation, and visualization.
• MyprojectcooperationpartnersfromOldenburg(Prof. ChristophHerrmann, Dr. Toralf
Neuling), Nijmegen (Prof. Dick Stegeman, Prof. Thom Oostendorp, Dr. Sumientra
Rampersad, Arno Janssen), Rostock (Prof. Ursula van Rienen, Dr. Christian Schmidt)
andTampere(Prof. SampsaPursiainen)foraveryproductivecollaborationandvaluable
scientific information exchange.
• My family for their support at all times.
• Finally, I would like to thank my wife Nadine for her continuous understanding, support
and love during the past years.
Furthermore, I am grateful to the German Research Foundation (DFG) and PD. Dr. rer.
nat. Carsten Wolters for funding this work through the project WO1425/3-1 and the Priority
Program 1665 of the DFG (WO1425/5-1).
vii
Keywords: Transcranial electric and magnetic stimulation, head volume conductor modeling,
finite element method, alternating direction method of multipliers, preconditioned conjugate
gradient method, current density optimization
viii Contents
Contents
Contents vii
1 Introduction 3
1.1 General introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Current status in tDCS, TMS and volume conductor modeling . . . . . . . . 5
1.3 Scope and organization of this thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Basics 11
2.1 EEG forward problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Lead field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 EEG lead field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 MEG lead field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Helmholtz’ principle of reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Lead field calculation using reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Transfer matrix approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Numerical EEG forward approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 Subtraction approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2 Partial integration approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Adjoint approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.4 Analytical EEG forward solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Volume conductor modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1 Spherical shell models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.2 Highly realistic, six-compartment head model . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Transcranial direct current stimulation 33
3.1 Current flow modeling in transcranial direct current stimulation . . . . . . . . 33
3.1.1 Partial differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 A finite element approach for tDCS modeling . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Relationship between EEG source analysis and tDCS . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Algebraic formulas for adjoint and partial integration EEG approach . 37
3.2.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Iterative solvers for FEM-based tDCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1 Conjugate gradient iterative method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46