Optimization and Optimal Control: Proceedings of a Conference Held at Oberwolfach, November 17–23, 1974

303 Pages·1975·9.967 MB·English-German-French

by  Rainer E. Burkard (auth.), Prof. Roland Bulirsch, Prof. Werner Oettli, Professor Josef Stoer (eds.)

Lecture Notes in
Mathematics
Edited by A. Dold and B. Eckmann
477
Optimization and
Optimal Control
Proceedings of a Conference Held at
Oberwolfach, November 17-23, 1974
Edited by R. Bulirsch, W. Oettli, and J. Stoer
Springer-Verlag
Berlin . Heidelberg . NewYork 1975
EEddiittoorrss
PPrrooff.. RRoollaanndd BBuulliirrsscchh
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PPoossttffaacchh 220022442200
BBRRDD
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TABLE OF CONTENTS
Rainer E. Burkard
Kombinatorische Optimierung in Halbgruppen
Richard W. Cottle
On Minkowski Matrices and the Linear Complementarity Problem 18
Hans Czap
Exact Penalty-Functions in Infinite Optimization 27
P.C. Das
Application of DUbovitskii-Milyutin Formalism to Optimal 44
Settling Problem with Constraints
Peter Deuflhard
A Relaxation Strategy for the Modified Newton t-lethod 59
E.D. Dickmanns
Optimale Steuerungen für Gleitflugbahnen maximaler
Reichweite beim Eintritt in Planetenatmosphären 74
Ulrich Eckhardt
On an Optirnization Problem Related to Minimal Surfaces with
Obstacles 95
Klaus Glashoff
Optimal Control of One-Dimensional Linear Parabolic
Differential Equations 102
Gene Golub
Nonlinear Least Squares and Matrix Differentiation+
Sven-Äke Gustafson
On the Nurnerical Treatment of a Multi-Dimensional Parabolic 121
Boundary-Value Control Problem
Joachim Hartung
Penalty-Methoden für Kontrollprobleme und Open-Loop 127
Differential-Spiele
Gerhard Heindl
Ein Existenzsatz für konvexe Optimierungs?robleme 145
K.-H. Hoffmann, E. Jörn, E. Schäfer, H. Weber
Ein Approximationssatz und seine Anwendung in der
Kontrolltheorie 150
IV
P. Huard
Optimization Algorithms and Point-to-Set-Mapping+
Hansgeorg Jeggle
Zur Störungstheorie nichtlinearerVariationsungleichungen 158
H.W. Knobloch
on Optimal Control Problems with State Space Constraints 177
rUchael Köhler
Explicit Approximation of Optimal Control Processes 188
P.J. Laurent
Un Algorithme Dual Pour le Calcul de la Distance Entre
Deux Convexes 202
F.A. Lootsma
The Design of a Nonlinear Optimization Programme for
Solving Technological Problems 229
H. Maurer, U. Heidemann
Optimale Steuerprozesse mit Zustandsbeschränkungen 244
Peter spellucci
Algorithms for Rational Discrete Least Squares Approximation 261
Norbert Weck
tiber das Prinzip der eindeutigen Fortsetzbarkeit in der
Kontrolltheorie 276
Jochem Zowe
Der Sattelpunktsatz'von Kuhn und Tucker in geordneten
Vektorräurnen 285
+ These papers, presented at the Conference, do not appear in
this volurne, and will be published elsewhere.
LIST OF PARTICIPANTS
Professor R.E. Burkard
Mathematisches Institut
der Universität zu Köln
5 Köln 41
heyertal 86-90
Professor R.W. Cottle
Stanford University
Operation Research Department
Stanford, California 94305
U.S.A.
Dr. Hans Czap
Lehrstuhl für Mathematische
Verfahrens forschung der
Universität Göttingen
34 Göttingen
Nikolausbergerweg 9b
Dr. P.C. Das
I Mathematisches Institut
der Freien Universität Berlin
Berlin 33
Arnimallee 2-6
Dr. P. Deuflhard
Institut für Mathematik
der TU München
8 München 2
Arcisstr. 21
Dr. E.D. Dickmanns
DFVLR
Institut für Dynamik der Flugsysteme
8031 Oberpfaffenhofen
Post WeBling I Obb.
Dr. U. Eckhardt
Zentralinstitut für Angew. Mathematik
Kernforschungsanstalt Jülich
517 Jülich
Postfach 365
VI
Dr. K. Glashoff
Fachbereich Mathematik
61 Darmstadt
Kantplatz 1
Dr. S.A. Gustafson
Royal Institute of Technology
Department for Computer Sciences
Numerical Analysis
S - 10044 Stockholm 70
Dr. J. Hartung
Institut für Angew. Mathematik
und Informatik
53 Bonn
Wegelerstr. 10
Dr. G. Heindl
Institut für Mathematik
der Technischen Universität
8 München 2
Arcisstr. 21
Dr. K.-H. Hoffmann
Mathematisches Institut
der Universität München
d München 2
Theresienstr. 39
Professor H. Jeggle
Technische Universität Berlin
Fachbereich Mathematik
Berl1n 12
Straße des 17. Juni 135
Professor H.W. Knobloch
Mathematisches Institut
87 Würzburg
Am Hubland
VII
Dr. M. Köhler
Universität Zürich
Institut für Operations Research
Cl! - 8006 Zürich
Wcinbergstr. 59
Professor P.J. Laurent
Ma thematiques· Appliquees
Universite Scientifique et
Medicale de Grenoble
Ceoex 53
f - 38041 - Grenoble
Dr . F.A. Lootsma
Afdeling Algemene Wetenschappen
TeC)lnische Hogeschool
Oelft
Niederlande
Dr. H. Maurer
Mathematisches Institut
der Universität zu Köln
Köln 41
weycrtal a6-90
Dr. P. Spellucci
Fachbereich Mathematik
65 Mainz
Saarstr. 21
Professor N. Weck
Fachbereich I-tathematik
61 oarmstadt
Kantplatz 1
Dr. J. Zowe
Institut für Angew. Mathematik
der Universität vlürzburg
87 Würzburs
Am Hubland
Kombinatorische Optimierung in Halbgruppen
Rainer E. Burkard, Köln 1)
Abstract
By an algebraisation of the objective function is achieved that combi
natorial optimization problems with different kinds of objective func
tions (e.g. sums or bottleneck objective functions) now occur as spe
cial cases of one general problem. The algebraisation respects not on
ly the structure of the underlying problems but also the structure of
algorithms for solving these problems. Therefore the generalized prob
lems belong to the same complexity class as the original problems.
Combinatorial optimization problems, which can be formulated without
real variables (e.g. assignment problems), can be considered now in
totally ordered semigroups, where (S,·,~) obeys additionally a strong
combatibility axiom and a divisibility axiom. For problems with real
variables some additional combatibility axioms between the domain 0
of the variables and the semigroup S have to be fulfilled.
After the investigation of the structure of the systems (S,·,~) and
(S,*,~;Q) general assignment problems and maximal flow problems in net
works with generalized costs are considered and algorithms are given
for solving these problems.
Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit wird durch eine Algebraisierung der Ziel
funktion erreicht, daß kombinatorische Optimierungsaufgaben mit ver
schiedenen Arten von Zielfunktionen (z.B. Summen- und Bottleneckziel
funktionen) nun als Spezial fälle eines verallgemeinerten Problems auf
treten. Die Algebraisierung nimmt dabei nicht nur Rücksicht auf die
Struktur der PrObleme, sondern auch auf die Art der zugehörigen Lösungs
verfahren. Dadurch wird erreicht, daß Algorithmen zur Lösung der allge
meinen Probleme angegeben werden können, die im wesentlichen denselben
1) Mathematisches Institut der Universität zu Köln,
o - 5 Köln 41, Weyertal 86 - 90
2
Aufwand haben wie Algorithmen für das zugehörige Standardproblem.
Variablenfrei formulierbare Probleme, wie etwa Zuordnungsprobleme,
lassen sich in einer angeordneten Halbgruppe (S,*,~) formulieren und
lösen. Dabei muß (S,*,~) zusätzlich ein starkes Verträglichkeitsaxiom
und ein Teilbarkeitsaxiom erfüllen. Bei Optimierungsproblemen, in denen
reelle Variable aUftreten, wie etwa Transportprobleme, müssen für die
äußere Verknüpfung zwischen dem Variablenbereich Q und der Halbgruppe
S zusätzliche Verträglichkeitsaxiome erfüllt sein. Nach einer Unter
suchung der Struktur der Systeme (S,*,~) und (S,*,~;Q) werden als Bei
spiele verallgemeinerte Zuordnungsprobleme und maximale Flußprobleme
in Netzwerken mit verallgemeinerten Kosten betrachtet und Lösungsmög
lichkeiten für diese Probleme aufgezeigt.
1. Einleitung.
In der Praxis treten oft kombinatorische Optimierungsprobleme auf, die
sich nur in der Form der Zielfunktion unterscheiden. werden etwa An
zahlen minimiert, so sind es meist Summenprobleme, wie etwa das line
are Summenzuordnungsproblem:
"Finde eine Permutation ql von N = {1,2, ••• ,n}, so daß
r c minimal wird."
i€N iCjl(i)
Handelt es sich hingegen um die Minimierung von Zeitfaktoren, so nimmt
die Zielfunktion zum Beispiel Bottleneck Gestalt an. So l~ßt sich et
wa ein lineares Bottleneckzuordnungsproblem folgenderweise formulieren:
"Finde eine Permutation ql von N, so daß ~:~ ciCjl(i)
minimal wird."
In der Literatur wurden bisher diese Probleme gesondert behandelt. Bei
der Lösung quadratischer Zuordnungsprobleme
"Finde eine Permutation Cjl von N, die r
iEN
minimiert"
fiel mir nun auf (1), daß sich ein Algorithmus zur Lösung des quadra
tischen Bottleneckproblems
min max max diCjl(i)pq>(p)
Cjl iEN pEN
3
direkt aus dem Algorithmus für quadratische Zuordnungsprobleme gewin
nen läßt, wenn man jeweils die Operation "+" durch "max" ersetzt. Es
zeigt sich nun generell, daß für kombinatorische Optimierungsprobleme
die Struktur der Zielfunktion von jener der Restriktion weitgehend un
abhängig ist und daß sich die Zielfunktion oftmals in einfacher Weise
algebraisch beschreiben läßt.
In der kombinatorischen Optimierung hat man es mit zwei Problemtypen
zu tun. Einerseits handelt es sich um Probleme, die variablenfrei ge
schrieben werden können (z.B. Zuordnungsprobleme, Rundreiseproblem, ••• )
und andrerseits sind es Probleme, in deren Zielfunktion reelle Variable
explizit auftreten (z.B. Transportprobleme, maximale Flüsse mit mini
malen Kosten, Rucksackprobleme, ••• ). Demnach muß man bei einer Alge
braisierung der Zielfunktion zwei Fälle unterscheiden. Bei variablen
frei formulierbaren Problemen mit Summenzielfunktion wird das "+"
durch eine innere Verknüpfung in einer geordneten Menge (S,~) ersetzt.
Bei Problemen, in denen reelle Variable explizit auftreten, tritt eine
äußere Verknüpfung zwischen dem Variablenbereich g und der Halbgruppe
S hinzu. In Abschnitt 2 wird zunächst die Struktur von (S,*,~) bzw.
(S,*,~lQ) näher untersucht. Die Axiome für die Systeme (S,*,~) und
(S,*,~lQ) orientieren sich nicht nur an der Lösbarkeit der in ihnen
formulierten allgemeinen Probleme, sondern insbesondere auch daran,
daß die üblichen Lösungsverfahren für Standardprobleme übertragen
werden können zur Lösung der verallgemeinerten Probleme, die in
(S,*,~) und (S,*,~;g) formuliert sind. Dies ist ein wesentlicher Ge
sichtspunkt für kombinatorische Optimierungsaufgaben, die oftmals durch
vollständige Enumeration auf triviale Weise lösbar sind. Die angegebe
nen Systeme garantieren, daß beim Ubergang von Standardproblemen zu all
gemeinen Problemen sich nicht viel am Rechenaufwand ändert. Präziser
formuliert heißt dies: Sind die inneren und äußeren Verknüpfungen so
wie die Reduktionen (vgl. Axiom IV, Abschnitt 2) in polynomial be
schränkter Zeit auf einer deterministischen Turingmaschine ausführbar,
so ist die Verallgemeinerung eines Problems der Komplexitätsklasse P
wieder ein Problem der Komplexitätsklasse P (vgl. Karp [7]). Die Alge
braisierungen anderer Autoren (z.B. Carre [4], Gondran [6], Roy [8])
sind darauf ausgerichtet, die algebraische Struktur der Restriktionen
und Zielfunktion zu klären und zu axiomatisieren. Die vorliegende Ar
beit möchte jedoch durch Berücksichtigung der Lösungsverfahren nicht
nur einen Einblick in die Struktur der Probleme geben, sondern auch
das Aufstellen von Lösungsverfahren für ganze Klassen von Problemen er-