Optimisation combinatoire: Théorie et algorithmes

662 Pages·2010·4.1 MB·French

by  Bernhard Korte

Optimisation combinatoire
Springer
Paris
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Bernhard Korte
Jens Vygen
Optimisation combinatoire
Théorie et algorithmes
Traduit de l’anglais par Jean Fonlupt et Alexandre Skoda
Bernhard Korte Jens Vygen
Research Institute Research Institute
for Discrete Mathematics for Discrete Mathematics
University of Bonn University of Bonn
Lennéstraße 2 Lennéstraße 2
53113 Bonn 53113 Bonn
Germany Germany
[email protected] [email protected]
Traducteurs
Jean Fonlupt Alexandre Skoda
Professeur émérite Université Paris-I
Université Paris-VI Panthéon-Sorbonne
Faculté de mathématiques Centre d’économie de la Sorbonne
175,rue du Chevaleret 106-112,boulevard de l’Hôpital
75013 Paris 75013 Paris
[email protected] [email protected]
ISBN : 978-2-287-99036-6 Springer Paris Berlin Heidelberg New York
©Springer-Verlag France 2010
Imprimé en France
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Maquette de couverture:Jean-François MONTMARCHÉ
Illustration de couverture :Ina PRINZ
Collection IRIS
Dirigée par Nicolas Puech
Ouvrages parus :
– Méthodes numériques pour le calcul scientifique. Programmes en Matlab
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Springer-Verlag France, 2000
– Calcul formel avec MuPAD
F. Maltey, Springer-Verlag France, 2002
– Architecture et micro-architecture des processeurs
B. Goossens, Springer-Verlag France, 2002
– Introduction aux mathématiques discrètes
J. Matousek, J. Nesetril, Springer-Verlag France, 2004
– Les virus informatiques : théorie, pratique et applications
É. Filiol, Springer-Verlag France, 2004
– Introduction pratique aux bases de données relationnelles. Deuxième édition
A. Meier, Springer-Verlag France, 2006
– Bio-informatique moléculaire. Une approche algorithmique
P.A. Pevzner, Springer-Verlag France, 2006
– Algorithmes d’approximation
V. Vazirani, Springer-Verlag France, 2006
– Techniques virales avancées
É. Filiol, Springer-Verlag France, 2007
– Codes et turbocodes
C. Berrou, Springer-Verlag France, 2007
– Introduction à Scilab. Deuxième édition
J.P. Chancelier, F. Delebecque, C. Gomez, M. Goursat, R. Nikouhah, S. Steer,
Springer-Verlag France, 2007
– Maple : règles et fonctions essentielles
N. Puech, Springer-Verlag France, 2009
– Les virus informatiques : théorie, pratique et applications. Deuxième édition
É. Filiol, Springer-Verlag France, 2009
À paraître :
– Concepts et méthodes en phylogénie moléculaire
G. Perrière, Springer-Verlag France, 2010
Pre´face
Ce livre est la traduction franc¸aise de la quatrie`me e´dition du livre Combina-
torial Optimization : Theory and Algorithms e´crit par deux e´minents spe´cialistes,
BernhardKorteetJensVygen,professeursa`l’universite´deBonn.Conside´re´comme
unouvragedere´fe´rence,ils’adressea`deschercheursconfirme´squitravaillentdans
le champ de la recherche fondamentale ou de ses applications (R&D). Il donne
unevisioncomple`tedel’optimisationcombinatoireetpeutdoncaussiinte´resserde
nombreuxscientifiquesnonspe´cialistesayantunebonnecultureenmathe´matiques
etdesconnaissancesdebaseeninformatique.
L’optimisationcombinatoireestundomaineassezre´centdesmathe´matiquesap-
plique´es,quiplongesesracinesdanslacombinatoire(principalementlathe´oriedes
graphes),larechercheope´rationnelleetl’informatiquethe´orique.Unedesraisonsde
sonde´veloppementestlie´eaunombreconside´rabledeproble`mesconcreˆtsqu’elle
permetdeformuler.Ils’agitengrandepartiedeproble`mespourlesquelsonconnaˆıt
de «bons» algorithmes de re´solution; ceux-ci sont e´tudie´s dans la premie`re partie
de ce livre. Une des originalite´s de cet ouvrage, par rapport a` d’autres traite´s, est
de pre´senter les algorithmes de re´solution ayant la meilleure borne de complexite´
connuea`cejour.
Lasecondepartietraitedesproble`mesdifficilesa` re´soudresurleplanalgorith-
mique et connus sous le nom de proble`mes NP-difficiles. Le plus ce´le`bre d’entre
eux, celui du voyageur de commerce, fait l’objet, au chapitre 21, d’une e´tude par-
ticulie`rementapprofondie.D’autrestoutaussiimportants,commelesproble`mesde
conception de re´seaux, de multi-flots, de localisation de services, etc., be´ne´ficient
e´galementd’unepre´sentationde´taille´e,cequiestpeufre´quentdanslalitte´ratureet
me´rited’eˆtresignale´.
Danslatraductionquenousproposons,nousavonscherche´a`traduireenfranc¸ais
touteslesexpressionsettouslestermesanglo-saxonsmeˆmequandaucunetraduc-
tion n’existait; il y a cependant quelques exceptions pour des termes tre`s tech-
niques qui ne sont universellement connus que sous leur de´nomination anglaise.
Nousavonsenoutreinclusquelquesame´liorationsetcorrectionse´critesparlesau-
teursapre`slaparutiondel’e´ditionoriginaleactuelle;celles-ciserontinte´gre´esdans
lacinquie`mee´ditionanglaise,actuellementenpre´paration.
Paris,juillet2009 JeanFonluptetAlexandreSkoda
Avant-propos
a` la quatrie`me e´dition originale
Avecquatree´ditionsanglaisesetquatretraductionsencours,noussommestre`s
heureuxdel’e´volutiondenotrelivre;celui-ciae´te´ re´vise´,actualise´ etame´liore´ de
manie`resignificativepourcettequatrie`mee´dition.Nousyavonsinclusdesmatie`res
classiques, parfois manquantes dans les e´ditions pre´ce´dentes, notamment sur la
programmation line´aire, la me´thode network simplex et le proble`me de la coupe
maximum. Nous avons e´galement ajoute´ de nouveaux exercices et mis a` jour les
re´fe´rences.
Noussommesreconnaissantsa` l’Uniondesacade´miesallemandesdessciences
etdeslettreseta` l’Acade´miedessciencesduLandRhe´nanie-du-Nord-Westphalie
pourleursoutienpermanentparl’interme´diaireduprojet«Mathe´matiquesdiscre`tes
etapplications».Nousremercionse´galementpourleurscommentairespre´cieuxtous
ceux qui nous ont contacte´ apre`s la troisie`me e´dition, en particulier Takao Asano,
ChristophBartoschek,BertBesser,UlrichBrenner,JeanFonlupt,SatoruFujishige,
Marek Karpinski, Jens Maßberg, Denis Naddef, Sven Peyer, Klaus Radke, Rabe
von Randow, Dieter Rautenbach, Martin Skutella, Markus Struzyna, Ju¨rgen Wer-
ber,MinyiYue,etGuochuanZhang.Nouscontinueronsa` fournirdesinformations
actualise´essurcetouvragea` l’adresse:
http ://www.or.uni-bonn.de/∼vygen/co.html
Bonn,aouˆt2007 BernhardKorteetJensVygen
Sommaire
Pre´face ........................................................ vii
Avant-proposa` laquatrie`mee´ditionoriginale........................ ix
Sommaire...................................................... xi
1 Introduction ............................................... 1
1.1 E´nume´ration............................................... 2
1.2 Tempsd’exe´cutiondesalgorithmes ........................... 5
1.3 Proble`mesd’optimisationline´aire ............................ 8
1.4 Tri ....................................................... 9
Exercices ...................................................... 11
Re´fe´rences..................................................... 12
2 Graphes ................................................... 13
2.1 De´finitionsfondamentales ................................... 13
2.2 Arbres,cycles,coupes ...................................... 17
2.3 Connexite´ ................................................ 25
2.4 Grapheseule´riensetbipartis ................................. 32
2.5 Planarite´ ................................................. 34
2.6 Dualite´ planaire ........................................... 42
Exercices ...................................................... 45
Re´fe´rences..................................................... 49
3 Programmationline´aire ..................................... 51
3.1 Polye`dres ................................................. 53
3.2 Algorithmedusimplexe .................................... 56
3.3 Imple´mentationdel’algorithmedusimplexe ................... 59
3.4 Dualite´ ................................................... 63
3.5 Enveloppesconvexesetpolytopes ............................ 67
Exercices ...................................................... 68
Re´fe´rences..................................................... 71
xii Optimisationcombinatoire–The´orieetalgorithmes
4 Algorithmesdeprogrammationline´aire......................... 73
4.1 Tailledessommetsetdesfaces ............................... 74
4.2 Fractionscontinues ........................................ 76
4.3 Me´thoded’e´liminationdeGauss ............................. 79
4.4 Me´thodedesellipso¨ıdes ..................................... 83
4.5 The´ore`medeKhachiyan..................................... 88
4.6 Se´parationetoptimisation ................................... 90
Exercices ...................................................... 97
Re´fe´rences..................................................... 99
5 Programmationennombresentiers ............................ 101
5.1 Enveloppeentie`red’unpolye`dre .............................103
5.2 Transformationsunimodulaires ...............................107
5.3 Totaleduale-inte´gralite´ .....................................109
5.4 Matricestotalementunimodulaires ...........................112
5.5 Planscoupants ............................................117
5.6 Relaxationlagrangienne.....................................122
Exercices ......................................................124
Re´fe´rences.....................................................128
6 Arbrescouvrantsetarborescences ............................. 131
6.1 Arbrecouvrantdepoidsminimum ............................132
6.2 Arborescencedepoidsminimum .............................138
6.3 Descriptionspolye´drales ....................................142
6.4 Empilementsd’arbresetd’arborescences ......................145
Exercices ......................................................148
Re´fe´rences.....................................................152
7 Pluscourtschemins ......................................... 155
7.1 Pluscourtscheminsa` partird’unesource ......................156
7.2 Pluscourtscheminsentretouteslespairesdesommets ...........161
7.3 Circuitmoyenminimum ....................................163
Exercices ......................................................165
Re´fe´rences.....................................................167
8 Flotsdanslesre´seaux ........................................ 171
8.1 The´ore`meflot-max/coupe-min................................172
8.2 The´ore`medeMenger .......................................176
8.3 Algorithmed’Edmonds-Karp.................................178
8.4 FlotsbloquantsetalgorithmedeFujishige......................180
8.5 AlgorithmedeGoldberg-Tarjan...............................182
8.6 ArbresdeGomory-Hu ......................................187
8.7 Capacite´ d’unecoupedansungraphenonoriente´ ...............193
Exercices ......................................................195
Re´fe´rences.....................................................201
Sommaire xiii
9 Flotsdecouˆtminimum ...................................... 205
9.1 Formulationduproble`me ...................................205
9.2 Uncrite`red’optimalite´ ......................................207
9.3 Algorithmepare´liminationducircuitmoyenminimum ..........210
9.4 Algorithmeparpluscourtscheminssuccessifs ..................213
9.5 Algorithmed’Orlin .........................................217
9.6 Algorithmenetworksimplex .................................221
9.7 Flotsdynamiques ..........................................225
Exercices ......................................................227
Re´fe´rences.....................................................231
10 Couplagemaximum ......................................... 235
10.1 Couplagedanslesgraphesbipartis ............................236
10.2 MatricedeTutte ...........................................238
10.3 The´ore`medeTutte .........................................240
10.4 De´compositionsenoreillesdesgraphesfacteur-critiques .........243
10.5 Algorithmeducouplaged’Edmonds...........................249
Exercices ......................................................259
Re´fe´rences.....................................................262
11 Couplageavecpoids ......................................... 267
11.1 Proble`med’affectation ......................................268
11.2 Aperc¸udel’algorithmeducouplageavecpoids .................269
11.3 Imple´mentationdel’algorithmeducouplageavecpoids ..........272
11.4 Postoptimalite´ .............................................286
11.5 Polytopeducouplage .......................................287
Exercices ......................................................291
Re´fe´rences.....................................................293
12 b-couplagesetT-joints....................................... 295
12.1 b-couplages ...............................................295
12.2 T-jointsdepoidsminimum ..................................299
12.3 T-jointsetT-coupes........................................303
12.4 The´ore`medePadberg-Rao...................................306
Exercices ......................................................310
Re´fe´rences.....................................................313
13 Matro¨ıdes ................................................. 315
13.1 Syste`mesd’inde´pendanceetmatro¨ıdes ........................315
13.2 Autresaxiomes ............................................320
13.3 Dualite´ ...................................................324
13.4 Algorithmeglouton ........................................329
13.5 Intersectiondematro¨ıdes ....................................334
13.6 Partitiondematro¨ıdes ......................................339
13.7 Intersectiondematro¨ıdesavecpoids ..........................341
Exercices ......................................................345
Re´fe´rences.....................................................348