Table Of ContentIngenieurwissenschaftliche Bibliothek
Engineering Science Library
Herausgeber IEditor: Istvan Szab6, Berlin
Henning Tolle
Optimierungsverfahren
fur Variationsaufgaben mit gewohnlichen
Differentialgleichungen als Nebenbedingungen
Springer -Verlag
Berlin Heidelberg New York 1971
Dipl.-Ing. Dr. rer. nat. HENNING TOLLE
ERNO Raumfahrttechnik GmbH, Bremen
Mit 88 Abbildungen
ISBN 978-3-642-51637-5 ISBN 978-3-642-51636-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-51636-8
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© by Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1971.
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1971
Library of Congress Catalog Card Number 79-140561
Vorwort
Die vorliegende Einfuhrung in Optimierungsverfahren mit Differen
tialgleichungen als Nebenbedingungen ist aus einem Vorlesungszyklus
entstanden, den ich gemeinsam mit S. Reg e n b erg im Oktober
1966 im "Brennpunkt fur Navigation" der Technischen Universiti:it Ber
lin auf Anregung von Professor Dr.-Ing. E. R 0 ~ g e r und Privat
Dozent Dr.-Ing. H. Z e hIe gehalten und spater im Rahmen eines
Lehrauftrages der Technischen Universitat Berlin fortgesetzt habe
[75] .
Der Band bildet eine gewisse Erganzung zu der sehr ausfuhrlichen
und schonen Behandlung der klassischen Variationsrechnung durch
P. Fun k [11] und der Darstellung der linearen und nichtlinearen
Programmierung durch L. Colla t z und W. Wet t e r 1 i n g
[7], die in den letzten Jahren im Springer-Verlag erschienen sind.
Es werden ausgehend von dem in den drei~iger Jahren dieses Jahrhun
derts gegebenen Zugang zur Variationsrechnung von C. Car a t h e
o d 0 r y [6] im wesentlichen Verfahren behandelt, die erst nach
1950 entstanden sind.
Grundsatzlich sind physikalisch-technisch interessanten Variations
aufgaben durch die Newtonschen Bewegungsgleichungen haufig gewohn
liche Differentialgleichungen als Nebenbedingungen zugeordnet. Da
nur in Ausnahmefallen analytische Losungen fUr solche Problems tel
lungen moglich sind und die numerische Behandlung umfangreicher Diffe
rentialgleichungssysteme frUher rechentechnische Schwierigkei ten berei
tet hat, ist dieser Aufgabenkreis in der klassischen Variationsrechnung
i. a. nur bezUglich seiner theoretischen Aspekte betrachtet worden.
IV Vorwort
Das Aufkommen der Digitalrechenanlagen gestattete nun ab ca. 1950
die durch die Variationsrechnung gelieferten Formeln auch praktisch
zu benutzen und auch von mehr numerisch als analytisch orientierten
Ansatzen auszugehen. Dies wirkte sich sehr befruchtend aus, zumal
insbesondere in der Regelungstechnik und Raumfahrtechnik Anwendungs
gebiete vorliegen, fUr die mitunter bereits relativ kleine Optimie
rungsgewinne interessant sind.
Hat man bei einer Optimierungsaufgabe eine freie Zeitfunktion, die
man moglichst glinstig fUr die zu losende Aufgabe wahlen kann, so
erscheint im Ubrigen stets eine Bestimmung des absolut optimal en
Verlaufs dieser Funktion, selbst wenn er evtl. technisch kaum reali
sierbar ist, aus zwei GrUnden angebracht:
1. Man mu~ sowieso irgendeinen Verlauf fUr freie Funktionen
wahlen. Ein Anhaltspunkt durch einen Optimal verI auf ist
dafUr sehr praktisch.
2. Man mochte bei der Wahl irgendeines technisch glinstigen
Verlaufs zumeist wissen, inwieweit sich die Leistung des
Systems durch Verbesserung des Zeitverlaufes der freien
Funktion weiter anheben la~t oder nicht.
Der Wunsch, die Systemleistung moglichst gro~ zu machen, ist also
nicht der einzige ~rund fUr die Frage nach der Optimallosung.
Das Buch wendet sich an Ingenieure aller Fachrichtungen und den
technisch oder an der Entwicklung der Methoden interessierten Mathe
matiker. Urn einfach einen Uberblick zu geben, wurden nur die wesent
lichen Hilfsmittel (notwendige Bedingungen) betrachtet und mathema
tische Beweise und tieferliegende Fragen, wie die Betrachtung der
zweiten Variation etc., weitgehend Ubergangen. Statt dessen wurde
versucht, die Vor- und Nachteile der einzelnen Verfahren und ihre
Zusammenhange mit zu erlautern. Dies ist auch der wesentliche Unter
schied zu den entsprechenden amerikanischen BUchern, wie "Optimiza
tion Techniques" [16], in den en von Spezialisten fUr die Einzelver
fahren die Methoden unabhangig in Einzelkapiteln geschildert werden.
Vorwort v
Urn die Fragen der Auswahl und Anwendung der Verfahren zu vertiefen,
wurde jeweils ein systematisches Beispiel eingehend erortert. Da~
diese Beispiele fast ausschlie~lich der Raumfahrttechnik entstam
men, liegt daran, da~ S. Reg e n b erg fUr die Vorlesung im
Brennpunkt fUr Navigation so ausfUhrliche Beispielrechnungen durch
gefUhrt hat, da~ die Hauptbeispiele direkt daher Ubernommen werden
konnten; es bedeutet aber nicht, da~ die hier beschriebenen Verfah
ren nur fUr die Raumfahrttechnik interessant sind.
Bei den Bezeichnungen wurde versucht, die Ublichen Bezeichnungen
der grundlegenden Arbeiten weitgehend zu simulieren, wobei evtl.
Zusatzkennzeichnungen, wie ein (-) bei H beim Pontryaginschen Maxi
mumprinzip, dafUr benutzt werden, da~ nicht zweimal dieselbe Bezeich
nung fUr verschiedene oder nur im Prinzip abnliche Gro~en Verwendung
finden. Die Formeln sind in den einzelnen Abschnitten durchnumeriert
und werden aus demselben Abschnitt direkt - z.B. (75) - zitiert,
wahrend sie aus anderen Abschnitten mit Voranstellung des Kapitels
- z. B. (1.75) - angeflihrt werden. Die einzelnen Kapitel sind so
gehalten, da~ sie im Prinzip unabhangig gelesen werden konnen, wobei
in Kauf genommen wurde, da~ mitunter geringfUgige Wiederholungen
bzw. Uberschneidungen auftreten.
Flir eine Reihe von Anregungen habe ich Herrn Dr. rer. nat. D. We
del, Bremen, zu danken. Der GeschaftsfUhrung der ERNO Raumfahrt
technik GmbH bin ich fUr das entgegenkommende Verstandnis fUr die
Arbeit an diesem Buch verpflichtet. Besonders mochte ich aber die
UnterstUtzung durch Herrn Dr.-Ing. E. D. D i c k man n s, Ober
pfaffenhofen, hervorheben, der sich liebenswlirdigerweise der MUhe
einer sorgfaltigen Durchsicht des Manuskriptes unterzogen und viele
wertvolle Verbesserungsvorschlage gemacht hat.
Bremen, Herbst 1970 Henning Tolle
In haltsverzeichnis
I. Grundlagen .••.............................................. 1
1. Dbersicht liber die zu erorternden Verfahren und ihre
Zusammenhange ..........................................•••.. 1
1.1. Aufgabenstellung •...............•..................•.. 1
1.2. Charakterisierung der verschiedenen Optimierungs-
verfahren ........................•..................•. 2
1.3. Schematische Verknlipfung und zeitliche Einordnung
der Verfahren •........................................ 11
2. Allgemeine Skizzierung der Variationsrechnung .......••••..• 11
2.1. Erlauterung der Hauptbegriffe liber den Zugang
von Caratheodory •...........•......................... 11
2.1.1. Der Zugang von Caratheodory .................... 11
2.1.2. Eulersche und Hamilton-Jacobische
Differentialgleichungen •....................... 15
2.1.3. Transversalitat ................................ 18
2.1.4. Regularitat .................................... 21
2.1.5. Berechnung der Extremalen aus Kurven
gleichen Extremwerts und umgekehrt ........•.... 22
2.1.6. Beispiel flir die Behandlung einer Minimal-
aufgabe mit der Eulerschen und der Hamilton-
Jacobischen Differentialgleichung .............. 23
2.1.7. Die Erdman-Weierstra~schen Eckenbedingungen .... 28
2.2. Theorie der in y' linearen Integranden •........•...•.. 29
2.2.1. Problemstellung •.....•........•..........•..... 29
2.2.2. Feststellung des Charakters der Extremalen
bei fehlender Abhangigkeit von y' ............•. 30
2.2.3. Die Mielesche Problemstellung ......•.......•... 31
2.2.4. Maximale Steighohe einer Hohenrakete
als Beispiel zur Mieleschen Theorie .•...•.....• 35
VIII Inhaltsverzeichnis
2.3. Variationsprobleme mit Differentialgleichungen
als Nebenbedingungen •.••..•..••.....•••.•..••..•.•••.. 41
2.3.1. Verallgemeinerung der Grundbegriffe der
Variationsrechnung ••.•.••••••.•••••.•••••••••.• 41
2.3.2. Besonderheiten der Differentialgleichungen
als Nebenbedingungen •.•.....•.•....••••....•.•• 43
2.3.3. Lagrangesches, Mayersches und Bolzasches
Problem •••...••...•...••.••.••••.•..•••••....•• 46
II. Indirekte Verfahren ••.•.••...••••••.••.•......•.......•••.. 49
1. Das Pontryaginsche Maximumprinzip •••.••...••.••..•••..•..•• 49
1.1. Das Grundtheorem ••...•....•....•....•••.••.••.•.....•• 49
1.1.1. Aufgabenstellung •.•..••.....•.......••.•.••••.• 49
1.1.2. Notwendige Bedingungen fUr 1.1.1 ............... 51
1.1.3. Erganzende Erlauterungen •...•••....•••••..••.•. 53
1.2. Die Satze der Pontryaginschen Theorie •••.....•.•••••.• 57
1.2.1. Grundlagen •.•.•...•.•..•....•.•.•••..••.••••••• 57
1.2.2. Zusammenstellung der Hauptsatze der
Pontryaginsche Theorie •••••...••....•...•.•...• 60
1.2.3. Behandlung der maximal en Steighohe einer
Hohenrakete mit der Pontryaginschen Theorie •••• 65
1.3. Lineare schnelligkeitsoptimale Systeme •..•••....•.•..• 70
1.3.1. Besonderheiten der linearen Systeme •........... 70
1.3.2. Zwei charakteristische Beispiele •..••....•.•..• 73
1.3.3. Allgemeine Zusammenhange •.....................• 77
1.4. Das Syntheseproblem ..........••......•..•.....•.•....• 78
1.4.1. Erlauterungen zur Problemstellung ...........•.• 78
1.4.2. Allgemeine Aussagen zum Syntheseproblem .......• 82
2. Anpassung der Variationsrechnung an die neueren
Aufgabenstellungen ••.•....................•........•••..•.• 85
2.1. Das Mayersche und das Lagrangesche Problem mit
der Pontryaginschen Unterscheidung zwischen
Lagekoordinaten und Steuerfunktionen •.....••...•••..•• 85
2. L L Umformulierung des Mayerschen und des
Lagrangeschen Problems •............••....•••.•. 85
Inhaltsverzeichnis IX
2.1.2. Vergleich der sich ergebenden Bedingungs
gleichungen mit dem Pontryaginschen
Maximumprinzip •.•...••••...••.....••.•..•.•..• 86
2.1.3. Das Prinzip der Vereinfachung der Auf
gabenstellung durch Erweiterung der
Nebenbedingungen •••••.......•....•.•..•••.•••• 89
2.1.4. Beispiel: Optimaler Flug im Vakuum •...••..•..• 91
2.2. Einfache Herleitung fUr die durch Nebenbe
dingungen induzierten Forderungen fUr das
Vorliegen eines Optimums .....•.•...•........•.•.•...• 96
2.2.1. Die Lagrangesche Herleitung der
Eulerschen Gleichung .•..•....•.....•......•... 96
2.2.2. Anwendung der Lagrangeschen Herleitung
auf allgemeinere Aufgabenstellungen durch
formale Erwei terung ...........••..•.......•••• 98
2.2.3. Einfache Beschrankungen fUr die
Steuerfunktionen •............•...............• 101
2.3. Allgemeine Behandlung von Ungleichungen als
Nebenbedingungen ••...•........................•.•.... 103
2.3.1. Formulierung der Einschrankung durch
Ungleichungen •...................•.•..••••.... 103
2.3.2. Die Optimierungsbedingungen bei Vorliegen
von Ungleichungen als Nebenbedingungen 106
2.3.3. Eine identische Losung der Eulerschen
Gleichungen fUr das eingeschrankte
TeilstUck •..................................•. 111
2.3.4. Ein Beispiel fUr Optimierungsaufgaben mit
Ungleichungen als Nebenbedingungen ...........• 112
2.4. SprUnge in den Lagekoordinaten •.•..................•• 117
2.4.1. Problemstellung 117
2.4.2. Bedingungen fUr SprUnge in den
Lagekoordinaten 118
3. Numerische LOsung des Randwertproblems ;";.;;c Systeme
gewohnlicher, nichtlinearer Differentia:gleichungen 120
3.1. Grundlagen ..................•..................••.•.• 120
3.1.1. Problemstellung ....•...........•..........•... 120
3 . 1.2. Ausgangsgle i chungen ••.............•........... 122
3.2. Iterative ErfUllung der Randbedingungen bei
ErfUllung der Differentialgleichungen ••••..........•. 124
x Inhaltsverzeichnis
3.2.1. Systematische Variation der Anfangswerte .•... 124
3.2.2. Beispiel: Optimaler Flug im Vakuum •......•.•. 126
3.2.3. Exakte Berechnung der partiellen Ableitungen
nach den freien Anfangswerten ........•.....•. 134
3.2.4. Weitere Methoden 137
3.3. Iterative ErfUllung der Differentialgleichungen ....• 140
3.3.1. Darstellung des Grundprinzips ...........•..•• 140
3.3.2. Ahnlichkeiten des Verfahrens mit dem
Newtonschen Verfahren zur Bestimmung der
Wurzeln einer Funktion fez) = 0 ........•.•... 144
3.3.3. Erganzende Bemerkungen 146
III. Direkte Verfahren •..................................•.... 148
1. Gradientenverfahren 1. Ordnung ................•.......... 150
1.1. Das Gradientenverfahren fUr gewohnliche
Extremalaufgaben ........•........................•.. 150
1.1.1. Grundgleichungen •...........................• 150
1.1.2. Stufenoptimierung als Beispiel zum
Gradientenverfahren •......................... 155
1.1.3. Gewohnliche Extremalaufgaben mit Neben-
bedingungen 161
1.1.4. Grenzen des Gradientenverfahrens 163
1.2. Das Gradientenverfahren fUr einfache
Variationsprobleme ................................•. 164
1.3. Das Gradientenverfahren fUr Optimierungsprobleme
mit Differentialgleichungen als Nebenbedingungen .... 166
1.3.1. Die SchlUsselgleichung fUr Optimierungs-
probleme mit Differentialgleichungen als
Nebenbedingungen ..•.......................... 166
1.3.2. Diskussion verschiedener einfacher Aufgaben-
stellungen ••..............•................•. 171
1.3.3. Einschrankungen fUr Steuerfunktionen und
Lagekoordinaten .........•......•............• 176
1.3.4. Behandlung der maximalen Steighohe einer
Hohenrakete mit dem Gradientenverfahren ....•. 179
1.3.5. Erorterung der allgemeinen Aufgabenstellung 186
1.3.6. Approximationsgrad der Originaltrajektorien 194
Inhaltsverzeichnis XI
2. Verallgemeinerungen des Gradientenverfahrens 1. Ord-
nung und verwandte Verfahren •.....•.••••.••....•••....•••• 196
2.1. Das Gradientenverfahren 2. Ordnung •.•..•.......••...• 196
2.1.1. Definition des Gradientenverfahrens
2. Ordnung ..•......•............•........•...• 196
2.1.2. Herleitung der Formeln ....................•.•• 197
2.2. Verfahren teilweiser Entwicklung bis zur
2. Ordnung ..................•.....•................•• 206
2.2.1. Grundformeln der Teilentwicklung .............• 206
2.2.2. LOsung der allgemeinen Aufgabenstellung
gema~ der Teilentwicklung .•......•........•..• 208
2.2.3. Das einfache Extr.-H-Verfahren ••.....•....•••• 211
2.2.4. Verallgemeinerungen des einfachen
Extr.-H-Verfahrens •........................... 217
2.3. Zusammenhange zwischen der numerischen LOsung der
Bedingungsgleichungen und dem Gradientenverfahren 219
2.3.1. Systematische Querverbindungen ...............• 219
2.3.2. Vergleich der Gute der verschiedenen
beschriebenen Verfahren ....................••• 221
3. Das Bellmansche Verfahren des "dynamischen
Programmierens" 224
3.1. Das Bellmansche Verfahren fur gewohnliche Extremal-
aufgaben ...................................•.•....... 224
3.1.1. Vorbemerkungen •.....•..........•.............. 224
3.1.2. Das Bellmansche Verfahren in seiner ein-
fachsten Form ................••.........•.•••. 227
3.1.3. LOsung eines elementaren Beispiels ...••......• 230
3.1.4. Allgemeine Vorteile des Bellmanschen Ver-
fahrens und Vergleich mit dem systematischen
Absuchen eines Punktgitters ...........•....... 234
3.2. Das Bellmansche Verfahren fur einfache Variations-
probleme •..........•....•..................••........ 236
3.2.1. Das Bellmansche Vorgehen •......•............•. 236
3.2.2. Die Hamilton-Jacobische partielle Differen-
tialgleichung als Grenzwert des Bellmanschen
Verfahrens ........•.........•......•.•.•...... 240
3.3. Das ~ellmansche Verfahren fUr Optimierungsprobleme
mit Differentialgleichungen als Nebenbedingungen •...• 242
