Table Of ContentBaier Seeßelberg Specht
Optimierung
in der
Strukturmechanik
Horst Baier
Christoph Seeßelberg
Bernhard Specht
Optimierung
inder
Strukturmechanik
aI
Vleweg
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Baier, Horst:
Optimierung in der Strukturmechanik I Horst Baier;
Christoph Seeßelberg; Bernhard Specht. -
Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1994
NE: Seeßelberg, Christoph:; Specht, Bernhard
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1994
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1994
Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH.
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ISBN 978-3-322-90701-1 ISBN 978-3-322-90700-4 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-322-90700-4
Vorwort
Gegenstand dieses Buches sind die anwendungsorientierten Aspekte bei der Formulierung und
Lösung von Optimierungs aufgaben in der Strukturmechanik. Aufbauend auf unserer
wissenschaftlichen und praktischen Beschäftigung mit diesem Thema sowie einer Vorlesung
hierzu an der TH Darmstadt geht es uns um plausibles Aufbereiten der wesentlichen Elemente
und ihrer Zusammenhänge. Auch sollen aus der Erfahrung gewonnene Wertungen mit einfließen,
wobei verschiedene Referenzbeispiele aus dem Maschinenbau, der Luft- und Raumfahrttechnik,
dem Bauingenieurwesen sowie spezieller Gebiete der Strukturmechanik eine einseitige Sicht
vermeiden helfen.
Dieser Band wendet sich hauptsächlich an Studenten höheren Semesters und Praktiker, die
sich in dieses Thema einarbeiten wollen, kann aber auch dem Erfahrenen zusätzliche Anregungen
geben. Denn die vielen Aspekte der praktischen Optimierung und deren Anwendung gerade bei
mechanischen Aufgaben waren bisher über eine Vielzahl meist spezialisierter Veröffentlichungen
zu Einzelfragen verteilt. Dies ist auch ein Grund dafür, daß die Verbreitung und Implementierung
dieses Themas in der Praxis langsamer von statten geht als es seinen Möglichkeiten und dem
potentiellen Nutzen entspricht. Das Wissen soll sich verstärkt in Machen umsetzen und verknüp
fen, und diesen Prozeß möchte das Buch fördern. Dies gilt um so mehr, als seit einiger Zeit doch
recht brauchbare Softwaretools entstehen, mit denen zunehmend komplexe praktische Aufgaben
sinnvoll gelöst werden können. Dieser Trend wird sich sicherlich fortsetzen und zu allgemeinen
und effizienten Werkzeugen führen.
Wir konnten dieses Buch nur mit der Unterstützung anderer zusammenstellen. Da sind Z.B. die
Studenten zu nennen, die durch ihre Mitarbeit in der Vorlesung und bei weiterführenden
Untersuchungen wertvolle Anregungen gegeben haben. Auch sind spezielle Erfahrungen unserer
Arbeitskollegen in den Teams um Gunter Helwig und Bernd Caesar zu Optimierungs aufgaben
bei faserverstärkten Strukturen oder bei Identifikationsverfahren eingeflossen. Ebenso konnten
wir die technischen Möglichkeiten der Firma Dornier seitens der Softwaretools und des Desktop
Publishing nutzen. Besonderer Dank aber gilt Herrn Heinrich Seeßelberg sowie Herrn Frank
Blender. Ohne deren umfangreiche und fleißige Hilfe beim Layout und der Grafik hätte die
Zusammenstellung dieses Buches neben unserem Tagesgeschäft viele weitere Monate mit
arbeitsreichen Wochenenden gekostet. Unsere Familien haben dabei die Aktivitäten mit
besonderer Geduld mitgetragen. Dank gilt auch dem Vieweg-Verlag und Herrn Peter Neitzke, der
die Gestaltung des Buchs mit wertvollem Rat unterstützt hat.
Immenstaad, im Juni 1994 Horst Baier Chrlstoph Seeßelberg Bernhard Specht
Inhalt
1 Einführung ............................................................................................................ 1
2 Die Tragwerksoptimierungsaufgabe ................................................................... 4
2.1 Optimierungsaufgaben und wichtige Begriffe ...................................................... .4
2.1.1 Der Stabdreischlag: Gewichtsminimierung ........................................................ 4
2.1.2 Der Stabdreischlag mit Frequenzrestriktionen ................................................... 9
2.1.3 Die faserverstärkte Scheibe: nichtkonvexe Aufgaben und lokale Optima ....... 11
2.1.4 Die faserverstärkte Scheibe: mehrere Ziele gleichzeitig .................................. 14
2.1.5 Dynamische und zeitabhängige Antworten im Optimierungsmodell ............... 16
2.2 Allgemeinere Formulierung .................................................................................. 19
2.2.1 Grundformulierung ........................................................................................... 19
2.2.2 Zielfunktion ...................................................................................................... 21
2.2.3 Restriktionsfunktionen ...................................................................................... 21
2.2.4 Entwurfsvariable ............................................................................................... 21
2.2.5 Systemgleichungen ........................................................................................... 22
2.2.6 Gemeinsamkeiten der Aufgabenstellungen ...................................................... 25
2.3 Das Prinzip des Lösungsvorganges ...................................................................... 26
2.4 Der Tragwerksoptimierung benachbarte Aufgaben .............................................. 29
3 Die Finite-Element-Methode .............................................................................. 35
3.1 Das Grundkonzept der Finite-Elemente-Methode ................................................ 35
3.2 Die Interaktion FE-Analyse und Optimierung ..................................................... 38
3.3 Gradienten der Antwortgrößen nach den Entwurfsvariablen .............................. .41
3.4 Konsequenzen für FE-Rechenprogramme ............................................................ 42
4 Mathematische Grundlagen für die Anwendung ........................................... .43
4.1 Die nichtlineare mathematische Optimierungsaufgabe ....................................... .43
4.2 Zulässiger Bereich ................................................................................................ 46
4.3 Konvexe und nichtkonvexe Optimierungsaufgaben ............................................ .47
4.4 Lösungsdefinition: lokale und globale Optima .................................................... .49
4.5 Einige Umformungen der Optimierungsaufgabe .................................................. 50
4.5.1 Maximierung der Ziel funktion ......................................................................... 51
4.5.2 Negative Ungleichheitsrestriktionsfunktionen ................................................. 51
4.5.3 Umwandlung von Ungleichungen in Gleichungen und umgekehrt ................. 51
4.5.4 Weglassen nichtbindender Restriktionen ......................................................... 52
4.6 Lagrangefunktion und Dualität ............................................................................. 53
4.7 Notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen ..................................... 54
5 Algorithmen zur Lösung von Optimierungsaufgaben .................................... 61
5.1 Übersicht ............................................................................................................... 61
5.1.1 Der Algorithmusbegriff .................................................................................... 61
5.1.2 Überblick über Optimierungsalgorithmen ........................................................ 63
5.2 Straffunktionsverfahren ..................................................................... '" ................ 66
5.2.1 Das Lösungsprinzip .......................................................................................... 66
5.2.2 Ansätze für Straffunktionen .............................................................................. 68
5.2.2.1 Barrierefunktionsmethode (BFM) .................................................................... 68
5.2.2.2 Methode der äußeren Straffunktion (SFM) ...................................................... 71
5.2.2.3 Erweiterte Lagrange-Methode .......................................................................... 72
5.2.3 Algorithmen zur Minimierung freier Funktionen ............................................. 73
5.2.3.1 Ableitungsfreie Suchverfahren ......................................................................... 73
5.2.3.2 Gradientenverfahren ......................................................................................... 77
5.2.3.3 Newton Verfahren ............................................................................................ 79
5.2.4 Eindimensionale Optimierung freier Funktionen ............................................. 80
5.3 Die direkte Lösung der restringierten Optimierungsaufgabe ............................... 84
5.3.1 Grundgedanke ................................................................................................... 84
5.3.2 Bestimmung der Suchrichtung ......................................................................... 85
5.3.2.1 Ableitungsfreie Suchverfahren ......................................................................... 86
5.3.2.2 Methode der zulässigen Richtungen ................................................................. 86
5.3.2.3 Generalisierte Methode der reduzierten Gradienten ............. '" ......................... 90
5.3.2.4 Modifizierte Methode der zulässigen Richtungen ............................................ 90
5.3.2.5 Sequentielle quadratische Programmierung (SQP) .......................................... 91
5.3.3 Eindimensionale Optimierung bei restringierten Optimierungsaufgaben ........ 93
5.4 Approximationsverfahren ..................................................................................... 94
5.4.1 Grundgedanke ................................................................................................... 94
5.4.2 Sequentielle lineare Programmierung (SLP) .................................................... 95
5.4.3 Sequentielle konvexe Approximation (SCP) .................................................. 102
5.4.4 Duale Verfahren zur Lösung der konvexen Ersatzaufgabe ............................ 103
5.4.5 Approximationen für spezielle Restriktionstypen .......................................... 106
5.5 Optimalitätskriterienverfahren ............................................................................ 109
5.5.1 Das Prinzip vom voll beanspruchten Tragwerk (FSD) ................................... 110
5.5.1.1 FSD bei statisch bestimmten Tragwerken ...................................................... 110
5.5.1.2 FSD bei statisch unbestimmten Tragwerken ................................ '" ............... 111
5.5.2 Kuhn-Tucker Optimalitätskriterienverfahren ................................................. 114
5.6 Beurteilung der Optimierungs strategien ............................................................. 116
6 Programme für die Strukturoptimierung ..................................................... 121
6.1 Ablauf einer Optimierungsrechnung .................................................................. 121
6.2 Das Optimierungsmodell .................................................................................... 123
6.2.1 Zielfunktion .................................................................................................... 123
6.2.2 Restriktionen ................................................................................................... 124
6.2.3 Optimierungsvariablen ................................................................................... 125
6.2.4 Strukturanalytisches Berechnungsmodell ....................................................... 128
6.3 Das Optimierungsprogrammsystem (OPS) und seine Module ........................... 128
6.4 Strukturoptimierungsprogramme bei aufwendiger Systemanalyse .................... 134
6.4.1 Integrierte Programmsysteme ......................................................................... 134
6.4.2 Zusammensetzen eines OPS aus einzelnen Bausteinen .................................. 134
6.5 Auswertung der Optimierungsergebnisse ........................................................... 137
6.6 Expertensystemunterstützte Strukturoptimierung .............................................. 139
6.7 Tabellenkalkulationsprogramme und Optimierung ............................................ 142
7 Optimierung bei Anforderungen aus der Dynamik ...................................... 144
7.1 Anforderungen aus der Eigendynamik ............................................................... 144
7.1.1 Sensitivität bei einfachen Eigenwerten ........................................................... 146
7.1.2 Sensitivität bei mehrfachen Eigenwerten ....................................................... 148
7.1.3 Approximation von Eigenwertrestriktionen ................................................... 150
7.2 Anforderungen aus der harmonischen Antwortanalyse ...................................... 151
7.2.1 Die direkte Lösungsmethode .......................................................................... 152
7.2.2 Die modale Lösungsmethode ......................................................................... 153
7.3 Optimierung transienter dynamischer Vorgänge ................................................ 154
7.3.1 Numerische Zeitintegration ............................................................................ 155
7.3.2 Sensitivitätsanalyse ......................................................................................... 156
7.3.3 Sensitivität der Dauer eines dynamischen Vorgangs ...................................... 159
7.3.4 Behandlung zeitabhängiger Ungleichheitsrestriktionen ................................. 160
7.3.5 Probleme bei der Definition zeitabhängiger Zielfunktionen .......................... 161
8 Gestaltoptimierung ........................................................................................... 163
8.1 Formoptimierung mit Finiten Elementen ........................................................... 163
8.1.1 Form-Moden zur Variation der Netzgeometrie .............................................. 163
8.1.2 Beispiel zur Formoptimierung mit Basisnetzen ............................................. 165
8.1.3 Form-Moden aus fiktiven Lasten .................................................................... 167
8.1.4 Beispiel zur Formoptimierung mit fiktiven Lasten ........................................ 167
8.1.5 Aspekte zur Sensitivitätsanalyse bei der Formoptimierung ........................... 173
8.2 Wachstumsstrategien in der Formoptimierung ................................................... 174
8.2.1 Ein Wachstumsalgorithmus ............................................................................ 174
8.2.2 Lokale Beanspruchungskriterien .................................................................... 176
8.2.3 Algorithmus zur Spannungshomogenisierung ................................................ 177
8.3 Topologieoptimierung ........................................................................................ 178
8.3.1 Verfahren variabler Materialdichte ................................................................. 178
8.3.2 Mathematische Formulierung ......................................................................... 179
8.3.3 Sensitivitätsanalyse mit Finiten Elementen .................................................... 180
9 Andere spezielle Aufgaben und Vorgehensweisen ......................................... 182
9.1 Optimierungsaufgaben mit mehreren Zielen ...................................................... 182
9.1.1 Aufgabenstellung und Lösungsdefinition ....................................................... 182
9.1.2 Transformation der Vektoroptimierungsaufgabe auf eine skalare Aufgabe ... 184
9.1.3 Interaktive Lösungsverfahren für Vektoroptimierungsaufgaben .................... 188
9.2 Behandlung diskreter Optimierungsaufgaben .................................................... 193
9.3 Dekompositionen ................................................................................................ 195
9.4 Multidisziplinäre Optimierungsaufgaben ........................................................... 196
9.5 Ansätze zur Ermittlung globaler Optima ............................................................ 198
9.6 Sensitivität des Optimums gegen Restriktionskonstante .................................... 202
9.6.1 Überblick ........................................................................................................ 202
9.6.2 Methode des erweiterten Entwurfsvariablenraums ........................................ 203
9.7 Optimierung von Faserverbundwerkstoffen und -strukturen ............................. 208
9.7.1 Allgemeines zu faserverstärkten Kunststoffen ............................................... 208
9.7.2 Mechanik der Einzelschicht und des Verbundes ............................................ 210
9.7.3 Versagensmechanismen und Versagenskriterien ........................................... 215
9.7.4 Aufgaben der Larninatoptimierung ................................................................. 217
9.7.5 Optimierung von Faserverbundbauteilen ....................................................... 224
9.8 Optimierung unter Beachtung statistischer Zuverlässigkeits anforderungen ...... 225
10 Anwendung der Optimierungsrechnung bei praktischen Beispielen .......... 230
10.1 Mobile Leichtbaubrücken ................................................................................... 230
10.2 Querlenker einer Radaufhängung ....................................................................... 235
10.2.1 Optimierungsstrategie ..................................................................................... 237
10.2.2 Optimierungsergebnisse ................................................................................. 238
10.3 Optimierungsaufgaben bei Leichtbaustrukturen der Raumfahrt ........................ 242
10.4 Korrektur mathematischer Modelle .................................................................... 249
Anhang: Programm PENOPT ........................................................................................... 254
Literaturverzeichnis .......................................................................................................... 261
Stichwortverzeichnis .......................................................................................................... 265
Symbol verzeichnis
Grundsätzliche Schreibweise
Skalare: Kleinbuchstaben, kursiv
Vektoren: Kleinbuchstaben, fett
Matrizen: Großbuchstaben, fett
Funktionen: Kleinbuchstaben
Funktionenvektor: Kleinbuchstaben, fett
Ausnahmen von dieser Regel nur bei standardisierten Zeichen (z.B. E für Elastizitätsmodul).
Verzeichnis wichtiger Symbole
Im folgenden sind Symbole aufgeführt, die im ganzen Buch oder zumindest in wesentlichen
Teilen davon verwendet wurden. Zeichen von nur lokaler Bedeutung sind nicht enthalten. In
Einzelfällen ist es möglich, daß die hier aufgeführten Symbole lokal auch eine andere Bedeutung
haben.
ai Querschnittsfläche des Stabes i
B Finite Elemente Dehnungs-Verschiebungsmatrix
Cj Schlupfvariable der Restriktion j
C Faktor als Hilfswert an diversen Stellen
co ,q ,C2 Polynominalkoeffizienten beim Interpolationsverfahren
D Dämpfungsmatrix
E Elastizitätsmodul
F Lastvektor
Fi(j) Kraft als Belastung eines Tragwerks (Element i des Lastvektors F im Lastfall j)
gj Ungleichheitsrestriktion j
H Hesse-Matrix und Approximationen der Hesse-Matrix
hj Gleichheitsrestriktion j
Ii Trägheitsmoment des Stabes i
K Steifigkeitsmatrix
k Iterationszähler
L Lagrange Funktion
M Massenmatrix
m Anzahl der Restriktionen
ma Anzahl der aktiven Restriktionen
mg Anzahl der Ungleichheitsrestriktionen
mh Anzahl der Gleichheitsestriktionen
n Anzahl der Optimierungsvariablen
Nu.]) Stabkraft des Stabes i im Lastfallj
p(x) Straffunktion
p Form-Mode
q Vektor der komplexen modalen Verschiebungen
q j komplexe Verschiebung des modalen Freiheitsgrades j
r Penaltykonstante
s(k) Suchrichtungsvektor des Iterations schrittes k
t Zeit
T Zeitperiode oder -dauer eines dynamischen Vorgangs
u Vektor der Systemantworten oder Verformungen
Ui Systemantwort i oder Verformung des Freiheitsgrades i
Ve Volumen des Finiten Elementes e
w komplexer Verschiebungsvektor für harmonische Antwortanalyse
Wt Verformungsarbeit des statischen Lastfalles Nr.l
x Vektor der Optimierungsvariablen Xi , i=l, ... ,n
x* Optimierungsvariablenvektor als Ergebnis einer Optimierungsrechnung
Xio Obere Schranke der Optimierungsvariablen i
Xiu Untere Schranke der Optimierungsvariablen i
xopt Optimaler Optimierungsvariablenvektor
y(x) Entwurfsvariablenvektor als Funktion der Optimierungsvariablen
Yi Entwurfsvariable i
z Zielfunktion
z Zielfunktionsvektor bei mehreren Zielen
Zi i-te von mehreren Zielfunktionen
z* Geringster erreichter Zielfunktionswert als Ergebnis einer Optimierungsrechnung
zopt Optimaler Zielfunktionswert
