Table Of ContentLecture Notes in Economics and Mathematical Systems
(Vol. 1-15: Lecture Notes in Operations Research and Mathematical Economics, Vol. 16-59: Lecture
Notes in Operations Research and Mathematical Systems)
Vol. 1: H.B Ohlmann. H. Loellel. E. Nievergell. EinfOhrung in die Vol. 30: H,N oltemeier, Sensitivitatsanalyse bel diskreten IInearen
Theorie und Praxis der Entscheidung bei Unsicherheit. 2.A utiage. Optimierungsproblemen, VI, 102 Seiten. 1970,
IV. 125 Seiten. 1969.
Vol. 31: M. KOhlmeyer, Die nichtzentrale t·Verteilung, 11.106 Sei·
Vol. 2: U. N. Bhat. A Study of the Queueing Systems M/G/l and ten. 1970,
GIfM/I. VIII. 78 pages. 1968.
Vol. 32: F, Bartholomes und G. Hotz, Homomorphismen und Re·
Vot. 3: A Strauss. An IntrodUClton to Optimal Control Theory. duktionen linearer Sprachen, XII, 143 Seiten, 1970, OM 18.-
Outof pront Vol. 33: K. Hinderer, Foundations of Non·stationary Dynamic Pro·
Vol. 4: Branch and Bound: Eine EinfOhrung. 2., ge~nderte Auflage, gramming with Discrete Time Parameter. VI, 160 pages. 1970,
Herausgegeben von F. Weinberg, VII, t74 Seiten. 1973,
Vol. 34: H, StOrmer, Semi·Markoll·Prozesse mit endlich vielen
Vol. 5: L. P. Hyv~ronen, Information Theory for Systems Engineers. Zustanden, Theorie und Anwendungen. VII, 128 Seiten, 1970.
VII, 205 pages. t968.
Vol. 35: F. Ferschl. Markovketlen. VI, 168 Seiten, 19 70.
Vol. 6: H. P. KnZOI. O. Maller. E. Nievergelt, EinfUhrungskursus in
die dynamische Programmierung, IV, 103 Seiten, 1968. Vol. 36: M. ). p, Magill, On a General Economic Theory of Molton,
VI, 95 pages, 1970.
Vol. 7: W. Popp, EinfUhrung in die Theorie der Lagerhaltung. VI,
173 Seiten. 1968. Vol. 37: H, MOller·Merbach, On Round·Off Errors in Linear Pro·
grammlng, V, 48 pages, t970,
Vol, 8: J. Teghem, J, Loris·Teghem, J. p, Lambone. Modeles
d'Anente MIGII et GIfM/t a Atrivtle. et Services en Groupes. III, Vol. 38: Statistische Methoden I, Herausgegeben von E. Walter,
53 pages, 1969. VIII. 338 Seiten. 19 70,
Vol. 9:E . Schultze, EinfUhrung in die mathematischen Grundlagen Vol. 39: Statisltsche Methoden II, Herausgegeben von E. Walter.
der Informationstheorie, VI, 116 Seiten, 1969. IV. 157 Seiten. t970
Vol. 10: O.H ochstadter, Stochastische Lagerhaltungsmodelle. VI. Vol. 40: H, Orygas. The Coordinate·Free Approach to Gauss·
269 Seiten. 1969. Markov ESlimation, VIII, 113 pages. 1970.
Vol. 11112: Mathematical Systems Theory and Economics. Edited Vol. 41: U. Ueing, Zwei L6sung'smethoden fOr nlchtkonvexe Pro·
by H. W.K uhn and G. p, SzegO. VIII, III, 486 pages, 1969. grammierungsprobleme, IV, 92 Seiten. 1971,
Vol. 13: Heuristische Planungsmethoden. Herausgegeben von Vol, 42: A V, Balakrishnan, Introduction to Optlmizalton Theory in
F. Weinberg und C. A, Zehnder, II, 93 Se,ten, 1969. a Hilbert Space. IV. 153 pages. 1971.
Vol. 14: Computing Methods in Optimization Problems. V,1 91 pages. Vol, 43: J. A. Morales. Bayesian Full Informallon Structural Analy·
t969. sis. VI. 154 pages. 1971.
Vol. 15: Economic Models, Esltmahon and Risk Programming: Vol. 44 ~ G. Feichtinger, Stochastische Modelle demographischer
Essays in Honor of Gerhard Tintner. Edited by K. A, Fox, G. V,L Prozesse, IX. 404 Seilen, 1971.
Narasimham and J. K, Sengupta, VIII, 461 pages. 1969,
Vol, 45: K. Wendler. Hauptaustauschschrotte (PrinCipal Pivoting).
Vol. 16: H, P.K Gnzi und W. Oenli, Ncihtlineare Optimierung: 11,64 Seiten. 1971.
Neuere Verlahren. Bibliographie, IV, 180 Seiten, 1969.
Vol. 46: C, Boucher. Le«ons sur la tholorie des automates mao
Vol. 17: H. Bauer und K, Neumann, Berechnung optimaler Steue· tMmatiques, VIII. 193 pages. 1971,
rungen. Maximumprinzip und dynamische Optimierung. VIII, 188
Vol, 47: H. A Nour Eldin, Optimierung "nearer Regelsysteme
Seiten. 1969,
mit quadrati scher Zielfunktion. VIII, 163 Seiten, 1971.
Vol, 18: M. Wolff, Optimale Instandhallungspolitiken in einfachen
Systemen. V. 143 Seiten, 1970, Vol, 48: 1.1, Constam, FORTRAN fUr Anfanger. 2. Auflage. VI.
148 Seiten. 1973.
Vol. 19: L p, Hyvarinen, Mathematical Modeling for Industroal Pro·
Vol. 49: Ch. Schneewei6. Regelungstechnische stochastische
cesses. VI, 122 pages, 1970,
Optimierungsverlahren. XI, 254 Seiten. 1971.
Vol. 20: G. Uebe, Opti'mate Fahrplane. IX, 161 Seiten. 1970.
Vol. 50: Unternehmensforschung Heute - Ubersichtsvortrage der
Vol. 21: Th, M. Liebting, Graphentheorie in Planungs· und Touren· ZOricher Tagung von SVOR und OGU. September 1970, Heraus·
probtemen am Beispiel des stadhschen Stra6end,enstes, IX, gegeben von 1.1, Beckmann, IV. t33 Seiten. 1971.
118 Seiten. 1970.
Vol. 51: Digtiale Simulation, Herausgegeben von K. Bauknecht
Vol. 22: W, Eichhorn, Theorie der homogenen Produktionsfunk·
und W. Nef. IV, 207 Seiten, 1971.
tion. VIII, 119 Seiten. 1970.
Vol. 52: Invariant Imbedding. Proceedings 1970. Edited by R. E.
Vol. 23: A Ghosal, Some Aspects of Queueing and Storage
Bellman and E. D. Denman. IV, 148 pages, t971.
Systems. IV, 93 pages. 19 70.
Vol. 24: G.F eichtinger, Lernprozesse in stochastischen Automaten, Vol. 53: J. Rosenmuller, Kooperative Spiele und Markte. III, 152
V. 66 Seiten, 1970, Seiten.1971.
Vol. 25: R. Henn und O. Opitz, Konsum· und Produktionstheorie I. Vol. 54: C. C, von WelZsacker. Steady Slate Capital Theory. III,
II, 124 Seiten, 1970, 102 pages. 1971.
Vol. 26: D, Hochstadter und G. Uebe. Okonometrische Methoden, Vol. 55: p, A. V, B. Swamy. Statistical Inference ill Random Coef·
XII, 250 Seiten. 1970, ficienl Regression Models, VIII, 209 pages. 1971,
Vol. 27: I. H. Mufti. Computational Methods in Optimal Control Vol. 56: Mohamed A EI·Hodin, Constrained Extrema. Introduction
Problems. IV, 45 pages, 1970, to the Differentiable Case with Economic Applications, III. 130
Vol. 28: Theoretical Approaches to Non·Numerical Problem Sol· pages. 1971,
ving. Edited by R. B. Banerji and M. O. Mesarovic, VI, 466 pages. Vol. 57: E.F reund, Zeitvariable Mehrgr!l6ensysleme. VIII.160 Sei·
1970. ten.lg71.
Vol. 29: S, E. Elmaghraby. Some Network Models in Management Vol. 58: P. B.H agelschuer, Theorie der linearen Dekomposition.
Science. 111,176 pages. 1970. VII. 191 Seiten. 1971,
continuation on page 143
Lectu re Notes
in Economics and
Mathematical Systems
Managing Editors: M. Beckmann and H. P. KOnzi
Operations Research
125
Karl C. Mosler
Optimale Transportnetze
Zur Bestimmung ihres kostengUnstigsten
Standorts bei gegebener Nachfrage
Springer-Verlag
Berlin· Heidelberg· New York 1976
Editorial Board
H. Albach' A. V. Balakrishnan' M. Beckmann (Managing Editor)
P. Dhrymes . J. Green' W. Hildenbrand . W. Krelle
H. P. KOnzi (Managing Editor) . K. Ritter' R. Sato . H. Schelbert
P. Schonfeld
Managing Editors
Prof. Dr. M. Beckmann Prof. Dr. H. P. Kunzi
Brown University Universitat Zurich
Providence, RI 02912/USA 8090 Zurich/Schweiz
Author
Dr. Karl C. Mosler
WilsonstraBe 37
2000 Hamburg 70/BRD
Library or Congress Cataloging 1n Publica lion Data
Mos~er, Karl C ~947-
OptimaJ.e Transportnetze zur .Bestimmung ibres
kostengllnstigsten Standorts bei gegebener Nachfr.age.
(Lecture notes in economics and mathematical systems ;
125) (Operations research)
Based on the author's thesis, Munich.
Bibliography: p.
Inc~udes index.
1. Transportation--Ma.thematical models. 2. Cost
effectiveness. 3. Supp]¥ and demand. I. Title: Opti
~e Transportnetze zur Bestimmung ibres kostengUnstigsten
Standorts... II. Series. III. Series: Operations
research (Ber~in)
lIEl99.9.M67 380.5'OP84 76-9818
AMS Subject Classifications (1970): 49-04,90805,90815,90820,
90899,90C35
ISBN-13: 978-3-540-07690-2 e-ISBN-13: 978-3-642-95283-8
DO I: 10.1007/978-3-642-95283-8
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© by Springer-Verlag Berlin· Heidelberg 1976
VORWORT
Die Arbeit moehte einen Beitrag zur Standorttheorie von Transportnet
zen leisten. Seit sieh vor Uber hundert Jahren die Konstrukteure der
Eisenbahnen die Frage naeh der "okonomisehen Trassen einer Eisenbahn
linie gestellt haben - die der Bestimmung der nteehnisehen Trassen
vorauszugehen hat - , ist das Problem der kostengUnstigsten LinienfUh
rung von Transportverbindungen immer wieder aufgetaueht : urn die Jahr
hundertwende beim Bau von U-Bahnen in Stadten, wahrend der dreiBiger
Jahre bei der Planung von Autobahnen und in neuerer Zeit wieder beim
Versueh, den Stadtverkehr zu bewaltigen. Die Fragestellung klammert
die teehnisehen Gegebenheiten und die Besehaffenheit des Gelandes im
Kleinen grundsatzlieh aus; diese konnen in gewissem AusmaB als "Koste~
oder in Form von Nebenbedingungen berUeksiehtigt werden. Speziell wird
eine feste Naehfrage naeh Transport als gegeben vorausgesetzt, die
sieh nieht mit der Gestalt des zu konstruierenden Netzes andert. Wieh
tige Frageansatze und fundamentale Ergebnisse sind bereits bei
Wilhelm LAUNHARDT (1869 ff) zu finden, an die Tord PALANDER (1935) und
August L6sCH (1962) angeknUpft haben. Ein groBer Teil aueh der neueren
Literatur - als Beispiel sei C.WERNER (1966) genannt - geht weder me
thodiseh noeh in den Ergebriissen Uber LAUNHARDT hinaus.
De im folgenden die Frage naeh der geometrischen Gestalt von Transpor~
netzen im Vordergrund steht, betraehte ieh Transportnetze in klassi
scher Weise als Tupel von·.K~rven der reellen Ebene. Die Arbeit handelt
von stetigen Modellen, innerhalb derer optimale Netze eharakterisiert
und praktikable Wege zu ihrer Bestimmung angegeben werden. Die kombi
natorisehen Probleme, die sieh aus der Vielzahl moglieher Netzkonfi
gurationen und Routen darauf ergeben, werden nur gestreift. rm Zentrum
stehen Netze fUr den Transport aus einer Flaehe in einen Punkt. Voll
standig diskutiert werden u.a. Netze aus Radialen im Kreis; es zeigt
sieh, daB sie bei radialsymmetriseh verteilter Naehfrage beliebig ver
zweigten Netzen nur geringfUgig unterlegen sind. Da die meisten Pro
bleme sozusagen mit Handen zu greifen sind, habe ich, wo immer moglie~
der ansehaulich-geometrisehen Darstellung den Vorzug gegeben.
IV
Die Arbeit ist eine vollstandig liberarbeitete und erweiterte Fassung
meiner vom Fachbereich Mathematik der Technischen Universitat Munchen
genehmigten Dissertation. Danken mochte ich vor allem den 'Referenten,
Herrn Prof. Dr. M.J. BEC~liillN und Herrn Prof. Dr. J. HEINHOLD.
Prof. BECKMANN hat nicht nur durch die Themenstellung und seine eige
nen Abhandlungen den Grund zu dieser Dissertation gelegt, sondern auch
auf jeder Stufe der Arbeit Ideen und Anregungen beigesteuert.
Frau KR5GER sei herzlich fur ihren Einsatz und ihre Sorgfalt beim
Schreiben der Reinschrift gedankt. Erinnern mochte ich auch an
Susi und Kathi, die das niedrigste Nutzen!Kosten-Verhaltnis akzeptiert
und mich langere Zeit nur von hinten gesehen haben. Ihnen ist die Ar
beit gewidmet.
Hamburg, im Januar 1976
Karl Mosler
INHALT
I. Einfuhrung und Voraussetzungen
1. Optimale Transportlinien und -netze 1
2. Kosten auf dem Netz 4
3. Ein Beispiel: Verkehr in einer Stadt 9
II. Transportlinien
1. Transportlinien und Isovecturen 13
2. Kostenflachen 15
3. Brechunqsgesetze 17
4. Ein Beispiel: Kreisformiges Gebiet mit
radial-symmetrischer Frachtrate 21
5. Anisotroper Transport 26
III. Transportnetze
1. Diskret verteilte Nachfrage; der Satz vom
Knotenpunkt 30
2. Diskret und stetig verteilte Nachfrage;
die Krummung einer Netzlinie 38
3. ErschlieBung durch eine unverzweigte Netzlinie 42
4. Einfache Anwendungen des stetigen Ansatzes 49
5. ErschlieBung durch ein verzweigtes Netz 55
6. Exkurs: Marktgrenzen fur raumlich ausgedehnte
Produktionsstatten 60
IV. Isotroper Zentraltransport
1. Problemstellung 63
2. Die glinstigste Zahl von Radialen 66
3. Quelldichten und wachsender Radius 78
4. Eine Gabel aus Geraden im Sektor 84
5. Gabeln aus Geraden: numerische Ergebnisse 90
6. Beliebig gekrlimmte Gabeln 98
7. Ein anderer Nutzenansatz: Max B/C 102
VI
V. Anisotroper Zentraltransport: Flachenlinien
auf konzentrischen Kreisen
1. Netzlinien und Verkehrsscheiden 104
2. Radialen 109
3. Eine Gabel im Sektor 113
4. Gabeln: numerische Ergebnisse 117
5. Ein asymptotisch optimaler Zweig 124
VI. Regelma8ige Netze fur Transport in der 128
Fl!che
Literatur 136
Saohreqister 141
1. EINFOHRUNG UND VORAUSSETZUNGEN
1. Optimale Transportlinien und -netze
In einer ebenen Flache sei ein BedUrfnis nach Transport vorhanden:
Berufstatige wollen von ihren Wohnungen zu den Arbeitsstatten gelan
gen, Waren sollen zwischen Marktorten ausgetauscht oder die Haushalte
einer Stadt mit Leitungswasser versorgt werden; ein Netz zur tibermitt
lung von Telefongespraehen oder zum Transport von Erdgas wird geplant.
Den Beispielen ~st gemeinsam: es gibt Quellen und Ziele des Transpor
tes sowie zwischen ihnen zu befordernde "Massen" und es entstehen
Kosten, die von den Fahrtrouten bzw. vom Verlauf der Leitungswege ab
hangen.
Sei G eine ebene Flaehe, die grundsatzlich in jedem Punkt in beliebi
ger Riehtung TransportmOglichkeiten bietet; alternativ kann man vor
aussetzen, daB Transport nur in gewissen Richtungen langs einer vor
gegebenen, dicht liegenden Kurvenschar erlaubt ist. Urn im Punkt
x £ G c lR2 die Masse V in Riehtung B um eine Entfernungseinheit zu
befordern, mOgen die "Kosten" V • c(x,V,B) anfallen; die GroSe c
wird Frachtrate genannt. Diese "Kosten" stellen ein MaS fUr den Nutzen
dar, der dem Veranstalter des Transports entgeht; sie bestehen haupt
sachlich aus Geldausgaben und Zeitverlust1).
Die Transportnachfrage Q ordnet Paaren von Quellen und Zielen in G
jeweils die zu transportierende Masse zu. Wenn Quellen und Ziele iso
lierte Punkte in G sind, laBt sieh Q als Funktion Q : G x G + ~
schreiben; allgemeiner definieren wir Q als ein IntervallmaB2) auf
G x G. Die Routen des Transports sind Kurven in G. Ziel dieser A~beit
1) Bei Problemen des Personentransportes seien diese Kosten in
Zeiteinheiten gegeben; siehe dazu GOODWIN (1974).
2) d.h. ein in jedem kompakten Intervall endliches MaB;
vgl. etwa RICHTER (1966, 5.33)
2
ist es, Kurven und Netze aus Kurven zu charakterisieren, auf denen
eine gegebene Nachfrage bei ebenfalls gegebener Frachtrate zu den
geringsten Gesamtkosten erfullt werden kann.
1m einfachsten Fall besitzt die Transportnachfragenur eine Quelle
und ein Ziel: sie seien mit xl resp. x2 bezeichnet. Das Problem be-
l 2
steht dann darin, eine Kurve p mit Anfangspunkt x und Endpunkt x
zu finden, die das Wegintegral
J
( 1 ) c ds
P
zu einem Minimum macht. Jede Minimallosung pnennenwir eine Transport
Zinie. Formal handelt es sich um ein einfaches Variationsprobleml
einige anschauliche geometrische Methoden, um p zu bestimmen, werden
in II behandelt.
Zum Beispiel, wer die schnellste Fahrtroute in einem dichten StraBen
netz sucht oder eine Expedition durch Dschungelgebiete plant oder
auch, wer zwischen zwei Punkten eine neue Transportverbindung tras
sieren mochte, stoBt auf dieses Problem. Anders verhalt es sich, wenn
mehrere Quellen und Ziele des Transportes zugleich gegeben sind: die
Kosten, die der Entscheidung uber eine einzelne Route zugrunde lie
gen, hangen in der Regel von den Entscheidungen Gber die anderen Rou
ten abo Das Vorwartskommen in einem vorhandenen StraBennetz verlang
samt - also verteuert sich -, je mehr Fahrzeuge in der gleichen
Richtung benutzt werden und je haufiger andere Rbuten kreuzen. Umge
kehrt kann man beim Bau von mehreren neuen StraBen u.U. Kosten spa
ren, indem man den Transport bundelt und Teilstrecken zusammenlegt,
statt jede StraBe einzeln ihrer Transportlinie folgen zu lassen.
Ebenso konnen zwei verschiedene Expeditionen den Dschungel womaglich
billiger durchqueren, wenn sie sich ein Stuck des Weges gemeinsam
bahnen, auf dem sie obendrein besser vor Gefahren geschutzt sind •.•
Wenn, wie in den letzten beiden Beispielen, die Grenzkosten des
Transports, d.i. die Frachtrate, in V abnehmen, ist zu untersuchen,
3
ob sich die Bundelung des Transports in einem verzweigten Netz lohnt,
welche Gestalt es haben und wo es verlaufen soll, zu diesem Zweck
sind die Stuckkostenersparnisse gegen die zusatzlichen Kosten abzu
wagen, die durch das Verlassen der optimalen Transportlinien ent
stehen. Bereits die Eisenbahn- und StraBenbauer des 19.Jahrhunderts
haben Problema dieser Art formuliert und in einfachen Fallen gelost:
Lohnt es sich, fur ein gewisses Verkehrsaufkommen eine Eisenbahnlinie
zu bauen3)? Welche Gestalt hat ein optimales Verkehrsnetz zwischen
drei Stadten4)? Welches ist die gfinstigste Trasse fur eine Haupt
straBe, die den Verkehr zwischen mahreren D5rfern aufnimmt5)?
Transportnetze behandeln wir in Kapitel III und den folgenden. Hier
zunachst die Definition und einige Bezeichnungen: Sei G c ]R2; ein
Transportnetza in Gist ein endlicher, gerichteter6) Graph r, dessen
Knoten Punkte in G und dessen Kanten glatte Kurven endlicher Lange
in G sind. Die Menge der Knoten wird mit E, die der Kanten mit A be
zeichnet. Der Graph r fur sich betrachtet heiBt auch Konfiguration
des Transportnetzes a, die Kanten werden Netztinien genannt.
Seien endlich viele Quell- und Zielpunkte gegeben. Jedes Transport
netz muB dann wenigstens diese Punkte als Knoten enthalten; hinzu
konnen Hilfsknoten treten, deren Lage zusammen mit der der Netzlinien
so zu bestimmen ist, daB die Gesamtkosten minimal werden.
In man chen Anwendungen ist es sinnvoll, Quellen oder Ziele der
Transportnachfrage als stetig in der Flache verteilt anzusehen - sei
es, urn kombinatorischen Schwierigkeiten zu entgehen oder urn die Rea
litat etwa einer Entwasserungsaufgabe besser zu beschreiben. Gesucht
ist dann eben falls ein Transportnetz, das mindestens die mit endli-
3) MICHEL (1868)
4) LAUNHARDT (1872); s.u. III. 1.
5) LAUNHARDT (1869, S.48 f); s.u. 111.3
6) Die Beschrankung auf IEinbahnstraBen" hat nur definitorische
Grfinde; Netzlinien mit "Gegenverkehr" werden als zwei ge
richtete Linien mit identischem Standort bestimmt.
