Oppgaver i sannsynlighetsregning og statistisk metodelære

247 Pages·1984·53.65 MB·Norwegian

by  Arnljot Høyland, Liv Høyland

LIV OG ARNLJOT HØYLAND
OPPGAVER
I SANNSYNLIGHETSREGNING
OG STATISTISK METODELÆRE
5. utgave
B Nasjonalbiblioteket
Depotbiblioteket
TAPIR
ISBN 82-519-0633-4
Utdrag av forord ti! 1. utgave.
For å ha fullt utbytte av et innføringskurs i sannsynlighetsregning og matematisk stati­
stikk er det nødvendig for de fleste å løse oppgaver samtidig med at teorien leses. Der­
ved får leseren prøvet om han har forstått innholdet av de begreper som er innført, og
samtidig blir teorien belyst ved eksemplene.
Ved første gangs lesning av teorien trenges små øvingsoppgaver i direkte tilknytning til
de enkelte avsnitt. Senere vil leseren ha mer utbytte av å løse oppgaver som spenner
over flere avsnitt.
Denne oppgavesamlingen inneholder oppgaver såvel av den førstnevnte type (avsnitt 1.1
og avsnitt 2.1) som av den sistnevnte (avsnitt 1.2, 1.4, 2.2 og 2.4).
Trondheim i oktober 1969
Liv og Arnljot Høyland
Forord ti! 2. utgave.
Dette er en revidert og sterkt utvidet utgave av LIV OG ARNLJOT HØYLAND:
Oppgaver i sannsynlighetsregning og matematisk statistikk. Tapir 1969.
Foruten eksamensoppgaver fra Universitetet i Trondheim, NTH og NLHT, inneholder
samlingen en del oppgaver fra tidligere utgitte oppgavesamlinger:
ARNLJOT HØYLAND: Oppgaver i sannsynlighetsregning og statistikk, /.
Universitetsforlaget, Oslo 1960, og
ARNLJOT HØYLAND: Matematisk statistikk. Eksamensoppgaver med løsninger.
Tapir 1967.
For å hjelpe dem som ønsker å sette seg inn i fagområdene ved selvstudium, inneholder
samlingen enkelte oppgaver med skisse til løsning. Disse oppgavene er samlet i avsnitte­
ne 1.2 og 2.2, med løsninger henholdsvis i 1.3 og 2.3. Dessuten inneholder samlingen
et appendix med nøkketsvar ti! de fleste øvrige oppgaver.
Trondheim i november 1974
Liv og Arnljot Høyland
Forord ti! 3. utgave.
3. utgave av oppgavesamlingen er noe utvidet i forhold til 2. utgave, idet en del
eksamensoppgaver i matematisk statistikk ved Universitetet i Trondheim, NTH, fra årene
1974, 1975 og 1976 er kommet til. Noen trykkfeil er dessuten rettet opp.
Trondheim i juni 1977
Liv og Arnljot Høyland
Forord ti! 4. utgave.
4. utgave av oppgavesamhngen er noe utvidet i forhold til 3. utgave, idet eksamensopp­
gavene gitt i kursene for matematisk statistikk, sannsynlighetsregning og statistikk / og
// ved Universitetet i Trondheim, NTH, fra årene 1977 ti! 1981 er tatt med.
Trondheim, mars 1982
Liv og Arnljot Høyland
Forord ti! 5. utgave.
5. utgave av oppgavesamli ngen er noe utvidet i forhold til 4. utgave, idet endel eksamens­
oppgaver i sannsynlighetsregning og matematisk statistikk ved Universitetet i Trondheim,
NTH for årene 1982 ti! 1984 er tatt med. Noen trykkfeil er dessuten rettet opp.
Trondheim, september 1984
Liv og Arnljot Høyland
INNHOLD
SANNSYNLIGHETSREGNING
Øvingsoppgaver .............................................. 1
Eksamensoppgaver med skisse til løsning .. 24
Løsninger til oppgavene 81 - 92 .............. 30
Eksamensoppgaver ........................................ 42
II
STATISTISK METODELÆRE
Øvingsoppgaver .............................................. 59
Eksamensoppgaver med skisse til løsning .. 75
Løsninger til oppgavene 147 - 153 ............. 81
Eksamensoppgaver
i sannsynlighetsregning og statistikk ......... 91
Facit ................................................................ 233

DEL I
OPPGAVER
SANNSYNLIGHETSREGNING

Oppgave 1 - 4
1.1. Øvingsoppgaver
Oppgave 1
Ta for deg en bok med norsk tekst. Slå opp på side 17 og noter de absolutte og relative hyp-
pigheter for bokstavene a, b, ..., æ, d, å i de forste 100 bokstaver tekst.
Slå dernest opp på side 25 og gjenta forsoket, men nytt denne gang de 200 forste bokstaver
på siden.
Slå så opp på side 29 og gjenta forsoket med de 500 forste bokstaver fra og med forste linje
på denne siden.
Slå til slutt opp på side 51 og gjenta forsoket med 1000 bokstaver.
Noter resultatene i en tabell. Finner du noen statistisk lovmessighet?
Oppgave 2
Ta for deg en bok med engelsk tekst. Gjenta det forsok som er beskrevet i oppgave 1.
Er det noen forskjell på de lovmessigheter du finner her og de du fant i oppgave 1?
Oppgave 3
Angi utfallsrommet for et eksperiment som består i ett kast med én terning og ett penge­
stykke.
Oppgave 4
Vi kaster med to terninger og observerer resultatet. Hendelsen A betyr: »Sum øyne et odde
tall», og hendelsen B betyr: »Minst én ener.»
Hva betyr hendelsene B*, AAB, AUB, A*, AB A*UB, A*A*?B
Oppgave 5 - 7 -2-
Oppgave 5
En eske inneholder 100 gjenstander som kan ha defekter av 3 typer: type A, type B og type
C. 54 av gjenstandene har én eller flere defekter, og en vet at
20 har type A defekt
30 har type B defekt
14 har type C defekt
5 har type A og type B defekt
4 har type A og type C defekt
3 har type B og type C defekt
mens 2 har både type A, B og C defekt.
En velger ut en gjenstand tilfeldig fra esken. Angi et naturlig utfallsrom S for dette forsøket.
La A være hendelsen at en trekker en gjenstand med type A defekt,
la B være hendelsen at en trekker en gjenstand med type B defekt, og
la C være hendelsen at en trekker en gjenstand med type C defekt.
Tegn opp det tilhørende Venn-diagram, og forklar hva som menes med følgende hendelser:
AOBAC, A*, OBOC A*n*CAB
Sett opp uttrykk for hendelsene «minst én type defekt», »bare én type defekt» og »minst to
typer defekt».
Finn antall elementer (enkeltutfalI) i de nevnte hendelser.
Vis at Venn-diagrammet kan deles opp i 8 disjunkte hendelser, som er definert ved hjelp av
A, B og C og deres komplementer.
Oppgave 6
Anta at P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 og P(AAB) = 0.2. Beregn sannsynligheten for hendelsene:
a. A, men ikke B.
b. B, men ikke A.
c. Hverken A eller B.
Oppgave 7
En kaster med to terninger. Hva er sannsynligheten for å få:
a. Sum øyne =12? c. Odde antall øyne i sum?
b. Sum øyne =11? d. Sum øyne > 9?