OPERA MATEMATICA - Libro ài ragioni - Liber habaci

86 Pages·1987·7 MB·Italian

by  Paolo Gherardi

Paolo Gherardi
OPERA MATEMATICA
Libro ài ragioni - Liber habaci
Codici Magliabechiani Classe XI, nn. 87 e 88 (sec. XIV)
della Biblioteca Nazionale di Firenze
A cura e con introduzione
di
GINO ARRIGHI
n r p
Maria Pacini Pazzi editore in Lucca, 1987
A Ferruccio e Leonetta che mi dettero
© Maria Pacini Pazzi editore in Lucca, 1987
la vita e la lezione per viverla
INTRODUZIONE
12. m . 1933
Molti anni fa, conducendo una rassegna accurata dei Codici
Magliabechiani della Classe XI della Biblioteca Nazionale di Firen­
ze, avvertii subito la singolare importanza dei trattati matematici
contenuti, in quelli segnati 87 e 88 (ex Gaddi, ordinatamente, 702 e
418); ma altri impegni mi obbligarono a rimandare ad altro tempo
10 studio che quelli richiedevano e la loro edizione.
Tuttavia nel ’66 pubblicavo una nota negli atti dell’Accademia
delle Scienze di Torino(’) contenente la descrizione dei codici e
l’elenco degli argomenti contenuti nei trattati avvalendomi altresì di
ampie citazioni, mettevo in evidenza talune singolarità sulle quali mi
intratterrò nel seguito di questo scritto e compivo la trascrizione di
un lungo capitolo contenuto nel secondo trattato.
Le due opere, seppure in modo diverso ché per la prima si ha
testimonianza proprio nel suo inizio e per la seconda si avverte nel
foglio anteriore di guardia, sono attribuite a Paolo Gherardi o Gerar-
di, un fiorentino attivo nella sua città nel primo terzo del Trecento:
la singolarità alla quale ho fatto cenno è che entrambi sono dedotte
o ispirate dalla scuola matematica di Montpellier.
A distanza di anni, e con più larga esperienza, posso affermare
che le due opere sono a tutt’oggi Tunica testimonianza di scambi di
O L Ì'
^ ‘ largo rilievo della cultura matematica fra l’Italia e la Francia durante
11 medio evo.
Pertanto in ordine ad una geografia della scienza, e in particola­
Il presente volume è stampato con il contributo re alle vie seguite per la diffusione, è sommamente importante la
della Cassa di Risparmio di Lucca edizione dei due testi.
Certamente sarebbe stato utile in dare qui conto dello stato
degli studi di matematica in Montpellier negli ultimi decenni del
Dugento e nei primi del Trecento; ma se ben nota è la situazione di
quel tempo in Toscana anche in virtù dei miei contributi (^), nessuna
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notizia ho potuto reperire da Montpellier.
Il Cod. n. 87 si compone di 70 fogli membranacei di cm.
17,5x22,5 modernamente numerati, più due guardie cartacee in
tàènt principio sulla prima delle quali sono notazioni di catalogo e la
• a(inii«^igCn.^i scritta «Paolo Gerardi / Trat. d’Abbaco». E rilegato in pergamena e
sul costolo, assieme a tracce evanescenti di scrittura si legge il titolo
«Paolo / Gerardi / di Abbaco /702»; il testo, dopo la introduzione
a piena pagina, è scritto su due colonne con iniziali di riguardo ai
capoversi ed è corredato di numerose illustrazioni.
r lift aofrfflinwmotnQ
Qui vien fatto uso sistematico della numerazione araba, o india­
if^MorSoifÂ
na a detto di Leonardo Pisano, incontrandovisi un solo «xij»; la cifra
«4» ha talvolta la nota forma a cappio col tondo in alto, sulla fine
di una ragione intitolata «Chosse» si trova una abbreviatura che
potrebbe ritenersi come segno anticipatore di quello attualmente
usato per la moltiplicazione, il segno di frazione che è orizzontale
nell’originale è stato reso obliquo per comodità tipografica.
rirtîëiîlBroTnK* inflio
Il nesso «zz» è spesso nella forma «cç» che per maggior com­
prensione riproduco in «çç», la prima «r» del nesso «rr» ha sovente
la forma di «z» e la nota abbreviatura di «et» a guida di un «7» si
trova usata anche per «è» e pure seguita da «d», sebbene compaiano
esplicitamente «et» e «ed», per «e».
Il lettore accorto non avrà difficoltà a riconoscere le sviste e gli
errori nei quali è incorso l’amanuense in questo e nel seguente tratta­
to; avverto altresì che ho usato la forma «Ib» quando si tratta della
moneta e «libra» nel caso del peso ed infine che le figure alle quali
fa richiamo l’autore sono sovente mancanti.
Il Cod. n. 88 si compone di 57 fogli membranacei di cm. 19x27
modernamente numerati, più una guardia cartacea in principio che
reca notazioni di catalogo e la scritta «Paolo / Gerardi / Arim.». È
rilegato in pergamena e sul costolo, assieme a tracce evanescenti di
scrittura, si legge il titolo «XI. / Paolo / 418»; il testo è scritto a
Ccxi. Magi. XI. 87; c. Ir.. piena pagina con iniziali di riguardo ai capoversi.
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Ccxl. Magi. XI. 88; c. Ir.. Cod. Magi. XI. 88; II mese di Marzo.
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re più agevole la lettura, col rispetto per altro dell’«andata a capo».
Qui vien fatto uso sistematico della numerazione romana; circa
Debbo infine avvertire che i passi segnati con asterisco, nell’ori­
la scrittura osservo che la lettera «z» è del tipo della diplomaticu
ginale sono collocati nel bordo del foglio e scritti in caratteri più mi­
romana e fra le tante altre osservazioni che potrebbero farsi ricordo
nuti.
che il nesso «gl» è spesso risolto in «Igl» come in «elgli», «pilglare»,
«lulglio», «milglo», «volglio», «medalgle», etc..
Gino Arrighi
Neppure adesso farò l’esposizione del contenuto, ma voglio os­
servare che qui, piuttosto insolitamente, si trovano capitoli dedicati
all’astronomia ed altri dedicati addirittura alla storia generale dei
quali riferirò però solo i titoli. Aggiungo infine che per i primi sei
mesi dell’anno troviamo qui anche un calendario nel quale compaio­
no santi che sappiamo avere particolar culto in Francia.
In questa importante coppia di trattati sono frequenti i francesi­
smi e sono presenti addirittura parole francesi; ancora, e potevamo
bene attendercelo, molti elementi che costituiscono i problemi ap­
partengono al mondo francese nei suoi diversi aspetti.
E qui si pongono alcune considerazioni che non sempre hanno
risposta certa; così i due codici sono di diversa mano, ma l’esperienza
insegna che, anche se firmata, un’opera può essere non autografa e
talvolta neppure in parte la tradizione erudita ha ben ragione d’esse­
re.
Circa una sistemazione cronologica, proporrei il secondo tratta­
to come anteriore al primo e infine: si tratta di rielaborazione o di
traduzioni di scritti francesi?
Con queste interrogazioni alle quali potevano forse in parte
rispondere le mancante notizie francesi, concludo questa parte e pas­
so ad altre avvertenze.
Entrambi i codici hanno sofferto nei tempi passati di alcuni
danni dovuti all’umidità e ad altre cause, pertanto sono frequenti
larghe macchie oscure che non permettono sempre la giusta e inte­ (') G ino A rrighi, Due trattati di Paolo Gherardi matematico
grale lettura dei passi ai quali esse sono sovrapposte e tale situazione fiorentino. I Codici Magliabechiani Cl. XI, nn. 87 e 88 (prima metà del
non migliora neppure con l’uso della lampada al quarzo. 'Trecento) della Biblioteca Nazionale di Firenze, in «Accademia delle
Nella trascrizione, volendo sempre ottemperare all’impegno del Scienze di Torino. Atti della Classe di Scienze morali, storiche e
rispetto che si deve alle testimonianze per la storia della lingua, mi filologiche», voi. 101 (1967), p. 61.
sono limitato, come sempre, alla ricostruzione delle parole, a mettere (^) Per la mia bibliografia in proposito, sino all’inizio del 1982
i necessari accenti ed apostrofi che nell’originale sono sempre man­ vedi: M. Pancanti e D. Santini, Gino Arrighi storico della matematica
canti e a introdurre una punteggiatura alla moderna al fine di rende­ medioevale, Siena, Servizio Editoriale dell’Università, 1983.
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LIBRO DI RAGIONI
(Cod. Magi. XI, 87)
Al nome di Dio e della sua madre santissima e di tucta la corte
celestiale questo libro sarà scripto di ragioni secondo le regole e ’l
corso dell’ambaco facte per Paulo Gerardi di Firentie 1 [...] nome e
a honore di tuct’i buoni ragionieri per [...] che mi dia bene a comin­
ciare e meglio a finire. Amen. Anni Domini 1327 a dì 30 di gennaio
secondo lo corso di Mompeslieri.
Se ne fosse dieta alcuna ragione la quale si proponesse in 3 cose,
sì dovemo multiplicare la cosa che noi volemo sapere contra quella
che non è di quella medesima e partire nell’altra.
Asempro a la decta regola. 12 oncie d’argento valliono 4 Ib. 10
s., che varranno 34 oncie d’argento? Or diremo: la cosa che noi
volemo sapere sono le 34 oncie dell’argento et quella che non è di
quella medesima si sono le 4 Ib. 10 s.. Però dovemo multiplicare 34
via 4 Ib. 10 s. che fa 153 Ib., a partire in 12 che ne viene 12 Ib. 15
s. e tanto varanno le 34 oncie de l’argento. Ed è facta.
Se ne fosse decta alcuna ragione la quale si proponesse in tre
cose et dall’una delle 2 parti dinançi avesse rocto, sì dovemo multi­
plicare ambo le parti dinançi per tale numero en che si truova quello
rocto.
Asempro alla decta regola. 3 oncie 1/2 d’argento valliono 2
fiorini, per 100 fiorini d’oro quante oncie d’argento avrò io? Però
diremo che ll’una de le due parti dinançi rocta si è lo 1/2, fa 7 oncie,
sì come per 2 ài multiplicato l’argento, multiprica li due fiorini et
dirai: 2 via 2 fiorini fa 4 fiorini dirai [...] 7 oncie d’argento va [...]
fiorini come 3 oncie 1/2 valliono due fiorini d’oro. Però diremo: 100
via 7 oncie fa 700 oncie, a partire in 4 che ne viene 175 oncie
d’argento e tante n’averemo per 100 fiorini d’oro.
Se ne fosse dieta alcuna ragione la quale si proponesse in tre
cose e ambo le parti dinançi avesse rocte, sì diei multipricare ambo
le parti dinançi per tale numero in che si truovino quelli 2 rocti.
Asempro a la decta regola. 2 oncie 2/3 vagliono 3 perperi 3/4,
che varanno le 300 oncie d’argento? Però vedi in che si truova 1/3,
1/4, che si truova in 12; or diremo: 12 via 2 oncie 2/3 d’argento
valliono 32 oncie d’argento et 12 via 3 perperi 3/4 fa 45 perperi.
Dunque diremo: tale 32 oncie d’argento vagliono 45 perperi come
2 oncie 2/3 valliono 3 perperi 3/4. Per che diremo: 300 via 45
15
più faccia 25. Però diremo 1/2, 1/4, 1/5 si truova in 20; or vegiamo
perperi che fa 13500 perperi, a partire in 32 che ne viene 421 7/8.
E 421 perpero 7/8 varanno le 300 oncie dell’argento. Ed è facta. che è 1/2, 1/4, 1/5 di 20 ch’è 19, agiustalo sopra 20 e sono 39, or
trai 3 più che si de’ ponere sopra del 25 e romanon 22, or diremo:
Multipricare roti. 20 mi dàe 39 ed io voglio 22. Però multiprica 22 via 20 fa 440 a
partire in 39 che ne viene 11 11/39 e li 11/39 è quel numero. Ed
Se noi avessimo a multipricare numero sano e rocto contra nu­
è facta.
mero sano e rocto, sì dovemo multipricare l’uno numero sano contra
Fammi questa ragione. Trovami uno numero che tractone 1/3,
l’altro e possa li rocti in croce.
1/5, 1/8, lo remanente multipricato per si medesimo fa sano 120.
Asempro a la decta regola. 12 1/2 via 15 1/4 quanto fa? Però
diremo: 12 via 15 fa 180. Or diremo: 12 via 1/4 fa [3], echo 183.
Questi sono numeri.
Or prendi il 1/2 di 15 1/4 ch’è 7 5/8, agiustalo sopra 183 e sono
190 5/8 e tanto fa 12 1/2 via 15 1/4. Ed è facta. Fa’ così. Truova uno numero in che si truovi 1/3, 1/5, 1/8 ch’è
Se noi avessimo a partire numero sano e rocto per un altro 120; or di’: qual’è lo 1/3 di 120? Ch’è 40 e qual’è lo 1/5 di 120?
numero sano e rocto, sì dovemo multripricare amindue questi cotali Ch’è 24 e qual’è 1/8? Ch’è 15. Agiustali insieme e sono 79, or trai
numeri, ciascuno per sé, per tale numero in chente li decti rocti si 79 di 120 rimane 41, or di’: 120 via 120 fa 14400. Or di’: 41 via 41
trovano. fa 1681. E quest’è partitore, or di’: 120, ch’i’ vo’ trovare, via 14400
fa 1728000, a partire in 1681 che ne viene 1027 1613/1681. Or
Partire roti truova la radice di 1027 e tanto sera quel numero. Ed è facta.
Or mi truova numero che levatone lo 1/2 e ’l 1/4, lo rimanente
Asempro a la decta regola. Partimi 43 1/2 in 9 1/3. Però secon­
sia la radice del decto numero.
da la decta regola dovemo sapere in che numero si trova 1/2, 1/3
che si truova in 6; or dirai: 6 via 43 1/2 fa 261 e 6 via 9 1/3 fa 56.
Questi sono numeri.
Or parti 261 in 56 che ne viene 4 37/56. Ed è facta.
Se noi avessimo a traiere numero sano e rocto d’u’ numero sano Fa’ così. Dirai: truovami uno numero in che si trovi 1/3, 1/4
e rocto, sì dovemo trahere el minore numero del magiore numero et ch’è 12; or di’: 1/3, 1/4 di 12 si è 7 e rimanente si è 5. Or di’; 5 via
rocti del minore numero et poi agiusta li rocti che ci rimagnono co’ 5, 25 fa et 12 via 12, 144. A partire in 25 che ne viene 5 19/25: è
suoi rocti e vedi che ti rimane. quel numero. Ed è facta.
Asempro a la decta regola. Trami 7 5/6 di 13 4/5. Però secondo
la decta regola dovemo trahere 7 5/7 di 13 e rimane 5 1/6, agiustavi Questi sono numeri.
su e’ 4/5 c’ avea sopra 13 e sono 5 29/30. Rimane ed è facta.
Fami questa ragione. Se 9 è lo 1/2 di 16, dimandoti 12 che
parte sera di 25. De’ fare, coè vedi qual’è lo 1/2 di 16 ch’è 8, dunque
Multiprica rocto.
diremo: se 9 torna 8, che torneranno 12/25? Diremo: 9 via 25 fa
Se volessi multipricare numero rocto per rocto come 3/4 via 225. Or diremo: 8 via 12 fa 96. A partire in 225 che ne viene 32/75
3/5 si die multipricare in prima li numeri disocto cioè 4 via 5 che fa e talmente serà 12 di 25. Ed è facta.
20 et poi multiprica 3 via 3 fa 9 e questo 9 poni sempre 20 et fa’ Fami questa ragione, Truovami due numeri che tale sia 3/5
una verga al 1/2 sì come vedi qui, disegna 9/20 e 9/20 faranno. Ed dell’uno chet è 5/9 dell’altro e tanto facciano agiustati insieme quan­
è facta. to multipricato l’uno per l’altro.
Ora mi truova numero che agiustato di su il 1/2, 1/4, 1/5 e 3 Fa così. Segnali come tu li vedi segnati quie
16 17
1/4 di 12 si è 7. Agiustalo sopra 12 e sono 19 or dirai: 4 via 7 fa 28.
A partire in 19 che ne viene 1 9/19 e tant’è quella parte che de’
essere 1/3, 1/4 dell’altra e l’altra sì è lo remanente infine in 4 cioè
e poi li multiprica in croce e di’: 5 via 5, 25 et 3 via 9 fa 27. Agiustali 2 10/19. Ed è facta.
ensieme et sono 52. Or parti primieramente in 25 che ne viene 2 Or mi truova un numero che presone lo 1/3 e ’l 1/4 et agiustato
2/25 et poi parti ancora lo 52 in 21 che ne viene 1 25/27; dunque: sopra lo decto numero e postovi suso 5, faccia tanto quanto farebbe
l’uno 2 2/25 e l’altro 1 25/27. Facta. lo decto numero multiplicato pec 6. Sappi in che numero si truova
Fami di 12 tale 2 parti che tanto faccia l’una multiplicata per 5 1/3, 1/4 che si truova in 12; or di’: 1/3, 1/4 di 12 si è 7. Agiustalo
quanto l’altra per 8. Però faremo cosìe. Agiusta 5 et 8 che fanno 13 sopra 12 e sono 19. Or di’: per li 6 cotanti che si de’ multiplicare lo
e quest’è partitore. Or dì: 5 via 12 fa 60. A partire per 13 che ne decto numero, 6 via 12 fa 72. Trane 19 e remane 53 ora, per lo 5
viene 4 8/13 e quest’è la parte che essere multipricata per 8. Or di’: che vi si de’ suso agiustare, diceremo: 5 via 12 fa 60. A partire in 53
8 via 12 fa 96, a partire per 13 che ne viene 7 5/13 et quest’è la cEhle ne viene 1 7/53 e ta[n]to fu quello numero. Etd è facta.
parte che si de’ multiplicare per 5. Ed è facta. Fammi questa ragione. Truovami uno numero che postovi su 5
sia quadrato et tractone 5 sia quadrato. Però parti 5 per 2 che ne
Questi sono numeri. viene 2 1/2, or di’: 2 1/2 via 2 1/2 fa 6 1/4. E sempre vi pone suso
1 e sono 7 1/4 e 7 1/4 è quel numero. Ed è facta.
Fami questa ragione. Truovami due numeri che multipricato
ciascuno per se medesimo, agiunti insieme faccia 1. Faremo cosìe.
Truova 2 numeri che multripricato ciaschuno per se medesimo e Questi so numeri.
giunto insieme faccia numero ch’abbi radice e, se li vuoi trovare,
Fammi questa ragione. Trovami uno numero che multipricato
truova 2 numeri che ll’uno sia 3/4 dell’altro e diremo che l’uno si è
per se medesino, apostovi suso il 1/4 faccia 19. Diremo così. Pogna-
4 e l’altro 3; or multiprica 4 via 4 fa 16 et 3 via 3 fa 9, agiusta insiene
mo che questo numero sia una cosa et diremo: cosa via cosa fa
fa 25 e trova la radice di 25 ch’è 5. Or di’: 3 e 4 mi dà 5 in radice
cienso. Or v’agiusta suso 1/4 di cosa ed ài un cienso 1/4 di cosa e
e meglio è radice d’uno ch’è uno. Or di’: 3 via 1 fa 3. A partire in
senpre parte la cosa per 2, chè ’l 1/2 d’un 1/4 si è 1/8 di cosa. Or
5 che ne viene 3/5 e quest’è l’uno numero. E diremo; 4 via 1 fa 4.
di’: 1/8 di cosa via 1/8 di cosa fa 1/64 de cienso. Or vi poni suso
A partire in 5 che ne viene 4/5 e questo è l’altro numero. Facta.
19 ed ài 19 1/64, que si den partire per 1 cienso, dunque diremo
Fammi di 6 tali 2 parti che 1/4, 1/5 dell’una si è 1/5, 1/6
che radice di 19 1/64 meno 1/8 è quel numero.
dell’altra. Però truova numero in che si truovi 1/4, 1/5, 1/6 che si
Fammi questa ragione. Fami di 12 tali 2 parti che multipricata
truova in 60. Or di’: qual’è el 1/4 e ’l 1/5 di 60? Ch’è 27 e ch’è il
l’una per l’altra faccia 31. Però faremo così. Pognamo che ll’una
1/5 e ’l 1/6 di 60? Ch’è 22, agiustalo insieme e sono 49; or dirai: 6
parte fosse una cosa, dunque l’altra sì è 12 meno una cosa; or dire­
via 22 fa 132. A partire in 49 che ne viene 2 34/49 e 6 via 27 fa
mo: una cosa via 12 meno una cosa fa 12 cose meno un cienso. E
162, a partire in 49 che ne viene 3 15/49 ed ài che ll’una parte si è
quel cienso ch’è meno de’ ponete sopro 31 ed ài 31 e un cienso e
2 34/49 e l’altra si è 3 15/49. Ed è facta.
ora diremo che 12 cose sono eguali a 31 e un cienso; le cose si denno
sempre partire per 2, per che parti 12 cose per 2 che ne viene 6. Or
Questi sono numeri.
diremo: 6 via 6 fa 36, trane 31 ch’è de fore et rimane 5. Dunque
Fammi di 4 tali 2 parti che ll’una sia 1/3, 1/4 dell’altra. Però diremo che l’uno si è 6 e radice di 5 e l’altro si è 6 meno radice di
sappi in che numero si trova 1/3, 1/4 che si truova in 12; or di’: 1/3, 5. Ed è facta.
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Fammi questa ragione. Fami di 10 1/2 tali 2 parti che tanto si è 1/35 et l’altro 7/35 et l’altro 6/35 et l’altro 8/35. E quesU sono
faccia l’una ragiunta co’ 11 1/5 quanto l’altra radopiata. Però faremo 11 5 numeri che multipricato ciaschuno per se medesmo e giunto
così. Agiusta 10 1/2 con 11 1/5 e sono 21 7/10 e però che dice l’una insieme fae 1/7. Ed è facta.
radopiata cioè multipricata per 2 sì dei partire per 3. E si dicesse
multipricata per 3, sì dei partire per 4, senpre per 1 più. E però Quessti so’ numeri.
partiamo per 3, che nne viene 7 7/30 e tanto fu la parte dopiata e
Fami questa ragione. Truovami uno numero che multipricato
l’altra fue lo remanente infine in 10 1/2 ch’è 3 8/30. Ed è facta.
per se medesmo che agiustato sopra 24 faccia numero che abbia
Quessti so’ numeri. radice. Però parti 24 per 4 che ne viene 6 e sempre ne trai 1 e rimane
5, or di’; 5 via 5 fa 25. Agiustalo sopra 24 et sono 49, or truova la
Fammi di 14 tali 2 parte che partita l’una per l’altra ne vegnano
sua radice ch’è 7. Ed è facta.
4. Perché dice che vuole che ne vegnano 4, agiusta 1 sopra 4 e sono
Fammi questa ragione. Truova uno numero che multipricato per
5, or parti 14 per 5 che che viene 2 4/5 e tant’è l’una parte e l’altra
se medesmo faccia I l e i rocto. Però diremo; 1/2 si truova in 2 et
è lo remanente ch’è 11 1/5. E, se la vuoi provare, provala e trovera-
2 via 2 fa 4 o 4 via 11 fa 44 e sempre vi pone suso 1 et sono 45. A
la.
radice? che nno’ 11’ à. Dunque questo rocto non può venire per lo
Fammi questa ragione. Truovami 5 numeri che multiplicato cia-
1/2. Or vegiamo per 1/3 e diremo; 1/3 si truova in 3 e 3 via 3 fa 9
schuno per se medesimo, agiunto insieme facciano 1/7.
e 9 via 11 fa 99. Agiustavi suso 1 e sono 100, truova la sua radice
Fa’ così. Sempre mai chi ti domanda numeri che facciano 1/7,
ch’è 10; or parti 10 per 3 che ne viene 3 1/3 e 3 1/3 à ’l numero.
sì ti conviene trovare cotanti numeri quant’ ella ti domanda che
Ed è facta.
multiplicato ciascuno per se medeimo, agiunto insieme faciano 7. E
Fammi questa ragione. Truovami uno numero che presone lo
se tti domandasse 1/9 sì convereste che facessero 9 e cosìe tuct’i
1/3 e ’l 1/4 e multiplicato l’uno per l’altro faccia 20.
numeri chi àno rocti del quale fossi domandato. Però troviamo 5
numeri che faciano 7 e diremo che ’l primo si è 1 per che diremo 1
Quessti so’ nubre.
via 1 fa 1: or ne troviamo 2 che facciano 2 e l’uno non sia simigliante
dell’altro e però che 2 non à radice sì Ilo partiamo per 2 che ne viene Fa’ così. Pognamo che quel numero fusse una cosa, or diremo:
1, or vedi si 1 à radice che àe 1 et se non avesse radice non si lo 1/3 d’una cosa è 1/3 di cosa e ’l 1/4 d’una cosa si è 1/4 di cosa.
potrebbe fare. Però sappi radice d’uno che part’è di radice di 25 ch’è Or di’: 1/3 di cosa via 1/4 di cosa si fa 1/12 di censo. Dunque
1/5 e poi l’altra metà de la radice si multiprica per 35 e di’; 1 via diremo che 1/12 di censo si è eguali a 20. Però recha a sano per 12
35 fa 35. Parti per 25 che ne viene 1 2/5. Dunque li 2 numeri che per fare lo cienso intero e diremo: 12 via 1/12 di cienso fa 1 cienso,
faranno 2 l’uno si è 1/5 e l’altro 1 2/5. Or troviamo 2 numeri che 12 via 20 fa 240. A partire da 1 cienso che ne viene 240 e radice di
facciano 4 e diremo che quie conviene altra regola però che 4 si à 240 è quel numero. Etd è facta.
radice e diremo cosìe: 3 et 4 mi dà 5 in radice et meglio è radice di Fammi questa ragione. Truovami uno numero che multiplicato
4, ch’è 2; muldprica 2 via 3 fa 6, parti in 5 che ne viene 1 1/5 et 2 per 3 1/5 faccia 17 1/3. Però parti 17 1/3 per 3 1/5 che ne viene 5
via 4 fa 8, parti in 5 che ne viene 1 3/5 e questi sono li due numeri 5/12 e 5 e 5/12 è quel numero. Ed è facta.
che fanno 4; or ài che ll’uno si è 1 e l’altro si è 1/5 e 1 2/5 che fa Se tti fosse decto per alcuna persona: prendi li 3/4 d’una radice.
2; li altri 2 si è l’uno 1 1/5 e l’altro si è 1 3/5 che fanno 4. Or Prende sempre mai li 9/16 di quello cotale numero. Et dirai che Ila
diremo: reca a sano per 5 e 7 è partitore. Or diremo 5 via 7 fa 35 e radice di quello cotale numero che tti verràe seràe li 3/4 della decta
5 via 1 fa 5 et sono 5/35; e così fa’ dell’altri et diremo che ll’altro radice. Li 9/16 si predeno peroché 3/4 via 3/4 fa 9/16 et se dicessi
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