Table Of ContentOnsager’s Conjecture
(DieVermutungvonOnsager)
VonderFakultätfürMathematikundInformatik
derUniversitätLeipzig
angenommene
DISSERTATION
zurErlangungdesakademischenGrades
DOCTORRERUMNATURALIUM
(Dr.rer.nat.)
imFachgebietMathematik
vorgelegt
vonM.Sc.TristanBuckmaster
geborenam15.05.1985inMelbourne,Australien
DieAnnahmederDissertationwurdeempfohlenvon:
1. ProfessorDr.StefanMüller(UniversitätBonn)
2. ProfessorDr.LászlóSzékelyhidiJr.(UniversitätLeipzig)
DieVerleihungdesakademischenGradeserfolgtmitBestehender
Verteidigungam22.08.2014mitdemGesamtprädikatsummacumlaude
Thesisadvisor:LászlóSzékelyhidiJr. TristanJamesBuckmaster
Onsager’sConjecture
Abstract
In1949,LarsOnsagerinhisfamousnoteonstatisticalhydrodynamicsconjectured
that weak solutions to the 3-D incompressible Euler equations belonging to Hölder
spaceswithHölderexponentgreaterthan1=3conservekineticenergy; conversely, he
conjecturedtheexistenceofsolutionsbelongingtoanyHölderspacewithexponentless
than1=3whichdonotconservekineticenergy. Thefirstpart,relatingtoconservation
ofkineticenergy,hassincebeenconfirmed(cf. [Eyi94,CWT94]). Thesecondpart,
relatingtotheexistenceofnon-conservativesolutions,remainsanopenconjectureand
isthesubjectofthisdissertation.
IngroundbreakingworkofDeLellisandSzékelyhidiJr. [DLSJ12a,DLSJ12b],the
authorsconstructedthefirstexamplesofnon-conservativeHöldercontinuousweakso-
lutionstotheEulerequations. TheconstructionwassubsequentlyimprovedbyIsett
[Ise12,Ise13a],introducingmanynovelideasinordertoconstruct1=5(cid:0)"Höldercon-
tinuousweaksolutionswithcompactsupportintime.
Adhering more closely to the original scheme of De Lellis and Székelyhidi Jr., we
present a comparatively simpler construction of 1=5 (cid:0) " Hölder continuous non-
conservativeweaksolutionswhichmayinadditionbemadetoobeyaprescribedkinetic
energyprofile.¹ Furthermore,weextendthisschemeinordertoconstructweaknon-
conservativesolutionstotheEulerequationswhoseHölder1=3(cid:0)"normisLebesgue
integrableintime.
Thedissertationwillbeprimarilybasedonthreepapers: [BDLSJ13],[Buc13]and
[BDLS14]–thefirstandthirdpaperbeingincollaborationwithDeLellisandSzékely-
hidiJr.
¹TheabilitytoprescribeanenergyprofilewasalsopresentintheoriginalschemesofDeLellisand
SzékelyhidiJr.
iii
WissenschaftlicherBetreuer:LászlóSzékelyhidiJr. TristanJamesBuckmaster
DieVermutungvonOnsager
Zusammenfassung
ImJahr1949stellteLarsOnsagerinseinerberühmtenArbeitzurstatistischenHydro-
dynamikdieVermutungauf,dassalleschwachenLösungender3-DEulerGleichungen,
welcheHölder-stetigmitExponentθ > 1=3sind,diekinetischeEnergieerhalten. Zu-
demvermuteteOnsager,dassesinjedemHölder-RaummitExponentθ < 1=3Lösun-
gengibt,dienichtkonservativsind,dasheißtihrekinetischeEnergiebleibtnichterhal-
ten.DerersteTeilderVermutungwurdein[Eyi94,CWT94]bewiesen.EinBeweisfür
denzweitenTeilderVermutungstehtnochausundistGegenstanddervorliegenden
Dissertation.
Erste Beispiele von nicht-konservativen Hölder-stetigen schwachen Lösungen der
Euler Gleichungen wurden in der bahnbrechenden Arbeit [DLSJ12a, DLSJ12b] von
De Lellis und Székelyhidi Jr. konstruiert. Die in dieser Arbeit verwendete Methode
wurdeimFolgendendurchIsettin[Ise12,Ise13a]verbessert, demesgelang1=5 (cid:0) "
Hölder-stetigeschwacheLösungenmitkompaktemTrägerinderZeitzukonstruieren.
In dieser Arbeit präsentieren wir eine alternative, vergleichsweise einfachere Kon-
struktion, die näher an der ursprünglichen Konstruktion von De Lellis and Széke-
lyhidi Jr. ist, und dabei nicht nur solche 1=5 (cid:0) " Hölder-stetigen, nicht konser-
vativen, schwachen Lösungen liefert, sondern uns auch erlaubt, das Energieprofil
vorzuschreiben (vgl. die ursprüngliche Methode von De Lellis und Székelyhidi Jr.).
Darüberhinaus erzielen wir eine Verbesserung dieser Methode, insofern dass wir die
Existenz einer solchen Lösung nachweisen, deren 1=3 (cid:0) " Hölder-Norm Lebesgue-
integrierbarbezüglichderZeitist.
DieseDissertationbasierthauptsätchlichaufdenArbeiten[BDLSJ13],[Buc13]und
[BDLS14],wobeiderersteunddritteArtikelgemeinsameArbeitenmitDeLellisund
SzékelyhidiJr.sind.
v
Contents
1 Introduction 1
1.1 TheEulerEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 TheOnsagerConjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 ReferencesandRemarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 OutlineofConvexIntegrationScheme 7
2.1 ConvexIntegrationandtheApproachofDeLellisandSzékelyhidiJr.
toOnsager’sConjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 TheConvexIntegrationSchemeofIsett . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 AnExaminationofScales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 ConvergenceoftheEnergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 ReferencesandRemarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Cancellationoflowfrequencyerror 15
3.1 BeltramiFlows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
R
3.2 TheOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 ReferencesandRemarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 MinimisationofTransportError 27
4.1 ThePrincipalTransportError . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 TransportErrorofPreviousReynoldsStress . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 TransportEstimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 ReferencesandRemarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Perturbationestimates 41
5.1 AdditionalNotationandParameterOrderings . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 EstimatesonComponentsofPerturbation . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 ReferencesandRemarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
vii
6 ReynoldsStressEstimates 51
6.1 ReynoldsStressEstimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 ReferencesandRemarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7 ProofofTheorem1.2.2 63
7.1 EstimatesontheEnergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2 MainPropositionandChoiceofParameters . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3 ConclusionofProofofTheorem1.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.4 ReferencesandRemarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8 ProofofTheorem1.2.3 69
8.1 Bookkeeping,PartitioningandParameterChoice . . . . . . . . . . . 69
8.2 MainPropositionandParameterInequalities . . . . . . . . . . . . . 73
8.3 ConclusionoftheProofofTheorem1.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.4 ReferencesandRemarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A Appendix 83
A.1 Hölderspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.2 LinearPartialDifferentialEquationTheory . . . . . . . . . . . . . . 85
References 91
viii
DedicatedtothememoryofLászló(Laci)GyörgyKovács(1936–2013),a
kindandgentleman,whoseguidanceandsupportplayedaformativerole
inmypursuitofanacademiccareerinmathematics.
ix
