On the Mumford-Tate Group of an Abelian Variety with Complex Multiplication

25 Pages·2003·1.53 MB·English

CORE Metadata, citation and similar papers at core.ac.uk
Provided by Elsevier - Publisher Connector
49-73 (1987)
LANRUOJ FO ARBEGLA ,111
nO eht etaT-drofmuM puorG of na nailebA yteiraV htiw
Complex Multiplication*
.B NOSDOD
tnemtrapeD ‘fo ,scitamehtaM hgiheL ,ytisrevinU
,mehelhteB ainavlysnneP 18015
detacinummoC yb retlaW fieF
devieceR rebmevoN 10. 1984
teL ,K( )@ eb a evitimirp epyt-MC htiw :K[ ]O = n2 rof( snoitinifed dna
suoiverp stluser ees noitceS .)1.1 xiF ,n dna redisnoc eht noitcelloc
)n(s = ,})@(knaR{ erehw )@(knaR stnuoc eht rebmun fo tnednepedni
setalsnart fo iQ rednu eht siolaG noitca dna ,K( )@ segnar revo lla evitimirp
.sepyt ehT tsellams tnemele fo ,)n(S detoned yb ,)n(B si derrefer ot sa eht
prahs rewol dnuob rof eht knar ni noisnemid .n sA saw thguorb ot eht
s’rohtua noitnetta yb ,tebiR sdnuob no )n(B fo eht form p + ,1 rof p a
emirp gnidivid ,n wollof yltcerid from eht foorp fo s’tebiR ycarenegednoN
meroehT .]12[ sihT si dedrocer sa meroehT .4.1 s’tebiR dohtem osla sevig
sdnuob fo eht form q2 rof q a emirp htiw 2q gnidivid ,n sa si devresbo ni
meroehT .21.1 nehW denibmoc htiw eht s’rohtua snoitcurtsnoc fo nailebA
seiteirav ni ,S[ ,19 ew niatbo eht esicerp eulav fo )n(B rof ynam seulav fo n
seiralloroC( 5.1 ot 8.1 dna .)31.1
We llacer taht eseht snoitcurtsnoc esu eht citylana dohtem fo lieW dna
,arumihS rehtegot htiw wen stluser no eht xelfer dleif from na noitagitsevni
detseggus ot eht rohtua yb .aru’mihS ehT tseretni fo eht knar semoc from
eht yroeht fo xelpmoc .noitacilpitlum fI A si na nailebA yteirav fo epyt-MC
,K( ,)@ neht eht atobuK knaR fo A si knaR ,)@( dna slortnoc seitreporp fo
eht sdleifssalc detcurtsnoc from A sa ni atobuK [ 161 dna tebiR .]02[ sihT
si detcennoc htiw eht tcaf taht eht knar fo @ si osla eht noisnemid fo eht
etaT-drofmuM puorg fo ,A dna htiw eht noitaler fo siht puorg ot eht cida-I
snoitatneserper fo ,A sa ni erreS ,42[ .152
ehT niam ydob fo eht repap sniatnoc stluser taht edivorp noitamrofni no
.)n(S ehT niam ,tluser meroehT ,5.2 stressa taht nehw n si ddo ereht si a
elbatupmoc tesbus )n(,,,‘,S fo )n(S taht stnuocca rof eht sknar fo ynam
sepyt-MC no most .sdleif-MC eroM ,ylesicerp tel ,K eb eht lamixam yllatot
laer dleifbus fo ,K dna gK eb eht siolaG erusolc fo .,K We redisnoc eht -rep
* sihT hcraeser saw detroppus yb a suoreneg tnarg from eht reldieR .noitadnuoF
94
0021-8693/87 $3.00
thgirypoC 0 1987 yb cimedacA ,sserP .cnI
llA sthgir of noitcudorper ni yna mrof .devreser
05 .B NOSDOD
noitatum puorg ,G denimreted yb ,K ,.g.e( yb eht noitca of eht siolaG
puorg no eht stoor of eht laimonylop of a evitimirp rotareneg of .),,K nehT
ruo noitidnoc no K si taht ,G tsum evah a elbavlos puorgbus taht si
.evitisnart stnemenifeR ni eht citeroeht-puorg sdohtem of ]8[ dael ot eht
noitavresbo taht eht elbatupmoc ,esac erehw eht dleif-MC si elbavlos dna
sniatnoc na yranigami citardauq ,dleifbus sevig tsom of eht noitamrofni
nehw n si ,ddo ecnis ew yam esu eht noitca of niatrec elbavlos evitisnart
.spuorgbus
enO of eht snoitseuq desiar yb eht evoba ytilibavlos noitidnoc si eht
melborp of gninimreted nehw a elbavlosnon noitatumrep puorg sah a
elbavlos evitisnart .puorgbus nI noitceS 3 eht rohtua stpmetta ot wohs taht
siht melborp sah emos tirem sa a melborp ni erup puorg ,yroeht dna ti si
detcennoc ot eht yroeht of noitatumrep snoitatneserper of elpmis .spuorg
,yllaniF ew taert eht elpmaxe n = 9 ni noitceS 4 dna ekam emos yranimilerp
snoitavresbo no eht esac n .2p=
.1 S’TEBIR DOHTEM
.1.1 snoitinifeD dna suoiverP .stluseR llA rebmun sdleif ni siht repap era
dedrager sa sdleifbus of eht dleif C of xelpmoc .srebmun A dleif-MC si a
yllatot yranigami citardauq noisnetxe K of a yllatot laer dleif .,K teL
:,K[ ]O = ,n os taht :K[ ]Q = .n2 A epyt-MC si a riap ,K( ,)@ erehw K si
a dleif-MC dna @ si a tes of n sgniddebme ,,#{ . . . . },$ of K otni C hcus
taht yreve gniddebme si gnoma ,,4{ ,,d . . . . ,,,b ,},d htiw 4j eht etisopmoc
of id htiw xelpmoc .noitagujnoc We osla refer ot @ sa a epyt no .K
teL cK etoned eht siolaG erusolc of K revo .Q roF a epyt @ no K dna rof
,)Q/”K(laGEg tel ”@ eb eht epyt no K gniniatnoc eht sgniddebme ,?,d
l=j 3 ,... ,n htiw )x(;d deniatbo yb gniylppa g ot eht egami of x E K rednu
.,4 nehT eht knar of ,@ ,)@(knaR si eht knar revo Z of eht eludombus
dennaps yb { RQ hcus taht Eg })Q/”K(laG edisni eht eerf eludom-Z
14a 2 ,4 7 . >.. ,,4 .I,$ A tcerid foorp taht )@(knaR sedicnioc htiw eht
noisnemid of eht etaT-drofmuM puorg of nailebA seiteirav of epyt ,K( )@
sah neeb debircsed ot eht rohtua yb .H nnamlhoP dna yam eb dnuof ni
.191c
roF a dleifbus-MC ,K of ,K tel r@ eb a epyt-MC no .,K nehT eht tfil of
,,K( )r@ ot K si eht epyt gnitsisnoc of lla sgniddebme of K otni @ esohw
noitcirtser ot 1K sgnoleb ot r@ . ,yllaniF eht epyt ,K( )bQ si dias ot eb
evitimirp fi @ si ton eht tfil of yna epyt no yna dleifbus-MC of .K We llacer
taht eht meroehT of rehcappahcS ]22[ stressa ,taht htiw owt ,snoitpecxe
yreve dleif-MC sah emos evitimirp .epyt
ehT stluser of atobuK ,]61[ arumihS ,]62[ dna tebiR ]12,02[ yam eb
detcelloc ot evig eht :gniwollof
NAILEBA SEITEIRAV OF EPYT-MC 15
MEROEHT .0.1 )i( n + 1 E ,)n(S rof yreve .n )ii( t E )n(S seilpmi t 6 n + .1
)iii( t )~(SE seilpmi <2+)n(,gol .t )vi( roF ,’2=n j32, =2+)’2(,gol
.)j2(B )v( s’tebiR( ycarenegednoN )meroehT roF n = ,p p a ,emirp )p(S =
))P(B{ = +P{ .)1
nehW n si ,etisopmoc tub n # ,’2 ew esu ])n(zgol[ + 3 sa a rewol dnuob
rof ,)n(B erehw [ ] setoned eht tsetaerg regetni ,noitcnuf dna refer ot siht
sa eht .dnuob-,gol We llacer taht @ si dias ot eb etarenegednon nehw
+n=)@(knaR .1
Remark .1.1 ehT rohtua sah nwohs ni ]8[ taht )n(B < n + 1 revenehw
n si ,etisopmoc os taht )n(S = })n(B{ sdloh ylno nehw n si .emirp ehT
stluser of ,S[ 19 evig lanoitidda noitamrofni no ,)n(S dna reppu sdnuob no
.)n(B etisopmoC seulav rof hcihw eht dnuob-,gol si eht prahs rewol dnuob
edulcni n = ,9 ,01 dna ,53 hguohtla eht rewol dnuob rof eseht sesac si osla
nevig yb eht sdnuob ni eht tneserp .repap eroM ,yllareneg rof n = )i( htiw
d ,ddo d > ,7 ew evah )n(B < d + ,1 elihw eht dnuob-,gol sraeppa ot eb .d
nehW d si a ,emirp siht si detnuocca rof yb yralloroC 6.1 .woleb
,yllaniF ew llacer ni na ticilpxe form taht eht foorp of esac )A( of eht
meroehT of ,S[ .tceS 11.3.3 sevig eht reppu dnuob of eht :gniwollof
NOITISOPORP .2.1 roF n = ,’p htiw p na ddo ,emirp (B )ip < pj - j + .2
foorP ehT xelfer epyt of eht epyt ni eht foorp .tol( ,.tic htiw k p= dna
1 )j= sah eht deriuqer .ytreporp ehT sisehtopyh no eht ecnetsixe of eht
)elbavlos( yllatot laer dleif sah neeb dehsilbatse ni .]SI[
.1.2.1 s’tebiR rewoL .dnuoB oT ees taht ereht si a egral ssalc of seulav
rof hcihw eht dnuob-,gol si ton eht prahs rewol ,dnuob redisnoc eht
:gniwollof
NOITINIFED .3.1 teL rp eb eht tsegral emirp gnidivid .n We yas taht n si
elbisivid yb a yltneiciffus egral emirp fi n4 < .rp2
,nehT from eht foorP of eht ycarenegednoN ,meroehT ew evah
MEROEHT 4.1 .)tebiR( teL p eb na ddo emirp gnidivid .n nehT
)n(B p> + .1 nI ,ralucitrap eht dnuob-,gol no )n(B si ton prahs revenehw n
sah a yltneiciffus egral emirp .rotcaf
We edulcni eht foorp woleb rof ,ssenetelpmoc ecnis eht emas stnemugra
era deriuqer rof meroehT .21.1 roF( eht tseb rewol dnuob nevig yb siht
,dohtem ees noitceS ).2.3.1
foorP tebiR( .)]12[ We tsrif eton taht nehw @ si a evitimirp epyt no ,K
on tnemele of )Q/cK(laG sexif yreve tnemele of eht tibro-)Q/”K(laG of .@
25 .B NOSDOD
nI ,tcaf fi emos tnemele y fo )Q/”K(laG sexif yreve ”@ neht J si eht ytitnedi
no yreve etagujnoc ”)’K( fo eht xelfer dleif ’K fo ,K( ,)@ dna erofereht no
.“)’K( tuB neht c‘)’K( ,“)’K( os #“)’K( cK seilpmi #‘)’K( ,K gnitcidartnoc
a tnemeriuqer no evitimirp sepyt .fc( arumihS .)1721
txeN ew evresbo taht ecnis eht emirp p sedivid n, hcihw sedivid eht redro
fo ,)Q/’K(laG ereht si na tnemele g fo redro p ni .)Q/’K(laG woN tel V eb
eht raenil-Q ecaps dennaps yb eht tibro fo ,@ sa ni eht noitinifed fo eht
knar .evoba nehT eht noitca fo )g( no eht tibro fo @ secudni na noitca fo
eht gnir R = PX(/]X[Q - )1 no .V ecniS R sah eht erutcurts Q @ ,),,p(Q rof
,,p a htp toor fo ,ytinu eht eludom-R /I yletelpmoc secuder sa a tcerid mus
,,V @ ,V , erehw g sah laivirt noitca no ,V dna laivirtnon noitca no ,,V htiw
noisnemid (,mid ,V ) = (h p - )1 dna b ,> .1
,yllaniF eht stnemele ’p,pK@+...+“@+@=@,N dna G+@ htob
gnoleb ot ,,,V dna era ylraenil ,tnednepedni hcihw ew ees yb gniredisnoc a
noitaler fo eht form @,N = (c @ + .)6 gniddA eht stneiciffeoc fo eht -debme
sgnid no htob ,sedis ew niatbo )n2(c np= ecnis( @ si a ,)epyt os c 2/p= si
ton na regetni rof p .ddo tuB siht stcidartnoc @V,N ni ,,d[Z . . . . ,],,4 ecnis
+@ 6 si eht rotcev htiw lla stneiciffeoc lauqe .1 suhT ew niatbo
-p(h+),V(,mid=)V(,mid=)~(knaR +2>)1 +p=)l-p(l .1
ehT gniniamer noitavresbo si ylerem taht nehw Yp si yltneiciffus ,egral
)n4(,gol ,,p< os ])n(zgol[ + 3 +rp< .1
selpmaxE fo sregetni tuohtiw yltneiciffus egral emirp srotcaf era nevig yb
’3”2 dna .’5”3 ,revewoH nehw n si nettirw ni eht form n ,n= ,,p eht
rotcafoc ,n tsum yfsitas eht noitidnoc ,n < ~‘~2(),~/1( ,)2 hcihw sworg
yldipar htiw .,p
.2.2.1 seulaV .)n(Bfo ehT seiralloroc woleb evig seulav fo n rof hcihw eht
dnuob rp + ,1 rof .,p eht tsegral emirp gnidivid ,n si eht prahs rewol dnuob
.)n(B ehT sfoorp evig eht ecnerefer rof eht noitcurtsnoc fo nailebA seiteirav
htiw xelpmoc noitacilpitlum rof hcihw eht prahs rewol dnuob .srucco nI
sesac rof hcihw n srucco ni lareves ,seiralloroc eht dleif fo xelpmoc -lum
noitacilpit sah tcnitsid citeroeht-siolaG erutcurts ni hcae .ecnerrucco We
llacer taht gnivig a epyt-MC si tneicillus ot niatbo na nailebA ,yteirav yb
eht citylana noitcurtsnoc fo snoitceS 6 dna 4.21 fo arumihS amayinaT-dna
.192~
YRALLOROC .5.1 teL n = p2 htiw p a emirp regral naht 3; or, erom
,yllareneg tel n tp= htiw t gnidivid p - 1 dna t p< - .1 nehT )n(B p= + .1
Proof: nehW p > ,7 ew esu eht xelfer fo eht epyt ni noitisoporP 1.3.2
.]9[ roF p = 5 dna ,7 ees .]S[
YRALLOROC .6.1 teL n eh a laimonib ,tneiciffeoc n = (L), htiw p a emirp
regral naht 3 dna -p(dm<2 .2/)1 nehT +p=)n(B .1
NAILEBA FOSEITEIRAV EPYT-MC 35
:foorP ehT ecnetsixe ereh swollof from eht ecnetsixe of a yllatot laer
dleif htiw siolaG puorg eht cirtemmys puorg ,S revo .Q ,.fC( ,.g.e ]8[ ro
noitceS 1.2 of ).]9[
YRALLOROC .7.1 esoppuS eht laedi )2( sesopmoced otni semirp fo eerged
nif eht htp cimotolcyc .dleif teL 1 eb na regetni htiw 1 d 1 g< - ,1 erehw g =
&)l-p( nehT +p=)n(B 1 rof .p“.2=n
:foorP ehT noitcurtsnoc si nevig ni eht meroehT of noitceS 2.2.3 of .]8[
YRALLOROC .8.1 teL p eb a emirp hcus taht p > ,001 p # .151 esoppuS
taht 2 si a citardauq eudiser dom( .)p nehT )n(B p= + 1 rof n = tp2i)1-P(2
htiw yna t gnidivid p( - .2/)1
:fqorP ehT xelfer epyt of eht epyt detcurtsnoc ni ,9[ yralloroC 14.3.2
sah eht deriuqer ,knar os ew tsum yfirev eht sisehtopyh no eht ecnetsixe of
a emirp k htiw 2 k< < ’“~1 hcus taht k seod ton edivid p - .1 We tsrif -noc
redis egral .semirp *teL ip eb eht htj tsegral .emirp esoppuS ,p pu ot ~,P
edivid p - ,1 tub +sp , seod .ton nehT ,sp...2p,pap os >*“)sp...lp(f
+sP I lliw ,eciffus ecnis neht ew ekat k +sp= , .
woN ew deen ot evah ta tsael s + 1 semirp rellams naht f( 1p . . .*ll)sp.
gnisU a = 4 sa eht rewol dnuob ni eht emirP rebmuN ,meroehT
,p($(a ,p(+(gol/)2“)s,p... . )*“)sp.. s> + 1 lliw .eciffus We erofereht wohs
taht
.l+s>)l+),p~~~,p(gol(/*“),p~~-,p(a )*(
,tsriF ew evresbo taht eht ytilauqeni )*( sdloh htiw 0s = .6 nehT ew eton
taht eht noitcnuf )y(f = ya gol(/*“ y + 1 ,) denifed rof y > ,0 si gnisaercni
dna seifsitas 2+)y(f>)y61(f rof .,p...,p>y We neht niatbo )*( yb
noitcudni rof s > 0s = ,6 dna hsilbatse ruo noisulcnoc rof p 2 lp . . sp. + 1 =
.130,03
woN redisnoc semirp p ni eht egnar 32 11 p< < .130,03 nehT 2j1p4 2
1132(t 2I‘) > ,42 os eno of ,3 ,5 ,7 ,11 ,31 ro 71 lliw evig a eciohc rof k. ,txeN
rof 112 p< < ,1132 *”pt > ,7 os rehtie eno of ,3 ,5 ro 7 sevig a eciohc rof k,
ro esle p si of eht form p = )012(m + .1 tuB ew ekat k = 11 rof p 3 ,136 dna
evresbo taht 2 si ton a citardauq eudiser rof p = 112 ro ,124 os ereht si a
eciohc rof lla p /> .112 ehT emas dohtem seilppa ni eht egnar p > ,001
p # 51 ,1 gnivig ruo .noisulcnoc
Remark .9.1 ehT evoba foorp smrifnoc na noitavresbo of rosseforP
.sumssA llaceR from ]9[ ,taht tpecxe rof a tes of semirp of ytisned 0 ,htiw(
,.g.e X P *’I- < cc ,) eht dohtem of seiralloroC 7.1 dna 8.1 nac ta tsom ylppa
ot seulav of eht form n = tp”2 htiw t gnidivid p - 1 dna f, I sa ni
yralloroC .7.1 ehT evoba yralloroC tsom ylekil sdloh htiw p > ;71 ,revewoh
45 .B NOSDOD
ew llacer taht eht gnidoc yroeht noitcirtser of t gnidivid p( - I 2/) tonnac eb
devomer rof emos .semirp
sA a lanif esac from eht suoiverp srepap ew evah eht :gniwollof
YRALLOROC .01.1 teL Oq eb na ddo ,emirp dna esoppus gq + Oq + 1 si a
emirp .p nehT a tneiciffus noitidnoc rof )n(B = p + 1 htiw n = gqp si taht ereht
stsixe a yllatot laer dleif htiw siolaG puorg eht evitcejorp raenil puorg
,3(LSP )Oq revo eht .slanoitar
:foorP tcejbuS ot eht ecnetsixe of eht yllatot laer ,dleif eht noitcurtsnoc
swollof from noitisoporP 1.4.2 of .]9[
Remark .11.1 nI troppus of na tseretni ni eht noisnemid of eht
etaT-drofmuM ,puorg ew refer ot erreS ,]42[ yllaicepse noitceS ,4 sa llew
sa ot engileD te .la .]7[ ehT tsom tcerid noitanalpxe of eht cificeps tseretni
ni eht prahs rewol dnuob )n(B si ni noitcennoc htiw s’tebiR meroehT ]02[
no eht etar of htworg of eht dleif of htp noisivid .stniop suhT eht evoba
,dnuob dna eht dnuob ni meoehT 21.1 ,woleb stressa taht siht etar si netfo
reven sa llams sa dewolla yb eht ,dnuob-,gol elihw eht seiralloroC tressa
,taht rof eht ylsuoiverp detcurtsnoc nailebA ,seiteirav eht etar of htworg rof
eht eerged of eht dleif of htp noisivid stniop si eht tsewols .elbissop We osla
refer ereh ot s’gnaL koob [ ,71 .pahC 4 dna 36 dna ot ztaK dna gnaL [ .151
ecniS eht etar of htworg ni s’tebiR meroehT sdneped nopu eht rebmun of
tcnitsid emirp srotcaf of n dna eht atobuK ,knar ruo noitseuq of woh eht
noitazirotcaf of n stceffa eht knar sesira .yllarutan We ezisahpme taht eseht
snoitavitom ,tnemelpmoc rehtar naht ,ecalper eht snoitavitom ni eht
s’rohtua reilrae .srepap
.1.3.1 nA noitacilppA of s’tebiR .dohteM fI a suoires yduts of eht
citemhtira noitcnuf )n(B si ot eb ,desoporp eno of eht smelborp si ot ediced
rehtehw eht yalpretni neewteb puorg yroeht dna rebmun yroeht taht sevig
eht evoba seulav si yllautca deriuqer yb eht seulav of ,)n(B ro ylno yb eht
.sdohtem sA na ,elpmaxe ew ksa rehtehw )n(B rof n tp= htiw t p< - 1
yllautca sdneped nopu rehtehw t sedivid p - 1 ro ;ton dna ew ksa rehtehw
eht eulav rof n = 2kp, htiw k p< - ,1 yllautca sdneped nopu k. A laitnatsbus
yrassecen noitidnoc rof na regetni n htiw a yltneiciffus egral emirp rotcaf ot
evah )n(B Ip= + 1 si nevig yb eht :gniwollof
MEROEHT .21.1 teL q eb na ddo emirp for hcihw 2q sedivid .n nehT
)n(B 2 .q2
IjoorP We redisnoc eht yrassecen snoitacifidom of eht foorp of eht
evoba meroehT .4.1 ecniS 2q sedivid n dna q si a ,emirp )Q/”K(laG sah a
puorgbus of redro .2q ,tsriF ew esopsid of eht esac erehw ereht si na
NAILEBA SEITEIRAV OF EPYT-MC 55
tnemele x of redo .*q ecniS 4x tsum evah laivirtnon noitca no eht tibro of
,sepyt ereht tsum eb a epyt esohw tibro rednu x sah htgnel .*q gninimaxE
eht gnir Q ’4X(/]X[ - 1 ,) ew niatbo a eludombus of noisnemid q(q - )1
gnidnopserroc ot eht cimotolcyc dleh detareneg yb a evitimirp toor of ytinu
2~~ dna hsilbatse ruo rewol .dnuob
,txeN ew redisnoc na yratnemele nailebA puorgbus of redro ,*q htiw
srotareneg g dna .h teL x E ( ,g h ,) dna y E ( ,g h ,) htiw ,x( y ) = ( ,g h .)
ruO foorp seiler nopu eht noitressa taht fi ereht si na tnemele ni eht naps of
eht tibro of sepyt rof hcihw x sah laivirt ,noitca tub y sah laivirtnon ,noitca
neht ew niatbo ruo .dnuob nI ,tcaf ew evresbo taht rednu siht ,sisehtopyh
eht laivirt eludombus rof eht noitca of )x( sah noisnemid ta tsael
2 + q( - 1 ,) elihw x sah laivirtnon ,noitca os ereht si a yratnemelpmoc -bus
ecaps of noisnemid ta tsael q( - )1 dna ruo knar si neht ta tsael .q2 etoN
taht eht raenil ecnednepedni noitaler of eht suoiverp foorp sdloh ni siht
,esac ot evig eht dnuob no eht noisnemid of eht laivirt .ecapsbus
woN ew mialc taht eht evoba syawla .sdloh ekaT a )evitimirp( epyt @ ni
eht tibro-)Q/”K(laG no hcihw g sah laivirtnon .noitca gnitirW eht noitca
no eht ,tfel ew tes ,~‘~Yx+...+~x+~=)iQ(,,,N rof x of redro .q fI h
sexif eht epyt @ no hcihw g sah laivirtnon ,noitca h osla sexif @g ecnis( g
dna h ,)etummoc os eht evoba tnemugra sehsilbatse ruo .dnuob ,ylralimiS
ew niatbo taht eht epyt @ sah na tibro of redro *q rednu ,g( .)h woN ew
redisnoc eht stnemele ,)Q(>,<N ,)@(jhgcN . . . . .)@(>hl-YgcN fI g si laivirtnon
no yna of ,eseht eht evoba ;seilppa os ew redisnoc eht esac erehw snoitauqe
})@(>,,,<N{g )@()h,R<N= dloh rof ,O=j ,1 . . . . -q .1 We dda eseht q
snoitauqe ,rehtegot dna evresbo taht eht smret yam eb degnarraer os taht
eht dnah-thgir edis seifsitas
)Q(>@N + >,,CN +)@( .‘. )@(,,I-,,<N+
+)@(>z,,N*h+)@(>,,Nh+)@(q= . )@(,+,,.N‘-”h+..
= )Q(4 + 4( - 1 .))@(>,<N()
nI ,tcaf )@(jjgcN = ,)@(jgcN
dna jh tsum evah laivirt ,noitca ro esle eht
evoba .seilppa tuB ,neht no eht dnah-tfel ,edis a ralimis tnemegnarraer
sevig +W,,,~g . -q(+))~(g(q=)~(>hl-,.<vls+.. ~)DW>,$w os
)@(g = ,@ hcihw stcidartnoc ruo eciohc of .@
morF noitisoporP 2.1 evoba ew evah yletaidemmi eht :gniwollof
YRALLOROC .31.1 )n(B = p2 nehw n = 2p rof p na ddo .emirp
.2.3.1 :tpirctsoP ehT wolyS-p .dnuoB nehW n si elbisivid yb a egral
emirp ,rewop s’tebiR dohtem sevig yllaitnatsbus regnorts rewol .sdnuob sA
ni eht foorp of meroehT ,4.1 a evitimirp epyt-MC sevig a lufhtiaf raenil
65 .B NOSDOD
noitatneserper denifed revo eht slanoitar of eht puorg G = .)Q/’K(laG A
yrassecen noitidnoc rof )@(knaR = r si neht taht G tsum eb cihpromosi ot a
)etinif( puorgbus of -,LC ,)Q(r ecnis ew yam tilps off a lanoisnemid-l
laivirt noitatneserper gnidnopserroc ot @ + .6 We yletaidemmi niatbo eht
:gniwollof
MEROEHT 41.1 wolys-p( .)dnuoB ( )1 rotcaF n sa n ’;[p= . :p. htiw ip # ,p
rof #i j, htiw ,i j= ,1 . . . . .r roF p ,ip= tel ,p(R )n etoned eht tsellams regetni
d hcus taht ereht stsixe etinifa puorgbus fo ,d(LG )Q htiw wolyS-p puorgbus
fo redro > .’fp nehT
)n(B > )n(L = xam ,p(R( )n + ,),e
P
erehw pe = 2 fi p si ,ddo ,e = 1 fi p si .neve
)2( fZ K si a nevig dleif-MC fo eerged ,n2 dna G si eht puorg
,)Q/cK(laG neht rof yreve evitimirp epyt-MC @ no K
,)IGI(L3)@(knaR
erehw (L 1 G )I si denifed sa ni )1( htiw n decalper yb eht redro of .G
,yllaniF ’pfi si eht tcaxe rewop of p gnidivid ,n neht ,p(R )n si ,nwonk dna
seifsitas eht citotpmysa etamitse
,PN n) > p4 - 1 ,P/‘) pfi si ddo dna ,2(R )n > .2/e
:foorP teL P eb eht wolyS-p puorgbus of .G nehT eht eulav of Pe rof p
ddo swollof from eht ecnednepedni of eht mron )@JN = tRC P ”J@ from
+@ ,4 hcihw sdneped nopu p gnieb .ddo roF eht eulav of
,p(R )n = ,p(R ,)’p ew redisnoc eht citemhtira noitcnuf ,x(r )y ni sesicrexE
6 dna 7 of retpahC 3 of ikabruoB [ .11 nehT ,p(R )n = d nehw
e > ,p(r d + )1 tub e < ,p(r .)d We evah taht nehw p si ddo
erehw [ ] setoned eht tsetaerg regetni .noitcnuf ehT citotpmysa etamitse si
neht nevig yb eht seitilauqeni
<)y,O 1- ...++-+;+1
,I (I >
Y
-P(IY(< -P(lPN)l 1)).
ehT emas dohtem si desu ot etamitse eht nevig eulav rof .)y,2(r
NAILEBA FOSEITEIRAV EPYT-MC 51
straP )1( dna )2( of eht evoba tluser erew devresbo yb eht rohtua ni enuJ
,5891 gnola htiw na yratnemele etamitse rof (R ,p .)n nI ,tcaf fi e p< ew
evah =d (e p - 1 ,) tub rof e p> eht mret (p/d[ p - ])l si .oreznon ehT
tcerroc ,etamitse dna neht eht evoba ,ecnerefer saw thguorb ot eht s’rohtua
noitnetta yb .H W. ,artsneL .rJ ehT rohtua osla segdelwonkca eht
stnemmoc dna tneuqesbus rettel of .V ramuK .ytruM
ehT tseretni of eht dnuob nevig ni )2( evoba si eht noitcirtser no eht
elbissop sdleif-MC taht dluoc evah a epyt of knar ,)n(L ecnis ew yam evah
(L ( G )1 > .)n(L We osla drocer s’artsneL kramer taht fi a wolyS-p puorgbus
P of G sah a lartnec tnemele of redro 2p neht )@(knaR > ,p(R 1 G .)I A
resolc noitanimaxe of esicrexE ,6 ,e f .cc/( ).tic swohs taht nehw eht
mumixam eulav gnivig )n(L srucco rof na ddo emirp neht a yrassecen
noitidnoc rof )n(B = )n(L si taht eht wolyS-p puorgbus of G tsum evah eht
esicerp erutcurts nevig .ereht esehT skramer yfiralc eht elor of eht epyt ni
noitisoporP ,2.1 ecnis eht wolyS-p spuorgbus desu ereht era nailebA ro
evah tsuj eno htaerw .tcudorp
.2 A YTILIBAVLOS NOITIDNOC NO SDLEIF-MC
.0.1.2 ehT noitcA no .sepyT We llacer eht noitaton of ,]8[ hcihw si
desu ot yficeps sepyt dna eht noitca-)Q/”K(laG no .sepyt sA eht -puorg
citeroeht seitreporp era tahwemos ,etacirtni ew etatser ruo noitnetni ot
niatbo snoitacifilpmis rednu evitcirtser .snoitidnoc teL 0K eb eht lamixam
yllatot laer dleifbus of K dna gK eb eht siolaG erusolc of ,K revo .Q teL ,G
eb a noitatumrep noitatneserper of )Q/;K(laG rof hcihw ),K/;K(laG
sdnopserroc ot eht rezilibats of a ,rettel hcihw ew ekat ot eb .1
nehT ruo dohtem seriuqer taht ew nigeb yb gniyficeps a noitatumrep
noitatneserper of .)Q/’K(laG We od siht yb gnikat ,G ot tca no eht
slobmys ( ,1 . . . . }n dna gnivig na noitca no slobmys { f ,1 . . . . }nk rednu eht
snoitidnoc taht
)1( yreve tes { }j+ si deppam ot a tes { f ,}k dna
)2( eht decudni noitca no eht stes { }j? sedicnioc htiw eht noitca of
,G no { ,1 . . . . }n rednu eht noitacifitnedi of { }j+ htiw j.
We llacer taht hcus na noitca si dias ot evah n stes of ytivitimirpmi of redro
2 dna sah neeb nwohs ot eb yrassecen ni ,S[ .tceS .11
,txeN ew tsum yficeps eht lenrek of eht decudni noitca ni .)2( teL n)2Z(
etoned eht puorg detareneg yb eht snoitisopsnart ( +j, .)j- We yficeps
( +j, -j) yb a 1 ni eht htj etanidrooc of .“),Z( teL rc E ,G tca no ”),Z( yb
gnidnes ( +j, -j) ot ( (o+ j), .))j(a- nehT ew evig
)3( a puorgbus C of ”),Z( hcus taht )a( C sniatnoc eht noitatumrep
( + ,1 - 1). . . ( + ,n )n- dna )b( C si devreserp yb eht noitca of .,G
85 .B NoSDoD
ereH ew llacer taht C si derrefer ot sa a )raenil( ,edoc dna taht eht tsegral
puorgbus fo ,S gnivreserp C rednu eht evoba noitca si derrefer ot sa eht
msihpromotua puorg fo eht .edoc ehT dehsiugnitsid noitatumrep ni ,)a3(
osla detoned yb ,1( . . . . 1 ,) ro yb ,p stneserper eht dleif msihpromotua nevig
yb xelpmoc .noitagujnoc We refer ot eht edor nevig yb )p( sa eht luivirt
.edoc
,yllaniF ew tsum evig a eciohc fo tesoc sevitatneserper rof eht noitcejorp
.)2( roF e E ”),Z( dna 0 E ,,S tel ,e( )c etoned eht noitatumrep fo eht tes
{ f ,1 . . . . }n& nevig yb gniylppa e dna neht gniylppa eht map ?c gnidnes i.+
ot +a(j) dna -j ot -a(j). nehT ew evig
)4( a map :s ,G + ”)zZ( hcus taht eht etisopmoc htiw eht noitcejorp
otno C/“),Z( si a .elcycoc-1
morF eht noitamrofni deificeps yb )4(-)l( ew niatbo a noitatumrep
puorg G htiw stnemele nevig yb ,)o(se( ,)a erehw e segnar revo C dna 0
segnar revo .,G ecniS ew evah nwohs ni ]S[ taht yreve siolaG puorg fo a
dleif-MC sah hcus a noitatumrep ,noitatneserper ew esu eht atad ,,G( ,C )s
ot enifed eht noitca no .sepyt ehT redaer detseretni ni siht ”erutcurts“ yam
hsiw ot tlusnoc ,S[ .tceS 2 dna .16
oT niatbo ,sepyt ew ezilamron :s ,G + ;lZ ot evah tsrif etanidrooc ,0 dna
kcip tesoc sevitatneserper ,z rof eht rezilibats fo 1 ni .,G nehT ef ,;Z
f = ,f( , . . . ,),.f.. si desu ot yficeps eht epyt no K nevig yb gnitcirtser eht spam
gnidnopserroc ot ,),z(s”p( );7 ot ,K erehw p = ,1( . . . . )1 sdnopserroc ot com-
xelp .noitagujnoc nehT eht deriuqer noitca from ]S[ si nevig yb gnitirw
Eg )Q/”K(laG sa g = ,)a(se( )a htiw e E ,C dna gnillacer taht rof @ nevig yb
,f ’@ si nevig yb ,))a(sef(‘-o erehw eht noitidda ni ;Z si nettirw -lum
.ylevitacilpit ehT eciohc fo sgniddebme deificeps yb f lliw osla eb deweiv sa
a eciohc fo stesoc fo )K/’K(laG ni )Q/’K(laG sa ni arumihS ,82[ .tceS .15.5
.1.1.2 A ycarenegednoN .tluseR A esac taht setartsulli eht elpicnirp taht
niatrec citeroeht-siolaG seitreporp fo sepyt-MC era denimreted yb eht
siolaG erutcurts fo eht lamixam yllatot laer dleifbus fo eht dleif-MC si eht
cireneg esac ,S dedulcni ni eht :gniwollof
NOITISOPORP .1.2 teL n eh ddo dna esoppus taht K si a dleif-MC oj
eerged n2 hcus taht eht lamixam yllatot laer dlejhus ,K sah (laG )Q/;K E ,,A
ro .,S nehT yreve evitimirp epyt-MC ,K( )@ si .etarenegednon
:foorP yB ,9[ noitisoporP 12.2.2 ew evah taht rehtie ereht si a elgnis
tibro-)Q/”K(laG fo sepyt fo redro ,”2 ni hcihw esac )@(knaR = n + 1 si
,raelc ro esle K sniatnoc na yranigami citardauq .dleifbus nI eht rettal ,esac
ew take s ot eb yllacitnedi ,0 sa ,lausu dna eton taht ni eht noitca no sepyt
e = 0 ro .p nehT llacer from noitceS 1.2 .tol( ).tic taht rof n > 1 ereht era
ylno n( - 2/)1 stibro fo evitimirp ,sepyt erehw hcae tibro sdnopserroc