On differential-algebraic control systems

329 Pages·2013·1.84 MB·German

by  Thomas Berger

Thomas Berger

On differential-algebraic control systems

On differential-algebraic
control systems

Thomas Berger

Universitätsverlag Ilmenau
2014
Impressum

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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Angaben sind
im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

Diese Arbeit hat der Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften der
Technischen Universität Ilmenau als Dissertation vorgelegen.
Tag der Einreichung: 5. Juli 2013
1. Gutachter: Prof. Dr. Achim Ilchmann
(Technische Universität Ilmenau)
2. Gutachter: Jun.-Prof. Dr. Thomas Hotz
(Technische Universität Ilmenau)
3. Gutachter: Prof. Dr. Volker Mehrmann
(Technische Universität Berlin)
Tag der Verteidigung: 14. Oktober 2013

Technische Universität Ilmenau/Universitätsbibliothek
Universitätsverlag Ilmenau
Postfach 10 05 65
98684 Ilmenau
www.tu-ilmenau.de/universitaetsverlag

Herstellung und Auslieferung
Verlagshaus Monsenstein und Vannerdat OHG
Am Hawerkamp 31
48155 Münster
www.mv-verlag.de

ISBN 978-3-86360-081-5 (Druckausgabe)
URN urn:nbn:de:gbv:ilm1-2013000521

Titelfoto: photocase.com | Lily
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Zusammenfassung
In der vorliegenden Dissertation werden differential-algebraische
Gleichungen(differential-algebraicequations,DAEs)derForm dEx=
dt
Ax + f betrachtet, wobei E und A beliebige Matrizen sind. Falls
E nichtverschwindende Eintr¨age hat, dann kommen in der Gleichung
Ableitungender entsprechendenKomponentenvonx vor. FallsE eine
Nullzeile hat, dann kommen in der entsprechenden Gleichung keine
Ableitungenvor und sie ist rein algebraisch. Daher werden Gleichung-
en vom Typ dEx = Ax + f differential-algebraische Gleichungen
dt
genannt.
Ein Ziel dieser Dissertation ist es, eine strukturelle Zerlegung einer
DAE in vier Teile herzuleiten: einen ODE-Anteil, einen nilpotenten
Anteil, einen unterbestimmten Anteil und einen u¨berbestimmten An-
teil. Jeder Anteil beschreibt ein anderes Lo¨sungsverhalten in Hinblick
auf Existenz und Eindeutigkeitvon Lo¨sungen fu¨r eine vorgegebeneIn-
homogenita¨t f und Konsistenzbedingungen an f. Die Zerlegung, na-
mentlich die quasi-Kronecker Form (QKF), verallgemeinert die wohl-
bekannte Kronecker-Normalformund behebt einige ihrer Nachteile.
Die QKF wird ausgenutzt, um verschiedene Konzepte der Kontrol-
lierbarkeit und Stabilisierbarkeit fu¨r DAEs mit f = Bu zu studieren.
Hier bezeichnet u den Eingang des differential-algebraischen Systems.
EswerdenZerlegungenunterSystem-undFeedback-A¨quivalenz,sowie
die Folgen einer Behavioral-Steuerung Kxx+Kuu = 0 fu¨r die Stabil-
isierung des Systems untersucht.
Falls fu¨r das DAE-System zus¨atzlich eine Ausgangs-Gleichung y =
Cxgegebenist,dannla¨sstsichdasKonzeptderNulldynamikwiefolgt
definieren: die Nulldynamik ist, grob gesagt, die Dynamik, die am
Ausgang nicht sichtbar ist, d.h. die Menge aller Lo¨sungs-Trajektorien
(x,u,y) mit y = 0. Fu¨r rechts-invertierbare Systeme mit autonomer
Nulldynamik wird eine Zerlegung hergeleitet, welche die Nulldynamik
entkoppelt. DieseversetztunsindieLage,eineBehavior-Steuerungzu
entwickeln, die das System stabilisiert, vorausgesetzt die Nulldynamik
selbst ist stabil.
Wir betrachten auch zwei Regelungs-Strategien, die von den Eigen-
schaften der oben genannten System-Klasse profitieren: Hochver-
sta¨rkungs- und Funnel-Regelung. Ein System dEx = Ax+Bu, y =
dt
Cx, hat die Hochversta¨rkungseigenschaft, wenn es durch die Anwen-
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dung der proportionalen Ausgangsru¨ckfu¨hrung u = −ky, mit k > 0
hinreichend groß, stabilisiert werden kann. Wir beweisen, dass rechts-
invertierbareSystememit asymptotischstabilerNulldynamik,die eine
bestimmte Relativgrad-Annahme erfu¨llen, die Hochverst¨arkungseigen-
schaft haben. W¨ahrend der Hochverst¨arkungs-Reglerrecht einfachist,
ist es jedoch a priori nicht bekannt, wie groß die Versta¨rkungskon-
stantek gewa¨hltwerdenmuss. DiesesProblemwirddurchdenFunnel-
Regler gel¨ost: durch die adaptive Justierung der Versta¨rkung u¨ber
eine zeitabh¨angige Funktion k(·) und die Ausnutzung der Hochver-
sta¨rkungseigenschaft wird erreicht, dass große Werte k(t) nur dann
angenommen werden, wenn sie n¨otig sind. Eine weitere wesentliche
Eigenschaft ist, dass der Funnel-Regler das transiente Verhalten des
Fehlers e = y −y der Bahnverfolgung, wobei y die Referenztra-
ref ref
jektorie ist, beachtet. Fu¨r einen vordefinierten Performanz-Trichter
(funnel) ψ wird erreicht, dass (cid:2)e(t)(cid:2)<ψ(t).
SchließlichwirdderFunnel-RegleraufdieKlassevonMNA-Modellen
von passiven elektrischen Schaltkreisen mit asymptotisch stabilen in-
variantenNullstellenangewendet. DieserfordertdieEinschra¨nkungder
Menge der zula¨ssigen Referenztrajektorien auf solche die, in gewisser
Weise, die Kirchhoffschen Gesetze punktweise erfu¨llen.
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Abstract
In the present thesis we consider differential-algebraic equations
(DAEs) of the form dEx = Ax + f, where E and A are arbitrary
dt
matrices. If E has nonzero entries, then derivatives of the respective
componentsofxareinvolvedintheequation. IfE hasazerorow,then
the respective equation involvesno derivativesand is purely algebraic.
This justifies to call dEx=Ax+f a differential-algebraicequation.
dt
One aim of the thesis is to derive a structural decomposition of the
DAE into four parts: the ODE part, nilpotent part, underdetermined
part and overdeterminedpart. Each part describes a different solution
behavior regarding existence and uniqueness of solutions for given in-
homogeneities f and consistency conditions on f. The decomposition,
namely the quasi-Kronecker form (QKF), generalizes the well-known
Kronecker canonical form and resolves some of its disadvantages.
The QKF is exploited to study the different controllabilityand sta-
bilizability concepts for DAEs with f = Bu. Here u denotes the in-
put of the differential-algebraicsystem. Decompositions under system
and feedback equivalence and the consequence of behavioral control
Kxx+Kuu=0 for the stabilizationof the system is investigated.
If the DAE system is accompanied by an output equation y = Cx,
we may define the concept of zero dynamics: roughly speaking, the
zero dynamics are those dynamics which are not visible at the output,
i.e., the set of all solution trajectories (x,u,y) with y = 0. For right-
invertible systems with autonomous zero dynamics a decomposition is
derived, which decouples the zero dynamics of the system and enables
us to derive a behavioral control which stabilizes the system, provided
that the zero dynamics are stable as well.
We will also consider two control strategies which benefit from the
properties of the above mentioned system class: high-gain and funnel
control. We saythatasystem dEx=Ax+Bu,y =Cx,hasthehigh-
dt
gain property if it is stabilizable by the application of the feedback
u = −ky for sufficiently large k > 0. It is proved that right-invertible
systems with asymptotically stable zero dynamics which satisfy a cer-
tain relative degree assumption possess the high-gain property. While
the high-gain controller is quite simple, it is, however, not known a
priori how large the gain constant k must be chosen. This problem is
resolved by the funnel controller: by adaptively adjusting the gain via
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a time-varying function k(·) and exploiting the high-gain property, it
isachievedthathighvaluesofk(t)areusedonlywhenrequired. More-
over, and most important, the funnel controller takes the transient
behavior of the tracking error e = y −y , where y is a reference
ref ref
signal, into account. For a prespecified performancefunnel ψ it can be
guaranteed that (cid:2)e(t)(cid:2)<ψ(t).
Finally, the funnel controller is applied to the class of MNA models
of passive electricalcircuitswith asymptoticallystable invariantzeros.
This requiresto restrict the set of allowablereference trajectoriessuch
that any trajectory, in a sense, satisfies Kirchhoff’s laws pointwise.
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Danksagung
Zuallererst gilt mein Dank Achim Ilchmann fu¨r die Schaffung einer
angenehmen und konstruktiven Arbeitsatmosph¨are. Mit hilfreichen
Ratschl¨agen und angebrachter Kritik hat er auch bei kleinsten Un-
sicherheiten ausgeholfen. Ich danke ihm vor allem auch fu¨r die Anre-
gung zum Schreiben meiner Bachelorarbeit u¨ber DAEs, die ich Ende
2007 begann, welche in meiner Masterarbeit fortgesetzt wurde und
schließlichin der vorliegendenDissertation(wenn auch thematischan-
ders gelagert)gipfelte. In diesen sechs Jahren war er mir ein hervorra-
gender Mentor und, nicht zuletzt, ein guter Freund.
Ich danke meiner Freundin Lisa Hoffmann fu¨r ihre ununterbrochene
Unterstu¨tzung. AuchinhektischenundstressigenSituationenwarund
ist sie an meiner Seite, und ich weiß, dass es nicht immer einfach fu¨r
sie war, da ich doch oft einiges unbewusst von ihr vorausgesetzt habe.
StephanTrennundTimoReisdankeichfu¨rdieguteundangenehme
Zusammenarbeit, aus der verschiedene gemeinsame Publikationen, die
auch einen Beitrag zu der vorliegenden Arbeit leisten, hervorgegangen
sind.
Nicos Karcanias und George Halikias (beide City University Lon-
don) gilt mein Dank fu¨r die Gastfreundlichkeit, die mir bei meinem
Forschungsaufenthalt in London entgegenbracht wurde. Die resultier-
ende angenehme Atmosph¨are war die Grundlage fu¨r eine effektive Zu-
sammenarbeit. Ich danke auch dem Deutschen Akademischen Aus-
tauschdienst fu¨r die Mitfinanzierung dieses Forschungsaufenthalts.
IchbedankemichbeidenGutachternVolkerMehrmann(TUBerlin),
Thomas Hotz (TU Ilmenau) und natu¨rlich Achim dafu¨r, dass sie sich
die Zeit genommen haben meine Arbeit gru¨ndlich zu lesen und zu be-
werten.
Weiterhindankeichalldenen, diesichindenletztenJahrengernan
einer wissenschaftlichenDiskussionmitmirbeteiligten,sei es aufeiner
Tagung oder bei einer angenehmen Kaffeerunde gewesen. Besonders
erwa¨hnen mo¨chte ich dabei Volker Mehrmann, Fabian Wirth, Carsten
Trunk, Henrik Winkler, Markus Mu¨ller, Karl Worthmann und Stefan
Brechtken.
AußerdemgiltmeinDankderDeutschenForschungsgemeinschaftfu¨r
die Erm¨oglichung dieser Arbeit durch die Finanzierung meiner Stelle
u¨ber das Projekt Il25/9.
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Meinen Eltern m¨ochte ich schließlich fu¨r ihre kontinuierliche Un-
terstu¨tzungdankenunddafu¨r,dasssiemirdiesenLebenswegermo¨glicht
haben.