Table Of Content常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
习题 2-1
判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：
１．(3x2 −1)dx+(2x+1)dy =0
解：P(x,y) =3x2 −1，Q(x,y) = 2x+1，
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则 =0， = 2，所以 ≠ 即，原方程不是恰当方程．
∂y ∂x ∂y ∂x
２．(x+2y)dx+(2x+ y)dy =0
解：P(x,y) = x+2y, Q(x,y) = 2x− y,
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则 = 2, = 2, 所以 = ，即 原方程为恰当方程
∂y ∂x ∂y ∂x
则xdx+(2ydx+2xdy)− ydy =0,
x2 y2
两边积分得： +2xy− =C.
2 2
3．(ax+by)dx+(bx+cy)dy =0 (a,b和c为常数)．
解：P(x,y) = ax+by, Q(x,y) =bx+cy,
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则 =b, =b, 所以 = ，即 原方程为恰当方程
∂y ∂x ∂y ∂x
则axdx+（b）ydx+bxdy +cydy =0,
ax2 cy2
两边积分得： +bxy+ =C.
2 2
4．(ax−by)dx+(bx−cy)dy =0 (b ≠ 0)
解：P(x,y) = ax−by, Q(x,y) =bx−cy,
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则 = −b, =b, 因为 b ≠ 0, 所以 ≠ ，即，原方程不为恰当方程
∂y ∂x ∂y ∂x
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５．(t2 +1)cosudu+2tsinudt =0
解：P(t,u) =(t2 +1)cosu, Q(t,u) = 2tsinu
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则 = 2tcosu, = 2tcosu, 所以 = ，即 原方程为恰当方程
∂t ∂x ∂y ∂x
则(t2 cosudu+2tsinudt)+cosudu =0,
两边积分得：(t2 +1)sinu =C.
６．(yex +2ex + y2)dx+(ex +2xy)dy =0
解： P(x,y = yex +2ex + y2, Q(x,y) =ex +2xy，
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则 =ex +2y, =ex +2y, 所以 = ，即 原方程为恰当方程
∂y ∂x ∂y ∂x
则2exdx+[(yex + y2)dx+(ex +2xy)dy]=0,
两边积分得：(2+ y)ex + xy2 =C.
y
７．( + x2)dx+(lnx−2y)dy =0
x
y
解：P(x,y) = + x2 Q(x,y) =lnx−2y,
x
∂P 1 ∂Q 1 ∂P ∂Q
则 = , = , 所以 = ，即 原方程为恰当方程
∂y x ∂x x ∂y ∂x
y
则( dx+lnxdy)+ x2dx−2ydy =0
x
x3
两边积分得： + ylnx− y2 =C.
3
８．(ax2 +by2)dx+cxydy =0 (a,b和c为常数)
解：P(x,y) = ax2 +by2, Q(x,y) =cxy,
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则 = 2by, =cy, 所以 当 = ，即 2b =c时， 原方程为恰当方程
∂y ∂x ∂y ∂x
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则ax2dx+(by2dx+cxydy) =0
ax3
两边积分得： +bxy2 =C.
3
而当2b ≠ c时原方程不是恰当方程．
2s−1 s−s2
９． ds+ dt =0
t t2
2s−1 s−s2
解：P(t,s) = , Q(t,s) = ,
t t2
∂P 1−2s ∂Q 1−2s ∂P ∂Q
则 = , = , 所以 = ， 即原方程为恰当方程,
∂t t2 ∂s t2 ∂y ∂x
s−s2
两边积分得： =C．
t
10．xf(x2 + y2)dx+ yf(x2 + y2)dy =0, 其中 f(⋅)是连续的可微函数．
解：P(x,y) = xf(x2 + y2), Q(x,y) = yf(x2 + y2),
∂P ∂Q ∂P ∂Q
则 = 2xyf ′, = 2xyf ′, 所以 = ， 即原方程为恰当方程,
∂y ∂x ∂y ∂x
两边积分得：∫ f(x2 + y2)dx=C,
即原方程的解为F(x2 + y2) =C (其中F为f的原积分)．
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习题 2-2
1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：
dy x2
(１) =
dx y
解：原方程即为：ydy = x2dx
两边积分得：3y2 −2x3 =C, y ≠ 0．
dy x2
(２) =
dx y(1+ x3)
x2
解：原方程即为：ydy = dx
1+ x3
两边积分得：3y2 −2ln1+ x3 =C, y ≠ 0, x ≠ −1．
dy
(３) + y2sinx =0
dx
解： 当y ≠ 0时
dy
原方程为： +sinxdx =0
y2
两边积分得：1+(c+cosx)y =0．
又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为
1+(c+cosx)y =0．
dy
(４) =1+ x+ y2 + xy2；
dx
dy
解：原方程即为： =(1+x)dx
1+ y2
x2
两边积分得：arctgy = x+ +c，
2
x2
即 y =tg(x+ +c)．
2
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dy
(５) =(cosxcos2y)2
dx
解：①当cos2y ≠ 0时
dy
原方程即为： =(cosx)2dx
(cos2y)2
两边积分得：2tg2y−2x−2sin2x=c．
kπ π
②cos2y=0，即y = + 也是方程的解. (k∈N)
2 4
dy
(６)x = 1− y2
dx
解：①当y ≠ ±1时
dy dx
原方程即为： =
1− y2 x
两边积分得：arcsin y−lnx =c．
② y = ±1也是方程的解.
dy x−e−x
(７)． =
dx y+ey
解．原方程即为：(y+ey)dy =(x−e−x)dx
y2 x2
两边积分得： +ey = +e−x +c，
2 2
原方程的解为：y2 −x2 +2(ey −e−x) =c.
2. 解下列微分方程的初值问题．
π π
(１)sin2xdx+cos3ydy =0, y( ) = ；
2 3
cos2x sin3y
解：两边积分得：− + =c， 即 2sin3y−3cos2x =c
2 3
π π
因为 y( ) = , 所以 c =3.
2 3
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所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y−3cos2x =3．
(２)．xdx+ ye−xdy =0， y(0) =1；
解：原方程即为：xexdx+ ydy =0，
y2
两边积分得：(x−1)exdx+ dy =c，
2
1
因为y(0) =1， 所以c = − ，
2
所以原方程满足初值问题的解为：2(x−1)exdx+ y2dy+1=0．
dr
(３)． = r， r(0) = 2；
dθ
dr
解：原方程即为： = dθ，两边积分得：lnr −θ=c，
r
因为r(0) = 2， 所以c =ln2，
所以原方程满足初值问题的解为：lnr −θ=ln2 即 r = 2eθ．
dy lnx
(４)． = , y(1) =0;
dx 1+ y2
解：原方程即为：(1+ y2)dy =lnxdx,
y3
两边积分得：y+ +x−xln x =c,
3
因为y(1) =0， 所以c =1，
y3
所以原方程满足初值为：y+ +x−xln x =1
3
dy
(５)． 1+ x2 = xy3， y(0) =1；
dx
dy x
解：原方程即为： = dx，
y3 1+ x2
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1
两边积分得：− y−2 = 1+ x2 +c，
2
3
因为y(0) =1， 所以c = − ，
2
1
所以原方程满足初值问题的解为：2 1+ x2 + =3．
y2
3. 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图．
dy
(１)． =cosx
dx
解：两边积分得：y =sinx+c．
积分曲线的简图如下：
dy
(２)． = ay， (常数a ≠ 0)；
dx
解：①当y ≠ 0时，
dy 1
原方程即为： = dx 积分得： ln y = x+c，
ay a
即 y =ceax (c >0)
②y =0也是方程的解．
积分曲线的简图如下：
y
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dy
(３)． =1− y2；
dx
解：①当y ≠ ±1时，
dy 1+ y
原方程即为： = dx 积分得：ln = 2x+c，
(1− y2) 1− y
ce2x −1
即 y = ．
ce2x +1
②y = ±1也是方程的解．
积分曲线的简图如下：
dy 1
(４)． = yn， (n = ,1,2)；
dx 3
解： ①当y ≠ 0时，
1 dy
ⅰ)n = ,2时，原方程即为 = dx，
3 yn
1
积分得：x+ y1−n =c．
n−1
dy
ⅱ)n =1时，原方程即为 = dx
y
积分得：ln y = x+c，即 y =cex (c >0)．
②y =0也是方程的解．
积分曲线的简图如下：
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4. 跟踪：设某A从xoy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；同时某B从点开始跟踪A，
即B与A永远保持等距b．试求B的光滑运动轨迹．
解：设B的运动轨迹为y = y(x),由题意及导数的几何意义，则有
dy y
= − ，所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足y(0) =b的解．
dx b2 − y2
1 b+ b2 + y2
解之得：x = bln − b2 − y2 ．
2 b− b2 − y2
dy
5. 设微分方程 = f(y)(2.27)，其中f(y) 在 y = a的某邻域(例如，区间 y−a <ε)
dx
内连续，而且 f(y) =0⇔ y = a，则在直线y = a上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，
a±ε dy
当且仅当瑕积分 ∫ =∞(发散)．
a f(y)
证明：(⇒)
首 先 经 过 域 R ： −∞ < x < +∞, a−ε≤ y < a 和 域 R ： −∞ < x < +∞,
1 2
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a < y ≤ a+ε内任一点(x ,y )恰有方程(2.13)的一条积分曲线，它由下式确定
0 0
dy
y
∫ = x−x . (*)
y0 f(y) 0
这些积分曲线彼此不相交. 其次，域R (R )内的所有
1 2
dy dy
积分曲线∫ = x+c都可由其中一条，比如∫ = x+c
f(y) f(y) 0
沿着 x 轴的方向平移而得到。因此只需详细考虑经过R 内某一点
1
(x ,a−ε)的积分曲线， 它由(*)式确定.
0
dy dy
a a
若 ∫ 收敛，即存在 x = x ，使得 ∫ = x −x ,
a−ε f(y) 1 a−ε f(y) 1 0
即所讨论的积分曲线当 x = x 时达到直线y = a上点(x ,a). 由(*)式易看出，
1 1
所论积分曲线在(x ,a)处与y = a 相切，在这种情形下，经过此直线上的
1
dy
a
(⇐)一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以 ∫ 发散.
a−ε f(y)
dy
a
若积分 ∫ 发散，此时由(*)式易看出，所论的经过(x ,a−ε)的积分
a−ε f(y) 0
曲线，不可能达到直线 y = a上，而以直线y = a为渐近线，又注意到y = a也
是(２.13)的积分曲线，所以(2.13)过(x ,a−ε)的解是唯一的.
0
注：对于R 内某点(x ,a+ε)完全可类似地证明.
2 0
6. 作出下列微分方程积分曲线族的大致图形．
dy
(１)． = y ；
dx
- 10 -
