Table Of ContentObservaciones sobre los fundamentos
de la matematica
Alianza Universidad
Ludwig Wittgenstein
Observaciones sobre los
fundamentos
de la matematica
Edition de G. Henrik von Wright,
R. Rhees y G. E. M. Anscombe
Version espanola de
Isidoro Reguera
Alianza
Editorial
Tftulo ingles:
Remarks on the Foundations of Mathema/ics-3rd edition
Edited by G. H. von Wright, R. Rhccs, G. E. M. Anscombe.
Esta obra ha sido publicada en ingles por Basil Blackwell, Ltd. de Oxford, Inglaterra.
© Basil Blackwell Ltd. Oxford, 1978
© Ed. cast.: Alian7.a Editorial, S. A., Madrid, 7987
Callc Milin, 38, 28043 Madrid; telef. 200 00 45
ISBN: 84-206-2496-9
Depdsito legal: M. 13.619-1987
Compuesto en Fernandez Ciudad, S. L.
Impreso en Lavel. Los Llanos, nave 6. Humanes (Madrid)
Printed in Spain
. INE>ICE
Prologo de los editores.......................................................... 7
PARTE I. Circa 1937-1938 .................................................. 15
Apendice I. 1933-1934 ............................................................ 77
Apendice II............................................................................... 85
Apendice III............................................................................. 91
PARTE II. 1938 ...................................................................... 99
PARTE III. 1939-1940............................................................ 117
PARTE IV. 1942-1944............................................................ 185
PARTE V. 1942-1944 ............................................................ 215
PARTE VI. Circa 1943-1944 ................................................ 255
PARTE VII. 1941 y 1944....................................................... 299
Indice analitico........................................................................ 371
PROLOGO DE LOS EDITORES
Las notas de Wittgenstein publicadas postumamente en 1956
bajo el titulo de Observaciones sobre los fundamentos de la
matematica, proceden casi todas de la epoca que va de septiembre
de 1937 a abril de 1944. En sus ultimos anos de vida, Wittgenstein
no volvid a estos temas. De 1929 a 1934 aproximadamente, en
cambio, escribid mucho sobre ftlosqfia de la matematica y de la
logica. Una parte considerable de ello —junto con otros materiales
de esos anos— ha sido publicada bajo los titulos de Observaciones
filosoficas (Philosophische Bemerkungen) (1964) y Gramatica
filosofica (Philosophische Grammatik) (1969).
Esta nueva edicion revisada de las Observaciones sobre los
fundamentos de la matematica contiene el texto integro de la
primera edicion (1956). Como editores, por tanto, no hemos dejado
fuera nada de lo que ya estaba en la imprenta. Hemos incluido, en
cambio, material adicional. Solo las Partes II y III de la primera
edicion han vuelto a imprimir.se aqui. como Partes III v IV,
practicamente inalteradas.
El Apendice II de la Parte I de la primera edicion, ampliado con
olgunas ahadiduras, pocas, tomadas de los manuscritos, lo publica-
m°s aqui independientemente como Parte II.
Enteramente nueva es la Parte VI de la nueva edicion. El
nianuscrito contiene. entre otras cosas. la exposition quizd mas
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10 Ludwig Wittgenstein
satisfactoria del pensamiento de Wittgenstein respecto al problema
de seguir una regia —uno de sus temas mas recurrentes. El ma-
nuscrito (164) fue escrito en los anos 1941-1944; hasta ahora no
nos ha sido posihle fecharlo con mayor precision K El manuscrito,
con excepcion de unas pocas ohservaciones del final, que no encajan
del todo en el circulo tematico primordial, se ha imprimido aqui in
extenso.
La Parte I es la mas temprana de esta coleccion, y en cierto
modo mantiene una position peculiar. Es la unica parte escrita a
maquina y la mas elahorada de todas. El escrito a maquina se
apoya, a su vez, en manuscritos, la mayor parte de los cuales fueron
compuestos en el periodo que va desde septiembre de 1937 hasta
aproximadamente el final de ese mismo aho (117, 118, 119). Una
excepcion la forman, sin embargo, las ohservaciones sobre la
negacion, que proceden de un manuscrito surgido en torno al
cambio de aho 1933-1934 (115).
En su forma original el escrito a maquina, base de la Parte I,
formaba la segunda mitadde una temprana version de las Investiga-
ciones filosoficas. Esa mitad de esa version Wittgenstein la dividid
despues en recortes, introduciendo numerosos cambios y adiciones,
y solo despues ordeno las ohservaciones aisladas tal como se
reproducen aqui. Todavia en un cuaderno de notas manuscrito
(124) de 1944 propuso algunos cambios —pocos— respecto a este
manuscrito a maquina. (Vease infra, p. 57, nota.)
La ultima section de la recopilacion reordenada consistia en
papeles que no habian sido troceados, aunque si tenian numerosos
ahadidos manuscritos, y no esta del todo claro si Wittgenstein la
considero perteneciente al texto que precedia. Esta seccion trata del
concepto de la negacion y, como ya hemos dicho, fue escrita tres o
cuatro ahos antes que el resto de la Parte 1. Su contenido se
encuentra en gran parte en las Investigations, §§ 547-568. Los
editor es la habian dejado fuera en la primer a edicion, pero aqui la
han incluido como Apendice I de la Parte I.
A esta recopilacion se le han ahadido, ademas, otros dos
1 La numeration de los manuscritos y de los escritos a maquina de
Wittgenstein sigue aqui la lista ofrecida en el articulo de G. V. von Wright, «The
Wittgensteins Papers», publicado en The Philosophical Review, vol. LXXVII1,
1969.
Observaciones sobre los fundamentos de la matematica 11
endices. Estos proceden del mismo escrito a maquina de la
a^eunda mitad de las (primitivas) Investigations, aunque estaban
separados del resto de la coleccion de recortes. El primero trata de
)o «sorprendente en la matematica». El segundo discute, entre otras
cosas, lets teorias de Godel sobre la existencia de las proposiciones
indemostrables, pero verdaderas, en el sistema de los Principia
Mathematica. En la primera edicion solo incluimos el segundo
apendice, pero en esta publicamos ambos (Apendices II y III).
Con excepcion de unas pocas observaciones que el propio
Wittgenstein dejo fuera al ordenar los recortes, la Parte I aqui
publicada comprende, asi, el contenido entero de la segunda parte
de la primitiva version de las Investigaciones filosoficas.
Hubo de ser intencion de Wittgenstein anadir tambien apendi
ces, sobre la teoria de Cantor de la infinitud y sobre la logica de
Russell, a las contribuciones sobre problemas referentes a los
fundamentos de la matematica, que habia pensado incluir en las
Investigaciones filosoficas. Bajo el titulo de «Anexos», Wittgens
tein escribio, probablemente a principios del ano 1938, algunas
cosas sobre problemas referentes a la teoria de conjuntos: sobre el
procedimiento de la diagonal v sobre las diferentes variedades del
concepto de niunero. Desde abril de 1938 hasta enero de 1939
compuso un cuaderno manuscrito (121) en el que, junto a otras
observaciones sobre la jilosofia de los concept os psicologicos,
incluyd bastantes sobre probabilidad y verdad (Godel), asi como
sobre infinitudy variedades de numeros (Cantor). Estos apuntes los
continuo inmediatamente en un block de notas (162a y comienzo de
162b). En los ultimos anos de la guerra volvio tambien ocasional-
mente a estos temas. La confrontacion con Cantor, sin embargo,
nunc a llego a su termino.
Lo que aparece aqui publicado como Parte II consiste en los
«Anexos» anteriormente mencionados (117) y en una seleccion de
observaciones de 121. Todo ello representa una ampliacion insigniji-
cante del Apendice II de la Parte I de la antigua (1956) edicion. La
ordenacion de las frases y paragrafos en observaciones numeradas
se corresponde con el texto original (lo que no era en modo alguno
el caso en la edicion de 1956). Las secciones ban sido numeradas
por los editores.
La confrontacion de Wittgenstein con Russell, es decir, con la
idea de la derivabilidad de la matematica a partir del calculo logico.
12 Ludwig Wittgenstein
se encuentra en la Parte III de esta coleccion (Parte II de la
edicion de 1956). Estos escritos proceden del periodo que va de
octubre de 1939 a abril de 1940. El manuscrito (122, que continua
en la segunda mitad de 117) era el mas extenso de todos las
manuscritos que forman la base de esta coleccion. Ni en el estilo ni
en el contenido ha sido perfeccionado. El autor intenta repetidamen-
te elucidar sus ideas sobre la naturaleza de la demostracion
matematica: que significa, por ejemplo, decir que una demostracion
ha de ser controlable; que se nos presenta con una nueva imagen;
que crea un nuevo concepto; y cosas semejantes. Con ello intenta
explicar «lo variopinto de la matematica» y aclarar la conexion
entre diferentes tecnicas de calculo. Con este esfuerzo se enfrenta
simultaneamente a la idea de una «fundamentacion» de la matema-
tica, sea en la forma de un calculo russelliano o en la de la
concepcion hilbertiana de una metamatematica. Se discute porme-
norizadamente la idea de contradict ion y la de una demostracion de
consistencia.
Los editores fueron de la opinion de que este manuscrito
contenia un cumulo de valiosas ideas, tales como no se encuentran
en ninguna otra parte en los escritos de Wittgenstein. Pero, por otro
lado, tambien les resultaba claro que este manuscrito no podia ser
publicado sin acortarlo. Por eso, una selection resultaba indispensa
ble. La tarea fue dificil, y los editores no estan del todo satisfechos
del result ado.
En el otoho de 1940 Wittgenstein volvio a ocuparse de nuevo de
la jilosojia de la matematica y escribio algunas cosas sobre la
cuestion de seguir una regia. Estos escritos (manuscrito 123) no se
publican aqui. En mayo de 1941 reemprendio el trabajo y ello le
condujo pronto a investigaciones, de las que una considerable
seleccion aparece publicada aqui como Parte VII.
La primera parte de la Parte VII f§§ 1-23) fue escrita en su
mayoria en junio de 1941. En ella se discute la relation entre
proposiciones matemdticas y empiricas, entre calculo y experimen-
to, vuelve a tratar del concepto de contradiction y de consistencia, y
termina en las cercanias del problema de Godel. La segunda mitad
Jue escrita en la primavera de 1944. Trata fundamentalmente del
concepto de seguir una regia, de la demostracion matematica e
infer encia logica, y de la conexion entre demostracion y for mac ion
de conceptos en matematica. Hay aqui numerosos puntos de
