Table Of ContentHochschultext
E. Kreuzer
Numerische Untersuchung
nichtlinearer
dynamischer Systeme
Mit 47 Abbildungen, 5 Tabellen und 2 Farbtafeln
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo 1987
Prof. Dr.-Ing. habil. E. Kreuzer
Institut B fUr Mechanik, Universitat Stuttgart
Pfaffenwaldring 9, 7000 Stuttgart 80
ISBN-13: 978-3-540-17317-5 e-ISBN-13:978-3-642-82968-0
001: 10.1007/978-3-642-82968-0
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek.
Kreuzer, Edwin: Numerische Untersuchung nichtlinearer dynamischer Systeme 1 E. Kreuzer.
- Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer, 1987. (Hochschultext)
ISBN-13: 978-3-540-17317-5
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1987
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Meiner Mutter
Dynamische Systeme werden haufig erst durch nichtlineare ma
thematische Modelle befriedigend genau beschrieben. Die detail
lierte Kenntnis der in solchen Systemen auftretenden Phanomene,
die von periodischen Schwingungen bis zu chaotischen Bewegungen
reichen, ist in den Naturwissenschaften und in der Technik von
groBer Bedeutung. Da fur nichtlineare Systeme analytische Losun
gen nur selten angegeben werden konnen, ist man meist auf nu
merische Losungsmethoden angewiesen. Neben der Losung sind auch
qualitative und quantitative KenngroBen zur Systembeurteilung
von groBer praktischer Bedeutung. Statistische Methoden spielen
dabei eine wichtige Rolle.
1m vorliegenden Buch werden bewahrte und neue Methoden zur nu
merischen Untersuchung nichtlinearer dynamischer Systeme zusam
mengestellt und weiterentwickelt. Anwendungsorientierte Methoden
stehen im Vordergrund des Interesses. Ausfuhrlich werden auch
die in den letzten Jahren intensiv studierten chaotischen Bewe
gungen diskutiert. UnregeImaBige Bewegungen, wie sie aus der
Fluiddynamik seit Iangem bekannt sind, konnen auch bei mecha
nischen Systemen mit wenigen Freiheitsgraden beobachtet werden.
Diese Bewegungen sind nicht die Folge von UnregeImaBigkeiten in
den EingangsgroBen oder Parametern, sondern werden nur durch die
Nichtlinearitaten im deterministischen System hervorgerufen.
Die genannten Phanomene haben zunachst das Interesse der Mathe
matiker geweckt, die neue Ideen und topologische Konzepte ent
wickelten, um die Losung zu erleichtern und die teilweise sehr
verwickelten Eigenschaften zu erklaren. Begriffe, wie seltsame
Attraktoren, Selbstahnlichkeit, Empfindlichkeit gegenuber Sto
rung en der Anfangsbedingungen u.a. wurden zur Kennzeichnung
chaotischer Eigenschaften eingeftihrt. Aber auch ftir den an An
wendungen interessierten Dynamiker, und vor allem die Ingenieure
sind die neuen Entwicklungen von Bedeutung. Nicht nur, weil die
neuen mathematischen Konzepte klassische Losungsverfahren sinn
voll erganzen, sondern auch deshalb, weil dadurch z.B. die Vor
hersage tiber das Langzeitverhalten von Systemen eine neue Quali
tat erhalten hat.
Dieses Buch basiert auf der Schrift "Zur numerischen Untersu
chung nichtlinearer dynamischer Systeme", die im Jahre 1986 zur
Habilitation an der Universitat Stuttgart ftir das Fachgebiet
Mechanik ftihrte. Ftir die wohlwollende Forderung wahrend der
Arbeit an diesem Thema danke ich Herrn Professor Dr. W. Schieh
len herzlich. Dank gebtihrt auch Herrn Professor Dr. K. Kirch
gassner, der als Mitberichter am Habilitationsverfahren mitwirk
teo Mein Dank gilt auBerdem Herrn Professor C.S. Hsu von der
Universitat von Kalifornien in Berkeley, der mich wahrend eines
von der Deutschen Forschungsgemeinschaft finanzierten For
schungsaufenthaltes in die Methode der Zellabbildung einweihte,
die zu einer wichtigen Grundlage meiner eigenen Arbeit wurde.
Herrn Dipl.-Ing. D. Bestle schulde ich ebenfalls Dank, er hat
beim Korrekturlesen eine Reihe von Schreibfehlern aufgedeckt und
mich durch seine sachkundige Kritik zu manch scharferer Formu
lierung veranlaBt. Frau B. Arnold hat die Schreibarbeiten ftir
das Manuskript sorgfaltig durchgeftihrt und Herr cando mach. E.
Settelmeyer hat mit Akribie die stets notwendigen Korrekturen
vorgenommen. SchlieBlich habe ich noch Herrn Dr. W. Ludwig vom
Springer-Verlag daftir zu danken, daB er das Buch in die Reihe
Hochschultext aufgenommen und meine Sonderwtinsche berticksichtigt
hat.
Stuttgart, im Oktober 1986 Edwin Kreuzer
VIII
Inhaltsverzeichnis
VERZEICHNIS OER WICHTIGSTEN SYMBOLE UNO FORMELZEICHEN XIII
EINLEITUNG
1.1 Literaturubersicht 2
1.2 Mathematische Beschreibung nichtlinearer
dynamischer Systeme 5
1.3 Ziele der Arbeit 7
1.4 Inhalt der Arbeit 9
2 MATHEMATISCHE GRUNOLAGEN 11
2.1 Grundbegriffe 11
2.2 Lineare Systeme 20
2.3 Invariante Unterraume 21
2.4 Nichtlineare Systeme 23
2.4.1 Singulare Punkte 23
2.4.2 Klassifizierung von singularen Punkten 25
2.5 Lineare und nichtlineare Abbildungen 27
2.6 Poincare-Abbildungen 30
2.7 Periodische Losungen und Fixpunkte von
Punktabbildungen 32
2.7.1 Stabilitat von Punktabbildungen 34
2.7.2 Klassifizierung von Fixpunkten 38
2.8 Asymptotisches Verhalten 43
2.8.1 Grenzpunkte und Grenzmengen 43
2.8.2 Analytische Bestimmung von Einzugsgebieten 46
2.8.3 Zur numerischen Bestimmung von Einzugsgebieten 47
3 KONSERVATIVE SYSTEME 49
3.1 Hamiltonsche Bewequnqsqleichunqen 50
3.2 Wirkunqs-Winkelvariablen 53
3.3 Inteqrierbare und nichtinteqrierbare Systeme 54
3.4 Kanonische Storunqstheorie 58
3.5 Chaotisches Verhalten flachenbewahrender
Abbildunqen 61
3.5.1 Instabile Tori 62
3.5.2 Homoklinische Punkte und chaotisches Verhalten 64
3.6 Stabilitat mehrdimensionaler Hamiltonscher
Systeme 67
3.7 Henon-Heiles System 68
4 NICHTKONSERVATIVE SYSTEME 71
4.1 Attraktoren 72
4.1.1 Volumenkontraktion 73
4.1.2 Definition von Attraktoren 74
4.2 Qualitative Anderunq von Attraktoren 78
4.2.1 Periodenverdopplunq 79
4.2.2 Hopf-Verzweiqunq 81
4.2.3 Sattelpunkt- oder Tanqentenverzweiqunq,
Intermittenz 82
4.2.4 Zusammenfassunq der behandelten Szenarios 82
4.3 Charakterisierunq von Attraktoren 84
4.3.1 Zeitverlaufe 84
4.3.2 Leistunqsspektren 85
4.3.3 Ljapunov-Exponenten 85
4.3.4 Dimension 86
4.3.5 Zusammenfassunq der charakteristischen
Merkmale 87
4.4 Nichtautonomes System: Modifizierte
Duffinq-Gleichunq 88
x
5 FUNDAMENT ALE UNTERSUCHUNGSMETHODEN 93
5.1 Obersicht fiber Naherungsverfahren 94
5.1.1 Storungsrechnung 94
5.1.2 Mittelungsmethoden 96
5.2 Zeitverlaufe und Phasenportraits durch
numerische Integration 97
5.3 Punktabbildungen 98
5.4 Leistungsspektren aus der Fourier-Analyse 100
5.5 Ljapunov-Exponenten 102
5.5.1 Eindimensionale Ljapunov-Exponenten 102
5.5.2 Mehrdimensionale Ljapunov-Exponenten 106
5.5.3 Ljapunov-Exponenten von Punktabbildungen 107
5.5.4 Bemerkungen zu den Ljapunov-Exponenten 108
5.6 Dimension 109
5.7 Entropie und Kurzzeitvorhersagen 111
5.8 Kritische Wertung numerischer Ergebnisse 114
5.9 Nichtautonomes System: Modifizierte
Duffing-Gleichung 115
6 ZELLABBILDUNGSMETHODE 122
6.1 Diskretisierung des Zustandsraumes 123
6.2 Einfache Zellabbildungsmethode 125
6.2.1 Gleichgewichtszelle 126
6.2.2 Periodische Zellen 127
6.2.3 Einzugsbereiche 127
6.2.4 Bemerkungen zum Algorithmus 128
6.2.5 Eigenschaften der einfachen Zellabbildung 129
6.2.6 Beispiel zur einfachen Zellabbildung 130
6.3 Allgemeine Zellabbildungsmethode 132
6.4 Zur Theorie der Markov-Ketten 136
6.4.1 Definitionen aus der Theorie der Markov-Ketten 136
6.4.1.1 n-Schritte Obergangswahrscheinlichkeit 137
6.4.1.2 Verknfipfung von Zellen 137
XI
