Numerische Physik: mit 72 Abbildungen, zahlreichen Übungen und einer CD-ROM mit Beispielprogrammen und Programmpaketen

302 Pages·2004·3.92 MB·German

by  Harald Wiedemann

Springer-Lehrbuch
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Harald Wiedemann
Numerische
Physik
Mit72Abbildungen,zahlreichenU¨bungen
undeinerCD-ROM
mitBeispielprogrammenundProgrammpaketen
1 3
Dr.HaraldWiedemann
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Meinen Eltern
Vorwort
Die letzten Jahre waren vom ungeheuren Siegeszug des Computers gepr¨agt:
Er hielt zun¨achst Einzug in große Computers¨ale der Konzerne, dann drang
er auch in kleinere Firmen vor, eroberte unsere Arbeitspl¨atze und findet sich
mittlerweileinfastjedemHaushalt.Eru¨bernimmtverschiedensteAufgaben,
wie die Verwaltung von Lagerbest¨anden oder von Konten, die Berechnung
der Sicherheit unserer Autos, dient als Schreibmaschine ebenso wie als Ste-
reoanlage oder Fernseher – die Liste ließe sich fast beliebig fortsetzen. Schon
als Computer noch die Ausmaße von Schr¨anken hatten, wurden Sie intensiv
in der Forschung eingesetzt, und das nicht nur als der schon oben erw¨ahnte
Schreibmaschinenersatz, um Diplom- oder Doktorarbeiten sowie Ver¨offent-
lichungen niederzuschreiben. Auch bei der eigentlichen Forschung, also der
GewinnungneuenWissens,istderComputerzueinemunentbehrlichenHilfs-
mittel geworden.
In der Physik wird der Computer im Wesentlichen zu drei unterschiedli-
chen Aufgabengebieten herangezogen: zum einen fu¨r die Erstellung von Gra-
fiken und Texten, zum zweiten zur Steuerung und Auswertung von Mess-
abl¨aufen in der Experimentalphysik und zum dritten zur numerischen Aus-
wertung von Gleichungen in der Theoretischen Physik. In ju¨ngster Zeit ge-
winntdaru¨berhinausderComputereineBedeutungalsHilfsmittelbeideral-
gebraischenAuswertungkomplizierterAusdru¨cke.IndiesemBuchwerdenwir
unslediglichmitdemdrittenAspekt,alsodernumerischenPhysik,besch¨afti-
gen, wobei wir jedoch nicht umhin kommen, die so gewonnenen Ergebnisse
auchgrafischdarzustellen,sodassderanersterStellegenannteGesichtspunkt
– wenn auch nur am Rande – ins Spiel kommt.
Wenn man ein Buch u¨ber numerische Physik schreiben will, sollte man
sich zun¨achst fragen, welche Hilfsmittel ein theoretischer Physiker in diesem
Aufgabengebiet einsetzt und welche Kenntnisse er fu¨r seine Arbeit ben¨otigt.
BeidenArbeitsmittelnistinersterLinienebeneinemm¨oglichstleistungsf¨ahi-
genComputereinCompilereinerh¨oherenProgrammiersprache(z.B.C/C++
oderFORTRAN)zunennen.DaderPhysikerallerdingsm¨oglichstwenigsei-
nerZeitopfernm¨ochte,umnumerischeStandardaufgabenzuprogrammieren,
ben¨otigt er noch eine Numerik-Bibliothek, die ihm diese Aufgabe abnimmt.
Undschließlichben¨otigternocheinGrafikprogramm,mitdessenHilfeerdie
gewonnenen Ergebnisse visualisieren kann.
VIII Vorwort
Die Frage nach speziellen Kenntnissen, die der numerische Physiker
ben¨otigt, ist weit schwieriger zu beantworten. Auf den ersten Blick scheinen
Programmierkenntnisse und ein Handbuch der verwendeten Numerikbiblio-
theksowiedeseingesetztenGrafikprogrammsauszureichen.DieRealit¨ataber
zeigt, dass diese beiden Dinge zwar einen guten Programmierer, aber keinen
guten Wissenschaftler ausmachen – fu¨r letzteren sind die Kenntnisse seines
Fachgebietes weitaus wichtiger, auch wenn er den gr¨oßeren Teil seiner Zeit
mitdemSuchenvonProgrammierfehlernzubringt.Nunk¨onntemanmeinen,
dass diese Kenntnisse doch hinreichend in den Vorlesungen zur Experimen-
talphysik und Theoretischen Physik vermittelt wu¨rden, aber die Erfahrung
zeigt,dassdieSichtweisephysikalischerSachverhalteindernumerischenPhy-
sik oft eine andere ist: Im konventionellen Lehrplan zentrale Dinge verlieren
anBedeutung,w¨ahrendandereGesichtspunkteinsBlickfeldgeraten.Proble-
me,dievorherzuschwierigwaren,sindnunverh¨altnism¨aßigeinfach,w¨ahrend
es sich bei anderen genau umgekehrt verh¨alt. Dies ist die Lu¨cke, die dieses
Buch schließen will. Und dieses Buch m¨ochte den Studenten einladen, die
aufregende Welt der numerischen Physik selbst zu entdecken.
Um dieses zu erm¨oglichen, mu¨ssen wir noch einmal auf die materiellen
Voraussetzungenzuru¨ckkommen,diefu¨rnumerischePhysikben¨otigtwerden.
ComputersindseitihrerErfindungkontinuierlichbilligerundleistungsf¨ahiger
geworden, so dass mittlerweile fast jeder Student einen besitzt oder wenig-
stens Zugang zu einem hat. Compiler sind zwar auch nicht unerschwinglich,
aber bei der Numerik-Bibliothek erreichen wir im Allgemeinen ein Preisni-
veau, das fu¨r Studenten nicht mehr akzeptabel ist. Deshalb kommen bislang
viele Studenten erst zum Beginn der Diplomarbeit mit einem umfangrei-
cheren Einsatz numerischer Methoden in Beru¨hrung, oder die Erfahrungen
vorher beschr¨anken sich auf eine Vorlesung mit eventuellem Praktikum. An-
gesichts der zunehmenden Bedeutung der numerischen Physik ist diese Si-
tuation unbefriedigend, und eine Aufgabe dieses Buches ist, dies zu ¨andern.
Einen Ausweg aus dieser Situation bietet mittlerweile sogenannte freie
Software,alsoSoftwaredieumsonstist.Nebendemweithinbekanntenfreien
Unix-BetriebssystemLinuxgibtesn¨amlichinzwischenfu¨rfastjedeSoftware-
Sparte auch freie Programme, die den Vergleich mit ihren kommerziellen
Konkurrenten nicht zu scheuen brauchen – von der Textverarbeitung bis hin
zumvonunsben¨otigtenCompiler.Undwereinwenigsucht,findetsogarfrei
verfu¨gbare Numerikbibliotheken. Da auch fu¨r unsere Zwecke taugliche Vi-
sualisierungsprogrammefreierh¨altlichsind,k¨onnenalleVoraussetzungenfu¨r
numerische Physik auch zum Nulltarif erfu¨llt werden, und man hat bei allen
drei Software-Paketen (Compiler, Numerikbibliothek und Grafikprogramm)
sogarnochverschiedeneProgrammezurAuswahl–eineAuswahl,diezumin-
dest zum Teil von mir eingeschr¨ankt werden musste, da dieses Buch nicht
alle M¨oglichkeiten abdecken kann.
Beim Compiler haben Sie noch weitgehend freie Wahl, sofern Sie sich
auf die Programmiersprachen C++ oder FORTRAN beschr¨anken – andere
Vorwort IX
Programmiersprachen finden in der Numerik auch praktisch keine Anwen-
dung. An freien Compilern stehen hier z.B. die Compiler der GNU-Familie
gcc/g++ bzw. g77 zur Verfu¨gung. Diese Compiler gibt es in Varianten fu¨r
Windows und fu¨r Linux sowie andere Betriebssysteme. Wenn Sie als Be-
triebssystem Linux installiert haben, stehen Ihnen daru¨ber hinaus noch z.B.
dieIntel-CompilerzurVerfu¨gung(dieauchaufAMD-Systemenhervorragend
laufen)–ausLizenzgru¨ndensinddieseCompilerabernichtaufderbeiliegen-
den CD-ROM vorhanden, sondern mu¨ssen nach einer Registrierung direkt
bei Intel von deren Webseiten geholt werden. Neben diesen frei verfu¨gbaren
Compilern ist aber selbstverst¨andlich auch jeder kommerzielle C++- oder
Fortran-Compiler fu¨r unsere Zwecke geeignet.
Eine Auswahl von Numerik-Bibliotheken finden Sie in Anhang C. Deren
Routinen werden von unseren C++- bzw. Fortran-Programmen aufgerufen,
so dass ein Programm immer nur mit einer bestimmten Bibliothek u¨bersetzt
werden kann. Hier muss also eine Festlegung erfolgen und wenn Sie eine an-
dere Numerik-Bibliothek verwenden wollen, mu¨ssen Sie die Programme auf
der beigelegten CD-ROM entsprechend anpassen. Alle Programme werden
imBuchalsC++-Quellcodeinihrerfu¨rdieGNU Scientific Library [1],kurz
GSL, ausgelegten Variante ausfu¨hrlich vorgestellt und Sie finden diese Pro-
gramme auf der CD-ROM im Verzeichnis programme\gsl. Daru¨ber hinaus
finden Sie im Verzeichnis programme\slatec die meisten dieser Programme
als FORTRAN-Quellcode fu¨r SLATEC. Alle diese Programme wurden wie
die zugeh¨origen Bibliotheken, unter die Gnu General Public License, kurz
GPL,gestellt.Dasbedeutet,dassSiedieseProgrammeverwenden,ver¨andern
und an Dritteweitergeben du¨rfen. Ein entsprechender Hinweisfindet sich im
Quelltext der Programme am Dateiende – diese Zeilen geben wir aus Platz-
gru¨nden bei der Besprechung der Programme im Buch nicht wieder. Fu¨r
die Weiterverteilung von GPL-lizensierten Programmen gibt es einige Auf-
lagen, die Sie bitte Anhang G entnehmen. Der dort wiedergegebene Text
der GPL ist Englisch, da nur dieser rechtliche Relevanz besitzt – Sie fin-
denimInternetunterhttp://www.gnu.org/licenses/translations.html
aberauchU¨bersetzungeninandereSprachen,dieallerdingskeinenoffiziellen
Charakter haben.
Als letzten Punkt mu¨ssen wir auf die Visualisierung unserer Ergebnisse
eingehen. Die von uns geschriebenen Programme erzeugen zun¨achst einmal
nur eine Menge Zahlen, die grafisch dargestellt werden mu¨ssen, damit man
mit diesen etwas anfangen kann. Auch hier stehen wieder eine ganze Reihe
vonProgrammenzurAuswahl(gnuplot,GLE,kplot),undesistIhnenu¨ber-
lassen,welchesSiebenutzen wollen.DieProgrammediesesBuchessind zwar
insofern auf GLE oder gnuplot ausgelegt, dass Kommentarzeilen mit Para-
meternmiteinem#beginnen–dieseZeilenlassensichjedochleichtentfernen
oder an ein anderes Grafikprogramm anpassen.
Die Gliederung des Buches entspricht dem Kursus Theoretischer Physik,
wieeranUniversit¨atengelehrtwird:Mechanik,Elektrodynamik,Optik,Sta-
X Vorwort
tistische Physik sowie Quantenmechanik. Jedes Kapitel beginnt mit einem
Abriss der Grundlagen – dieser soll dem Leser, der bereits u¨ber die entspre-
chenden Kenntnisse verfu¨gt, die wesentlichen Punkte noch einmal in Erin-
nerung rufen. Sollte der Leser dabei feststellen, dass er keine ausreichenden
Grundlagenkenntnisse hat, mu¨ssen wir ihn an ein konventionelles Lehrbuch
verweisen, da das vorliegende Buch ein solches weder ersetzen kann noch
will. Empfehlenswerte Werke, die alle wesentlichen Teilgebiete der Physik
abdecken, sind [2–4]. Daru¨ber hinaus kann der Leser auf [5] fu¨r Elektrody-
namik, [6] fu¨r Optik und [7] fu¨r Quantenmechanik zuru¨ckgreifen. Durch die
Fu¨lle an detailliert besprochenen Aufgaben und Problemen zeichnet sich [8]
aus – diese Aufgaben bieten sich auch fu¨r eine numerische L¨osung an, wo-
bei die analytische L¨osung zur Kontrolle herangezogen werden kann. Als
erg¨anzende bzw. weiterfu¨hrende Literatur in Richtung Numerische Physik
empfehle ich [9–13].
U¨berhaupt nicht angesprochen wird in diesem Buch der Themenbereich
Dynamik von Flu¨ssigkeiten, da dies den Rahmen einer Einfu¨hrung in die
Numerische Physik sprengen wu¨rde. Fu¨r diese Disziplin kann der Leser auf
eine umfangreiche Spezialliteratur zuru¨ckgreifen [14–17].
WieineinemkonventionellenLehrbuchinTheoretischerPhysikwerdenzu
jedem Kapitel eine Reihe von Problemstellungen vorgestellt und ausfu¨hrlich
besprochen. Jedes dieser Probleme wird zun¨achst in einem Grundlagenab-
schnitt diskutiert, in dem wir dieses soweit wie m¨oglich analytisch l¨osen und
damit den Grundstein fu¨r die numerische L¨osung legen, die im Anschluss
daranbesprochenwird.Mirliegtdaran,dassSiedieNumeriknichtalsAlter-
native zur analytischen L¨osung begreifen, sondern eher als Erg¨anzung, und
Sie werden feststellen, wie diese beiden an sich grundverschiedenen Zug¨ange
ineinander greifen. So eingesetzt, erweist sich Numerik als ein ¨außerst lei-
stungsf¨ahiges Werkzeug in der Hand des Theoretischen Physikers.
Zu jedem Kapitel dieses Buches gibt es U¨bungsaufgaben, bei denen Sie
die Programme, die im Text besprochen werden und die Sie auf der CD-
ROMfinden,anneueAufgabenstellungenanpassenmu¨ssen.FassenSiediese
Aufgaben als Anregungen auf – sein Ziel hat das Buch erreicht, wenn Sie
u¨ber diese Aufgaben hinausgehen und Probleme numerisch angehen, die Sie
interessieren, die Sie aber nicht analytisch l¨osen k¨onnen.
Zu guter Letzt m¨ochte ich mich bei Gert-Ludwig Ingold und Michael
Weing¨artnerfu¨rdasunermu¨dlicheKorrekturlesenundzahlreicheVorschl¨age,
die diesem Buch zu Gute kamen, bedanken. Daru¨ber hinaus bin ich Fritz
Haake, Holger Schanz und den Mitgliedern der GSL-Newsgroup zu Dank
verpflichtet.
Heitersheim, Harald Wiedemann
Januar 2004
Inhaltsverzeichnis
1 Mechanik der Massenpunkte.............................. 1
1.1 Die Newtonschen Gesetze................................ 1
1.2 Das Fadenpendel ....................................... 3
1.2.1 Verifizierung des Programms....................... 11
1.2.2 Graphische Darstellung und Interpretation
der Ergebnisse ................................... 12
1.2.3 Verbesserung des Algorithmus ..................... 14
1.3 Das Doppelpendel ...................................... 26
1.4 Integrable und nicht integrable Dynamiken ................ 32
1.5 Regul¨are und chaotische Dynamiken ...................... 40
1.6 Das Teilchen in der Schachtel ............................ 45
1.7 Hamilton-Formalismus .................................. 52
1.8 Attraktoren in dissipativen Systemen ..................... 52
1.9 Das periodisch angetriebene Pendel ....................... 55
1.10 Der schiefe Wurf mit Luftwiderstand...................... 61
U¨bungen................................................... 66
2 Elektrodynamik .......................................... 71
2.1 Die Maxwellschen Gleichungen ........................... 71
2.2 Felder von Punktladungen............................... 72
2.3 Multipole.............................................. 73
2.4 Berechnung von Feldlinien ............................... 76
2.5 Magnetfelder station¨arer Str¨ome.......................... 80
2.6 Hysterese.............................................. 92
U¨bungen................................................... 96
3 Optik..................................................... 99
3.1 Historischer U¨berblick................................... 99
3.2 Grundbegriffe der Strahlenoptik .......................... 100
3.3 Brechung und Reflektion von Licht ....................... 101
3.4 Brechung an einer Linsen߬ache........................... 105
3.5 Bild durch eine Linse – Linsenfehler ...................... 111
3.6 Entstehung eines Regenbogens ........................... 116
3.6.1 Qualitative Erkl¨arung des Regenbogens ............. 117
3.6.2 Quantititave Voru¨berlegungen ..................... 118