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INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS
INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR
NUMERISCHEN MATHEMATIK
SERIE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE
Editors:
eh. Blanc, Lausanne; A. Ghizzetti, Roma; P. Henrici, Zürich;
A. Ostrowski, Montagnola;
J. Todd, Pasadena; A. van Wijngaarden, Amsterdam
VOL. 36
Numerische Methoden
bei Optimierungsaufgaben
Band 3
Optimierung bei graphentheoretischen und ganzzahligen Problemen
Vortragsauszüge einer Tagung
über <Optimierung bei graphentheoretischen und ganzzahligen Problemen>
vom 22. bis 28. Februar 1976
im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwald)
Herausgegeben von
L. COLLATZ, Hamburg, G. MEINARDUS, Siegen,
und W. WETTERLING, Enschede
1977
Springer Basel AG
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben/
hrsg. von L. Collatz ... - Basel, Stuttgart:
Birkhäuser.
NE: Collatz, Lothar [Hrsg.]
Bd. 3. Optimierung bei graphentheoretischen und
ganzzahligen Problemen: Vortragsausz. e. Ta
gung über Optimierung bei Graphentheoret. u.
ganzzahligen Problemen vom 22. bis 28. Februar
1976 im Math. Forschungsinst. Oberwolfach
(Schwarzwald). - 1977.
(International series of numerical mathe
matics; Vol. 36)
ISBN 978-3-0348-5937-0
NE: Tagung über Optimierung bei Graphentheore
tischen und ganzzahligen Problemen <1976, Ober
wolfach); Mathematisches Forschungsinstitut
< Oberwolf ach >
Nachdruck verboten
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1977
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1977
ISBN 978-3-0348-5937-0 ISBN 978-3-0348-5936-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5936-3
Vorwort
Der vorliegende Band gibt hauptsächlich Vorträge wieder, die in der Zeit vom
23. bis 27. Februar 1976 auf einem am Mathematischen Forschungsinstitut
Oberwolfach abgehaltenen Kolloquium über «Optimierung bei graphentheo
retischen und ganzzahligen Problemen» gehalten wurden. Die Tagung war
einem aktuellen und in neuerer Zeit in der Literatur viel behandelten Teilge
biet der Optimierung gewidmet. Die graphen theoretischen und ganzzahligen
Optimierungsprobleme sind, wie auch aus den 19 Vorträgen hervorging, für
viele Anwendungen in Wirtschaft und Technik von Bedeutung, geben aber
auch Anlass zu interessanten theoretischen Untersuchungen. Auch über
Fortschritte auf dem Gebiet der numerischen Methoden konnte berichtet
werden, vor allem im Zusammenhang mit der Komplexität von Algorithmen.
So hoffen die Unterzeichner, dass die Tagung dazu beigetragen hat, den
Kontakt zwischen mathematischer Theorie und Anwendungsgebieten wieder
etwas stärker zu beleben.
Die 42 Teilnehmer aus dem In- und Ausland, darunter eine grössere Gruppe
aus den Niederlanden und einige eigens zu dieser Tagung aus Amerika
angereiste Kollegen, haben in Vorträgen und Diskussionen viele wertvolle
Informationen austauschen können. Der Institutsleitung gebührt für diese
Gelegenheit der wissenschaftlichen Begegnung der Dank aller Teilnehmer.
L. COLLATZ G. MEINARDUS W. WETTERLING
(Hamburg) (Siegen) (Enschede)
Inhaltsverzeichnis
R.E. BURKARD - H. HAMACHER - U. ZIMMERMANN:
Flussprobleme mit allgemeinen Kosten ........................... 9
L. COLLATZ:
Graphen bei Ornamenten und Verzweigungsdiagrammen . . . . . . . . . . . . 23
B. DEJON:
Bestimmung von r kürzesten Wegen in Netzwerken unter Nebenbedin-
gungen: Verfahren vom Hoffman-Pavley-Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
R. HALIN:
Systeme disjunkter unendlicher Wege in Graphen .................. 55
P.L. HAMMER:
Pseudo-Boolean remarks on balanced graphs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
W.P.A. VAN DER HEYDEN:
Some experiments with Steiner trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
H. Th. JONGEN:
Zur Geometrie endlichdimensionaler nichtkonvexer
Optimierungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111
E.KöHLER:
Bemerkungen über Langfordsequenzen ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 137
E.KöHLER:
Über die Konstruktion optimaler Versuchspläne mit Hilfe von Sko1em-
sequenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 147
J. KRARuP - O. BILDE:
Plant 10cation, set covering and economic lot size: An O(mn A1gorithm
for structured problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155
K. KUBIK - M. DRENTHEN:
Problems in computer network optima1ization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181
K.NEUMANr:-r:
Optimal control of decision activity networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 191
R. REDHEFFER:
Eine explizit lösbare Optimierungsaufgabe ........................ 213
ISNM 36 Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart, 1977 9
FLUSSPROBLEME MIT ALLGEMEINEN KOSTEN
Rainer E. Burkard, Horst Hamacher und Uwe Zimmermann
Ein algebraischer Ansatz für die Zielfunktionen
von Transportproblemen und Flußproblemen in Netzwerken
führt auf ein Problem, das die klassischen Fälle von
Summenzielfunktion und Engpaßzielfunktion enthält. Zur
Lösung des allgemeinen Transportproblemes können "zuläs
sige Transformationen" herangezogen werden, während das
allgemeine Flußproblem durch verallgemeinerte Flußalgo
rithmen gelöst werden kann. Der algebraische Ansatz ge
währt nicht nur Einblick in die Struktur der Probleme
sondern erklärt auch ihr verschiedenes numerisches Ver
halten.
An algebraic approach for the objective functions
of transportation problems and network flow problems with
minimal costs leads to a general problem which covers the
classical cases of sum and bottleneck objectives. For sol
ving the general transportation problem "admissible trans
formations" are introduced, whereas the general network
flow problem can be solved by generalized network flow
algorithms. The algebraic approach gives an insight in
the structure of the treated problems and explains their
different numerical behaviour.
10 BURKARD et al.
1. Problemstellung
Zu den Standardproblemen der Mathematischen Opti
mierung gehören Transportprobleme und Flußprobleme in Netz
werken. Diese lassen sich folgenderweise beschreiben:
n
Ein Netzwerk = (V,E,q,s,c,a) ist ein gerichteter
Graph G = (V,E) mit zwei ausgezeichneten Knoten, der Quel
le q E V und der Senke s E V. Für jede Kante (i,j) E E
sind Kosten aij E R und ist eine Kapazität c(i,j) E R+
festgelegt. Ein Fluß f in n mit dem Wert v ist eine Ab
bildung f E ~ R+ mit
o .::: f .::: c .
i=q
(1 ) L f(i,j)- L f(j,i) i+q,s
(i,j)EE (j , i) EE i=s
für festes i.
Ein maximaler Fluß f inn ist ein Fluß, der (1) erfüllt
und maximalen Flußwert v hat. Die Menge der maximalen
Flüsse inn bezeichnen wir mit PF. Dann lautet das klas
sische Flußproblem mit minimalen Kosten
(2) min L f(i,j)a(i,j)
fEPF (i,j) EE
Das zugehörige Engpaßproblem lautet
(3) min max a(i,j)
f EP F (i, j ) EE: f (i, j ) >0
Flußprobleme enthalten als Spezialfall das klassische
Transportproblem. Setzen wir dazu I : = {i1, ... ,im},
J {j1, ... ,jn} und definieren wir als Knotenmenge
V I U J U {q,s} bzw. als Kantenmenge
E ({q}xI) U (IxJ) U (Jx{s}).
BURKARD et aL 11
Als Kapazitäten setzen wir fest
c(q,i) ai (i E I)
c(j ,s) b. (j E J)
J
c(i,j) co (i E I,j E J)
Dabei entspricht ai dem Warenangebot im Knoten i und bj der
Nachfrage im Knoten j. Ferner erklären wir Kosten
a (q, i) a(j,s) :=0,
a(i,j) aij (i E I,j E J)
Das so erklärte Flußproblem ist äquivalent mit dem klas
sischen Transportproblem
m n
(4) min ~ ~ aij xij
xEPT i=1 j=1
wobei PT das Transportpolyeder bezeichnet.
In manchen Zusammenhängen ist es sinnvoll, nicht
eine Summe zu minimieren, sondern die maximale Zeit: Sol
len von den Orten i (i = 1, •.• ,m) verderbliche Waren in
die Orte j (j = 1, •.• ,n) versandt werden, wobei der Zeit
bedarf für den Versand von i nach j gerade tij Zeiteinhei
ten beträgt, so führt ein Versandplan, der die Angebots
und Nachfragerestriktionen erfüllt und die Gesamtzeit des
Versands minimiert, auf ein Zeittransportproblem
Zeittransportprobleme wurden bereits mehrfach in der Li
teratur behandelt, so etwa von Garfinkel-Rao [7],
Hammer [8] und Swarc [10].
Ein Spezialfall von Transportproblemen sind Zu
ordnungsprobleme. Ist m = n und a. = b. = 1, so führt (4)
~ J
auf ein lineares (Summen-) Zuordnungsproblem. Da im Spe-
zialfall der Zuordnungsprobleme die Restriktionen gerade
Permutationen beschreiben, können wir diese Probleme
12 BURKARD et al.
folgenderweise formulieren:
Man finde eine Permutation ~ E I{n der Menge aller Permu
tationen von {1,2, ••. ,n}, so daß
bzw. max ci~(i)
1<i<n
minimiert wird. Somit lautet ein lineares Zuordnungspro
blem
(6) min
~er
n
und ein lineares Engpaßzuordnungsproblem
(7) min max ci~(i)
~Ern 1<i<n
2. Ein algebraischer Ansatz für die Zielfunktion
In einer früheren Arbeit (vgl. Burkard, Hahn und Zimmer
mann [3]) wurde nachgewiesen, daß im Fall von Zuordnungs
problemen das Summenproblem wie auch das Engpaßproblem
Spezialfälle eines allgemeinen linearen Zuordnungsproble
mes sind. Da in (6) und (7) keine reellen Variablen ex
plizit auftreten, kann man die Koeffizienten c .. als Ele-
~J
mente einer Menge S auffassen, in der eine innere Ver-
*
knüpfung erklärt ist. Im Falle von Summenproblemen ist
dies die Addition, im Falle von Bottleneckproblemen das
"Maximum". Die Frage, welche Eigenschaften das Sy-
stem (S,*) besitzen muß, damit
- Zuordnungsprobleme sinnvoll gestellt und
- effizient lösbar sind
führte auf folgende vier Axiome
(I) (S, *) ist eine kommutative Halbgruppe
(11) (S,~) ist totalgeordnet
