Table Of ContentH. H. Gloistehn
Numerische Methoden
bei Integralen und
gewohnlichen Differentialgleichungen
fur PTR (AOS)
Anwendung programmierbarer Taschenrechner
Band 1 Angewandte Mathematik - Finanzmathematik -
Statistik - Informatik fur UPN-Rechner, von H. Alt
Band 2 Allgemeine Elektrotechnik - Nachrichtentechnik -
Impulstechnik fur UPN-Rechner, von H. Alt
Band 3/1 Mathematische Routinen der Physik, Chemie und Technik
fur AOS-Rechner, Teil I, von P. Kahlig
Band 3/11 Mathematische Routinen fur Physik, Chemie und Technik
fur AOS-Rechner Teil II, von P. Kahlig
Band 4 Statik - Kinematik - Kinetik fur AOS-Rechner,
von H. Nahrstedt
Band 5 Numerische Mathematik. Programme fur den TI-59,
von J. Kahmann
Band 6 Elektrische Energietechnik - Steuerungstechnik -
Elektrizitatswirtschaft fur UPN-Rechner, von H. Alt
Band 7 Festigkeitslehre fur AOS-Rechner (TI-59),
von H. Nahrstedt
Band 8 Graphische Darstellung mit dem Taschenrechner (AOS),
von P. Kahlig
Band 9 Maschinenelemente fur AOS-Rechner, Teil I: Grundlagen,
Verbindungselemente, Rotationselemente, von H. Nahrstedt
Band 10 Getriebetechnik - Kinematik fur AOS- und UPN-Rechner
(TI-59 und HP-97), von K. Hain
Band 11 Indirektes Programmieren und Programmorganisation,
von A. Telke
Band 12 Algorithmen der Netzwerkanalyse fur programmierbare
Taschenrechner (HP-41C), von D. Lange
Band 13 Getriebetechnik - Dynamik fur AOS-und UPN-Rechner,
von H. Kerle
Band 14 Graphische Darstellung mit dem Taschencomputer PC-1211,
von P. Kahlig
Band 15 Numerische Methoden bei Integralen und
gewehnlichen Differentialgleichungen fur programmierbare
Taschenrechner (AOS), von H. H. Gloistehn
Anwendung programmierbarer Taschenrechner
Band 15
Hans Heinrich Gloistehn
Numerische Methoden bei Integralen
und gewohnlichen
Differentialgleichungen
fur programmierbare'Taschenrechner
(AOS)
Mit 10 Testprogrammen, 33 effizienten Programmen
und 70 Beispielen
Friedr. Vieweg & Sohn BraunschweiglWiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Gloistehn, Hans Heinrich:
Numerische Methoden bei Integralen und gew6hnlichen
Differentialgleichungen fur programmierbare
Taschenrechner (AOS): mit 10 Testprogrammen,
33 effizienten Programmen u. 70 Beispielen I Hans
Heinrich Gloistehn. - Braunschweig; Wiesbaden:
Vieweg, 1982.
(Anwendung programmierbarer Taschenrechner; Bd. 15)
ISBN 978-3-528-04204-2 ISBN 978-3-322-88835-8 (eBook)
001 10.1007/978-3-322-88835-8
NE:GT
1982
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1982
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Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher
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geistigen Eigentums entschieden werden. Das gilt fur die Vervielfiiltigung durch aile Verfahren
einschlieBlich Speicherung und jede Obertragung auf Papier, Transparente, Filme, Biinder, Platten
und andere Medien.
Satz: Friedr. Vieweg & Sohn, Wiesbaden
ISBN 978-3-528-04204-2
v
Vorwort
In diesem Buch werden einige Verfahren zur numerischen Losung von bestimmten Integralen und
Anfangs-, Rand- und Eigenwertaufgaben bei gewohnlichen Differentialgleichungen beschrieben
und in Programme fUr Taschenrechner der Serie TI-58 oder TI-59 umgesetzt. Das Buch kann damit
demjenigen, der lediglich ein konkretes Problem aus dem hier behandelten Themenkreis losen
mochte, als Programmsammlung dienen. In diesem Fall braucht nur aus dem Katalog der 33 effi
zienten Programme (s. Anhang) das geeignete herausgesucht und unter Beachtung der zuge
horigen Benutzeranleitung gestartet zu werden.
Vornehmlich aber wendet sich dieses Buch an den Leser, der das umfangreiche Gebiet der numeri
schen Methoden bei Differentialgleichungen kennenlernen und sich bei einem ersten Studium
nicht durch eine allzu theoretische Darstellung abschrecken lassen mochte. Die meisten Mathe
matiker begeistern sich naturgemar! hauptsiichlich fiir eine moglichst umfassende Theorie mit
schonen und mathematisch strengen Beweisen. Es fallt ihnen nicht immer leicht einzusehen, dar!
viele Menschen diese Begeisterung nicht in gleichem Mar!e teilen und stattdessen lieber ein prak
tisches oder zumindest ein numerisches Beispiel vorziehen. Aus diesem Grund wird in diesem Buch
auf die Theorie der Verfahren kaum eingegangen. Diese findet der Leser in manchen der zahl
reichen Lehrbiicher iiber numerische Mathematik, von denen einige im Literaturverzeichnis ange
geben sind.
Wir werden also auf den folgenden Seiten die jeweiligen Verfahren an vielen Beispielen erproben.
Dieses ist oft sehr miihsam, aber hier bietet der programmierbare Taschenrechner eine vorziigliche
Hilfe. Durch die au8ergewohnlich giinstige Preisentwicklung auf dem Taschenrechnermarkt und
die zunehmende Leistungsfahigkeit dieser Gerate ist es moglich geworden, viele Verfahren der
praktischen Analysis in aller Ruhe zu Hause am Schreibtisch zu testen. Die Programmierung eines
Taschenrechners in der nicht sehr bequemen Maschinensprache ist zwar miihsamer als in einer
problemorientierten Programmiersprache wie z.B. BASIC oder ALGOL. 1st aber ein fertiges und
ausgetestetes Programm auf einer Magnetkarte gespeichert, dann ist die Nutzanwendung bei der
numerischen Behandlung einer konkreten Aufgabe mit einem programmierbaren Taschenrechner
kaum einfacher denkbar.
Den Mitarbeitern im Vieweg Verlag danke ich fiir die problem lose und angenehme Zusammenarbeit
bei der Herstellung dieses Buches.
Hamburg, Februar 1982 H. H. Gloistehn
VI
I nhaltsverzeichnis
Vorbemerkungen .................................................. .
1 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3
1.1 Tangententrapezregel .......................................... 3
1.1.1 Algorithmus und Testprogramm .............................. 3
1.1.2 Extrapolationsverfahren.................................... 6
1.1.3 Programm fur das Romberg-Tangententrapezverfahren ............... 8
1.1.4 Theoretische Erganzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11
1.1.5 Sonderfalle beim Romberg-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
1.2 Sehnentrapezregel............................................. 18
1.2.1 Algorithmus und Testprogramm .............................. 18
1.2.2 Romberg-Verfahren fur die Sehnentrapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
1.2.3 Theoretische Erganzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25
1.2.4 Integration tabellarischer F unktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25
1.3 Simpsonregel................................................ 29
1.3.1 Algorithmus und Testprogramm .............................. 29
1.3.2 Romberg-Verfahren fur die Simpsonregel ........................ 32
1.3.3 Die Integralfunktion .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
2 Anfangswertaufgaben .............................................. 40
2.1 Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40
2.1.1 Eulersches Polygonzugverfahren .............................. 42
2.1.2 Verbessertes Polygonzugverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
2.1.3 Verfahren von Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51
2.1.4 Implizites Sehnentrapezverfahren ............................. 54
2.1.5 Runge-Kutta-Verfahren.................................... 58
2.1.6 Bemerkungen zu den Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
2.1.7 Zwei Anwendungsbeispiele ................................. , 65
2.2 Differentialgleichungen zweiter Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67
2.2.1 Eulersches Polygonzugverfahren .............................. 69
2.2.2 Implizites Sehnentrapezverfahren ............................. 76
2.2.3 Gewohnliches Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80
2.2.4 Drei Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
2.3 Systeme von Differentialgleichungen ................................ 92
2.3.1 System von Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94
2.3.2 System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung ................ 97
2.3.3 Zwei Anwendungsbeispiele .................................. 101
VII
I nhaltsverzeichnis
3 Rand-und Eigenwertaufgaben zweiter Ordnung ............................. 106
3.1 Lineare Randwertaufgaben zweiter Ordnung ........................... 106
3.1.1 Gewohnliches Differenzenverfahren ............................ 108
3.1.2 Mehrstellenverfahren ...................................... 122
3.1.3 Der Sonderfall y" = r (x) .................................... 129
3.2 Das Schiellverfahren bei nichtlinearen Randwertaufgaben zweiter Ordnung ....... 133
3.2.1 Verbessertes Polygonzugverfahren ............................. 135
3.2.2 Gewohnliches Differenzenverfahren ............................ 143
3.3 Eigenwertaufgaben zweiter Ordnung ................................ 146
3.3.1 Gewohnliches Differenzenverfahren ............................ 148
3.3.2 Mehrstellenverfahren ...................................... 158
Anhang
Zusammenstellung der Verfahren und Programme ............................ 171
Verzeichnis der Beispiele ............................................ 173
Literaturverzeichnis ............................................... 179
Sachwortverzeichnis ............................................... 180
Vorbemerkungen
Die in diesem Buch zusammengestellten numerischen Verfahren zur Berechnung bestimmter Inte
grale und gewohnlicher Differentialgleichungen werden im allgemeinen nach folgendem Prinzip
aufgestellt. Zunachst wird ein Algorithmus moglichst anschaulich beschrieben und in ein Programm
fur den Taschenrechner umgesetzt. Danach wird das Verfahren an einigen Beispielen mit bekannten
Losungen getestet. Hierdurch 5011 versucht werden, einen Eindruck von der quantitativen Gute des
Verfahrens,zu erhalten. Daraus werden wir dann sehr mutig und im Sinne einer strengen Mathe
matik fast etwas leichtfertig GesetzmaBigkeiten uber den Fehler unseres Algorithmus gelivinnen
und schlieBlich mit Hilfe der Fehlerbetrachtung ein besseres Verfahren entwickeln. Diese in der
reinen oder theoretischen Mathematik nicht ubliche Vorgehensweise konnte man als experimen
tel/e Mathematik bezeichnen. Sie ist erst moglich geworden durch programmierbare Rechner, die
uns in relativ kurzer Zeit ein umfangreiches Zahlenmaterial zur Verfiigung stellen, aus dem wir das
Fehlerverhalten eines numerischen Verfahrens ablesen konnen.
Die Programme, die effizient zur Losung eines Problems herangezogen werden konnen, werden wir
mit einem Kennwort und einer laufenden Nummer versehen. Wir benutzen in diesem Buch
INT fur numerische Integration,
AWA fur Anfangswertaufgabe,
RWA fur Randwertaufgabe,
EWA fur Eigenwertaufgabe.
So bedeutet z. B. RWA 2 das Programm zur Losung der linearen Randwertaufgabe
V" + q(x) V' + pIx) V = r(x), vIa) = Va, boV(b) + bl V'(b) = b2
mit dem gewohnlichen Differenzenverfahren. Eine Zusammenstellung der Programme und der Ver
fahren finden Sie im Anhang. Dabei haben wir entsprechend der verschiedenen Kapazitaten der
benutzten Taschenrechner TI-58 und TI-59 haufig zwei Programmversionen angegeben. So wird
z. B. bei den Programmen EWA 4 und EWA 5 in beiden Fallen das Mehrstellenverfahren zur Be
rechnung von Eigenwerten desselben Eigenwertproblems herangezogen. In der Version EWA 4 fur
den TI-58 (die selbstverstandlich auch von dem groBeren TI-59 benutzt werden kann) wird ledig
lich der Eigenwert fur eine vorgegebene Intervalleinteilung nach dem klassischen Mehrstellenver
fahren berechnet. Das Programm EWA 5 fuhrt zusiitzlich eine Extrapolation mehrerer Naherungs
werte durch und ermittelt schlieBlich den Eigenwert auf eine gewunschte Genauigkeit.
Bei allen Problemen, die wir in diesem Buch behandeln, werden Funktionen fIx). q(x), fIx, V)
usw. auftreten, deren Werte in einem Unterprogramm zu berechnen sind. Die Eingabe einer solchen
Funktion 5011 in allen Fallen stets nach derselben Vorschrift durchgefuhrt werden:
I GTO I I SBR I I LRN I; Tastenfolge zur Berechnung der Funktionswerte f ( ... ) mit
x = (Rl), v= (R2), ... eingeben und mit IINVllsBRl1 LRNI abschlieBen.
Hierin bedeutet
(Rl ) = Inhalt des Datenspeichers (Registers) Rl .
2 Vorbemerkungen
Lautet z.B.
fIx, y) = e-Y/x + x2 vy ,
so kannte die Tastenfolge zur Berechnung der Funktionswerte fIx, y) so aussehen:
Aile Programme in diesem Buch sind so aufgebaut, dall das Gleichheitszeichen in einem Unterpro
gramm benutzt werden darf (im Gegensatz zu der Vorschrift im TI-Programmierhandbuch oder in
anderen Buchern). Sprunganweisungen, Verzweigungen und Unterprogramme werden fast immer
direkt adressiert. Wir verzichten damit auf eine gewisse Flexibilitat bei Benutzung von Labels zu
gunsten einer kurzeren Rechenzeit.
Die meisten Algorithmen habe ich durch ein Flulldiagramm (Programmablaufplan) dargestellt, um
den Obergang zum Rechnerprogramm zu erleichtern. 1m Gegensatz zu meinen Programmierbuchern
habe ich in diesem Buch folgende Anderungen vorgenommen. Das in der Programmiersprache
ALGOL ubliche Wertzuweisungszeichen := habe ich durch = ersetzt (wie in FORTRAN, BASIC
usw. ublich). Fur die Laufanweisung benutze ich die in DIN 66001 festgelegte Bezeichnung, z.B.
fur i = 1,2,3, ... , n:
Programmiert wird diese Laufanweisung beim Taschenrechner mit Decrement and Skip on Zero
(Dsz), d. h. vom Rechner wird ruckwarts von n bis 1 gezahlt.
Die meisten Beispiele (s. Anhang) werden in diesem Buch mit einer Genauigkeit durchgerechnet,
die fur technische Anwendungen weit ubertrieben ist. Der Praktiker mage dieses dem Mathematiker,
der auf diesem Wege die Leistungsfahigkeit eines numerischen Verfahrens testen will, verzeihen.
Bei einer konkreten Aufgabe wird man selbstverstandlich die geforderte Genauigkeit dem jeweiligen
Problem anpassen (und nicht z.B. die Geschwindigkeit einer Rakete auf mm/s genau berechnen).
3
1 Numerische Integration
Bei der einfachsten Differentialgleichung ist eine Funktion y(x) gesucht, die den Bedingungen
y'=f(x) fUr xE]a;b[ und y(a)=Ya (1-1 )
genUgt. Die Existenz und Eindeutigkeit der Losungsfunktion y (x) wollen wir im folgenden stets
voraussetzen. Das Problem (1-1) ist durch Integration losbar:
Jx
y(x) = Ya+ f(t)dt. (1-2)
a
1st insbesondere Ya = 0 und nur nach y(b) gefragt, so fUhrt die Losung auf das bestimmte Integral
Jb
y(b)=I= f(x)dx. (1-3)
1st F (x) eine Stammfunktion von f (x), d.h. F' (x) = f(x), so lautet nach dem Hauptsatz der
Differential-und Integralrechnung die Losung
I = F (b) - F (a) .
1st es nicht moglich, eine Stammfunktion F (x) anzugeben (z. B. fUr fIx) = y'sin x) oder in ein
facher Form durch elementare Funktionen darzustellen (z.B. fUr fIx) = (1 + x5)-1), dann mug I
naherungsweise durch andere Verfahren ermittelt werden. Einige dieser Verfahren sollen in diesem
Kapitel 1 beschrieben werden. Dabei gehen wir von der anschaulichen Deutung des bestimmten
Integrals aus: I stellt den Inhalt der Flache zwischen der zu y = fIx) gehorenden Kurve und der
x-Achse von x = a bis x = b dar.
1.1 Tangententrapezregel
1.1.1 Algorithmus und Testprogramm
Wir unterteilen das Gesamtintervall [a; b] in n Teilintervalle mit der
Schrittweite h= b~a, xi=a+ih (iEINO,n) und
Xi+1/2=xi+~=a+~+ih (iEINo,n-l)'
In jedem Teilintervall ersetzen wir die gekrUmmte Kurve im Mittelpunkt durch ihre Tangente. FUr
den Inhalt der Flache unter der Ersatzkurve erhalten wir
n-l n-l
T(h)=hL f(Xi+1I2)=hL f(a+~+ih). (1.1-1)
i-O i-O
