Numerische Mathematik kompakt

458 Pages·2021·5.272 MB·German

by  Robert Plato

Robert Plato
Numerische
Mathematik
kompakt
Grundlagenwissen für Studium und Praxis
5. Auflage
Numerische Mathematik kompakt
Robert Plato
Numerische
Mathematik kompakt
Grundlagenwissen für Studium und Praxis
Robert Plato
Department Mathematik
Universität Siegen
Siegen, Deutschland
ISBN 978-3-662-64109-5 ISBN 978-3-662-64110-1 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64110-1
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Planung/Lektorat: Annika Denkert
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Vorwort
IndiesemLehrbuchwerdeninkompakterFormzahlreichegrundlegendeundfürdie
Anwendungen wichtige Themenkomplexe aus der numerischen Mathematik behan-
delt:
 Interpolation,schnelleFouriertransformationundIntegration,
 direkteunditerativeLösunglinearerGleichungssysteme,
 iterativeVerfahrenfürnichtlineareGleichungssysteme,
 numerischeLösungvonAnfangs-undRandwertproblemen
beigewöhnlichenDifferenzialgleichungen,
 EigenwertaufgabenbeiMatrizen,
 ApproximationstheorieundRechnerarithmetik.
Auf die Behandlung der Numerik partieller Differenzialgleichungen sowie der
nichtlinearen Optimierung wird aufgrund des angestrebten überschaubaren
Umfangsverzichtet.
DieersteAuflagedesvorliegendenLehrbuchsisthervorgegangenauseinemzwei-
teiligen Vorlesungszyklus mit jeweils vierstündigen Vorlesungen über numerische
Mathematik,denichimZeitraum1997–2000wiederholtanderTechnischenUniver-
sitätBerlindurchgeführthabe.DieseVorlesungensindinersterLinievonStudieren-
denderMathematik besuchtworden,zueinemkleinerenTeilvonStudierendenaus
derPhysikundderInformatik.
InseinerjetzigenFormrichtetsichdasLehrbuchanStudierendeundAbsolventen
derMathematiksowiebenachbarterFächerwieInformatik,Natur-undIngenieurwis-
senschaftenanUniversitätenundFachhochschulen.DasBestrebendiesesLehrbuchs
ist es, dievorliegendenThemen auf möglichst elementare undübersichtlicheWeise
zubehandeln.DiesgiltauchfürdieHerleitungderApproximationseigenschaftender
vorgestellten numerischen Methoden, bei der jeweils lediglichGrundkenntnisseder
Analysis und der linearen Algebra vorausgesetzt werden. Außerdem sind für viele
der diskutierten Verfahren diejeweiligen Vorgehensweisen durchAbbildungenund
Schemata veranschaulicht, was das Erlernen der auftretenden Zusammenhänge er-
leichternsollte.FürzahlreichederbehandeltenVerfahrenwerdenpraktischrelevan-
te Aufwandsbetrachtungen angestellt und Pseudocodes angegeben, die sich unmit-
telbarinComputerprogrammeumsetzenlassen.Dieetwa200vorgestelltenÜbungs-
aufgabenunterschiedlichenSchwierigkeitsgradssindfastalleimÜbungsbetriebver-
wendetwordenunddaherpraxiserprobt.ZuzahlreichenderindiesemLehrbuchvor-
gestelltenAufgabenfindenSievollständigeLösungswegeindemÜbungsbuch[83].
Ich selbst habe Vorläufer dieses Lehrbuchs und dann das Lehrbuch selbst ohne
weitereThemenauswahlalsVorlagefürVorlesungenübernumerischeMathematik1
und 2 verwendet. Dabei wurden in der Regel die ersten sechs Kapitel in Teil 1 be-
handelt, und die Kapitel 7 bis maximal einschließlich 13 in Teil 2 der Vorlesung.
Möglichwäreesaberauch,imerstenTeildieBehandlungdessechstenKapitelsüber
VI Vorwort
numerische Integration deutlich abzukürzen. Stattdessen könnten dann im ersten
Teil beispielsweise noch die Grundlagen über Einschrittverfahren zur numerischen
LösungvonAnfangswertproblemenbeigewöhnlichenDifferentialgleichungen(Kapi-
tel 7) oder Relaxationsverfahren zur iterativen Lösung linearer Gleichungssysteme
(Kapitel10)vorgestelltwerden.
FürdiesefünfteAuflagesinderneutAktualisierungen,KorrekturenundKlarstel-
lungen vorgenommen worden. Dabei sind auch Erfahrungen aus verschiedenen in
derjüngerenVergangenheitanderUniversitätSiegendurchgeführtenLehrveranstal-
tungenzur Numerik eingeflossen, von deneneinige an StudierendederMathematik
gerichtet waren, andere an Studierende des Bauingenieurwesens. Aus diesen Lehr-
veranstaltungen sind auch zahlreiche weitere Übungsaufgaben in das Lehrbuch in-
tegriert worden. Darüber hinaus gibt es zahlreiche stilistische Änderungen, und an
einigenStellensindBeispieleundErläuterungenergänztworden.Außerdemsinddie
AusführungenzulandauschenSymbolen erweitert worden,dasichbei diesemThe-
maerfahrungsgemäßoftmalsVerständnisproblemezeigen.
MeinDankgiltmeinenehemaligen KollegenProf.Dr.Rolf-DieterGrigorieffsowie
Prof. Dr. Etienne Emmrich von der TU Berlin für vielenützlicheAnregungen zurer-
stenAuflage.AußerdemdankeichProf.Dr.ChuckGroetsch,Prof.Dr.MartinHanke-
Bourgeois und Prof. Dr. Hans-Jürgen Reinhardt für die Unterstützung beim Zustan-
dekommendererstenAuflage.IchmöchtedemVerlagSpringerNature,insbesondere
Frau Dr. Denkert und Frau Lerch,für diegute Zusammenarbeit während der Erstel-
lung dieser Neuauflage danken. Hinweise und Verbesserungsvorschläge zu diesem
[e-mail].
Siegen,imJuli2021 RobertPlato
Inhaltsverzeichnis
Vorwort V
Inhaltsverzeichnis VII
1 Polynominterpolation 1
1.1 AllgemeineVorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 LandauscheSymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 AnwendunglandauscherSymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 RechnenmitlandauschenSymbolen . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 ExistenzundEindeutigkeitbeiderPolynominterpolation . . . . . . . . 5
1.3.1 DielagrangescheInterpolationsformel . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 ErsteVorgehensweisezurBerechnungdesinterpolierendenPoly-
noms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Neville-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 DienewtonscheInterpolationsformel,dividierteDifferenzen. . . . . . 9
1.6 FehlerdarstellungenzurPolynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Tschebyscheff-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
– WeitereBemerkungenundLiteraturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . 19
– Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Splinefunktionen 23
2.1 EinführendeBemerkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 InterpolierendelineareSplinefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 DieBerechnunginterpolierenderlinearerSplinefunktionen . . . 24
2.3 MinimaleigenschaftenkubischerSplinefunktionen . . . . . . . . . . . . 25
2.4 DieBerechnunginterpolierenderkubischerSplinefunktionen . . . . . 27
2.4.1 Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 NatürlicheRandbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.3 VollständigeRandbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.4 PeriodischeRandbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.5 Existenz und Eindeutigkeit der betrachteten interpolierenden
kubischenSplines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 FehlerabschätzungenfürinterpolierendekubischeSplines . . . . . . . 32
– WeitereBemerkungenundLiteraturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . 37
– Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 DiskreteFouriertransformationundAnwendungen 41
3.1 DiskreteFouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 AnwendungenderdiskretenFouriertransformation . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
VIII Inhaltsverzeichnis
3.2.2 Zusammenhang zwischen komplexen Fourierkoeffizienten und
derdiskretenFouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3 TrigonometrischeInterpolation,Teil1 . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.4 TrigonometrischeInterpolation,Teil2 . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.5 TrigonometrischeInterpolation,Teil3 . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.6 InterpolierendereelletrigonometrischePolynome . . . . . . . . 48
3.3 SchnelleFouriertransformation (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 EinführendeBemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2 DergrundlegendeZusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.3 Bit-Umkehr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.4 DerFFT-AlgorithmusinderSituationN 2q . . . . . . . . . . 53
D
3.3.5 AufwandsbetrachtungenfürdenFFT-Algorithmus . . . . . . . . 55
3.3.6 PseudocodefürdenFFT-AlgorithmusinderSituationN 2q . 56
D
– WeitereBemerkungenundLiteraturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . 56
– Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 LösunglinearerGleichungssysteme 61
4.1 GestaffeltelineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.1 OberegestaffelteGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.2 UnteregestaffelteGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 DerGauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1 EinführendeBemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2 Gauß-AlgorithmusmitPivotsuche . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 DieFaktorisierungPA LR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
D
4.3.1 Permutationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.2 Eliminationsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.3 DieFaktorisierungPA LR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
D
4.4 LR-Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5 Cholesky-FaktorisierungpositivdefiniterMatrizen . . . . . . . . . . . 76
4.5.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5.2 DieBerechnung einer Faktorisierung A LL für positiv defi-
D >
niteMatrizenA RN N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2 
4.5.3 EineKlassepositivdefiniterMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.6 Bandmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.7 NormenundFehlerabschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7.1 Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7.2 SpezielleMatrixnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.7.3 DieKonditionszahleinerMatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7.4 StörungsresultatefürMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.7.5 FehlerabschätzungenfürfehlerbehafteteGleichungssysteme . 92
4.8 Orthogonalisierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.8.1 ElementareEigenschaftenorthogonalerMatrizen . . . . . . . . 93
4.8.2 DieFaktorisierungA QRmittelsGram-Schmidt-Orthogonalisie-
D
rung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Inhaltsverzeichnis IX
4.8.3 Die Faktorisierung A QS mittels Householder-Transforma-
D
tionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.8.4 Anwendung1: StabileLösungschlechtkonditionierterGleichungs-
systemeAx b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
D
4.8.5 Anwendung2:LineareAusgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . 99
– WeitereBemerkungenundLiteraturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . 102
– Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 IterativeLösungnichtlinearerGleichungssysteme 109
5.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 DereindimensionaleFall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.1 EinallgemeinesResultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.2 DasNewton-VerfahrenimeindimensionalenFall . . . . . . . . . 112
5.3 DerbanachscheFixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.4 DasNewton-VerfahrenimmehrdimensionalenFall . . . . . . . . . . . 118
5.4.1 EinigeBegriffeausderAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4.2 DasNewton-VerfahrenundseineKonvergenz . . . . . . . . . . 120
5.4.3 NullstellenbestimmungbeiPolynomen. . . . . . . . . . . . . . . 122
– WeitereBemerkungenundLiteraturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . 126
– Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6 NumerischeIntegrationvonFunktionen 131
6.1 InterpolatorischeQuadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2 SpezielleinterpolatorischeQuadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2.1 AbgeschlosseneNewton-Cotes-Formeln . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2.2 AndereinterpolatorischeQuadraturformeln . . . . . . . . . . . 135
6.3 DerFehlerbeiderinterpolatorischenQuadratur . . . . . . . . . . . . . 136
6.4 GenauigkeitabgeschlossenerNewton-Cotes-Formeln . . . . . . . . . . 139
6.4.1 DerBeweisvonLemma6.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.5 SummierteQuadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.5.1 SummierteRechteckregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.5.2 SummierteTrapezregel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.5.3 SummierteSimpson-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.6 AsymptotikdersummiertenTrapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.6.1 DieAsymptotik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.7 Extrapolationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.7.1 Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.7.2 Neville-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.7.3 VerfahrensfehlerbeiderExtrapolation. . . . . . . . . . . . . . . 149
6.8 GaußscheQuadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.8.1 EinleitendeBemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.8.2 OrthogonalePolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.8.3 OptimaleWahlderStützstellenundGewichte . . . . . . . . . . 155
6.8.4 NullstellenvonorthogonalenPolynomenalsEigenwerte . . . . 158
6.9 BeweisderAsymptotikfürdiesummierteTrapezregel . . . . . . . . . 160
6.9.1 Bernoulli-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
X Inhaltsverzeichnis
6.9.2 DerBeweisvonTheorem6.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
– WeitereBemerkungenundLiteraturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . 163
– Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7 EinschrittverfahrenfürAnfangswertprobleme 167
7.1 EinExistenz-undEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.2 TheoriederEinschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.2.1 EinelementaresResultatzurFehlerakkumulation . . . . . . . . 173
7.3 SpezielleEinschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3.1 EinschrittverfahrenderKonsistenzordnungp 1 . . . . . . . . 173
D
7.3.2 EinschrittverfahrenderKonsistenzordnungp 2 . . . . . . . . 174
D
7.3.3 EinschrittverfahrenderKonsistenzordnungp 4 . . . . . . . . 176
D
7.4 Rundungsfehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.5 AsymptotischeEntwicklungderApproximationen . . . . . . . . . . . . 178
7.5.1 EinführendeBemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.5.2 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Ver-
fahrensfehlers,1.Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.5.3 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Ver-
fahrensfehlers,2.Teil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.5.4 AsymptotischeEntwicklungendeslokalenVerfahrensfehlers . 184
7.6 ExtrapolationsmethodenfürEinschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . 185
7.7 Schrittweitensteuerung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.7.1 Verfahrensvorschrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.7.2 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.7.3 VorgehensweisebeigegebenerTestschrittweiteh.k/ . . . . . . . 189
7.7.4 BestimmungeinerneuenTestschrittweiteh.k 1/ imFallı.k/ >" 190
C
7.7.5 PseudocodezurSchrittweitensteuerung . . . . . . . . . . . . . . 191
– WeitereBemerkungenundLiteraturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . 192
– Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8 MehrschrittverfahrenfürAnfangswertprobleme 197
8.1 GrundlegendeBegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.1.1 Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.1.2 Konvergenz-undKonsistenzordnung . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.1.3 Nullstabilität,Lipschitzbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.1.4 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.2 DerglobaleVerfahrensfehlerbeiMehrschrittverfahren . . . . . . . . . 200
8.2.1 DasKonvergenztheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.2.2 Hilfsresultat1:DasLemmavonGronwall . . . . . . . . . . . . . 203
8.2.3 BeschränktheitderMatrixfolgeA;A2;A3;::: . . . . . . . . . . . 205
8.2.4 DieKonsistenzordnunglinearerMehrschrittverfahren . . . . . 206
8.3 SpeziellelineareMehrschrittverfahren–Vorbereitungen . . . . . . . . 208
8.4 Adams-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.4.1 DerAnsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.4.2 Adams-Bashfort-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.4.3 Adams-Moulton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214