Table Of ContentWilli Tdrnig Peter Spellucci
Numerische Mathematik
fUr Ingenieure und Physiker
Band 2: Numerische Methoden
der Analysis
Zweite, iiberarbeitete und erganzte Auflage
Mit 50 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewY ork
London Paris Tokyo Hong Kong 1990
Prof. Dr. rer. nat. WILLI TORNIG
Prof. Dr. rer. nat. PETER SPELLUCCI
Technische Hochschule Darmstadt
Fachbereich Mathematik
SchloBgartenstraBe 7
6100 Darmstadt
ISBN-13: 978-3-540-51891-4 e-ISBN-13: 978-3-642-87672-1
DOl: 10.1007978-3-642-87672-1
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Tornig, wiili:
Numerische Mathematik fUr Ingenieure und Physiker/Wilii Tornig; Peter Spellucci.
Berlin; Heidelberg; New York ; London; Paris; Tokyo; Hong Kong: Springer.
I. Aufl. verf. von Willi Tornig.
Teilw. mit d. Erscheinungsorten Berlin, Heidelberg, New York.
Teilw. mit d. Erscheinungsorten Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo.
NE: Spellucci, Peter:
Bd. 2. Numerische Methoden der Analysis. -2., i.iberarb. u. erw. Aufl. -1990
ISBN-13: 978-3-540-51891-4
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© Springer-Verlag Berlin, Heidelberg 1979 and 1990
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2160/3020-543210
Vorwort zur zweiten Auflage
Die erste Auflage dieses Bandes erschien vor zehn Jahren. Wir haben uns daher
entschlossen, das Buch weitgehend neu zu uberarbeiten. Dies um so mehr, als
in den letzten zehn Jahren die Numerische Mathematik eine schnelle Entwicklung
erfahren hat. Einige wichtige numerische Methoden sind in dieser Zeit so ausge
baut worden, daI3 sie auch auf schwierige Ingenieurprobleme anwendbar sind. Man
denke etwa nur an die Mehrgitterverfahren zur schnellen Losung von diskretisierten
Randwertproblemen oder an die Integrationsverfahren zur Losung steifer Differen
tialgleichungssysteme.
Durch die Hinzunahme weiterer numerischer Verfahren und zahlreicher Erganzun
gen hat der Umfang des Bandes erheblich zugenommen. Trotzdem wird mancher
wichtige Gebiete der Numerischen Mathematik vermissen. So konnten wir z.B. auf
das umfangreiche Gebiet der numerischen Optimierungsmethoden aus Platzmangel
nicht eingehen.
Teil V wurde unter anderem durch Verfahren zur numerischen Differentiation
sowie zur zweidimensionalen Approximation und numerischen Integration erwei
tert. Daneben finden sich, wie auch in anderen Teilen, zahlreiche Erganzungen,
Erweiterungen und Hinweise. Teil VI enthalt jetzt auch Mehrschritt-Verfahren und
Losungsmethoden fiir die wichtigen Systeme steifer Differentialgleichungen. Die nu
merische Losung von Randwertproblemen wurde durch eine kurze Einfiihrung in die
SchieI3verfahren erganzt.
Die starkste Erweiterung erfuhr Teil VII. Fur die numerische Losung paraboli
scher Differentialgleichungen wurde die Linienmethode aufgenommen und die auf
wendige Losung von zwei- und dreidimensionalen Problemen behandelt. Bei der
numerischen Losung von Randwertproblemen elliptischer Differentialgleichungen
wurde der Abschnitt iiber die Methode der finiten Elemente erheblich ausgewei
tet. Insbesondere wurde auf isoparametrische Elemente eingegangen. Ein eigenes
einfiihrendes Kapitel ist den Mehrgitterverfahren gewidmet. Diese iterativen Me
tho den sind die derzeit schnellsten zur Losung diskretisierter Randwertprobleme,
d.h. zur Losung von sehr grofien schwach besetzten Gleichungssystemen. Um den
Umfang des Buches nicht noch mehr anwachsen zu lassen, muI3ten wir darauf ver
zichten, Verfahren zur Losung von Integralgleichungen und die wichtigen Randele
mentmethoden ausfiihrlich zu behandeln. In Kapitel 20 wird deshalb dariiber nur
kurz berichtet und auf Literatur hingewiesen.
VI
*
Das Studium der im Inhaltsverzeichnis mit einem gekennzeichneten Abschnitte
erfordert etwas tieferes Eindringen in mathematische Gebiete. Diese Teile konnen
beim ersten Lesen des Buches zuna.chst iiberschlagen werden.
Unser Dank gilt vor allem Frau Gudrun Schumm, die, wie bereits fur Band 1,
unter Verwendung des LATEX-Systems auch das reproduktionsfiihige Manuskript
fiir den vorliegenden Band 2 geschrieben hat. Herzlicher Dank gebiihrt Frau Dr. Sa
bine Zimmermann, die fast das gesamte Manuskript kritisch gepriift und uns mit
wertvollen Hinweisen unterstiitzt hat. Herrn Prof. Dr. Michael Kratzschmar und
den Herren Dipl.-Math. Dietmar Hietel, Georg Lill und Jorg Wittekindt danken
wir fiir das Lesen von Korrekturen. Nicht zuletzt danken wir dem Springer-Verlag
fiir die stets gute Zusammenarbeit und sein Verstandnis dafiir, da.f3 infolge starker
beruflicher Belastung sich die Fertigstellung des Manuskriptes erheblich verzogert
hat.
Darmstadt, August 1989 W. Tornig
P. Spellucci
Vorwort zur ersten Auflage
Der vorliegende zweite Band "Numerische Mathematik fiir Ingenieure und Physiker"
soll wie der erste mit einer Auswahl von wichtigen numerischen Verfahren vertraut
machen. Dabei werden nur solche Verfahren betrachtet, die fiir technische und
physikalische Anwendungen von Bedeutung sind. Die zugehorigen theoretischen
Untersuchungen werden nur so weit gefiihrt, wie es fiir das Verstandnis notwendig
ist. Trotzdem hoffe ich, dafi das Buch, das ebenso wie der bereits erschienene erste
Band ein Lehr-und Nachschlagewerk sein will, auch manchen an den Anwendungen
interessierten Mathematiker anspricht.
Der Band enthalt in fortlaufender Numerierung mit Band 1 vier Teile. In Teil IV
werden einige Verfahren zur numerischen Abschatzung und Berechnung der Eigen
werte und Eigenvektoren von Matrizen beschrieben. Dabei ist, wie auch in anderen
Teilen des Buches, eine Beschrankung auf nur wenige grundlegende und bewahrte
Methoden notwendig. Das Kapitel 10 enthalt neben dem Jacobi- und dem LR
Verfahren auch Methoden zur Berechnung der Eigenwerte einer Hessenberg-Matrix.
Vor allem im Hinblick auf die Berechnung der Eigenwerte grofier Matrizen wird fer
ner ein Verfahren zur Reduktion einer Matrix auf Hessenbergform beschrieben. Der
Teil V enthalt Methoden zur Interpolation, Approximation und numerischen In
tegration von Funktionen. Die klassische Interpolation und Approximation durch
Polynome wird knapp dargestellt, da ihre Bedeutung fiir technische und physikali
sche Anwendungen nicht sehr weitreichend ist. In Kapitel12 werden die Grundlagen
der Spline-Interpolation fiir lineare und kubische Splines untersucht. Das Kapitel13
enth8.lt relativ ausfiihrlich numerische Quadratur- und Kubatur-Verfahren, wobei
auch kurz auf die Berechnung uneigentlicher Integrale eingegangen wird.
Ein fiir Ingenieure und Physiker besonders wichtiges Gebiet ist die numerische
Losung von gewohnlichen und partiellen Differentialgleichungsproblemen. In Teil
VI werden Verfahren zur Losung von Anfangs-, Rand- und Eigenwertproblemen
von gewohnlichen Differentialgleichungen beschrieben. Bei den Anfangswertproble
men beschranken wir uns auf die Betrachtung von Systemen gewohnlicher Diffe
rentialgleichungen erster Ordnung, auf die sich gewohnliche Differentialgleichungen
beliebiger Ordnung stets leicht reduzieren lassen. Aufierdem untersuchen wir nur
Einschritt-Verfahren. Bei den Rand-und Eigenwertproblemen beschreiben wir Dif
ferenzenverfahren und Variationsmethoden, wobei besonders auf die Methode der
finiten Elemente eingegangen wird. Das Gebiet der numerischen Losung partieller
Differentialgleichungsprobleme wird in Anbetracht seiner hervorragenden Bedeu-
VIII
tung fur viele technische Bereiche in Teil VII zwar relativ ausfuhrlich behandelt,
dennoch kann nur auf wenige grundlegende Methoden eingegangen werden. An ge
eigneten Stellen wird daher auf weitergehende Literatur hingewiesen. Zur numeri
schen Losung von Anfangs-und Anfangs-Randwert-Problemen hyperbolischer und
parabolischer Differentialgleichungen betrachten wir ausschllef3lich Differenzenver
fahren. Bei Randwertproblemen elliptischer Differentialgleichungen untersuchen wir
neben den Differenzenverfahren vorwiegend Ritz-Verfahren und die Methode der fi
niten Elemente. Dabei wird auch die Anwendung dieser Methode bei nichtlinearen
Randwertproblemen beschrieben. Wegen ihrer Bedeutung fur die Stromungsme
chanik werden Anfangswertprobleme quasilinearer hyperbolischer Systeme erster
Ordnung in Kapitel 17 betrachtet. Zu ihrer numerischen Losung werden sowohl
Charakteristikenverfahren als auch Differenzenverfahren in gleichma.f3igen Gittern
entwickelt. Erfahrungsgema.6 erwerben nur wenige Ingenieure wahrend ihres Stu
diums an Technischen Hochschulen fundierte Kenntnisse uber partielle Differen
tialgleichungen. Daher werden die zum Verstandnis der numerischen Verfahren
notwendigen theoretischen Grundlagen jeweils kurz erklart oder zitiert.
Um das Verstandnis zu erleichtern, werden wie im ersten Band reichllch erlau
ternde Beispiele und Skizzen in den Text eingestreut.
Die FORTRAN-Programme wurden von Frau G. Schumm geschrieben, Prof.
Dr. K. GrafFinck v. Finckenstein und die Herren Dr. W. Hohn, Dipl.-Math. R. Bock,
Dipl.-Math. M. Gipser, Dipl.-Math. E. Wilzek haben mir mit viele}l Hinweisen ge
holfen und die Korrekturen mitgelesen, Frau B. Schulte zur Surlage und Fraulein
H. Kramer haben das maschinengeschriebene Manuskript hergestellt. Ihnen allen
gilt mein herzlicher Dank.
Darmstadt, Mai 1979 W. Tornig
Inhaltsverzeichnis
V Interpolation, Approximation und numerische Inte-
gration 1
11 Interpolation und Approximation 5
11.1 Interpolation durch Polynome . . . . . . . . . . . . . 5
11.1.1 Das Lagrangesche Interpolationspolynom .. 5
11.1.2 Das RestgIied bei der Lagrange-Interpolation 8
11.1.3 Das Newtonsche Interpolationspolynom . . . 10
11.2 Gleichabstandige Stiitzwerte. Interpolation in zwei Variablen 13
11.2.1 Das Newtonsche Interpolationspolynom . . . . . . . . 13
11.2.2 Darstellung des Fehlers .... . . . . . . . . . . . . . 14
11.2.3 Interpolation bei Funktionen von zwei unabhangigen Verander-
lichen .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11.3 Erganzungen zur Interpolation. Numerische Differentiation 18
11.3.1 Hermite-Interpolation ......... . 18
11.3.2 Inverse Interpolation .......... . 23
11.3.3 Interpolation als Approximationsprozef3 25
11.3.4 Numerische Differentiation ...... . 29
11.4 Approximation durch Polynome. . . . . . . . . 33
11.4.1 Das allgemeine Approximationsproblem 33
11.4.2 Die Polynomapproximation . . . . . . . 34
11.5 Approximation durch allgemeinere Funktionen 36
11.5.1 Approximation durch eine Linearkombination von Funktionen 36
11.5.2 Approximation durch eine Linearkombination von Orthogo-
nalfunktionen . . . . . . . . . . . . 38
11.6 Approximation mit Orthogonalpolynomen 39
11.6.1 Konvergenzfragen ......... 39
11.6.2 Legendresche Polynome . . . . . . 41
11.6.3 Orthogonalpolynome beziiglich einer Gewichtsfunktion* 43
11.7 Approximation periodischer Funktionen . . . . . . . 44
11.7.1 Trigonometrische Approximation. . . . . . . 44
11.7.2 Naherungsformeln fur die Fourierkoeffizienten 47
x
Inhaltsverzeichnis
11.7.3 Komplexe Form der trigonometrischen Approximation 48
11.8 Approximation empirischer Funktionen. . . . . . . . . . 49
11.8.1 Die Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme ... 49
11.8.2 Approximation durch Polynome ............ 51
11.8.3 Approximation periodischer Funktionen, schnelle Fourierap-
proximation* . . . . . . . . 52
11.9 Zweidimensionale Approximation* 58
l1.100rthogonale Anpassung* ..... 70
12 Spline-Interpolation 77
12.1 Interpolation durch stiickweise lineare Funktionen 77
12.1.1 Die Konstruktion des Polygonzuges. . . . . 77
12.1.2 Darstellung mit Hilfe von Basisfunktionen 80
12.2 Definition der kubischen Splines. . . . . . . . . . 81
12.2.1 Eigenschaften der Spline-Funktion . . . . 81
12.2.2 Die mathematische Definition des Splines 82
12.3 Der kubische Interpolationsspline 83
12.3.1 Berechnung des Splines 83
12.3.2 Der Algorithmus . . . 86
12.4 Fehlerbetrachtungen . . . . . . 88
12.5 Weitere Splinekonstruktionen . 91
12.6 Darstellung differenzierbarer Kurven durch Splinefunktionen* 95
12.7 Basis-Darstellung der kubischen Spline-Funktionen . 97
12.8 Zweidimensionale Spline-Interpolation* 101
12.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13 Numerische Integration 107
13.1 Quadraturformeln vom Newton-Cotes-Typ 107
13.1.1 Interpolations-Quadraturformeln . 107
13.1.2 Die Newton-Cotes-Formeln . 108
13.2 Summierte Quadraturformeln . . . . . . . 111
13.2.1 Das Verfahren .......... . 111
13.2.2 Das Restglied summierter Quadraturformeln 112
13.3 Romberg-Integration .. 114
13.3.1 Das Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 114
13.3.2 Der Algorithmus . . . . . . . . . . . . . 115
13.3.3 Der Fehler bei der Romberg-Integration 118
13.3.4 Erganzungen . . . . . . . . 119
13.4 Das Gaufische Quadraturverfahren . . . . . . . 123
13.4.1 Eine Optimalitatsforderung ...... . 123
13.4.2 Berechnung der Stiitzstellen und Gewichte . 124
Inhaltsverzeichnis XI
13.4.3 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13.5 Adaptive Quadratur und Kontrolle des Quadraturfehlers* 129
13.6 Numerische Berechnung uneigentlicher Integrale . 134
13.7 Numerische Kubatur ........ . 136
13.7.1 Tensorprodukt-Methoden* . 136
13.7.2 Summierte Kubaturverfahren 138
VI Numerische Losung von gewohnlichen Differential-
gleichungen 145
14 Al1fal1gsprobleme gewohl1licher Differel1tialgleichul1gel1 149
14.1 Einfache Einschritt-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 149
14.1.1 Systeme gewohnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung 149
14.1.2 Explizite Einschritt-Verfahren . 150
14.1.3 Das Polygonzugverfahren . . . . 151
14.1.4 Verbesserte Polygonzugverfahren 154
14.2 Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . 156
14.2.1 Allgemeine Herleitung der Verfahren 156
14.2.2 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 158
14.3 Konsistenz und Konvergenz . . . . . . . . . . . 160
14.3.1 Konsistente Verfahren . . . . . . . . . . 160
14.3.2 Die Konsistenzordnung einiger Einschritt-Verfahren 162
14.3.3 Ein Satz iiber die Konvergenzordnung . . . . . . . . 163
14.3.4 Systeme von Differentialgleichungen . . . . . . . . . 168
14.4 Schrittweitensteuerung und Kontrolle des globalen Diskretisierungs-
fehlers* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
14.5 Erganzungen zur Theorie der Einschritt-Verfahren . 184
14.5.1 RundungsfehlereinfluB . . . . . . . . . . . . . 184
14.5.2 Parameterabhangige Differentialgleichungen* 185
14.5.3 Differentialgleichungen mit unstetiger bzw. nicht differenzier-
barer rechter Seite* 185
14.6 Mehrschritt-Verfahren .......................... 186
14.6.1 Einfiihrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
14.6.2 Kurzer Uberblick iiber die Theorie der Mehrschritt-Verfahren 190
14.6.3 Anwendung von Mehrschritt-Verfahren in der Praxis* 200
14.7 Steife Differentialgleichungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
14.7.1 Einfiihrung ............................ 202
14.7.2 Lineare Stabilitat von Diskretisierungsverfahren fiir Anfangs-
wertprobleme . . . . . . 208
14.7.3 Nichtlineare Stabilitat* ..................... 212
