Numerische Mathematik Differentialgleichungen Approximationstheorie: Vortragsauszüge der Tagung über Numerische Behandlung von Differentialgleichungen vom 20. bis 25. Juni 1966 und der Tagung über Numerische Analysis, insbesondere Approximationstheorie vo

378 Pages·1968·10.301 MB·German

by  Herbert Amann (auth.), L. Collatz, G. Meinardus, H. Unger (eds.)

ISNM
INTERNATIONAL SERIES OF NUMERICAL MATHEMATICS
INTERNATIONALE SCHRIFTENREIHE ZUR NUMERISCHEN MATHEMATIK
SERlE INTERNATIONALE D'ANALYSE NUMERIQUE
Editors:
Ch.B/anc, Lausanne; A.Ghizzetti, Roma; A.Ostrowski, Montagna/a; J. Todd, Pasadena;
H. Unger, Bonn; A. van Wijngaarden, Amsterdam
VOL. 9
Numerische Mathematik
Differentialgleichungen
Approximationstheorie
Vortragsausztige
der Tagung tiber Numerische Behandlung von Differentialgleichungen
vom 20. bis 25. Juni 1966
und
der Tagung tiber Numerische Analysis, insbesondere Approximationstheorie
vom 13. bis 19. November 1966
im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwald)
Herausgegeben von L.COLLATZ, G.MEINARDUS und H. UNGER
1968
Springer Basel AG
ISBN 978-3-0348-5882-3 ISBN 978-3-0348-5881-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5881-6
Nachdruck verboten
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1968
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1968
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1968
VORWORT
Die Funktionalanalysis hat nunmehr fUr die Numerische Mathematik eine so
grosse Bedeutung erlangt, dass es angebracht ist, sie als die grundlegende Diszi
plin fUr die Numerische Mathematik anzusehen. Sie ermoglicht eine einheitliche
Behandlung und Darstellung von Problemen, die in der klassischen Mathematik
noch verschiedenen Gebieten angehoren. Es versteht sich von selbst, dass sich
dabei die Numerische Mathematik und die Funktionalanalysis wechselseitig
befruchtet haben.
So war es auch das Ziel zweier Arbeitstagungen, den Zusammenhang der Funk
tionalanalysis mit der Numerischen Mathematik, insbesondere der Behandlung
von Differentialgleichungen und der Approximationstheorie zu verdeutlichen.
Das Mathematische Forschungsinstitut in Oberwolfach hat in dankenswerter
Weise den Rahmen fUr anregende Diskussionen in personlicher und herzlicher
Atmosphare bereitgestellt.
Die vorangehenden Tagungen (Juni 1964, Juni 1965, November 1965) hatten
ein sehr gutes Echo gefunden. Daher fanden nun zwei weitere Tagungen statt:
20. bis 25. Juni 1966 tiber:
Numerische Behandlung von Differentialgleichungen
unter der Leitung der Herren COLLATZ und UNGER
13. bis 19. November 1966 tiber:
Numerische Analysis, insbesondere Approximationstheorie
unter der Leitung der Herren COLLATZ und MEINARDUS
Wie schon die Titel der Tagungen andeuten, standen Probleme der Differential
gleichungen und der Approximationstheorie im Vordergrund. Daneben wurde
eine interessante Entwicklung sichtbar, die besonders fUr das numerische Rech
nen auf elektronischen Rechenanlagen von grosser Wichtigkeit sein wird: die
Intervallanalysis, insbesondere das Prinzip der Intervallarithmetik. Die Inter
vallarithmetik ermoglicht eine Fehlererfassung unter Einschluss aller Rundungs
fehler. Durch Anwendung auf geeignet auszuwiihlende Teilschritte des Rechen
ganges konnen so fUr das Ergebnis sichere Fehlerschranken erhalten werden.
Von der Mannigfaltigkeit der Probleme auf dem Gebiet der Numerischen
Mathematik und Funktionalanalysis mogen die hier wiedergegebenen Vortrage
der beiden Tagungen einen Eindruck vermitteln.
Dem Birkhauser Verlag sei der besondere Dank fUr die gute Ausstattung dieses
Buches und die stete Forderung ausgesprochen. Die Herausgeber danken Frau
Dip\. Math. K. Schulte vom Mathematischen Forschungsinstitut in Oberwolf
ach fiir die redaktionelle Mitarbeit an dem vorliegenden Band.
Tagung tiber Numerische Behandlung von Differentialgleichungen
yom 20. bis 25. Juni 1966
Leiter: L.COLLATZ und H. UNGER
Vo rtragsau sztige
AMANN, H.: Monte-Carlo-Methoden zur Losung elliptischer Randwert-
probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 11
ANSORGE, R.: Zur Frage der Verallgemeinerung des Aquivalenzsatzes
von P.D.Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13
BABUSKA, I.: Optimierungsprobleme numerischer Methoden . . . .. 25
BRUHN, G.: Ein Charakteristikenverfahren fUr instationare Stromungen
entlang bewegter Wande . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37
DEJON, B.: Stabilitatskriterien in Abhangigkeit von den Normen fUr die
Startwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
FILIPPI, S.: Neue Lie-Reihen-Methode . . . . . . . . . . . . .. 49
KRUCKEBERG, F.: Defekterfassung bei gewohnlichen und partiellen
Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
NICKEL, K. und P.RIEDER: Ein neues Runge-Kutta-ahnliches Verfahren 83
NITSCHE, J.: Zur Konvergenz des Ritzschen Verfahrens und der Fehler-
quadratmethode I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97
OPITZ, G.: Einheitliche Herleitung einer umfassenden Klasse von Inter
polationsformeln und Anwendung auf die genaherte Integration
von gewohnlichen Differentialgleichungen. . . . . . . . . .. 105
ROZSA, P.: Ein Rekursionsverfahren zur Losung Ii nearer Differential-
gleichungssysteme mit singularen Koeffizientenmatrizen . . . .. 117
SCHMIDT, J. W. und H. SCHONHEINZ: Fehlerschranken fUr die genaherte
Losung von Rand- und Eigenwertaufgaben bei gewohnlichen Diffe-
rentialgleichungen durch Differenzenverfahren . . . . . . . .. 125
SCHWERMER, H.: Zur Fehlererfassung bei der numerischen Integration
von gewohnlichen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung
mit speziellen Zweipunktverfahren . . . . . . . . . . . . 141
STETTER, H. J.: Stabilitatsbereiche bei Diskretisierungsverfahren fUr
Systeme gewohnlicher Differentialgleichungen . . . . . . . .. 157
TORNIG, W.: Ober Konvergenzbereiche von Differenzapproximationen
bei quasilinearen hyperbolischen Anfangswertproblemen. . . .. 169
WALTER, W.: Warmeleitung in Systemen mit mehreren Komponenten 177
WENDLAND, W.: Zur numerischen Behandlung der Randwertaufgaben
fUr elliptische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
WETTERLING, W.: Losungsschranken beim Differenzenverfahren zur
Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Tagung tiber Numerische Analysis, insbesondere Approximationstheorie
vom 13. bis 19. November 1966
Leiter: L. COLLA TZ und G. MEINARDUS
Vortragsausztige
BLATTER, J.: Zur stetigen Abhiingigkeit der Menge der besten Approxi-
mierenden eines Elementes in einem normierten reellen Vektorraum 225
BROSOWSKI, B.: Rationale Tschebyscheff-Approximation differenzier-
barer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 229
CHENEY, E. W. and A. A. GOLDSTEIN: A Note on Nonlinear Approxima-
tion Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 251
GROBNER, E.: Approximationen durch Umordnungen von Lie-Reihen 257
HENZE, D.: Ober nichtlineare Approximationen in Unearen normierten
Riiumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 259
KRABS, W.: Ober ein Kriterium von Kolmogoroffbei der Approximation
von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 271
MEINGUET, J.: Optimal Approximation and Error Bounds in Normed
Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 283
NICKEL, K.: Anwendungen einer Fehlerschranken-Arithmetik . .. 285
NICOLOVIUS, R.: Extrapolation bei monoton zerlegbaren Operatoren 305
POWELL, M.J.D.: On best Lz Spline Approximations. . . . . .. 317
SCHRODER, J.: MonQtonie-Aussagen bei quasilinearen elliptischen Diffe-
rentialgleichungen und anderen Problemen . . . . . . . . .. 341
SCHURER, F. and F. W. STEUTEL: Approximation with Singular Integrals
of the Jackson Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 363
SIKKEMA, P. C.: Ober Potenzen von verallgemeinerten Bernsteinopera-
toren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 369
SOPKA, J. J.: Ober verallgemeinerte numerische Integrationen . . .. 373
WERNER, H.: Diskretisierung bei Tschebyscheff-Approximation mit ver-
allgemeinerten rationalen Funktionen. . . . . . . . . . . .. 381
WETTERLING, W.: Losungsschranken bei elliptischen Differentialglei-
chungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 393
Tagung
tiber Numerische Behandlung
von Differentialgleichungen
20. bis 25. Juni 1966
Leiter: L. Collatz und H. Unger
11
MONTE-CARLO-METHODEN ZUR LOsUNG ELLIPTISCHER RANDWERTPROBLEME
von Herbert Amann in Freiburg
ZUSAMMENFASSUNG:
Betrachtet wird das diskrete Dirichletproblem in einem Gittergebiet ~h mit Rand
o~h :
o
u cp
Die bekannte Monte-Carlo-Methode hat den Nachteil, da13 sie eine Niiherungs16sung nur
fUr einen einzigen Punkt liefert. Es wird ein Verfahren beschrieben - die Monte-Carlo
Methode mit Informationsspeicherung - welches es gestattet, fUr das ganze Gebiet gleich
zeitig eine Losung zu berechnen. Hierbei wird bei der Simulation eines einzigen Irrwegs
jeder Punkt, der mindestens einmal berUhrt wird, als Ausgangspunkt einer Irrfahrt an
gesehen. Dieses Verfahren hat asymptotisch dieselben statistischen Eigenschaften wie
die Monte-Carlo-Methode, d. h. die Schatzgro13e ist erwartungstreu, konsistent und
asymptotisch normalverteilt. Die beiden Verfahren werden in Abhangigkeit von h mit
einander verglichen. Bei passenden Verallgemeinerungen des Irrfahrtmodells konnen,
bei geeigneter Diskretisierung, auch das zweite und dritte Randwertproblem fUr allge
meine, gleichma13ig elliptische line are Differentialgleichungen mit der Monto-Carlo
Methode mit Informationsspeicherung behandelt werden.
Siehe: Eine Monte-Carlo-Methode mit Informationsspeicherung zur Losung von ellipti
schen Randwertproblemen. Zeitschr. f. Wahrscheinlichkeitstheorie und Ver
wandte Gebiete.~, (1967), 117-130.