Table Of ContentGrundwissen Mathematik 7
Herausgeber
G. Hfunmerlin F. Hirzebruch M. Koecher
K. Lamotke (wissenschaftliche Redaktion)
R. Remmert W. Walter
Gunther Hfunmerlin
Karl-Heinz Hoffmann
Numerische
Mathematik
Mit 72 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
GUnther Hiimmerlin
Mathematisches Institut der
Ludwig-Maximilians-Universitiit
TheresienstraBe 39
D-8000 MUnchen 2
Karl-Heinz Hoffmann
Institut flir Mathematik der Universitiit
Memminger StraBe 6
D-8900 Augsburg
Mathematics Subject Classification (1980): 65-01,65-02,65-03,65-04, 65Bxx,
65C, 65Dxx, 65Fxx, 65Gxx, 65Hxx, 65Kxx
ISBN-13: 978-3-540-15306-1 e-ISBN-13: 978-3-642-96888-4
DOl: 10.1 007/978-3-642-96888-4
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Hiimmerlin, Gunther: Numerische Mathematik/Gunther Hiimmerlin; Karl-Heinz Hoffmann. -
Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo: Springer, 1989
(Grundwissen Mathematik; 7)
ISBN-13: 978-3-540-15306-1
NE: Hoffmann, Karl-Heinz:; GT
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Sie ist grundsiitzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Stratbestimmun
gen des Urheberrechtsgesetzes.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1989
2144/3140-5 432 1 0 - Gedruckt auf siiurefreiem Papier
Vorwort
"Wahrlich, es ist nicht das Wissen, sondern das Lernen, nicht
das Besitzen, sondern das Erwerben, nicht das Da-Seyn, son
dern das Hinkornrnen, was den gro6ten Genu6 gewii.hrt. Wenn
ich eine Sache ganz ins Klare gebracht und erschopft habe, so
wende ich rnich davon weg, urn wieder ins Dunkle zu gehen,
so sonderbar ist der nirnrnersatte Mensch, hat er ein Gebii.ude
vollendet, so ist es nicht, urn nun ruhig darin zu wohnen, son
dern urn ein anderes anzufangen."
c. F. Gau6 an W. Bolyai am 2. Sept. 1808
Dieses Lehrbuch setzt die Reihe "Grundwissen Mathematik" durch einen Band
fort, der der angewandten Mathematik gewidmet ist. Mit der Eingliederung
in diese Reihe haben sich die Autoren dieselben Ziele gesetzt, die auch in den
bisher erschienenen Banden verfolgt werden. Zu diesen Anliegen gehort es,
Zusammenhange und gemeinsame Gesichtspunkte mathematischer Disziplinen
deutlich zu machen und die Motivierung fur bestimmte Problemstellungen her
vortreten zu lassen; dabei wird die historische Entwicklung einbezogen.
Wir bemuhen uns, in diesem Buch die Grundziige der bei Anwendungen
der Mathematik auftretenden Aufgabenstellungen herauszuarbeiten, konstruk
tive Verfahren zur numerischen Losung zu entwickeln und die zugehorigen Ge
nauigkeitsbetrachtungen anzustellen. Dazu gehort es auch, die notwendigen
theoretischen Herleitungen durchzufiihren, soweit Tatsachen benotigt werden,
die iiber den Stoff der Anfangervorlesungen in Analysis und linearer Algebra
hinausgehen. Die Erfahrungen, die die Autoren seit vielen Jahren in Vorlesun
gen an den Universitaten Freiburg i. Br. und Munchen, an der FU Berlin und
an der Universitat Augsburg gesammelt haben, finden in diesem Buch ihren
Niederschlag. In dem Vorhaben, nicht Rechenrezepte anzubieten, sondern stets
den mathematischen Inhalt von Problemlosungen in den Vordergrund zu stel
len, sind wir uns mit R. W. Hamming [1962] einig, der den Zweck numerischer
Untersuchungen vor allem darin sieht, "insight not numbers" zu gewinnen.
MaBgebend fur die Stoffauswahl war es, daB das Buch diejenigen Uber
legungen enthalten sollte, die fiir die Vorgehensweise der numerischen Mathe
matik typisch sind. Es sollte auch in dem Sinn vollstandig sein, daB sich spe
zielle Untersuchungen in den aktuellen Bereichen wie etwa der Losung von
Differential- oder Integralgleichungen, der nichtlinearen Optimierung oder der
Integraltransformationen unmittelbar anschlief3en konnen. Auf3erdem sollten
Querverbindungen und auch offene Fragen deutlich werden. Insgesamt ver
suchten wir, eine A uswahl zu treffen und eine Form zu finden, die den ma
thematischen Anspriichen geniigt und gleichzeitigso human ist, daB der Leser
beim Durcharbeiten das Gefuhl der Freude und der Unruhe empfindet, das
GauB in dem Brief ausdriickt, der dieses Vorwort einleitet.
Der Umfang des Buchs geht iiber den Inhalt einer zweisemestrigen Vorle
sung hinaus. So hat der Dozent, der sich vielleicht daran orientieren mochte,
VI Vorwort
viele Auswahlmoglichkeiten und kann nach Bedarf und personlicher Einschat
zung kiirzen. Dem Studenten, der diesen Band neben Vorlesungen beniitzt,
hoffen wir eine Darstellung anzubieten, in der er alles findet, was in den Vorle
sungen iiber numerische Analysis und iiber numerische lineare Algebra angebo
ten wird; sie solI ihm auch zur Vertiefung und zu weiteren Einsichten verhelfen.
Mochte man das Buch nach diesen beiden Gebieten aufteilen, so waren die Ka
pitel 4 - 7 sowie §1 und §2 von Kapitel 8 der numerischen Analysis, Kapitel 2
und 3, der Rest von Kapitel 8 und Kapitel 9 der numerischen linearen Alge
bra zuzuordnen. Kapitel 1 besch8itigt sich mit den grundlegenden Fragen des
Zahlenrechnens, insbesondere auch mit der maschinellen Durchfiihrung. Dieser
Gegenstand bildet den Anfang des Buchs, weil aIle Mathematik aus der Zahl
entspringt und die numerische Mathematik auch wieder zu ihr hinfiihrt. Das
griindliche Studium von Kapitel 1 braucht jedoch nicht unbedingt vor dem der
weiteren Kapitel zu erfolgen.
Am Zustandekommen und bei der Fertigstellung dieses Buchs waren viele
Mitarbeiter beteiligt. Ihnen allen danken wir ganz herzlich. 1m einzelnen sind
die Herren Dr. Bamberger, BurgstaIler, Dr. Knabner, Dr. Hilpert, Dr. Schafer,
U. Schmid, Dr. Schuster, Spann und Thoma fiir Vorschlage zur Darstellung,
fiir das Lesen von Korrekturen und fiir die Erstellung des Namen- und Sach
verzeichnisses zu nennen. Herr Eichenseher befaBte sich mit den Tiicken des
'lEX-Systems, Frau Niederauer und Herr Bernt fertigten die Zeichnungen an,
erstellten die Tabellen und integrierten sie in den Text, Frau Hornung und Frau
Mignani schrieben Teile des Manuskripts. Ganz besonderer Dank gebiihrt Frau
Eberle fiir die Herstellung der reproduktionsfahigen Endfassung des Buchs, die
viele Durchgange erforderte und die sie mit bewunderswertem Geschick und un
ter geduldigem Eingehen auf alle Vorstellungen der Autoren zustandegebracht
hat.
Miinchen und Augsburg G. Hammerlin
1m Dezember 1988 K.-H. Hoffmann
Lesehinweise. Das Buch enthalt insgesamt 270 Ubungsaufgaben verschiedenen
Schwierigkeitsgrads, die sich jeweils am SchluB der einzelnen Paragraphen fin
den. Verweise werden innerhalb desselben Kapitels durch Angabe von Para
graph und Abschnitt gemacht, sonst wird noch die Kapitelnummer vorange
stellt. Auf das Literaturverzeichnis wird durch eckige Klammern [ 1 hingewie
sen.
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1. Rechnen
§l. Zahlen und ihre Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . 1
*
1.1 Zahldarstellung zu beliebiger Basis 2 1.2 Realisierung von Zahldar
* *
stellungen auf Rechenhilfsmitteln 6 1.3 Rechnen im Dualsystem 8
* *
1.4 Festkomma-Arithmetik 11 1.5 Gleitkomma-Arithmetik 11 1.6
Aufgaben 12
§2. Operationen mit Gleitkommazahlen . . . . . . . . . . . . 13
*
2.1 Die Rundungsvorschrift 14 2.2 Verkniipfung von Gleitkomma
*
zahlen 16 2.3 Numerisch stabile bzw. instabile Auswertung von For
*
meln 18 2.4 Aufgaben 20
§3. Fehleranalysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
*
3.1 Die Kondition eines Problems 21 3.2 Abschiitzung der Rundungs
*
fehler durch Vorwiirtsanalyse 24 3.3 Die Riickwiirtsanalyse des Run
* *
dungsfehlers 28 3.4 Intervallarithmetik 29 3.5 Aufgaben 30
§4. Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
*
4.1 Der euklidische Algorithmus 32 4.2 Bewertung von Algorithmen
* *
36 4.3 Komplexitat von Algorithmen 39 4.4 Berechnung der Kom
*
plexitat einiger Algorithmen 43 4.5 Ein Konzept zur Verbesserung
* *
der Komplexitatsordnung 45 4.6 Schnelle Matrixmultiplikation 48
4.7 Aufgaben 49
Kapitel 2. Lineare Gleichungssysteme
§l. Das Eliminationsverfahren nach GauB 51
* *
1.1 Notation und Aufgabenstellung 52 1.2 Der Rechenprozefi 52 1.3
*
Das Gaufische Verfahren als Dreieckszerlegung 54 1.4 Einige spezielle
* *
Matrizen 60 1.5 Bemerkungen zur Pivotsuche 62 1.6 Komplexitat
*
des GauBschen Algorithmus 63 1.7 Aufgaben 65
§2. Die Cholesky-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1 Erinnerung an Bekanntes iiber positiv definite (n X n )-Matrizen 66
* *
2.2 Der Satz von der Cholesky-Zerlegung 66 2.3 Komplexitat der
*
Cholesky-Zerlegung 68 2.4 Aufgaben 68
VIII Inhaltsverzeichnis
§3. Die QR-Zerlegung nach Householder .......... . 69
* *
3.1 Householder-Matrizen 69 3.2 Die Grundaufgabe 70 3.3 Der
*
Algorithmus nach Householder 71 3.4 Komplexitat der QR-Zerlegung
*
72 3.5 Aufgaben 72
§4. Vektornormen und Normen von Matrizen 73
*
4.1 Normen auf Vektorraumen 73 4.2 Die natiirliche Norm einer Ma
* *
trix 74 4.3 Spezielle Normen von Matrizen 75 4.4 Aufgaben 78
§5. Fehlerabschatzungen ................. 78
*
5.1 Kondition einer Matrix 78 5.2 Eine Fehlerabschatzung bei gestorter
* *
Matrix 80 5.3 Brauchbare Losungen 81 5.4 Aufgaben 83
§6. Schlechtkonditionierte Probleme .......... 84
*
6.1 Die Singularwertzerlegung einer Matrix 85 6.2 Pseudonormallo
*
sungen linearer Gleichungssysteme 88 6.3 Die Pseudoinverse einer
* *
Matrix 90 6.4 Zuruck zu linearen Gleichungssystemen 93 6.5 Ver
besserung der Kondition und Regularisierung eines linearen Gleichungs
*
systems 94 6.6 Aufgaben 97
Kapitel 3. Eigenwerte
§l. Reduktion auf Tridiagonal- bzw. Hessenberg-Gestalt. . . ., 99
1.1 Das Householder-Verfahren 100 * 1.2 Berechnung der Eigenwerte
*
von Tridiagonalmatrizen 102 1.3 Berechnung der Eigenwerte von Hes
*
senberg-Matrizen 104 1.4 Aufgaben 106
§2. Die Jacobi-Rotation; Eigenwertabschatzungen ... . . .. 106
*
2.1 Das Jacobi-Verfahren 106 2.2 Abschatzungen der Eigenwerte 110
*
2.3 Aufgaben 113
§3. Die Potenzmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113
*
3.1 Ein iterativer Ansatz 114 3.2 Berechnung der Eigenvektoren und
* *
weiterer Eigenwerte 116 3.3 Der Rayleigh-Quotient 116 3.4 Aufga-
ben 117
§4. Der QR-Algorithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 118
*
4.1 Konvergenz des QR-Algorithmus 119 4.2 Bemerkungen zum LR
*
Algorithmus 122 4.3 Aufgaben 125
Kapitel 4. Approximation
§l. Vorbereitungen..................... 126
* *
1.1 Normierte Vektorraume 126 1.2 Banachraume 127 1.3 Hil
* *
bertraume und Prae-Hilbertraume 128 1.4 Die Raume LP[a, b]130
*
1.5 Lineare Operatoren 131 1.6 Aufgaben 133
§2. Die Approximationssatze von WeierstraB. . . . . . . . .. 134
*
2.1 Approximation durch Polynome 134 2.2 Der Approximationssatz
*
fiir stetige Funktionen 135 2.3 Der Gedankenkreis von Korovkin 137
* *
2.4 Anwendungen des Satzes 2.3. 140 2.5 Approximationsgiite 142
*
2.6 Aufgaben 144
Inhaltsverzeichnis IX
§3. Das allgemeine Approximationsproblem . . . . . . . . .. 145
* *
3.1 Beste Niiherungen 145 3.2 Existenz eines Proximums 146 3.3
* *
Eindeutigkeit des Proximums 147 3.4 Lineare Approximation 148
*
3.5 Eindeutigkeit in endlichdimensionalen linearen Unterraumen 149
3.6 Aufgaben 153
§4. GleichmaBige Approximation . . . . . . . . . . . . . .. 153
*
4.1 Approximation durch Polynome 154 4.2 Haarsche Riiume 155
* * *
4.3 Der Alternantensatz 156 4.4 Eindeutigkeit 158 4.5 Eine
* *
Abschatzung 158 4.6 Berechnung des Proximums 159 4.7 Tsche
*
byschev-Polynome 1. Art 163 4.8 Entwicklung nach Tschebyschev
* *
Polynomen 164 4.9 Konvergenz der Proxima 167 4.10 Zur nichtli-
*
nearen Approximation 167 4.11 Bemerkungen zur Approximations
aufgabe in (C[a, b], II . lid 168 * 4.12 Aufgaben 169
§5. Approximation in Prae-Hilbertraumen . . . . . . . . . .. 170
*
5.1 Charakterisierung des Proximums 171 5.2 Die Normalgleichungen
* *
171 5.3 Orthonormalsysteme 172 5.4 Die Legendreschen Polynome
* *
174 5.5 Eigenschaften orthonormierter Polynome 176 5.6 Konver-
genz in C[ a, b] 177 * 5.7 Approximation stiickweise stetiger Funktionen
* *
178 5.8 Trigonometrische Approximation 179 5.9 Aufgaben 182
§6. Die Methode der kleinsten Quadrate. . . . . . . . . . .. 183
*
6.1 Diskrete Approximation 184 6.2 Die Losung der Normalgleichun-
* *
gen 185 6.3 Ausgleichung durch Polynome 186 6.4 Zusammen
*
fallende Stiitzstellen 188 6.5 Diskrete Approximation durch trigo
*
nometrische Funktionen 190 6.6 Aufgaben 193
Kapitel 5. Interpolation
§l. Das Interpolationsproblem . . . . . . . . . . . . . . .. 194
*
1.1 Interpolation in Haarschen Raumen 194 1.2 Interpolation durch
* * *
Polynome 195 1.3 Das Restglied 196 1.4 Abschatzungen 197 1.5
Aufgaben 199
§2. Interpolationsmethoden und Restglied . . . . . . . . . .. 200
* *
2.1 Ansatz von Lagrange 200 2.2 Ansatz von Newton 201 2.3 Stei
* *
gungen 201 2.4 Die allgemeine Peanosche Restglieddarstellung 204
*
2.5 Eine ableitungsfreie Fehlerabschiitzung 210 2.6 Verbindung zur
*
Analysis 210 2.7 Aufgaben 212
§3. Gleichabstandige Stiitzstellen . . . . . . . . . . . . . .. 213
*
3.1 Das Differenzenschema 214 3.2 Darstellungen des Interpolations
* *
polynoms 214 3.3 Numerische Differentiation 216 3.4 Aufgaben 220
§4. Konvergenz von Interpolationspolynomen. . . . . . . . .. 221
* *
4.1 Beste'Interpolation 221 4.2 Konvergenzprobleme 222 4.3 Kon
*
vergenzaussagen 223 4.4 Aufgaben 226
§5. Spezielle Interpolationen . . . . . . . . . . . . . . . .. 227
*
5.1 Das Hornerschema 227 5.2 Der Algorithmus von Aitken-Neville
* *
228 5.3 Hermite-Interpolation 230 5.4 Trigonometrische Interpola-
* *
tion 232 5.5 Interpolation im Komplexen 233 5.6 Aufgaben 234
X Inhaltsverzeichnis
§6. Mehrdimensionale Interpolation. . . . . . . . . . . . .. 235
*
6.1 Verschiedene Interpolationsaufgaben 235 6.2 Interpolation auf
* *
Rechtecken 237 6.3 Abschii.tzung des Interpolationsfehlers 238 6.4
Aufgaben 240
Kapitel 6. Splines
§1. Polynom-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 242
* *
1.1 Splinerii.ume 243 1.2 Basis eines Splineraums 244 1.3 Proxima
*
in Splinerii.umen 244 1.4 Aufgaben 246
§2. Interpolierende Splines. . . . . . . . . . . . . . . . .. 247
*
2.1 Splines ungeraden Grades 247 2.2 Eine Extremaleigenschaft der
Splines 250 * 2.3 Quadratische Splines 252 * 2.4 Konvergenzverhalten
*
254 2.5 Aufgaben 255
§3. B-Splines ....................... 256
* *
3.1 Existenz von B-Splines 256 3.2 Lokale Basen 257 3.3 Weitere
Eigenschaften von B-Splines 259 * 3.4 Lineare B-Splines 261 * 3.5 Qua
* *
dratische B-Splines 262 3.6 Kubische B-Splines 263 3.7 Aufgaben
263
§4. Berechnung interpolierender Splines . . . . . . . . . 264
* *
4.1 Kubische Splines 264 4.2 Quadratische Splines 267 4.3 Ein
*
allgemeines Interpolationsproblem 268 4.4 Aufgaben 270
§5. Abschiitzungen und Approximation durch Splines . . . 271
*
5.1 Fehlerabschii.tzungen fur lineare Splines 271 5.2 Zur gleichmiiBi-
*
gen Approximation durch lineare Splines 273 5.3 Ausgleichen durch
*
lineare Splines 273 5.4 Fehlerabschii.tzungen fur Splines hoheren Gra-
* *
des 275 5.5 Ausgleichssplines hoheren Grades 278 5.6 Aufgaben
279
§6. Mehrdimensionale Splines . . . . . . . . . . . . . . .. 281
* *
6.1 Bilineare Splines 281 6.2 Bikubische Splines 282 6.3 Blende
*
Splines 283 6.4 Aufgaben 286
Kapitel 7. Integration
§1. Interpolationsquadratur................. 289
* *
1.1 Rechteckregeln 289 1.2 Die Sehnentrapezregel292 1.3 Die Euler
* *
MacLaurinsche Entwicklung 295 1.4 Die Simpsonsche Regel 298 1.5
*
Newton-Cotes-Formeln 302 1.6 Unsymmetrische Quadraturformeln
*
303 1.7 Aufgaben 304
§2. Schrittweitenextrapolation............... 304
* *
2.1 Das Halbierungsverfahren 305 2.2 Fehlerbetrachtung 307 2.3
* *
Extrapolation 308 2.4 Konvergenz 310 2.5 Aufgaben 313
Inhaltsverzeichnis XI
§3. Numerische Integration nach GauB. . . . . . . . . . . .. 313
*
3.1 Ansatz von Gau6 314 3.2 Gau6-Quadratur als Interpolationsqua-
* * *
dratur 316 3.3 Fehlerdarstellung 317 3.4 Modifikationen 319 3.5
*
Uneigentliche Integrale 320 3.6 Stiitzstellen und Gewichte Gau6scher
*
Quadraturformeln 322 3.7 Aufgaben 323
§4. Spezielle Quadraturen . . . . . . . . . . . . . . . . .. 324
*
4.1 Integration iiber ein unendliches Intervall 324 4.2 Singularer In
* *
tegrand 326 4.3 Periodische Funktionen 328 4.4 Aufgaben 329
§5. Optimalitat und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . .. 329
*
5.1 Normminimierung 330 5.2 Minimaler Einflu6 zufalliger Fehler 331
* *
5.3 Optimale Quadraturformeln 332 5.4 Konvergenz von Quadra
* *
turformeln 335 5.5 Quadraturoperatoren 338 5.6 Aufgaben 339
§6. Mehrdimensionale Integration. . . . . . . . . . . . . .. 340
*
6.1 Kartesische Produkte 340 6.2 Integration iiber Standardgebiete
* *
343 6.3 Die Monte-Carlo-Methode 345 6.4 Aufgaben 347
Kapitel 8. Iteration
§1. Das allgemeine Iterationsverfahren. . . . . . . . . . . .. 350
*
1.1 Anschauliche Deutung des Iterationsverfahrens 350 1.2 Konver-
* *
genz des Iterationsverfahrens 351 1.3 Lipschitzkonstanten 353 1.4
*
Fehlerabschatzung 354 1.5 Konvergenzverhalten und Konvergenzgiite
*
355 1.6 Aufgaben 356
§2. Das Newton-Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . .. 357
*
2.1 Konvergenzbeschleunigung des Iterationsverfahrens 358 2.2 Geo
* *
metrische Deutung 359 2.3 Mehrfache Nullstellen 360 2.4 Das Se
kantenverfahren 361 * 2.5 Das Newton-Verfahren fiir m > 1 363 * 2.6
*
Wurzeln algebraischer Gleichungen 364 2.7 Aufgaben 365
§3. Iterative Losung linearer Gleichungssysteme . . . . . 367
*
3.1 Folgen von Iterationsmatrizen 367 3.2 Das Gesamtschrittverfahren
* *
369 3.3 Das Einzelschrittverfahren 373 3.4 Der Satz von Stein und
*
Rosenberg 376 3.5 Aufgaben 380
§4. Weitere Konvergenzuntersuchungen . . . . . . . . . . .. 381
*
4.1 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren 381 4.2 Relaxation beim
* *
Einzelschrittverfahren 383 4.3 Optimale Relaxationsparameter 386
4.4 Aufgaben 391
Kapitel 9. Lineare Optimierung
§1. Einfiihrende Beispiele, allgemeine Problemstellung. . . . .. 393
*
1.1 Eine optimale Produktionsplanung 393 1.2 Ein semiinfinites Op
* *
timierungsproblem 395 1.3 Ein lineares Steuerungsproblem 396 1.4
*
Die allgemeine Problemstellung 397 1.5 Aufgaben 398
