Numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen der Technik: Differenzenverfahren, Finite Elemente und die Behandlung großer Gleichungssysteme

183 Pages·1985·2.91 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Willi Törnig

Mathematische Methoden
in der Technik 1
W. Törnig/M. Gipser/B. Kaspar
Numerische Lösung von partiellen
Differentialgleichungen der Technik
Mathematische Methoden
in der Technik
Herausgegeben von
Prof. Dr. rer. nato Jürgen Lehn, Technische Hochschule Darmstadt
Prof. Dr. rer. nato Helmut Neunzert, Universität Kaiserslautern
o. Univ.Prof. Dr. rer. nato Hansjörg Wacker t
Bandl
Die Texte dieser Reihe sollen die Anwender der Mathematik - insbesondere die
Ingenieure und Naturwissenschaftler in den Forschungs-und Entwicklungsabteilun
gen und die Wirtschaftswissenschaftler in den Planungsabteilungen der Industrie
über die für sie relevanten Methoden und Modelle der modemen Mathematik infor
mieren. Es ist nicht beabsichtigt, geschlossene Theorien vollständig darzustellen. Ziel
ist vielmehr die Aufbereitung mathematischer Forschungsergebnisse und darauf auf
bauender Methoden in einer für den Anwender geeigneten Form: Erläuterung der
Begriffe und Ergebnisse mit möglichst elementaren Mitteln; Beweise mathematischer
SätZe, die bei der Herleitung und Begründung von Methoden benötigt werden, nur
dann, wenn sie zum Verständnis unbedingt notwendig sind; ausführliche Literatur
hinweise; typische und praxisnahe Anwendungsbeispiele; Hinweise auf verschiedene
Anwendungsbereiche; übersichtliche Gliederung, die ein "Springen in den Text" er
leichtert. Die Texte sollen Brücken schlagen von der mathematischen Forschung an
den Hochschulen zur mathematischen Arbeit in der Wirtschaft und durch geeignete
Interpretationen den Transfer mathematischer Forschungsergebnisse in der Praxis
erleichtern. Es soll auch versucht werden, den in der Hochschulforschung Tätigen die
Wahmehmungund Wütdigungmathematischer Leistungen der Praxis zu ermöglichen.
Numerische Lösung von
partiellen Differentialgleichungen
der Technik
Differenzenverfahten, Finite Elemente und
die Behandlung großer Gleichungssysteme
Von
Prof. Dr. rer: nato Willi Törnig
Technische Hochschule, Darmstadt
Dr. rer. nato Michael Gipser
Daimler Benz AG, Stuttgart
Dr. rer. nato Bemhard Kaspar
Femmeldetechnisches Zentralamt der
Deutschen Bundespost, Darmstadt
2., durchgesehene Auflage
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1991
Prof. Dr. rer. nat Willi Tömig
Von 1951 bis 1956 Studium an der FU und TU Berlin, 1956 Diplom, 1956/57 Mitarbeiter in einer
Versicherungsgesellschaft und von 1957 bis 1962 wissenschaftlicher Assistent an der TU Claus
thal in Clausthal-Zellerfeld. 1958 Promotion, 1962 Habilitation, 1963 Oberingenieur , 1965 Wis
senschaftlicher Rat und Professor an der TU Oausthal. Von 1967 bis 1972 Ordentlicher Profes
sor für Mathematik an der TH Aachen und Direktor des Zentralinstitptes für Angewandte Ma
thematik der Kernforschungsanlage Jülich, ab 1972 Ordentlicher Professor an der TH Darm
stadt.
Dr. rer. nato Michael Gipser
Von 1972 bis 1977 Studium der Mathematik an der TH Darmstadt, 1977 Diplom. Von 1977 bis
1981 wissenschaftlicher Mitarbeiter im Fachbereich Mathematik der TH Darmstadt, 1980 Pro
motion. Ab 1981 tätig im Forschungsbereich der Daimler Benz AG, Stuttgart.
Dr. rer. nat Bernhard Kaspar
Von 1972 bis 1978 Studium der Mathematik an der TH Darmstadt, 1978 Diplom. Von 1978 bis
1980 Forschungsstipendiat der DFG, von 1980 bis 1983 wissenschaftlicher Mitarbeiter im Fach
bereich Mathematik der TH Darmstadt, 1984 Promotion. Ab 1984 Mitarbeiter im Forschungs
institut des Fernmeldetechnischen Zentralamtes der Deutschen Bundespost, Darmstadt.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Tömig, W"dU:
Numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen der
Technik: Differenzenverfahren, finite Elemente und die
Behandlung großer Gleichungssysteme I von Willi Törnig ;
Michael Gipser; Berhard Kaspar. - 2., durchges. Aufl.
(Mathematische Methoden in der Technik; Bd. 1)
ISBN 978-3-519-12613-3 ISBN 978-3-663-10923-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-10923-5
NE: Gipser, Michael:; Kaspar, Bemhard:; GT
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung
außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages
unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikrover
filmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1985
Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner, Stuttgart 1985
Gesamtherstellung: Präzis-Druck GmbH, Karlsruhe
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
-5-
Vorwort
Der vorliegende Band entstand aus Texten, die im Rahmen des "Modellversuch
zur mathematischen Weiterbildung" der Universität Kaiserslautern geschrieben
wurden. Er soll Ingenieure, Mathematiker und Naturwissenschaftler in der
Praxis und an Hochschulen über Methoden zur numerischen Lösung von Randwert
problemen, soweit diese für technische Fragestellungen von Bedeutung sind,
informieren.
Im ersten Teil werden Diskretisierungen beschrieben. Dabei gehen wir kurz
auch auf die klassische Methode der Finiten Differenzen ein, befassen uns
hauptsächlich jedoch mit der Methode der Finiten Elemente und am Rande mit
der der Finiten Volumen. Auch nichtlineare Randwertprob1emewerden betrachtet.
Der zweite Teil enthält die wichtigsten Methoden zur direkten oder iterativen
Lösung der durch die Diskretisierung der Randwertprobleme entstehenden großen,
schwach besetzten, linearen und nichtlinearen Gleichungssysteme. Dabei werden
jeweils die numerischen Eigenschaften und der Rechenaufwand der Verfahren
diskutiert, bei den Iterationsverfahren finden sich Aussagen über die Konver
genzgeschwindigkeit. Auch auf neueste Entwicklungen wird eingegangen oder zu
mindest hingewiesen.
Die Fülle des Stoffes einerseits und der relativ geringe Umfang des Buches
andererseits bedingen eine knappe Darstellung. Durch verständliche Formulie
rungen mit zahlreichen erläuternden Abbildungen, aber auch durch viele ge
zielte Literaturhinweise, hoffen wir, dieser Tatsache angemessen Rechnung zu
tragen. Wir sind jedoch für kritische Hinweise stets dankbar.
Darmstadt und Stuttgart W. Törnig, M. Gipser, B. Kaspar
Dezember 1984
In der 2. Auflage wurden die uns bekanntgewordenen Fehler beseitigt. Der Text
selbst unterscheidet sich nicht von dem der 1. Auflage.
Darmstadt und Stuttgart W. Törnig, M. Gipser, B. Kaspar
Mai 1991
-6-
INHALTSVERZEICHNIS
Seite
1. Numerische Lösung von Randwertaufgaben
1.1 Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen 9
1.1.1 Klassifizierung 9
1.1.2 Randwertprobleme 15
1.1.3 Randwertprobleme und Variationsprobleme 18
Übungen zu 1.1 23
1.2 Finite Differenzen-Verfahren zur numerischen Lösung 24
linearer Randwertprobleme
1.2.1 Differenzenquotienten 26
1.2.2 Aufstellung der Differenzengleichungen 28
1.2.3 Das Dirichletproblem bei nicht konstanten Koeffizienten' 34
1.2.4 Eigenschaften der Differenzengleichungen. Fehler 38
Übungen zu 1.2 43
1.3 Finite Elemente - Einführung 44
1.3.1 Prinzip der Energieminimierung - Ritzverfahren '45
1.3.2 Ein einfaches Beispiel aus der Festigkeitslehre 54
1.3.3 Zusammenfassung 58
Übungen zu 1.3 59
1.4' Konstruktion von Finiten Elementen 60
1.4.1 Triangulierung 60
1.4.2 Typen von Finiten Elementen und Ansatzfunktionen 64
1.4.3 Gekrümmte Ränder - Isoparametrische Elemente 72
Übungen zu 1.4 75
1.5 Das Rechnen mit Finiten Elementen 77
1.5.1 Das Ritz-Verfahren an einem Beispiel 77
1.5.2 Berechnen der Steifigkeitsmatrix 79
1.5.3 Anwendung auf allgemeine Feldprobleme - 86
Ansätze höherer Ordnung.- Numerische Integration
1.5.4 Ein Beispiel für ein System von Differentialgleichungen 91
1.5.5 Probleme der Konformität anhand der Plattengleichung
9Z
1.5.6 Berücksichtigung von Randbedingungen
94-
1.5.7 Struktur der FE-Matrizen 95
Übungen zu 1.5 96
1.6 Finite Differenzen und Finite Elemente bei quasiline 98
aren Problemen
1.6.1 Differenzenverfahren 99
-7-
1.6.2 Diskretisierung der Energie 100
1.6.3 Finite Elemente bei quasilinearen Problemen 101
1.6.4 Ein quasilineares Problem aus der Magnetostatik 102
1.6.5 Zusammenfassung 107
Übungen zu 1.6 107
2. Lösung der diskretisierten Randwertprobleme Ax = b 109
2.1 Der lineare Fall. Klassische Verfahren und 109
ihre modernen Varianten
2.1.1 Eliminationsverfahren 109
2.1.2 Relaxationsverfahren 116
2.1.3 Verfahren der alternierenden Richtungen (ADI) 122
2.1.4 Verfahren der konjugierten Gradienten 124
Übungen zu 2. 1 131
2.2 Mehrgitterverfahren im linearen Fall 133
2.2.1 Reduktionsverfahren 133
2.2.2 Iterative Mehrgitterverfahren 138
Übungen zu 2.2 147
2.3 Iterationsverfahren im nichtlinearen Fall 148
2.3.1 Newton-Verfahren und Varianten 149
2.3.2 Relaxationsverfahren 158
Übungen zu 2.3 164
Anhang: Lösung der Übungsaufgaben 166
Literaturverzeichnis 178
Sachverzeichnis 181
-9-
1. NUMERISCHE LÖSUNG VON RANDWERTAUFGABEN
Unter den Berechnungsmethoden im Ingenieurbereich hat die Methode der finiten
Elemente im Laufe der Jahre eine besondere Bedeutung erlangt. Sie findet An
wendung bei zahlreichen industriellen Entwicklungs- und Forschungsvorhaben,
insbesondere bei Festigkeitsberechnungen im Maschinen- und Fahrzeugbau, im
Kraftwerksbau, in einigen elektronischen Industriebereichen und nicht zuletzt
im Hochbau.
Dagegen sind die früher vorwiegend verwendeten Differenzenverfahren, vor
allem bei Festigkeitsberechnungen, mehr in den Hintergrund getreten. Bei drei
dimensionalen Problemen der Elektrotechnik etwa oder in der Strömungsmecha
nik werden sie jedoch in verschiedener Form nach wie vor häufig benutzt.
Da man bei Differenzenverfanren zweckmäßigerweise gleichmäßige Gitter zugrun
de legt, erhält man im allgemeinen eine geringere Genauigkeit der berechneten
Näherungen. Auf der anderen Seite können die entstehenden großen linearen
(und nichtlinearen) Gleichungssysteme mit in letzter Zeit entwickelten Algo
rithmen besonders schnell gelöst werden.
Wir befassen uns daher mit bei den Verfahren, wobei das Schwergewicht jedoch
auf der Methode der finiten Elemente liegt. Am Anfang gehen wir kurz auf die
Eigenschaften partieller elliptischer Differentialgleichungen und auf die
damit in engem Zusammenhang stehenden Variationsprobleme ein.
1.1 RANDWERTPROBLEME ELLIPTISCHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Randwertprobleme sind für elliptische Differentialgleichungen sachgemäß ge
stellt. Im folgenden erläutern wir zunächst, was darunter zu verstehen ist.
1.1.1 KLASSIFIZIERUNG
Wir betrachten die partielle Differentialgleichung 2. Ordnung
(1.1-1)
Dabei sind a,b,c,g Funktionen oder auch nur konstante Koeffizienten. Die
Differentialgleichung heißt homogen, wenn g = O.
-10-
Man unterscheidet lineare und nichtlineare Differentialgleichungen (1.1-1).
Die nichtlinearen Gleichungen unterteilt man wiederum in halblineare und
quasilineare. Allgemein gilt folgende
DEFINITION 1.1-1
Die partielle Differentialgleichung 2. Ordnung (1.1-1) heißt
a) linear, wenn a,b,c Konstante" oder Funktionen von x,y sind und g die
Gestalt
besitzt. Dabei sind a,ß,Y,~ Funktionen von x,y oder Konstanten
b) halblinear, wenn a,b,c wie unter a) definiert sind und g eine nichtlineare
Funktion von mindestens einer der Variablen ux'uy,u ist.
c) quasi linear, wenn mindestens eine der Funktionen a,b,c von mindestens
einer der Variablen ux'uy,u (linear oder nichtlinear) abhängt. D
Bei a) gilt die "Linearitätsbeziehung" L(u+V) = Lu+Lv, weshalb man auch die
Differentialgleichung Lu = 0 als linear bezeichnet. In den Fällen b) und c)
gilt das offenbar nicht.
BEISPIELE
1. uxx+uyy = 0 ist homogen und linear mit konstanten Koeffizienten,
4. uu -u -1 = 0 ist quasi linear,
xx yy
•
Es erfordert einige Übung, auf den ersten Blick zu erkennen, ob eine partielle
Differentialgleichung 2. Ordnung linear, halblinear, oder quasilinear ist.
Man unterscheidet nun weiter bei den partiellen Differentialgleichungen 2.
Ordnung elliptische, hyperbolische und parabolische Gleichungstypen. Diese
Unterscheidung ist nicht zuletzt deshalb wichtig, weil der Typ der Differen-
-11-
tialgleichung die Art der Nebenbedingungen weitgehend festlegt. Durch Vor
gabe dieser Nebenbedingungen, seien es Randbedingungen, Anfangsbedingungen
usw., erreicht man, daß die Lösung des Differentialgleichungsproblems eindeu
tig wird. So hat man, wie oben schon erwähnt, bei elliptischen Differential
gleichungen Randbedingungen zu stellen, während diese etwa bei hyperbolischen
Differentialgleichungen keine sachgemäßen Nebenbedingungen sind. Wir wollen
uns hier jedoch auf die Definition der elliptischen Differentialgleichung
beschränken. Für die anderen Definitionen vergleiche man [231, 5. 239 - 245.
Dazu nehmen wi r zunächst an, daß a, b ,c Konstanten si nd, daß di e Differenti a1 -
gleichung (1.1-1) also eine solche mit konstanten Koeffizienten a,b,c ist.
Dann kann man ihr in der f;-n-Ebene die quadratische Form af;2+2bf;n+cn2 zuordnen
und die Kurve
(1.1-2)
mit der Konstanten r2 betrachten. Man nennt nun die Differentialgleichung
(1.1-1) elliptisch, wenn die Kurve (1.1-2) eine Ellipse darstellt. Wie man in
der analytischen Geometrie zeigt, ist dies genau dann der Fall, wenn die sym
metrische Matrix
definit, also entweder positiv definit oder negativ definit, ist. Dies ist
wiederum gleiChbedeutend damit, daß die Matrix nur positive oder nur negative
Eigenwerte besitzt. Als Eigenwerte berechnet man
Al und A2 haben offensichtlich genau dann das gleiche Vorzeichen, wenn (man
beachte (a+c)2-4(ac-b2) = (1-c)2+4b2 ; O)(a+c)2-4(ac-b2) < (a+c)2, wenn also
(1.1-3) ac-b2 > 0
gi lt.
Wir lassen unsere Annahme, daß a,b,c Konstante sind, jetzt fallen und nehmen
an, daß a,b,c als Funktionen von x und y vorliegen. Gilt dann in einem festen