Numerische lineare Algebra: Eine konzise Einführung mit MATLAB und Julia

154 Pages·2018·2.282 MB·German

by  Bornemann, Folkmar

Springer Studium Mathematik – Bachelor
Folkmar Bornemann
Numerische
lineare Algebra
Eine konzise Einführung
mit MATLAB und Julia
2. Auflage
Springer Studium Mathematik – Bachelor
Reihe herausgegeben von
M. Aigner, Berlin, Deutschland
H. Faßbender, Braunschweig, Deutschland
B. Gentz, Bielefeld, Deutschland
D. Grieser, Oldenburg, Deutschland
P. Gritzmann, Garching, Deutschland
J. Kramer, Berlin, Deutschland
V. Mehrmann, Berlin, Deutschland
G. Wüstholz, Zürich, Schweiz
Die Reihe „Springer Studium Mathematik“ richtet sich an Studierende aller mathema-
tischen Studiengänge und an Studierende, die sich mit Mathematik in Verbindung mit
einem anderen Studienfach intensiv beschäftigen, wie auch an Personen, die in der
Anwendung oder der Vermittlung von Mathematik tätig sind. Sie bietet Studierenden
während des gesamten Studiums einen schnellen Zugang zu den wichtigsten mathema-
tischen Teilgebieten entsprechend den gängigen Modulen. Die Reihe vermittelt neben
einer soliden Grundausbildung in Mathematik auch fachübergreifende Kompetenzen.
Insbesondere im Bachelorstudium möchte die Reihe die Studierenden für die Prinzipien
und Arbeitsweisen der Mathematik begeistern. Die Lehr‐ und Übungsbücher unterstüt-
zen bei der Klausurvorbereitung und enthalten neben vielen Beispielen und Übungsauf-
gaben auch Grundlagen und Hilfen, die beim Übergang von der Schule zur Hochschule
am Anfang des Studiums benötigt werden. Weiter begleitet die Reihe die Studierenden
im fortgeschrittenen Bachelorstudium und zu Beginn des Masterstudiums bei der Ver-
tiefung und Spezialisierung in einzelnen mathematischen Gebieten mit den passenden
Lehrbüchern. Für den Master in Mathematik stellt die Reihe zur fachlichen Expertise
Bände zu weiterführenden Themen mit forschungsnahen Einblicken in die moderne
Mathematik zur Verfügung. Die Bücher können dem Angebot der Hochschulen entspre-
chend auch in englischer Sprache abgefasst sein.
Weitere Bände in der Reihe http://www.springer.com/series/13446
Folkmar Bornemann
Numerische lineare Algebra
Eine konzise Einführung
mit MATLAB und Julia
2., verbesserte und erweiterte Auflage
Folkmar Bornemann
Zentrum Mathematik
Technische Universität München
Garching, Deutschland
ISSN 2364-2378 ISSN 2364-2386 (electronic)
Springer Studium Mathematik – Bachelor
ISBN 978-3-658-24430-9 ISBN 978-3-658-24431-6 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-24431-6
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Thetroublewithpeopleisnotthattheydon’t
knowbutthattheyknowsomuchthatain’tso.
(JoshBillings1874)
Vieleshätteichverstanden
–hättemanesmirnichterklärt.
(StanisławJerzyLec1957)
Anexpertissomeonewhohasmadeallthe
mistakeswhichcanbemadeinanarrowfield.
(NielsBohr1954)
unteresundadjungiertesoberesDreieckssystemausdemManuskript∗vonA.-L.Cholesky(1910),vgl.§8.3
∗«Surlarésolutionnumériquedessystèmesd’équationslinéaires»,FondsAndré-LouisCholesky(1875-1918),
AbdruckmitfreundlicherGenehmigungderArchivesdel’EcolePolytechnique,Palaiseau,Frankreich.
Vorwort
DiesesBuchentstandzurzweistündigenVorlesungEinführungindienumerischeli-
neareAlgebradesBachelorstudiengangsMathematikanderTUMünchen:Anhand
grundlegenderProblemstellungenderlinearenAlgebrawirdindasalgorithmisch-
numerischeDenkeneingeführt.DieBeschränkungaufdielineareAlgebrasichert
einestärkerethematischeKohärenzalssiesonstineinführendenVorlesungenzur
Numerikzufindenist.NebendiesemdidaktischenAspektsinddievermittelten
KonzepteundAlgorithmenvongrundsätzlicherBedeutungfürdienumerische
Praxisundsolltendahermöglichstfrühzeitigbeherrschtwerden.
MeineDarstellungbetontdieZweckmäßigkeitderBlockpartionierungvonVek-
torenundMatrizengegenübereinerklassischen,komponentenweisenBetrachtung.
SoerhaltenwirnichtnureineübersichtlichereNotationundkürzereAlgorithmen,
sondernwerdenangesichtsvonVektorprozessorenundhierachischenSpeicherar-
chitekturenmodernerComputerauchzusignifikantenLaufzeitgewinnengeführt.
DasMottolautetdaher:
DiehöhereAbstraktionsstufegewinnt.
BeimThemaFehleranalysezieleichkompromisslosaufgrößtmöglichekonzep-
tionelleSchärfe:NursoerlerntmanwirklichhoheKompetenzinderBeurteilung
numerischerVerfahren;anderes(z.B.irgendwelche„Faustregeln“)führtnurzu
unzuverlässigem,kostenträchtigemund–zuweilengefährlichem–Halbwissen.
DieAlgorithmenundbegleitendennumerischenBeispielewerdeninderimuni-
versitärenUnterrichtverbreitetenProgrammierumgebungMATLABangegeben,
zusätzlichimAnhangBaberauchinderzukunftsweisenden,freizugänglichen
ProgrammierspracheJuliavomMIT.IchverbindedamitdieHoffnung,dassdie
LektüremeinesBuchszuweiterenComputerexperimentenanregt.
DasbegleitendeE-BuchbietetalshyperverlinktesPDF-DokumentamComputer
zusätzliche Inhalte: Interne Verweise sind blau, externe Verweise rot markiert.
LetztereführenaufErläuterungenvonBegriffenundSachverhalten,dieichals
bekanntvoraussetzenmöchte,oderaufweiterführendesMaterialwieetwaweb-
basierte,computergestützteRechnungenundhistorischeInformationen.
Die2.AuflageenthältnebenVerbesserungenundErgänzungen(etwaeinneu
bearbeiteter§15)weiterezwanzigAufgabenundwurdeandieimAugust2018
vorgestellte,nunerstmaligvorwärtskompatibleVersion1.0vonJuliaangepasst.
München,imOktober2018 FolkmarBornemann
[email protected]
viii Vorwort
Laboratorium
ZurVertiefungderLektüreempfehleich,sicheinLaboratoriumeinzurichten:
Werkzeug1:Programmierumgebung WegenihrergegenwärtighohenVerbrei-
tung in universitärer Lehre und industrieller Praxis verwende ich im Buch die
SkriptsprachedernumerischeEntwicklungsumgebungMATLABderFirmaThe
MathWorks. Als zukunftsweisende, frei zugängliche Alternative empfehle ich
jedochdieProgrammierspracheJuliavomMIT,fürdieichdeshalbimAnhangB
alleProgrammedesBuchserneutzusammengestellthabe.
Werkzeug2:Rechenknecht IchwerdemichaufIdeenundKonzeptekonzen-
trierenunddahernichtmitRechnungenaufhalten,dieaufgrundihrerhandwerk-
lichen Natur auch von einem „Rechenknecht“ übernommen werden könnten.
HierfüreignensichComputeralgebrasystemewieMapleoderMathematica;zu
letzteremgibtesüberWolframAlphaeinenkostenfreien„einzeiligen“Zugangim
Internet.BeispielefindensichmitexternenLinks(rot)in§§14.2und14.3.
Werkzeug 3: Lehrbuch X Um sich den Stoff aus einer weiteren Perspektive
erklärenzulassen,sollteeinpassendes„X“stetsinGriffweiteliegen;hiereinpaar
EmpfehlungenausderangelsächsischenLiteratur:
• PeterDeuflhard,AndreasHohmann:NumericalAnalysisinModernScientificCompu-
ting,2.Aufl.,Springer-Verlag,NewYork,2003.
Schulbildend;lautVorwortformtemeinjugendlicherElandieDarstellungderFehleranalyse.
• LloydN.Trefethen,DavidBau:NumericalLinearAlgebra,SocietyofIndustrialand
AppliedMathematics,Philadelphia,1997.
EinsehrlebendiggeschriebenesLehrbuch,einKlassikerundAllzeit-BestsellerdesVerlags.
• JamesW.Demmel:AppliedNumericalLinearAlgebra,SocietyofIndustrialandApplied
Mathematics,Philadelphia,1997.
TiefergehendundausführlicheralsderTrefethen–Bau,ebenfallseinKlassiker.
Werkzeug 4: Nachschlagwerke Zur Vertiefung und als hervorragenden Aus-
gangspunktweitererRecherchenempfehleichschließlichnoch:
• GeneH.Golub,CharlesF.VanLoan:MatrixComputations,4.Aufl.,TheJohnsHopkins
UniversityPress,Baltimore2013.
Die„Bibel“zumThema.
• NicholasJ.Higham:AccuracyandStabilityofNumericalAlgorithms,2.Aufl.,Societyof
IndustrialandAppliedMathematics,Philadelphia,2002.
DasumfassendemoderneStandardwerkzurFehleranalyse(ohneEigenwertprobleme).
• RogerA.Horn,CharlesR.Johnson:MatrixAnalysis,2.Aufl.,CambridgeUniversity
Press,Cambridge2012.
DerKlassikerzurMatrixtheorie;sehrumfassendunddicht,unverzichtbareStandardreferenz.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort vii
Laboratorium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I MatrizenundComputer 1
1 WasistNumerik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Matrizenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Laufzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Dreiecksmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 UnitäreMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II Matrixfaktorisierung 21
7 Dreieckszerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8 Cholesky-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9 QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
III Fehleranalyse 39
10 Fehlermaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11 KonditioneinesProblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12 Maschinenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
13 StabilitäteinesAlgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
14 Beispielanalysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
15 AnalyselinearerGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
IV KleinsteQuadrate 67
16 Normalgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
17 Orthogonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
V Eigenwertprobleme 73
18 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
19 Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
20 Vektoriteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
21 QR-Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Anhang 95
A MATLAB–EineganzkurzeEinführung . . . . . . . . . . . . . . . 95
x Inhaltsverzeichnis
B Julia–einemoderneAlternativezuMATLAB . . . . . . . . . . . . 101
C Normen–WiederholungundErgänzung . . . . . . . . . . . . . . . 115
D DasHouseholder-Verfahrenzur QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . 119
E FürNeugierige,KennerundKönner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
RückwärtsanalyseeinesModellsderNachiteration . . . . . . . 121
GlobaleKonvergenzder QR-IterationohneShift . . . . . . . . 121
LokaleKonvergenzder QR-IterationmitShift . . . . . . . . . 124
StochastischeobereAbschätzungderSpektralnorm . . . . . . 127
F WeitereAufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Notation 143
Index 145