Numerische Berechnung elektromagnetischer Felder: Grundlagen, Methoden, Anwendungen

241 Pages·1987·7.61 MB·German

by  Dr.-Ing. Christian Hafner (auth.)

Hochschultext
Christian Hafner
Numerische Berechnung
elektromagnetischer Felder
Grundlagen, Methoden, Anwendungen
Mit 58 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo 1987
Dr.-Ing. Christian Hafner
Wissenschaftlicher Mitarbeiter
Institut fUr Feldtheorie und Htichstfrequenztechnik
Eidgentissische Technische Hochschule ZUrich
ISBN-13:978-3-540-17334-2 e-ISNB-13:978-3-642-82969-7
001: 10.1007/978-3-642-82969-7
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Hafner, Christian:
Numerische Berechnung elektromagnetischer Felder
Grundlagen, Methoden, Anwendungen 1 Christian Hafner.
Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo: Springer, 1987.
(Hochschultext)
ISBN-13:978-3-540-17334-2
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1987
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von jedermann benutzt werden durften.
2362/3020 543210
Vorwort
Numerische Methoden zur Berechnung elektromagnetischer Felder wurden zum
Teil schon vor einigen Jahren entworfen und stetig ausgebaut. Mit der par
allel dazu laufenden Entwicklung von Rechenanlagen ist ein starker Trend
zu benutzerfreundlichen Programmen festzustellen. Versuchsaufbauten werden
zunehmend durch CAD (Computer Aided Design) und CAE (Computer Aided
Engineering) abgelost. Selbstverstandlich wird beim Verkauf derartiger Anlagen
und der zugehorigen Software gerne zu viel versprochen. Tatsachlich ist der An
wendungsbereich aller Programme sowohl durch deren 'Ideologie' als auch durch
den Rechner, auf dem sie implementiert wurden, sehr stark eingeschrankt. Der
Anwender ist deshalb zunachst vor die schwierige Aufgabe gestellt, ein fur seine
Zwecke geeignetes Programm zu finden und sieht sich schlief31ich oft enttauscht,
weil aile angebotenen Programme 'sein Problem' nicht - oder nur nach einer mehr
oder weniger aufwendigen Modifikation - losen konnen. Sowohl die Evaluation
als auch die Modifikation bestehender Programme uberfordern den Anwender in
vielen Fallen, da seine Kenntnisse der Elektrodynamik und der Numerik zu ge
ring sind. Sucht man nach passender Literatur, so stellt man fest, daB bereits
sehr viele Bucher uber theoretische Elektrotechnik und uber numerische Metho
den existieren. Die ersteren beschranken sich meist auf die analytische Losung
von Problemen mit einfacher Geometrie, die letzteren sind nur selten fur Elek
troingenieure verstandlich geschrieben und beschranken sich oft auf eine einzige
Methode zur numerischen Feldberechnung.
Das vorliegende Werk, welches im wesentlichen unverandert als Habilitations
schrift der ETH Zurich eingereicht wurde, richtet sich in erster Linie an Stu
dent en der Elektrotechnik und an Elektroingenieure, welche mit den genannten
Problemen konfrontiert sind. Dabei werden sowohl der theoretische Hintergrund
als auch die Grundgedanken der gegenwartig bedeutendsten numerischen Metho
den zusammengefaBt und in einer Form prasentiert, welche die Gemeinsamkeiten
hervorhebt und das Vorgehen verdeutlicht.
In der Technik sind auch heute noch zweidimensionale d.h. ebene oder zylin
drische Probleme von groBter Bedeutung. Ihnen wird - anders als in den meisten
Lehrbuchern der Elektrodynamik - besondere Beachtung geschenkt und ein For
malismus eingefuhrt, der die Zusammenhange klart.
Zur Veranschaulichung wird die vom Autor - zusammen mit der Fachgruppe
fur elektromagnetische Felder der ETH Zurich - entwickelte MMP-Methode
ausfuhrlicher behandelt. Typische Anwendungsbeispiele demonstrieren die Mog
lichkeiten und Probleme derartiger Programme. 1m Interesse einer erhohten
Verstandlichkeit wurde auf besonders komplizierte und imposante Aufgabenstel
lungen verzichtet. Fast aile gezeigten Probleme fuhren deshalb auf recht kleine
Matrizen mit weniger als zweihundert Kolonnen, erfordern zur Losung also keine
Hochstleist ungsrechner.
Zurich, im Dezember 1986 Ch. Hafner
INHALTSVERZEICHNIS
1 Einleitung und Ubersicht .............................................. 1
2 Raumliche Differentiationen und Integrationen ...................... 5
2.1 Die Geometrie des Raumes .......................................... 6
2.2 Koordinaten .......................................................... 7
2.2.1 Koordinaten des dreidimensionalen Raumes ............................ 7
2.2.2 Koordinaten des zweidimensionalen Raumes ............................ 9
2.3 (Pseudo)vektoren und (Pseudo)skalare ........................... 10
2.3.1 Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum ........................... 10
2.3.2 Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum .......................... 12
2.4 Integralformen ...................................................... 14
2.4.1 Integrale des dreidimensionalen Raumes ............................... 14
2.4.2 Integrale des zweidimensionalen Raumes ............................... 17
2.5 Differentialformen ................................................... 19
2.5.1 Differentiale des dreidimensionalen Raumes ............................ 19
2.5.2 Differentiale des zweidimensionalen Raumes ........................... 24
2.5.3 Rechenregeln .......................................................... 27
3 Die Maxwell-Gleichungen ............................................ 31
3.1 Mathematische Formen und ihre Bedeutung ..................... 32
3.1.1 Differentialformen ..................................................... 32
3.1.2 Integralformen ........................................................ 39
3.1.3 In den Maxwell-Gleichungen nicht enthaltene Bedingungen ............ 41
3.1.4 Die Spezialfiille: Elektro- und Magnetostatik .......................... 44
3.2 Weiterverarbeitung der Maxwell-Gleichungen ................... 46
3.2.1 Potentiale ............................. " .............................. 46
3.2.2 Entkopplung, Wellengleichungen ....................................... 53
3.2.3 Separation, Helmholtz-Gleichungen ................................... 55
3.2.4 Green'sche Funktionen, retardierte Potentiale .......................... 58
3.2.5 Stetigkeits- und Randbedingungen ..................................... 63
3.2.6 Variationsintegrale, Energie ........................................... 67
3.3 Herleitung spezieller Losungssysteme ............................. 77
3.3.1 Verwendung kartesischer Koordinaten ................................. 77
3.3.2 Verwendung kreiszylindrischer Koordinaten ............................ 80
3.3.3 Verwendung sphiirischer Koordinaten .................................. 84
3.3.4 Verwendung anderer Koordinaten ..................................... 85
VII
4 Typische Aufgabenstellungen ........................................ 87
4.1 Felderzeugung, inhomogene Feldgleichungen ...................... 93
4.2 Feldausbreitung, homogene Feldgleichungen ...................... 95
4.2.1 Streufeldprobleme, Randwertaufgaben ................................. 96
4.2.2 Zylindrische Streufeldprobleme ....................................... 100
4.2.3 Resonatoren, Eigenwertprobleme ..................................... 104
4.2.4 Gefiihrte Wellen ..................................................... 108
4.2.5 Quasistatische Losungen, Leitungstheorie ............................. 113
4.2.6 Strahlenoptik ........................................................ 120
5 Numerische Methoden der Feldberechnung ....................... 123
5.1 Ubersicht, Einteilung .............................................. 124
5.2 Prinzipielles Vorgehen ............................................. 127
5.3 Die bekanntesten Methoden ...................................... 140
5.3.1 FE (Finite Elemente), Variationsmethoden ........................... 140
5.3.2 FD (Finite Differenzen) .............................................. 143
5.3.3 MM (Momentenmethode), Teilfliichenmethode ........................ 147
5.3.4 PM (Point Matching), Ersatzladungsverfahren ........................ 151
5.3.5 SDA (Spectral Domain Analysis) ..................................... 155
5.3.6 GTD (General Theory of Diffraction), Strahlenoptik .................. 161
5.3.7 SEM (Singularity Expansion Method) ................................ 162
5.3.8 MMT (Mode Matching Technique), Wellentypenzerlegung ............ 164
5.4 Die MMP-Methode ................................................ 171
5.4.1 Analytischer Teil ..................................................... 178
5.4.2 Numerischer Teil ..................................................... 187
5.4.3 Erweiterungsmoglichkeiten ........................................... 197
6 Anwendungsbeispiele ................................................ 199
6.1 Gefiihrte Wellen und Strahlungseinkopplung ................... 201
6.2 Strahlungseinkopplung auf Schiene .............................. 205
6.3 Microstrip (Streifenleitung) ....................................... 206
6.4 Hohlleiter mit Langsschlitz ....................................... 208
6.5 Optische Linse ..................................................... 210
6.6 Feldbilder ........................................................... 211
Literaturverzeichnis .................................................... 229
1 EINLEITUNG UND UBERSICHT
... ein K reuzzug vielleicht fiir
mehr Geometrie und Theologie.
IGNAZ
Seit dem Bekanntwerden der Maxwellschen Theorie als Grundlage der Elektro
dynamik vor etwas mehr als hundert Jahren hat sich sowohl formal als auch von
der Anwendungsart her einiges geiindert. Mathematische Techniken, welche den
Umgang mit elektromagnetischen und andern Feldern erleichtern, einen tieferen
Einblick in die Grundlagen gestatten und Zusammenhiinge verdeutlichen, wurden
hauptsiichlich um die Jahrhundertwende von Mathematikern und Physikern erar
beitet. Verschiedene davon werden heute von Ingenieuren sorglos und routiniert
angewendet. Dies ist durchaus typisch fur die Entstehung und Weiterentwicklung
von Theorien und hat zur Folge, dass das Wissen um das 'Warum' dem Wissen
um das 'Wie' immer mehr Platz macht und in Vergessenheit geriit. Nachdem dem
Studenten das Fragen nach den Grunden abgewohnt worden ist, schreitet das Er
lernen von Techniken ungehemmt voran. Die Mangel dieses Vorgehens mach en
sich meist erst in der Praxis bemerkbar, wenn neue Probleme selbstandig erar
beitet werden sollten und die bekannten Techniken versagen. In diesem Buch wird
versucht, die Grundlagen der verschiedensten numerischen Methoden zur Berech
nung elektromagnetischer Felder wenigstens anzudeuten und zum Teil etwas mehr
in die Tiefe zu gehen als ublich, ohne jedoch spezielle mathematische Kenntnisse
vorauszusetzen.
Mit der Entwicklung von Rechenmaschinen hat die angewandte Elektrotech
nik in den letzten Jahrzehnten sehr stark auf die Theorie zuruckgewirkt. Die
Hauptaufgabe bei der Berechnung einer gegebenen Anordnung bestand fruher
darin, eine moglichst grof3e Anzahl von Annahmen zu machen, welche den Rechen
gang so sehr vereinfachten, daf3 Resultate gefunden werden konnten, die sich
ohne grof3en numerischen Aufwand verwerten lieBen und gleichzeitig zumindest
die Haupteffekte nicht aus der Rechnung eliminierten. Dies hatte zur Folge, daf3
zum einen nur geometrisch stark vereinfachte Modelle untersucht werden konnten
und zum andern verschiedene 'Effekte' voneinander isoliert betrachtet wurden.
Bucher aus dieser Zeit geben oft den Eindruck einer Sammlung von verschiedenar
tigsten Rechnungen, die mit irgendwelchen Tricks und ohne erkennbares System
erledigt werden. Bei der modernen, numerischen Feldberechnung ruck en Pro
bleme des Rechenaufwandes zunehmend in den Hintergrund. Gerade die Unter
suchung des Vorgehens, das Wissen, wie ein Rechengang prinzipiell verlauft, ist
hier von Bedeutung, wiihrend das Finden von Tricks zur Behandlung spezieller
Probleme sekundar und hiiufig uberfliissig ist. Das Fernziel, ein Universalpro
gramm zu entwickeln, welches samtliche technischen Probleme losen kann, wird
2
wohl ebensowenig erreicht werden, wie die von manchen Physikern gesuchte 'Welt
formel', welche allen physikalischen Problemen zu Grunde liegt. Deshalb erweist
es sich als notwendig, eine systematische Einteilung von typischen Problemgrup
pen vorzunehmen, diese zu untersuchen und zu deren Losung passende Algorith
men zu finden.
Neben dieser Entwicklung des Inhaltes, hat auch eine bemerkenswerte Ent
wicklung der Publikationsform stattgefunden. An die Stelle von Biichern, welche
einen Einstieg in ein Wissensgebiet und eine Ubersicht vermitteln, ist eine riesige
Flut von Fachartikelri getreten, welche inhaltlich oft kaum etwas neues bringen,
ohne ausgedehnte Literaturrecherchen nur selten versUindlich sind und rasch ver
alten. Eine Zwischenlosung besteht in Sammelbanden von ausgewahlten Artikeln
zu einem bestimmten Thema. Diese erweist sich schluBendlich als wenig befriedi
gend und nur fiir bereits mit dem Thema vertraute Fachleute brauchbar. Gerade
im Bereich der numerischen Feldberechnung, welche in den letzten Jahren einen
groBen Aufschwung genommen hat, macht sich ein Defizit von Lehrbiichern be
merkbar, welches mit der vorliegenden Arbeit etwas verringert werden soli. Aus
den genannten Griinden wird die Angabe von Literaturstellen knapp gehalten und
vor allem auf breit angelegte Werke konzentriert, welche wirklich weiterhelfen.
In diesem Buch wird versucht, die wesentlichsten mathematischen und
physikalischen Grundlagen der numerischen Feldberechnung in einer, fiir Elek
troingenieure verstandlichen und doch nicht sehr ausgedehnten Form zu prasen
tieren. Dabei stellt sich das Problem, daB beispielsweise zur Motivation gewisser
mathematischer Techniken die Kenntnis von Anwendungen und umgekehrt zur
Behandlung dieser Anwendungen die Beherrschung entsprechender Techniken
notig ist. Eine logisch-lineare Darstellung, welche ein 'geradliniges' Durchlesen
erlaubt, scheint aus diesen und ahnlichen Griinden unmoglich zu sein. Insbeson
dere fiir Studenten empfiehlt es sich deshalb, zunachst dieses Buch zu iiberfliegen
und erst in einem zweiten Anlauf - eventuell nach einem notwendigen Literatur
studium - genauer zu lesen.
Startpunkt bildet das Kapitel 2 mit den mathematischen Grundlagen der
Maxwell-Gleichungen. Darin wird versucht, eine, fiir Ingenieure wenig gelaufige,
geometrisch fundierte Anschauung derjenigen Operatoren und Operatorgleichun
gen zu vermitteln, welche in der klassischen Elektrodynamik von groBter Bedeu
tung sind. Dabei wird auf vierdimensionale, relativistische Formulierungen, die in
der Physik weit verbreitet sind, bewuBt verzichtet. Stattdessen werden - neben
den iiblichen dreidimensionalen - eingehend zweidimensionale Formen untersucht,
welche in praktischen Modellen der Elektrotechnik weit verbreitet sind, jedoch
meist umstandlich - quasi-dreidimensional - behandelt werden. Dem theoretisch
interessierten Leser bietet sich dadurch die Einstiegsmoglichkeit in ein tieferes
Verstandnis der Maxwellschen Theorie, wahrend der praktisch orientierte Inge
nieur sich im Umgang mit Differential- und Integralformen iiben kann.
1m Kapitel 3 werden Inhalt und Form der Maxwell-Gleichungen diskutiert
und Wege zur 'Weiterverarbeitung' dieser Gleichungen beschrieben. Neben der
'pragmatischen' Anschauung, welche hinter verschiedenen 'Grundgleichungen'
der Physik und speziell hinter der Newtonschen Mechanik und den Maxwell-
3
Gleichungen verborgen ist, existierte von alters her eine mehr philosophisch
theologisch inspirierte Betrachtungsweise, welche beispielsweise hinter der Hamil
tonschen Mechanik, dem Energiesatz und dem Prinzip der kleinsten Wirkung
steckt. Ahnlich wie die Hamiltonsche Mechanik - zu Beginn dieses Jahrhun
derts - bei der Entwicklung der Quantenmechanik einen groBen Auftrieb bekam,
gewannen integrale Formulierungen des Prinzips der kleinsten Wirkung bei der
Entwicklung numerischer Methoden an Gewicht. Dies wird verstandlich, wenn
man beachtet, daB der philosophisch-theologische Begriff der 'Gerechtigkeit' im
Prinzip durch die 'Algebraisierung' aus der Mathematik und den damit arbeiten
den Naturwissenschaften eliminiert worden ist, spielt doch bei der algebraischen
Behandlung einer Zahl 'a' deren Wert keinerlei Rolle. In der Numerik ist dies
jedoch anders. Hier sind die Wertebereiche beschriinkt, und es konnen Run
dungsfehler auftreten. Jede Zahl 'a' ist hier prinzipiell fehlerbehaftet, 'unscharf'.
Dadurch wird eine 'gerechte' Gewichtung von Gleichungen, welche mathematisch
gewisse Aussagen reprasentieren, bedeutungsvoll. Vor diesem Hintergrund werden
Energiesatz und Prinzip der kleinsten Wirkung diskutiert und neben die Maxwell
Gleichungen gestellt.
Das vierte Kapitel befaBt sich mit den technisch wichtigsten Problemstellun
gen und deren Einteilung in Hinsicht auf die numerischen Methoden. Dabei wer
den keine Details studiert, sondern die wesentlichst~n Eigenheiten und Gemein
samkeiten der verschiedenen Problemgruppen mit den zugehorigen typischen
mathematischen Gleichungen bzw. Gleichungssystemen behandelt, was eine Ori
entierungshilfe bei der Behandlung praktischer Aufgabenstellungen ergibt.
1m Kapitel 5 werden die bekanntesten Meth')den zur numerischen Feld
berechnung vorgestellt. Dabei ist es unmoglich, diese detailliert zu beschreiben.
Stattdessen wird versucht, eine grobe Einteilung vorzunehmen und die Gemein
samkeiten dieser Methoden zu betonen. Der Weg, der von einer ersten Idee
zu einem praktisch brauchbaren Programm fiihrt, wird an der MMP-Methode
demonstriert. Das Hauptaugenmerk ist dabei auf zweidimensionale bzw. zylin
drische Wellenfelder gerichtet, welche mit verniinftigem Aufwand darstellbar sind.
Zum SchluB werden im Kapitel 6 verschiedenartige Beispiele gezeigt, welche
mit einem einzigen MMP-Programm berechnet wurden. Diese Beispiele haben
den Zweck, zu illustrieren, wie Programme zur numerischen Feldberechnung einge
setzt werden konnen und welche Moglichkeiten und Gefahren darin enthalten sind.
SchlieBlich sind noch einige Bemerkungen zur formalen Gestaltung dieses
Buches zu machen:
1.) Die verwendete Bezeichnung von Tabellen, Figuren und Formeln ist et
was ungewohnlich: Das Buch ist in Kapitel, Abschnitte und Unterabschnitte
eingeteilt, welche fortlaufend numeriert werden. (4.2.:::: ist also der dritte Unterab
schnitt von Abschnitt zwei in Kapitel vier.) Die Tabellen, Figuren und Formeln
werden innerhalb dieser Einheiten im allgemeinen fortlaufend numeriert. (Mit
(4.2.3.5) wird also die fiinfte Formel im Unterabschnitt 4.2.3 und mit (4.9) die
neunte Formel im Kapitel 4 bezeichnet.) Eine Ausnahme bilden nur leicht mo
difizierte, sinnverwandte Formeln, welche mit derselben Nummer versehen und
durch ein oder mehrere zusatzliche Zeichen unterschieden werden. Dies verein-
4
facht den Verweis auf ahnliche Formeln: 'GemaB (2.5.1.1)' beinhaltet beispiels
weise auch die 'Abarten' (2.5.1.1'), (2.5.1.1"), (2.5.1.1T), (2.5.1.1T') usw. von
(2.5.1.1). 'GemaB (2.5.1.1T)' bedeutet ausfuhrlich: 'GemaB (2.5.1.1T) oder allen
falls auch (2.5.1.1T')'.
2.) Ebenfalls unublich sind die Pfeildiagramme in Kapitel 2 und 3, welche wie
gewahnliche Formeln bezeichnet werden. Tatsachlich handelt es sich dabei urn
iibersichtliche Darstellungen ganzer Formelgruppen.
3.) Komplexe GraBen werden zur Verdeutlichung unterstrichen, die konjugiert
Komlexen mit einem Stern, Vektoren mit einem Pfeil markiert, soweit dies sinn
voll ist. Insbesondere in den Kapiteln vier bis sechs werden allgemeinere Aus
sagen gemacht, welche in gleicher Weise fur reell-, komplex- und vektorwertige
Funktionen gelten. f bezeichnet dann also nicht ausschlief31ich eine reelle, skalare
Feldfunktion.
4.) L, Lund £ sind nicht we iter spezifizierte, meist lineare Operatoren. Die Li
nearitat muB jedoch bei den gemachten Aussagen oft nicht vorausgesetzt werden.
In diesen Fallen ist spezielle Vorsicht geboten.