Table Of ContentKnabner • Angermann
Numerik partieller Differentialgleichungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Peter Knabner • Lutz Angermann
Numerik partieller
Differentialgleichungen
Eine anwendungsorientierte Einführung
Springer
Professor Dr. Peter Knabner
Friedrich -Alexander-Universitat Erlangen-Ni irnberg
Institut fUr Angewandte Mathematik
MartensstraJ3e 3
91058 Erlangen, Deutschland
e-mail: [email protected]
Professor Dr. Lutz Angermann
Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg
Institut fUr Analysis und Numerik
Universitiitsplatz 2
39106 Magdeburg, Deutschland
e-mail: [email protected]
Mathematics Subitct Classification (2000); 65N, 65N30, 65M60, 65Fl 0, 65H 10 , 76S05
Oie Dfcutsdle Bibliotllek -CIP-Einheitsaufnahme
Kn~bne" Ptrt.:
Numnik partieUn DifferentiaJgleiehungen: eine .n~ndungsorientierte Einfnhrungl Peter Kn.bner;
Lull Angerm.nn.· Btrlin; Heide1berg; New York; Sarcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris;
Singapu'; Tokio: Sp.in~r, 2000
(Sprin~r-Lebrb\l(h)
ISBN 978-3-540-66231-0 ISBN 978-3-642-57181-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-57181-7
ISBN 978-3-540-66231-0
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geselZlicll.n Btltimmungen des U.heberreclltsgesetzes der BundesRpublik Deulsdll.nd vom 9. Sep
tember 1965 in der j....,i1s gc!tenden Fauung zullssig.Sie iSI grundsllzlich vergOtungspflichtig. Zuwi
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C Sprinser-Ver1ag Berlin Heidelberg 2000
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Gedruckt auf slurefreiem Papier SPIN I07J.«65 46131~3CK-5 4 3 2 1 O
Vorwort
Dieses Buch entstand aus Vorlesungen, die wir an den Universitäten Erlangen
Nürnberg und Magdeburg gehalten haben. Wir standen dabei oft vor dem
Problem einer heterogenen Hörerschaft aus Studierenden der Mathematik
und der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Dies bedeutete neben einer
unterschiedlichen Erwartungshaltung hinsichtlich mathematischer Stringenz
und außermathematischer Anwendbarkeit, auch die Tatsache, weder generell
Beispielmaterial in Form von Differentialgleichungsmodellen noch Kenntnis
se aus der (modernen) Theorie partieller Differentialgleichungen voraussetzen
zu können. Um dieser Grundsituation zu begegnen, haben wir einen praxisre
levanten Ausschnitt an Modellen und Verfahren (dessen Erweiterung gewiss
wünschenswert wäre) gewählt und versucht, das ganze Spektrum von der
Theorie bis zur Implementierung zu beleuchten, ohne über das Grundstudium
hinausgehende Kenntnisse vorauszusetzen. Viele der für Nicht-Mathematiker
schwierigen theoretischen Hürden sind sehr "induktiv" angegangen worden.
Generell benutzen wir einen erklärenden "erzählerischen" Stil, ohne dadurch
(wie wir hoffen) Abstriche an der mathematischen Präzision zu machen.
Wir haben den Untertitel des Buches gewählt in der Hoffnung, gerade die
Studierenden der Mathematik auch mit den Informationen zu versehen,
die zum Verständnis und der Durchführung von Finite-Element-/Volumen
Programmierung notwendig sind. Für Studierende der Natur- und Ingenieur
wissenschaften bietet der Text über die oft schon vorhandenen Kenntnis
se der Anwendung von Verfahren im engeren Fachgebiet hinaus eher eine
Einführung in die mathematischen "Grundlagen, die einen Transfer der Kennt
nisse auf andere Fachgebiete erleichtern sollte.
Wir möchten uns für die wertvolle Hilfe bedanken, die wir während des Schrei
bens dieses Buches erhalten haben: Die Herren Dr. M. Bause, Dipl.-Math.
S. Bitterlich, Dr. Ch. Eck, Dipl.-Math. A. Prechtel, Dipl.-Math.techn. J. Rang
und Dipl.-Phys. E. Schneid haben Teile des Textes Korrektur gelesen und
wichtige Verbesserungsvorschläge geliefert. Von den anonymen Gutachtern
haben wir nützliche Kommentare erhalten. An erster Stelle sind aber Frau
Magdalena Ihle und Herr Dipl.-Math. Gerhard Summ zu nennen. Frau Ihle
hat mit unermüdlichem Einsatz große Teile des Textes schnell und präzise
in 'lEX umgesetzt. Herr Summ hat nicht nur die Skript-Urfassung bearbeitet
und ihr eine 'lEX-Form gegeben, bei ihm liefen auch alle Fäden des vielschich-
VI Vorwort
tigen und verteilten Umarbeitungs- und Erweiterungsprozesses zusammen,
ohne dass er jemals den Überblick verloren hat. Die Beseitigung vieler Inkon
sistenzen ist ihm zu verdanken. Darüber hinaus hat er Teile der Abschnitte
3.4 und 3.8 durch seine hervorragende Diplomarbeit [63] mitbeeinflusst. Bei
Herrn Dr. eh. Tapp bedanken wir uns für die Bereitstellung der Titelgraphik
und weiterer Graphiken aus seiner Dissertation [64].
Hinweise auf (Druck-) Fehler und Verbesserungsvorschläge sind selbstver
ständlich weiterhin willkommen.
Dem Springer-Verlag danken wir für die konstruktive Zusammenarbeit. Nicht
zuletzt wollen wir schließlich unseren Familien unsere Dankbarkeit aus
drücken für das Verständnis und die Nachsicht mit uns, die nicht nur, aber
gerade in den letzten Monaten notwendig waren.
Erlangen und Magdeburg, im Februar 2000
Peter Knabner Lutz Angermann
Vorwort VII
Hinweise für den Leser und zur Benutzung in Lehrveranstaltungen
Der dargebotene Text übersteigt den Umfang einer vierstündigen einsemest
rigen Lehrveranstaltung. Für eine solche Veranstaltung ist eine Auswahl
nötig, die sich auch am Hörerkreis orientieren sollte. Wir empfehlen folgende
"Schnitte":
Kapitel 0 ist entbehrlich, wenn die behandelten Differentialgleichungen ander
weitig geläufig sind. Abschnitt 0.4 sollte aber wegen der dort versammelten
Sprechweisen konsultiert werden. Analoges gilt für Kap. 1, eventuell muss
dann Abschn. 1.4 in Kap. 3 nachgeholt werden, wenn der Abschn. 3.9 behan
delt werden soll.
Die Kapitel 2 und 3 bilden den Kern des Buches. Die für einige theoreti
sche Aspekte gewählte induktive Darstellungsmethode kann für Studieren
de der Mathematik eventuell verkürzt werden. Je nach persönlichem Ge
schmack des Dozenten bzw. Vorkenntnissen der Hörer in Numerischer Ma
thematik kann auf Abschn. 2.5 verzichtet werden, was die Behandlung der
ILU-Vorkonditionierung in Abschn. 5.3 erschweren könnte. Bei den Abschnit
ten 2.1-2.3 ist zu beachten, dass sie die Behandlung des Modellproblems mit
grundlegenden abstrakten Aussagen vermischen. Soll also auf die Behandlung
des Modellproblems verzichtet werden, müssen diese Aussagen aus dem Text
herausgenommen und in Kap. 3 integriert werden. Bei dieser Vorgehensweise
könnte leicht Abschn. 2.4 mit Abschn. 3.5 kombiniert werden. Bei Kap. 3
besteht der theoretische Kern aus den Abschnitten 3.1, 3.2.1, 3.3-3.4.
Kapitel 4 hat übersichtsartigen Charakter und stellt zusammen mit den Ka
piteln 8 und 9 Vertiefungen des klassischen Stoffes dar.
In dem umfangreichen Kap. 5 ist eine Schwerpunktsetzung möglich, bis hin
zu einer Reduktion auf die Abschnitte 5.2, 5.3 (und 5.4), um zumindest ein
praxistaugliches modernes iteratives Verfahren darzustellen.
In Kap. 7 gehören Abschn. 7.1 und der erste Teil von Abschn. 7.2 zum Grund
wissen der Numerischen Mathematik und können je nach Hörerschaft entfal
len.
Die Anhänge dienen nur der Konsultation und sollen notwendige Ergänzun
gen zu den Grundvorlesungen der Analysis und Linearen Algebra bzw. der
Höheren Mathematik für Ingenieure geben.
Sollte die Vorlesung stattdessen zweisemestrig angelegt sein, so empfehlen
wir Ergänzungen um einen der Themenbereiche:
• die Finite-Element-Methode in der Strukturmechanik,
• Finite-Differenzen-Verfahren für hyperbolische Erhaltungssätze in einer
Raumdimension,
• die Finite-Element-Methode für laminare Strömungen (Navier-Stokes-Glei
chungen)
Als entsprechende Lehrbücher seien beispielhaft [5J bzw. [21J bzw. [12] ge
nannt.
VIII Vorwort
Hinweise zur Notation
Kursivdruck hebt die Definition von Sprechweisen hervor, auch wenn dies
nicht als nummerierte Definition erfolgt.
Vektoren treten mit verschiedener Bedeutung auf: Neben den "kurzen"
Ortsvektoren x E ]Rd gibt es "lange" Darstellungsvektoren u E ]RM, die
im Allgemeinen die Freiheitsgrade einer Finite-Element (oder -Volumen)
Approximation oder die Gitterpunktswerte einer Finite-Differenzen-Approxi
mation darstellen. Hier wird Fettdruck gewählt, auch zur Unterscheidung
von den oft gleich bezeichneten erzeugten Funktionen oder Gitterfunktionen.
Abweichungen stellen Kap. 0 dar, in dem auch vektorielle Größen aus ]Rd
fettgedruckt werden, und Kap. 5 und 7, in denen die Unbekannte des linearen
oder nichtlinearen Gleichungssystemes, das dort allgemein behandelt wird,
mit x E ]Rm bezeichnet wird.
Auf Komponenten von Vektoren wird durch einen unteren Index zugegriffen,
was bei indizierten Vektoren zu Doppelindizes führt. Folgen von Vektoren
werden oben (in Klammern) indiziert, nur im abstrakten Kontext erfolgt die
Indizierung auch unten.
Inhaltsverzeichnis
o.
Zum Beispiel: Differentialgleichungsmodelle
für Prozesse in porösen Medien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1 Transport- und Reaktionsprozesse in porösen Medien. . . . . . . 1
0.2 Fluidtransport in porösen Medien ........................ 3
0.3 Reaktiver Lösungstransport in porösen Medien. . . . . . . . . . . . . 7
0.4 Randwert- und Anfangs-Randwert-Aufgaben.. . . . . . . . . . . . .. 10
Übungen .............................................. 14
1. Zu Beginn: Die Finite-Differenzen-Methode
idr die Poisson-Gleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17
1.1 Das Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung ........... 17
1.2 Die Finite-Differenzen-Methode .......................... 18
1.3 Verallgemeinerung und Grenzen
der Finite-Differenzen-Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
1.4 Maximumprinzipien und Stabilität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31
Übungen .............................................. 38
2. Die Finite-Element-Methode
am Beispiel der Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39
2.1 Variationsformulierung für das Modellproblem ............. 39
2.2 Die Finite-Element-Methode am Beispiel der linearen Elemente 47
2.3 Stabilität und Konvergenz der Finite-Element-Methode ..... 60
2.4 Die Implementierung der Finite-Element-Methode - 1. Teil.. 65
2.5 Lösen dünnbesetzter linearer Gleichungssysteme
mit direkten Verfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
Übungen .............................................. 82
3. Die Finite-Element-Methode
idr lineare elliptische Randwertaufgaben 2. Ordnung 85
3.1 Variationsgleichungen und Sobolevräume . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85
3.2 Elliptische Randwertaufgaben 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . .. 92
3.3 Elementtypen und affin-äquivalente Triangulierungen ....... 104
3.4 Konvergenzordnungsabschätzungen ....................... 121
3.5 Die Implementierung der Finite-Element-Methode - 2. Teil .. 136
X Inhaltsverzeichnis
3.6 Konvergenzordnungsaussagen
bei Quadratur und Interpolation ......................... 143
3.7 Die Kondition von Finite-Element-Matrizen ................ 151
3.8 Allgemeine Gebiete und isoparametrische Elemente ......... 154
3.9 Das Maximumprinzip für Finite-Element-Methoden ......... 159
Übungen .............................................. 164
4. Gittergenerierung und a posteriori-Fehlerabschätzungen .. 169
4.1 Gittergenerierung ....................................... 169
4.2 A posteriori-Fehlerabschätzungen und Gitteradaption ....... 176
Übungen .............................................. 187
5. Iterationsverfahren ftir lineare Gleichungssysteme ........ 191
5.1 Linear stationäre Iterationsverfahren ...................... 193
5.2 Gradientenverfahren und
Methode der konjugierten Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3 Vorkonditionierte CG-Verfahren .......................... 220
5.4 Krylov-Un terraum-Methoden
für nichtsymmetrische Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.5 Mehrgitterverfahren .................................... 231
q.6 Geschachtelte Iterationen ................................ 244
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6. Die Finite-Element-Methode
ftir parabolische Anfangs-Randwert-Aufgaben ............ 249
6.1 Problembeschreibung und Lösungsbegriff .................. 249
6.2 Semidiskretisierung mittels vertikaler Linienmethode ........ 253
6.3 Volldiskrete Schemata ................................... 257
6.4 Stabilität .............................................. 261
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
7. Iterationsverfahren ftir nicht lineare Gleichungssysteme ... 269
7.1 Fixpunktiteration ...................................... 271
7.2 Das Newtonverfahren und Varianten ...................... 275
7.3 Semilineare Randwertaufgaben
für elliptische und parabolische Gleichungen ............... 286
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
8. Die Finite-Volumen-Methode ............................. 295
8.1 Die Grundidee der Finite-Volumen-Methode ............... 296
8.2 Die Finite-Volumen-Methode für lineare elliptische
Differentialgleichungen 2. Ordnung auf Dreiecksgittern ...... 301
Übungen .............................................. 317
