Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Computeralgebrasystemen

785 Pages·2013·24.37 MB·German

by  Werner Neundorf

Werner Neundorf
Numerik gew¨ohnlicher Differentialgleichungen
mit Computeralgebrasystemen
Anfangswertprobleme
Wichtiger Hinweis
DieindiesemBuchwiedergegebenenVerfahrenundProgrammewerdenohneRu¨cksicht
auf die Patentlage mitgeteilt. Sie sind fu¨r Lehrzwecke bestimmt.
Alle Angaben und Programme in diesem Buch wurden vom Autor mit gr¨oßter Sorgfalt
erarbeitet bzw. zusammengestellt und unter Einschaltung wirksamer Kontrollmaßnah-
men reproduziert.
Trotzdem sind Fehler nicht ganz auszuschließen. Der Autor und der Verlag weisen des-
halb darauf hin, dass weder eine Garantie noch die juristische Verantwortung oder ir-
gendeine Haftung fu¨r Folgen, die auf fehlerhafte Angaben zuru¨ckgehen, u¨bernommen
werden kann.
Fu¨r die Mitteilung eventueller Berichtigungen ist der Autor jederzeit dankbar.
Werner Neundorf
Numerik
gew¨ohnlicher Differentialgleichungen
mit Computeralgebrasystemen
Anfangswertprobleme
Universit¨atsverlag Ilmenau
2013
Impressum
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98684 Ilmenau
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Herstellung und Auslieferung
Verlagshaus Monsenstein und Vannerdat OHG
Am Hawerkamp 31
48155 Mu¨nster
www.mv-verlag.de
ISBN 978-3-86360-064-8(Druckausgabe)
URN urn:nbn:de:gbv:ilm1-2013100028
Titelfoto: photocase.com | Lily
Fu¨r Babcia Bronia
in Dankbarkeit
Eric Temple Bell, 1883-1960
“Offensichtlich“
ist das gef¨ahrlichste Wort in der Mathematik.
Archimedes
Es gibt Dinge, die den meisten Menschen
unglaublich erscheinen, die sich nicht mit
Mathematik besch¨aftigt haben.
Vorwort
Imvorliegenden Buchwerden zahlreichewichtigeAspektedernumerischen Behandlung
von Anfangswertproblemen gew¨ohnlicher Differentialgleichungen dargestellt.
Sein InhaltistausVorlesungenundSeminaren hervorgegangen, dieich invielen Jahren
anderTechnischen Universit¨at Ilmenaufu¨rStudenten derMathematik,derNatur-und
Ingenieurwissenschaften gehaltenhabe.DabeiwirdderBogengespanntvonpraktischen
Modellenu¨berdienumerischenVerfahrenhinbiszurImplementierungundWertungvon
Software. Programmtechnische Umsetzungen erfolgen vorwiegend in den Computeral-
gebrasystemen Maple und MATLAB, wobei der teilweise eingebundene Programmcode
auch demLeser, der keinespeziellen Kenntnisse zu CASbesitzt, verst¨andlich sein wird.
Damit finden die Anwender nu¨tzliche Hinweise zur L¨osung ihrer Probleme, die mit An-
fangswertproblemen verbunden sind.
EsgibtaufdemGebietderNumerikderDifferentialgleichungeneinsehrgroßesAngebot
an Literatur. In Lehrbu¨chern u¨ber Numerische Mathematik, in speziellen Bu¨chern und
MonographiendazufindetderLesersowohl dietraditionellenMethoden alsauchdiean
den aktuellen Stand der Forschung heranreichenden Ergebnisse.
Anliegen dieses Buches ist es, Studenten und mathematisch interessierten Naturwissen-
schaftlern und Ingenieuren mit Vorkenntnissen der Analysis und linearen Algebra ein
einb¨andiges Lehrbuch und Nachschlagewerk zur numerischen Behandlung von AWP in
Verbindung mit den genannten CAS bereitzustellen.
Das Besondere ist die große Anzahl von Differentialgleichungen, die mittels Maple
bezu¨glich ihrer Eigenschaften untersucht werden. Dabei k¨onnen sich in den Beispie-
len durchaus gewisse Informationen wiederholen. Aber beimgenauen Studium wird der
Leser immer wieder Neues und Interessantes entdecken. Es wird auch auf viele Details
beim Umgang mit Maple in Bezug auf Differentialgleichungen hingewiesen.
Das Buch stellt im Kapitel 1 zahlreiche Differentialgleichungen und Systeme, viele mit
praktischem Bezug, mit ihren Eigenschaften vor. Hier werden auch schon einfache nu-
merische Verfahren einbezogen. Das umfangreiche Kapitel 2 zeigt, wie Differentialglei-
chungen mit dem CAS Maple gel¨ost werden k¨onnen (mit Bezug auf die nachfolgenden
Kapitel) und was der Nutzer dabei alles beru¨cksichtigen und untersuchen sollte.
Da Differentialgleichungen mit Ableitungen zu tun haben, wurde das Kapitel 3 zu Dif-
ferenzenapproximationen und Taylor-Reihen eingefu¨gt.
In den weiteren Kapiteln zur Numerik stehen dann die
– expliziten Einschrittverfahren,
– linearen expliziten und impliziten Mehrschrittverfahren,
– impliziten Einschrittverfahren,
– Fragen der Konsistenz, Konvergenz und Stabilit¨at der Verfahren
mit einer breiten Vielfalt von Aspekten im Mittelpunkt.
Dabei wird großer Wert auf die Anschaulichkeit der Vorgehensweise und Ergebnisse
gelegt. Dazu werden einige wichtige Beweise von Zusammenh¨angen und Sachverhalten
gefu¨hrt.
viii
DerLeser bemerkt beim genauen Studium der Methoden zur analytischen und numeri-
schen L¨osung von Differentialgleichungen zahlreiche Details und interessante Aspekte.
In der Literatur wird darauf kaum eingegangen, aber hier sollen diese nicht unerw¨ahnt
bleiben. Sie ergeben sich oft aus den in den CAS implementierten Verfahren. Letztere
sind aber aufgrund der st¨andigen Weiterentwicklung von Hard- und Software stets aufs
Neue zu testen.
Die beigefu¨gten U¨bungsaufgaben dienen der Wiederholung und Vervollst¨andigung des
behandelten Stoffes sowie der Anregung zu weiterfu¨hrenden Betrachtungen auf diesem
interessanten Gebiet. Zu einigen sind die L¨osungen sogar in den angefu¨hrten Beispielen
enthalten.
Anregungen,nu¨tzlicheHinweiseundVerbesserungsvorschl¨age zudiesemBuchsindwill-
kommen und erreichen mich unter meiner E-Mail-Adresse
[email protected]
Werner Neundorf
Ilmenau, 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Differentialgleichungen in der Praxis 1
1.1 Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Thermodynamik und Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Biologie und Populationsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Medizin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8 Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8.1 Skalare gDGl 1. Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8.2 Systeme von zwei gDGl 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.8.3 Systeme von n gDGl 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.8.4 Skalare gDGl 2. und h¨oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Differentialgleichungen mit Maple 59
2.1 Analytische L¨osung von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2 L¨osungsdarstellung von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.1 Richtungsfeld der Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.2 Numerische L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2.3 Richtungsfeld und numerische L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.3 Definitionsbereiche von L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.4 Eindeutige L¨osung von Anfangswertproblemen . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.5 Mehrdeutige L¨osung von Anfangswertproblemen . . . . . . . . . . . . . . 210
2.6 Systeme gew¨ohnlicher Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 253
2.7 Spezielle gew¨ohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 297
x INHALTSVERZEICHNIS
3 Differenzen, Differenzenquotienten, Taylor-Reihen 333
3.1 Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
3.2 Dividierte Differenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
3.3 Approximation von Ableitungen mit Differenzenquotienten . . . . . . . . 340
3.3.1 Einfache Differenzenquotienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
3.3.2 Symmetrische Quotienten fu¨r die 1. und 2. Ableitung . . . . . . . 341
3.3.3 Symmetrische Differenzenquotienten bis zur 6. Ableitung . . . . . 341
3.3.4 Differenzenquotienten fu¨r die 1. Ableitung . . . . . . . . . . . . . 342
3.3.5 Differenzenquotienten fu¨r die 2. und h¨ohere Ableitungen . . . . . 343
3.3.6 Berechnung von Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
3.4 Taylor-Reihen und Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
4 Einfu¨hrung in die Numerik 355
4.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
4.2 Das Eulersche Polygonzugverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
4.3 Erste Fehlerbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
5 Explizite Einschrittverfahren 395
5.1 Das Konzept der Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
5.2 Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
5.2.1 Parameterschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
5.3 Konvergenz von Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
5.4 Schrittweitensteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
5.4.1 Schrittweitenkontrolle mittels lokalen Diskretisierungsfehler . . . . 440
5.4.2 Schrittweitenkontrolle mittels Einbettung . . . . . . . . . . . . . . 454
5.4.3 Schrittweitenkontrolle mittels Schrittkennzahl . . . . . . . . . . . 461
5.4.4 Schrittweitensteuerung mit Grob- und Feinrechnung . . . . . . . . 464
5.4.5 Variable Schrittweitensteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
6 Lineare Mehrschrittverfahren 497
6.1 Das Konzept der linearen Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . 497
6.1.1 Adams-Bashforth-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
6.1.2 Adams-Moulton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
6.1.3 Pr¨adiktor-Korrektor-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511