Numerical Analysis of Partial Differential Equations

446 Pages·2011·18.22 MB·English

by  S. Albertoni (auth.)

Jacques Louis Lions (Ed.)

Numerical Analysis of Partial Differential Equations

Lectures given at aSummerSchoolof the
Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.),
held in Ispra (Varese), Italy,
July 3-11, 1967
C.I.M.E. Foundation
c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini”
Viale Morgagni n. 67/a
50134 Firenze
Italy
[email protected]

ISBN 978-3-642-11056-6 e-ISBN: 978-3-642-11057-3
DOI:10.1007/978-3-642-11057-3
Springer Heidelberg Dordrecht London New York

©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010
Reprint of the 1st Ed. C.I.M.E., Ed. Cremonese, Rom a 1968
With kind permission of C.I.M.E.

Printed on acid-free paper

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CENTRO IfJTER!~JAZIONALE PIATEMATICO CSTIVO
- -
S. ALBERTONI
ALCUNI METODI DI CALCOLO NELLA TEORIA DELLA DIFFUSIOHC DEI
I'
1JEUTRONI"
Corso tenuto ad Ispra dal 3-11 Luglio 1967
ALCUIII METDDI DI CALCOLO IJELLA TCORIA A MULTIGRIJPPI DELLA DIF-
FUSIONF: DCI I.JCUTROEI1
- -
S, Albertoni
-
PARTE la Teoria stazionaria a multif!ruppi, (I,?)
-
5 1 F,lotazioni e Problemi
. .
Sia ncRn un aperto limitato e xr (xl ,x2,. .xn) t R FIel
seguito considereremo gli spazi ~'(01, H~ (Dl, HA(R), e sa g &
-
inter0 >o, ( L ~ ) , ( ) ~ , (sa)ra nno i g prodotti diretti
di L2, HI, Hi.
Volendo considerare principalmente problemi di "trasmissione"
r ",
supporremo = U e siano t = 30, ri = an. rispettivanente
1
le frontiere di1 R, ni: yrs -- anrn ans sono le "interfacce", e
?r,zs,
cio& le parti di frontiers conuni a
Infine vr sia la normale, diret
ta verso l'esterno, di aQr. Pre
messo cib supponiamo assegnate
le funzioni reali: D~ (xl, tli(x),
?q
ci(x) c o ~~ (x),fl(xl.(~,q=
.
=1,2,. ,n; i=1,2,, , ,g)
I problemi da risolvere sono due,
e cio8:
-
Problema A Trovare la soluzione ~ ( x d)e l sistema:
soddisfacente a u[, = 0, e alle condizioni di "trasrnissioneu
d
valide per xcyPs, essendo la derivata conormale a as2 e
r
ur, us le restrizioni di u a n e QS rispettivanente.
r
-
Osservazione I Dal punto di vista fisico le (1) forniscono la
distribuzione stazionaria del flusso neutronico entro un reattz
re R (composto da regioni di materiali diversi Ri) ripartito
in g gruppi di energia decrescente ( ui 5 il flusso dei neutro-
ni di iE energia) ove fi sono Le sorgenti neutroniche esterne
e :
Di un "coef f iciente" di dif f usione
Ai un "coef f iciente" di assorbirnento
~i un "coefficiente" di rirnozione dal gruppo i-1 a1 gruppo i
(Ccco perch6 cl:O)
B~ un "coefficiente" di fissione.
-
Osservazione I1 E' utile per il seguito dare pi2 esplicitame~
te la struttura formale del sistema (1):
Ipotesi sul problema A:
i
1) Positivita dei coefficienti D ~ A,~ ,gi , C (supposti misura-
bili a limitati in R) e cioB: ~~(x))a>o, ~~(x)sb>o~,~ (x))c>o
(i=2,3...),D i (x)2d>o; xi, v sono coefficienti numerici >o.
Pq
Inoltre si suppone C 1 (x) : 0.
2) Ellitticit; uniforme e cio8: 4 {A ; p=1,2.. .n, A 6 Rl, x cT)
P P
esistono m, H>o tali che:
per ogni i=1,2...g. Inoltre a sari abbastanza regolare da
garantire che tutte le operazioni di traccia abbiano un sen-
SO.
-
Problema B Trovare il massimo autovalore >o, lo, e la corri-
spondente autosoluzione positiva l+,(x)>o, per il Problema A omo-
geneo, e cioB per fl=o e ulr=o; tal caso fisicamente corrispon-
de ad una ripartizione di neutroni autosostenentesi (reattore
.
critic01
-
2 Soluzione del problema A
§
Cercheremo u in IIo1 (n) (u 1 r=o): le condizioni di trasmissione
appariranno come "condizioni naturali", automaticamente soddi-
sfatte nella formulazione variazionale, come B ben noto nel caso
d'una equazione sola (g-1). Per g>l il Pb non 6 autoaggiunto.
Si k allora prcferito seguire un ragionamento elementare basato
sul fatto che c1( x)~o. Introdotte le forne lineari:
I n
- - i i i
a(u,v)= Ei (cpq 'D. + A u v )dn
1 Q 1 P9 axp axq
siano A, B, C i corrispondenti operatori (matriciali) penerati
(nel senso delle distribuzionil, Per le ipotesi fatte sui coef-
fi cienti essi risultano def initi su tutto (H:)~ con codominio
c ( ~ )
Gli elenenti di natrice corrispondenti sono:
ove :
Introdotti A, 3, C il Problema A si riconduce alla.risoluzione
dell'equazione in u:
I1 procedimento esistenziale k allora il seguente:
Se u=o allora la:
(6) Aou=(A-C)u=f 5 costituita (si osservi la struttura delle
(2 1) da g equazioni disaccoppiate (cl~ 0 d)e l tipo:
Assumendo fe(f1-I)g (o pin senplicemente (LZ)~)p er le ipotesi
1) e 2)) esiste allora un operatore G: di Green(') che ci forni-
sce u1 = G: f1 (6: b un isomorfisrno di H-'(O) su H:(Q)). Trova-
to ul, u2 b fornita da: u2=G~(~'u1+f2) = G:(C~G:~~+~), e in ge-
i i i i-2fi-1
nerale si ha: u =Co(C Go
Ne consegue llesistenza (u=o) di un operatore matriciale di
Green, Go, per il nostro problema, che realizza un isomorfismo
di (H")~ su (i~:)~, e u=Gof r (H:)~ soddisfa "naturalnente" alle
condizioni di trasmissione.
I1 caso p # o si tratta riducendo la (5) nella forma:
Essendo Go un operatore limitato da (L~)~+(H :)~, Bij moltipli-
catori in L 2 (01, e llimmersione di (I~:)~+(L~)~c ompatta, allo-
ra T b compatto da (II:)~+(H:)~, e pertanto il Problema A 2 ri-
condotto ad un classic0 Problema di Riesz-Fredholm. Lo spettro
puntuale {p:} amnette llunico punto di accumulazione all'infini
to, e i li i L- si accumulano solo verso zero.
LJ :
-
5 3 Soluzione del Problema I3
a) In tal caso si ha: