Noyau de Treelets appliqué aux graphes étiquetés et aux graphes de cycles

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Noyau de Treelets appliqué aux graphes étiquetés et aux
graphes de cycles
Benoit Gaüzère, Luc Brun, Didier Villemin
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Benoit Gaüzère, Luc Brun, Didier Villemin. Noyau de Treelets appliqué aux graphes étiquetés et
aux graphes de cycles. Revue des Sciences et Technologies de l’Information - Série RIA: Revue
d’Intelligence Artificielle, 2013, 27 (1), pp.121-144. ￿10.3166/ria.27.121-144￿. ￿hal-00847279￿
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Noyau de Treelets Appliqué aux Graphes
Étiquetés et aux Graphes de Cycles.
Méthodes à noyaux pour la chémoinformatique
BenoitGaüzère* —LucBrun* —DidierVillemin**
* GREYCUMRCNRS6072,ENSICAEN,UniversitédeCaenBasseNormandie
** LaboratoiredeChimieMoléculaireetThio-organiqueUMR6507,ENSICAEN
[email protected],[email protected],[email protected]
RÉSUMÉ. La chémoinformatique utilise des méthodes issues de l’informatique, plus particu-
lièrementlathéoriedesgraphesetl’apprentissageautomatique,afindeclassifierouprédire
les propriétés de bases de molécules. Dans ce contexte, les noyaux sur graphes fournissent
uneapprocheintéressanteencombinantlesméthodesd’apprentissageautomatiqueetlarepré-
sentationnaturelledesmoléculespargraphes.Parmilesméthodesbaséessurlesnoyauxsur
graphes,ladécompositiondugrapheensousstructuresreprésenteuneimportantefamillede
noyau.Danscetarticle,nousprésentonsdeuxextensionsd’unnoyauprécédemmentbasésur
lessousstructuresnonétiquetéesàl’énumérationdesousstructuresétiquetéesetàlapriseen
comptedel’informationcycliquedesmolécules.Nousproposonségalementdesméthodesde
sélectiondevariablespermettantdepondérerunensembledesousstructuresafind’améliorer
laprécisiondelaprédiction.
ABSTRACT. Chemoinformaticsconsiststodiscoverorpredictmolecule’spropertiesthroughin-
formational techniques.Computer science’s research fields mainly concerned by chemoinfor-
maticsaremachinelearningandgraphtheory. Fromthispointofview,graphkernelsprovide
aniceframeworkcombiningmachinelearningandgraphtheorytechniques. Amongmethods
basedongraphkernels,anmajorfamilyisbasedonadecompositionofagraphintosubstruc-
tures. Inthispaper,wepresenttwoextensionsofakernelpreviouslybasedonunlabeledsub
structurestolabeledsubstructuresandcyclicinformation. Wealsoproposeselectionmethods
which allow us to weight the set of considered sub structures in order to improve prediction
accuracy.
MOTS-CLÉS:Chémoinformatique,NoyauxsurGraphes,ApprentissageAutomatique.
KEYWORDS:Chemoinformatics,GraphKernels,MachineLearning.
L’objet.Volume8–n˚2/2005,pages1à15
2 L’objet.Volume8–n˚2/2005
1. Introduction
L’objetdelachémoinformatiqueestdeprédireouanalyserlespropriétésdesmolé-
culesàl’aidedeméthodesinformatiques.Unedesbasesdecedomaineestleprincipe
de similarité qui stipule que deux molécules ayant une structure similaire possèdent
desactivitéset/oudespropriétéssimilaires.Unemoléculepeutêtrenaturellementre-
présentée par un graphe moléculaire G = (V,E,µ,ν), où le graphe non étiqueté
(V,E)codelastructuredelamoléculetandisqueµassigneàchaquenoeudsonélé-
mentchimiquecorrespondantetν encodeletypedeliaisonentredeuxatomes.Une
majorité de méthodes est basée sur la corrélation entre un ensemble de descripteurs
associés à la molécule et une propriété à prédire. La liste de descripteurs peut être
calculéeàpartirdelastructure,despropriétésphysiquesoubienencoredel’activité
biologiquedelamolécule(Todeschinietal.,2000).L’ensembledecesdescripteursest
regroupéauseind’unvecteurdetaillefixe.Cettedernièrereprésentationpermetd’ap-
pliqueràlachémoinformatiqueunvasteensembledeméthodesnumériquesdéfinies
dans le cadre de l’analyse de données et des méthodes d’apprentissage. Cependant,
la définition d’un vecteur à partir d’un choix de descripteurs implique une sélection
a priori de l’information pertinente. De plus, pour certaines applications, la défini-
tionduvecteurdecaractéristiquesresteheuristique.Unesecondefamilledeméthodes
reposant sur la théorie des graphes peut être décomposée en deux sous familles. La
premièresousfamille(Poezevaraetal.,2009),issuedel’analysededonnées,consiste
àtrouverdessous-graphesayantuneimportantedifférencedefréquenced’apparition
entredeuxensemblesd’exemplespositifsetnégatifs.Lasecondesousfamille(Brunet
al.,2010),reliéeàl’apprentissageautomatique,construitunedescriptionstructurelle
de chaque classe de molécules, de façon à ce que la classification soit effectuée par
un appariement structurel entre la molécule à traiter et chacun des prototypes. Cette
familleesttoutefoisessentiellementrestreinteauxproblèmesdeclassification.
Lesnoyauxsurgraphespeuventêtrevuscommeunemesuredesimilaritésymé-
trique entre deux graphes. Si G est un espace de graphe, un noyau k de G ×G dans
R associe au jeu de données {G , ..., G } une matrice de Gram K définie par
1 n
K = k(G ,G ). Le noyau k est dit semi défini positif si il vérifie la propriété
(i,j) i j
suivante:
∀G , ..., G n n
1 n
c k(G ,G )c ≥0. [1]
i i j j
∀(c1, ...,cn)∈Rn) i j
XX
Cette propriété revient à s’assurer que la matrice de Gram K ne possède que des
valeursproprespositives.
Pour tout noyau semi défini positif k, la valeur de k(G,G′), où G et G′ dési-
gnent deux graphes, correspond à un produit scalaire entre deux vecteurs ψ(G) et
ψ(G′),lafonctionψ(.)encodantunereprésentationdesgraphesdansl’espacedeHil-
bert H associé à k. La distance entre les graphes est alors définie par d2(G,G′) =
kψ(G)−ψ(G′)k2 = k(G,G)+k(G′,G′)−2k(G,G′).L’astucedunoyau(Kernel
Trick)consisteàutiliserlafonctionnoyaudansn’importequelalgorithmed’apprentis-
sageautomatiquepouvants’exprimeruniquementàl’aidedeproduitsscalaires.Ceci
TreeletetNoyauxsurGraphes 3
permetd’utiliserdesalgorithmesnumériquesutilisantlamétriqueinduiteparlepro-
duit scalaire sans avoir à calculer explicitement la fonction de plongement ψ(.) des
graphes dans H. Les noyaux sur graphes et l’astuce du noyau fournissent donc une
connexion naturelle entre les approches structurelles et statistiques de la reconnais-
sancedeformes.
Une première approche pour définir un noyau sur graphes est basée sur l’utilisa-
tion de la distance d’édition entre graphes (Neuhaus et al., 2007). Neuhaus propose
d’appliquerunnoyauGaussiensurcettemesurededissimilaritéentregraphesafinde
définirunnoyau.Cesméthodespermettentd’obtenirunemesureencodantlasimilarité
globale de deux graphes. Cependant, la distance d’édition ne permet pas de garantir
lasemidéfinipositivitédesnoyauxsurgraphes.Cesnoyauxdoiventparconséquent
êtrerégularisés(Gaüzèreetal.,2012;Smolaetal.,2003)afindedéfinirdesnoyaux
valides. Toutefois, cette régularisation modifie la matrice de Gram afin de la rendre
définiesemipositive,cequialtèrelamétriquecorrespondantàladistanced’édition.
Une autre importante famille de méthodes à noyaux sur graphes est basée sur
la construction d’un sac de sous structures pour chaque graphe, la similarité entre
deuxgraphesétantdéduitedelasimilaritéentreleurssacs.Parexemple,(Kashimaet
al.,2004)et(Vishwanathanetal.,2010)comparentdeuxgraphesensebasantsurla
similaritédesmarches aléatoiresdansles deuxstructureset (Ralaivolaetal.,2005)
utilise un ensemble de chemins afin de décrire chaque graphe. Bien que l’utilisation
desousstructureslinéairespermettedelimiterlacomplexitédesalgorithmes,ellene
permet de prendre en compte que très partiellement les relations topologiques entre
lessommetsdesgraphes.D’autresméthodes(Mahéetal.,2008;Ramonetal.,2003)
définissentdesnoyauxbaséssurunensembleinfinid’arbresaulieudestructuresli-
néaires.Cesméthodescorrigentainsilemanqued’expressivitédesstructureslinéaires
et, par conséquent, améliorent la pertinence de la mesure de similarité. Cependant,
les noyaux basés sur des sacs de sous structures infinis sont calculés à partir d’une
énumérationimplicitedessousstructures.Cetteénumérationimplicitenepermetpas
d’analyserl’influencedechaquesousstructurepourunproblèmedeprédictiondonné.
Seuleuneinfluenceaprioribaséesurlatailleousurlenombredebranchementpeut
être incluse dans le calcul du noyau (Mahé et al., 2008). Au lieu de décomposer les
graphesenunensembleinfinidesousstructures,lenoyaupeutêtredéfiniàpartirde
ladistributiond’unensembleprédéfinidesousstructuresnonlinéaires(Shervashidze
etal.,2009;Gaüzéreetal.,2011).L’énumérationexplicitedessousstructurescalcu-
léeparcesméthodespermetd’appliquerdesméthodesdepondérationévaluantl’in-
fluencedechaquesousstructurepourunproblèmedeprédictiondonné.
Les méthodes décrites précédemment ne prennent pas en compte l’information
cyclique présente dans les molécules et encodées dans les graphes moléculaires.
Néanmoins, les cycles d’une molécules ont une forte influence sur les propriétés
physiques et chimiques de ces dernières. Par conséquent, cette information doit
être prise en compte lors du calcul de la similarité entre molécules. (Horváth et
al., 2004) propose de baser le calcul du noyau sur la similarité de l’ensemble des
cycles simples extraits de chaque graphe moléculaire à comparer. L’énumération de
4 L’objet.Volume8–n˚2/2005
l’ensemble des cycles simples étant complexe à calculer, cette méthode ne peut être
utilisée efficacement que lorsque les graphes possèdent un faible nombre de cycles
simples. Afin de réduire la complexité de l’énumération de l’ensemble des cycles
simples, (Horváth, 2005) propose d’utiliser un sous ensemble de cycles simples. Ce
sous ensemble est calculé itérativement à partir de l’ensemble des cycles pertinents,
telsquedéfinispar(Vismara,1997).Ensuite,lescyclessimplesadditionnelssontité-
rativement ajoutés en combinant les cycles pertinents avec les cycles précédemment
énumérés.Horváthamontréqu’unfaiblenombred’itérationsétaitsuffisantpourob-
teniruneprécisiondeprédictionsimilaireàcelleobtenueenutilisanttouslescycles
simples.
Danscetarticle,nousproposonsdansunpremiertempsd’étendrelaméthodedéfi-
niedans(Gaüzéreetal.,2011)auxsousstructuresétiquetéesafind’étendreledomaine
d’application de la méthode. Dans la Section 2, nous présentons un processus per-
mettantd’obteniruneclécanoniqueidentifiantl’étiquetagedechacunedesstructures
énuméréespar(Gaüzéreetal.,2011).Cetteclécanoniquepermetdedistinguerdeux
structures ayant un même étiquetage. Dans un second temps, la Section 3 présente
l’applicationdunoyausurtreeletsétiquetésaugraphedescyclespertinents.Cettese-
conde extension permet de prendre en compte l’information cyclique des molécules
afind’obtenirunemesuredesimilaritéplusprécise.DanslaSection4,nousproposons
trois approches permettant de réduire le nombre de sous structures prises en compte
dansle noyauafin d’améliorerlaprécision dela prédiction.Les noyauxdéfinissont
ensuitecomparésàdiversesméthodesdel’étatdel’artdanslaSection5surunpro-
blèmedeclassificationetunproblèmederégression.Cesdeuxexpériencesmettenten
relieflesavantagesapportésparl’énumérationdesousstructuresnonlinéairesoude
cyclesainsiqueparlapondérationdel’ensembledestreeletsénumérés.
2. Noyauxdetreeletsétiquetés
2.1. Énumérationdestreeletsnonétiquetés
Laméthodedécritedans(Gaüzéreetal.,2011)permetd’énuméreretcompterle
nombred’occurrencesd’unensemblefinidesousstructuresauseind’ungraphe.Les
sousstructuresénumérées,appeléestreelets,sontl’ensembledesarbresnonétiquetés
ayantunnombredenoeudsinférieurouégalà6.Lalimitesurlenombredenoeuds
est un compromis entre l’information représentée par les structures et la complexité
nécessairepourénumérerlestreeletsinclusdansunemolécule.Eneffet,commedé-
montrépar(Otter,1948),lenombredetreeletsnonétiquetésaugmenteexponentielle-
mentaveclenombredenoeuds.Deplus,l’influenced’unatomesurunepropriétéchi-
miquen’excèdepasengénéraltroisliaisonsatomiques(Isaacs,1987).Parconséquent,
augmenterlatailledestreeletsamèneraitunecontraintesurlesméthodesspécifiques
d’énumérationdetreeletssansapporteruneaugmentationsignificativedel’informa-
tion chimique incluse dans le modèle. L’ensemble des treelets est représenté dans la
Figure1.L’énumérationdecetensembleestuneextensiondel’énumérationdegra-
phletsproposéepar(Shervashidzeetal.,2009)etestprincipalementeffectuéeendeux
TreeletetNoyauxsurGraphes 5
G G G G
0 1 2 3
G4 G5 G6 G7
G8 G9 G10 G11
G G
12 13
Figure 1.Ensemble des arbres énumérés par la méthode définie en Section 2.1. Les
noeudsentourésreprésententlesn-étoiles.
étapes.Lapremièreétapeconsisteàénumérerlestreeletslinéairesenutilisantunere-
cherche en profondeur à partir de chaque sommet du graphe. Cette première étape
permet de calculer le nombre d’occurrences des treelets G à G . La seconde étape
0 5
énumère l’ensemble des motifs non linéaires en analysant le voisinage des treelets
spéciaux 3-étoile, 4-étoile ou 5-étoile. Ces treelets correspondent à des arbres com-
posés d’un noeud central de degré 3, 4 ou 5 ainsi que leurs noeuds incidents. Cette
premièreanalysedudegrédechaquenoeuddugraphepermetd’énumérerlestreelets
G ,G etG .Lestreeletsrestantssonténumérésgrâceàuneanalyseduvoisinage
6 8 13
desnoeudspériphériquesdechaquen-étoile.Unefoiscettesecondeétapeeffectuée,
un noyau peut être défini dans le cas de graphes non étiquetés en confrontant la fré-
quenced’apparitiondechaquetreeletdanslesdeuxgraphesàcomparer.
2.2. Énumérationdestreeletsétiquetés
Toutefois,lorsdel’utilisationdecetteméthodeavecdesgraphesétiquetés,untree-
letcorrespondàunmotif(Section2.1)associéàunétiquetage.Ainsi,deuxsousarbres
ayantunestructurecommuneetunétiquetagedifférentserontassociésàdeuxtreelets
différents.Afindedifférenciercestreelets,ilestpossibled’utiliserunedesméthodes
d’étiquetage canonique de molécules (Morgan, 1965; Kuramochi et al., 2004; Fau-
lon et al., 2004). Ces méthodes calculent une représentation canonique d’une mo-
lécule encodant à la fois la structure et l’étiquetage de la molécule. Cependant, ces
méthodesneséparentpasclairementl’informationstructurelledel’informationenco-
déeparl’étiquetage.Lecalculdecesreprésentationscanoniquesinduitdoncuncoût
de calcul supplémentaire étant donné qu’elles ne permettent pas de réutiliser l’iden-
tificationstructurellecalculéelorsdelapremièreétapedel’énumérationdestreelets
(Section2.1).
6 L’objet.Volume8–n˚2/2005
Danscetarticle,nousproposonsd’identifierchaquetreeletparuncodecomposé
dedeuxparties:unepremièrepartieencodantl’informationstructurelleetdéfiniepar
l’indexdelastructuredutreelet(G ,G ,etc.)ainsiqu’unesecondepartieencodant
0 1
l’étiquetagedutreelet.Cettesecondepartieestdéfinieparuneclécanoniquecorres-
pondantàunesuited’étiquettesdenoeudsetd’arêtes.Cetteséquenceestspécifiqueà
chaquestructureetestdéfiniedemanièreàcequedeuxtreeletsaientunmêmecode
sietseulementsiilssontisomorphes.
La définition de la clé est triviale pour les structures linéaires, i.e. les chemins.
Chaquecheminpeutêtreassociéàdeuxséquencescomposéesalternativementdeséti-
quettesdenoeudsetd’arêtes,chacunencodantlesdeuxparcourspossiblesduchemin.
Parconvention,lacléassociéeàunestructurelinéaireestdéfiniecommelaséquence
ayantleplusfaibleordrelexicographique.
Algorithme1Algorithmedecalculdel’étiquetageétendu,telquedéfiniparMorgan.
Entrées: G=(V,E)
Sorties: étiquetageétenduλ
∀v ∈V,λ =deg(v )
i i i
λ′ =λ
k =nombredeλ différents.
i
k =0
+1
whilek >k do
+1
k =k
+1
λ=λ′
∀v ∈V,λ′ = λ
i i vj∼vi j
k =nombredeλ′ différents.
+1 P i
endwhile
return λ
Soituntreeletnonlinéairet = (V,E,µ ,ν ),oùµ etν correspondentrespecti-
t t t t
vementauxfonctionsd’étiquetagedesnoeudsetdesarêtes.Laclécanoniquedéfinie
pourcesstructuresnonlinéairesestbaséesurleconceptdeconnectivitéétendue,tel
quedéfinidans(Morgan,1965).Ceconceptestbasésurunefonctiond’étiquetagede
noeudsλdeV surN,appeléeétiquetageétendu.Commedécritdansl’algorithme1,
Cettefonctionestdéfinieparunprocessusitératifquiinitialisechaqueétiquetteλ(v)
par le degré de v. Chaque noeud est ensuite ré-étiqueté par la somme des étiquettes
λ de ses noeuds voisins. Ce processus est itéré tant que le nombre d’étiquettes dis-
tinctes augmente. On peut noter que le nombre d’itérations est borné par le nombre
denoeudsdugraphepuisquelenombred’étiquettesdistinctespossibleestmajorépar
lenombredenoeudsdugraphe.L’algorithmen’utilisantquelastructuredesgraphes,
l’ensembledesétiquettesobtenuesestlemêmepourdeuxgraphesisomorphesetest
uniquepourchaquestructured’arbre.LaFigure2montrel’étiquetageétenducalculé
surlesstructuresnonlinéaires.Cetétiquetageétenducorrespondaudegrédesnoeuds
pourtouslestreeletssaufpourG etG oùplusieursitérationssontnécessairespour
9 10
différencierunmaximumdenoeuds.
TreeletetNoyauxsurGraphes 7
v1 1 v2 1 v1 1
v3 v0 v4 v3 v0 v4 v0 v2
1 3 1 2 3 1 4 1
G6 v21 G7 v1 1 v3 1 G8
v1 3 v1 3 1 v1
v3 v2 v0 v4 v5 v5 v4 v3 v0 v2 v0 v4 v5
2 4 5 4 2 2 3 5 4 1 4 2 1
G9 G10 v2 3 v3 1 G11
1 v1 v5 1 v1 1 v2 1
v v
0 3 v
3 3 v5 05 v3
1 v2 v4 1 1 1
G12 v4 1 G13
Figure2.Structuresnonlinéairesavecl’étiquetageétendudeMorgan.Lavaleurde
l’étiquetteétendueestindiquéeàproximitédechaquenoeud.Lespermutationspos-
sibles sont représentées par des noeuds en forme de carrés. Les différentes permu-
tationspossiblesdansunemêmestructuresontreprésentéespardesniveauxdegris
différents.
Puisquedeuxnoeudsadjacentsv etv′ d’untreeletpeuventêtrecomparéssuivant
λ(v) et λ(v′), l’étiquetage étendu définit un ordre partiel entre des noeuds adjacents
auseind’unmêmetreelet.Cetripartielpeutêtrereprésentéparunarbreenraciné.Les
treeletsG àG ontunétiquetageétenduavecunseulmaximumlocaletlesarbres
6 11
associéssontdoncenracinéssurcenoeud(Figure4(a)et(b)).LetreeletG possède
12
deuxmaximalocauxsituéssurlesnoeudsv etv .Cetreeletestdoncassociéàdeux
0 3
arbresenracinés,chacunayantpourracinev ouv (Figure4(c)à(e)).
0 3
Notre processus de construction de la clé canonique d’un treelet est basé sur un
parcours de l’arbre enraciné associé. La conception de la clé nécessite de trier les
noeudsenfantsdechaquenoeudinternedel’arbreafindedéfinirunparcoursunique
de l’arbre et donc une clé unique. Cette étape de tri est effectuée par la récursion
suivante : La clé de chaque feuille v, dénotée cle´(v), est définie par une étiquette
vide. Pour chaque noeud v interne de l’arbre, considérons son ensemble de noeuds
fils {v ,...,v }. Cet ensemble est premièrement trié selon λ(v ) et ensuite par la
1 n i
chaîne de caractère définie comme la concaténation de ν (v,v ), µ (v ) et cle´(v ).
t i t i i
Considérantcetrisur{v ,...,v },lacléassociéeaunoeudvestdéfiniepar:
1 n
n n
cle´(v)= ν (v,v ).µ (v ) . cle´(v ) [2]
t i t i i
!
i=1 i=1
K K
où représentel’opérateurdeconcaténation.Enutilisantcetterécursion,l’étiquette
de chaque noeud est encodée par la clé de son père. Afin de prendre en compte
J
8 L’objet.Volume8–n˚2/2005
l’étiquette de la racine, la clé d’un arbre enraciné sur le noeud r est définie comme
µ (r).cle´(r). Ce processus de calcul de clé pour un treelet est illustré par les Algo-
t
rithmes2et3.
LestreeletsG àG sontencodésparunseularbreenraciné,etleurscodesca-
6 11
noniquessontdéfiniscommel’indexdelastructure,concaténéaveclaclécalculéeà
partirduparcoursdel’arbre.PuisqueletreeletG estassociéàdeuxarbresenracinés
12
etdoncdeuxclés,soncodecanoniqueestdéfinicommel’indexdelastructure(G )
12
concaténéaveclapluspetitecléselonl’ordrelexicographique.
Laclédechaquetreeletcorrespondàlasuited’étiquettesd’arêtesetdesommets
rencontrés durant un parcours en profondeur effectué en suivant les index associés
à chaque noeud par la méthode de Morgan (Morgan, 1965), comme illustré dans la
Figure3.Toutefois,àladifférencedelareprésentationdeMorgan,notreclén’inclut
pasd’informationstructurelle,quiestencodéeparl’indexdelastructureassociéeau
treelet.
C
4 4
2 5 O 2
C C C O C
3
C
C C
(a) Treelet G9 et les (b) Arbre enraciné asso- (c) Codeassocié.
valeurs de connectivité cié.
étendues associées à
chaquesommet.
Figure3.Exempledeconstructiond’unecléàpartird’untreeletG étiqueté.
9
2.3. Cléetisomorphismedegraphe
Notreclécanoniqueestbaséesurl’étiquetageétenduquiestluimêmebasésurla
structuredutreeletainsiquesurlesfonctionsd’étiquetagedéfiniessurlesnoeudset
lesarêtes.Parconséquent,deuxtreeletsisomorphessontassociésàunemêmecléca-
nonique.Àl’inverse,puisqueilestpossibledeconstruireuntreeletlinéaireàpartirde
saclécanonique,deuxtreeletslinéairesayantlamêmeclésontisomorphes.Lestree-
letscorrespondantauxstructuresG àG peuventdoncêtreuniquementdéterminés
0 5
parleurclécanonique.
Notreprocessusdeconstructiondelaclétriantenprioritélesnoeudsenfonction
deleurcléétendue,l’étiquetted’unnoeudayantuneétiquetteétendueuniqueserasi-
tuéeàunepositionfixedanslacléassociéeàcetreelet.L’étiquetted’untelnoeudpeut
TreeletetNoyauxsurGraphes 9
Algorithme2Calculdeclé.
Entrées: Treelett=(V,E,µ,ν),λ
Sorties: Clé(t)
r =max λ(v)
v∈V
if|r|<2then
clé=µ(r).clé-rec(r)
else
clé_r1=µ(r(1)).clé-rec(r(1))
clé_r2=µ(r(2)).clé-rec(r(2))
ifclé_r1>clé_r2then
clé=clé_r1.ν(r(1),r(2)).clé_r2
else
clé=clé_r2.ν(r(1),r(2)).clé_r1
endif
endif
return clé
Algorithme3clé-rec(v).
Entrées: Treelett=(V,E,µ,ν),λ,v ∈V
Sorties: Clé(v)
formax(λ)→k =0do
forv ∈Γ+(v)|λ(v)==kdo
i
clé_partielle(v )=ν(v,v ).µ(v ).clé-rec(v )
i i i i
endfor
trier(clé_partielle)
clé=clé.clé_partielle
endfor
donc être retrouvée sans ambiguïté depuis la clé canonique. Toutefois, un ensemble
denoeudsfils{v ,...,v }possédantlesmêmesétiquettesétenduesetayantlemême
1 n
noeud parent v seront triés selon l’ordre lexicographique de la suite d’étiquettes de
noeudsetd’arêtesµ (v )ν (v,v )cle´(v ).Cetripermetd’obtenirunecléuniquepour
t i t i i
deux treelets isomorphes mais ne permet pas de différencier entre les permutations
des noeuds {v ,...,v }. Il est donc nécessaire de vérifier, pour chaque treelet, que
1 n
les permutations de noeuds autorisées par notre code correspondent à un treelet iso-
morphe.
LesnoeudsayantunemêmeétiquetteétenduedanslesstructuresG ,G ,G ,G ,
6 7 8 10
G et G sont représentés dans la Figure 2 par des carrés noirs ( ). Pour chaque
11 12
structure,cesnoeudsayantunemêmeétiquetteétendueetdedegréunsontlesnoeuds
filsdel’uniquenoeudauxquelsilssontconnectés.Parconséquent,notreclénediffé-
renciepas lespermutations parmices noeuds. Puisqueces noeudsontun degréégal