Nonnegatively curved five manifolds with non-abelian symmetry

50 Pages·2013·0.47 MB·English

Instituto de Matemática Pura e Aplicada
Doctoral Thesis
NONNEGATIVELY CURVED FIVE-MANIFOLDS
WITH NON-ABELIAN SYMMETRY
Fabio Luiz Borges Simas
Rio de Janeiro
September 28th, 2012

Instituto de Matemática Pura e Aplicada
Fabio Luiz Borges Simas
NONNEGATIVELY CURVED FIVE-MANIFOLDS
WITH NON-ABELIAN SYMMETRY
Thesis presented to the Post-graduate Program in Mathematics at
Instituto de Matemática Pura e Aplicada as partial fulfillment of
the requirements for the degree of Doctor in Philosophy in Math-
ematics.
Advisor: Luis Adrián Florit
Co-advisor: Wolfgang Ziller
Rio de Janeiro
2012

Ao meu filho, Gael.

Agradecimentos
AGRADEÇO...
aos meus orientadores Luis Adrián Florit e Wolfgang Ziller por terem sido muito mais que dois,
por desempenharem os papéis de orientadores, colaboradores, revisores e também de amigos
fundamentais para estes dias difíceis que se passaram;
ao Impa e a todos os seus funcionários e pesquisadores pelo acolhimento, pela competência
para lidar com minhas necessidades acadêmicas. Pela determinação e eficiência de todas essas
pessoas em cumprir os nobres objetivos da instituição;
ao CNPq por viabilizar esta jornada através do auxílio financeiro na maior parte da minha
vida acadêmica;
à Unirio por me fornecer condições de trabalho adequadas para realizar minha pesquisa em
um ambiente acolhedor e amistoso;
aos amigos e familiares que mais ou menos presentes durante este tempo foram fundamentais
no meu equilíbrio emocional. Não ouso nomeá-los porque seria impossível fazê-lo sem esquecer
alguém certamente inesquescível;
às garotas que fizeram parte deste último ano por me servirem de inspiração para a conclusão
deste trabalho. Por motivos óbvios estes nomes não constarão nestes Agradecimentos.
Finalmente, agradeço à vida por me ter feito amadurecer nestes anos, por me ter confiado um
filho que me proporciona tantos momentos lindos e também por me ensinar novas maneiras de
viver e amar.

Resumo
Sejam G um grupo de Lie conexo não-abeliano e M uma G-variedade compacta e simples-
mente-conexa de dimensão 5. Mostramos que M tem que ser difeomorfa à esfera, a somas
conexas de cópias de S3 × S2, ao fibrado não-trivial de S3 sobre S2, ou a somas conexas
arbitrárias de cópias da variedade de Wu, SU(3)/SO(3), e cópias da variedade de Brieskorn
do tipo (2,3,3,3). Esta descrição é baseada na classificação que fazemos de todas estas ações
para G = SU(2) ou SO(3).
Como consequência destes resultados puramente topológicos, provamos que as variedades
M que admitem métricas invariantes pela ação de G com curvatura (seccional) não-negativa
são precisamente a esfera, o produto S3×S2, o fibrado não-trivial de S3 sobre S2 e a variedade
de Wu. Descrevemos completamente as ações de G nestas variedades.
A partir desta classificação equivariante fazemos uma classificação parcial das G-variedades
de dimensão 5 compactas e simplesmente-conexas com curvatura positiva.