Non-spectral asymptotic analysis of one-parameter operator semigroups

180 Pages·2007·1.036 MB·English

by  Eduard Yu. Emel'yanov

Operator Theory: Advances and Applications
Vol. 173
Editor:
I. Gohberg
Editorial Office: S. T. Kuroda (Tokyo)
School of Mathematical P. Lancaster (Calgary)
Sciences L. E. Lerer (Haifa)
Tel Aviv University B. Mityagin (Columbus)
Ramat Aviv, Israel V. Olshevsky (Storrs)
M. Putinar (Santa Barbara)
L. Rodman (Williamsburg)
Editorial Board:
D. Alpay (Beer-Sheva) J. Rovnyak (Charlottesville)
J. Arazy (Haifa) D. E. Sarason (Berkeley)
A. Atzmon (Tel Aviv) I. M. Spitkovsky (Williamsburg)
J. A. Ball (Blacksburg) S. Treil (Providence)
A. Ben-Artzi (Tel Aviv) H. Upmeier (Marburg)
H. Bercovici (Bloomington) S. M. Verduyn Lunel (Leiden)
A. Böttcher (Chemnitz) D. Voiculescu (Berkeley)
K. Clancey (Athens, USA) D. Xia (Nashville)
L. A. Coburn (Buffalo) D. Yafaev (Rennes)
R. E. Curto (Iowa City)
K. R. Davidson (Waterloo, Ontario) Honorary and Advisory
R. G. Douglas (College Station) Editorial Board:
A. Dijksma (Groningen) C. Foias (Bloomington)
H. Dym (Rehovot) P. R. Halmos (Santa Clara)
P. A. Fuhrmann (Beer Sheva) T. Kailath (Stanford)
B. Gramsch (Mainz) H. Langer (Vienna)
J. A. Helton (La Jolla)
P. D. Lax (New York)
M. A. Kaashoek (Amsterdam)
M. S. Livsic (Beer Sheva)
H. G. Kaper (Argonne)
H. Widom (Santa Cruz)
Subseries: Advances in Michael Demuth
Partial Differential Equations Technische Universität Clausthal
Germany
Subseries editors:
Bert-Wolfgang Schulze Jerome A. Goldstein
Universität Potsdam The University of Memphis, TN
Germany USA
Sergio Albeverio Nobuyuki Tose
Universität Bonn Keio University, Yokohama
Germany Japan
Non-spectral
Asymptotic Analysis
of One-Parameter
Operator Semigroups
Eduard Yu. Emel’yanov
Birkhäuser Verlag
. .
Basel Boston Berlin
Author:
Eduard Yu. Emel’yanov
Department of Mathematics
Middle East Technial University
06531 Ankara
Turkey
e-mail: [email protected]
(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:27)(cid:39)(cid:19)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:26)(cid:36)(cid:22)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:26)(cid:36)(cid:28)(cid:28)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:25)(cid:37)(cid:19)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:25)(cid:37)(cid:23)(cid:21)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:25)(cid:47)(cid:24)(cid:24)(cid:15)(cid:3)
(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:20)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:22)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:37)(cid:19)(cid:26)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:37)(cid:25)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:37)(cid:25)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:39)(cid:19)(cid:26)
(cid:47)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:87)(cid:85)(cid:82)(cid:79)(cid:3)(cid:49)(cid:88)(cid:80)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:29)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:25)(cid:28)(cid:22)(cid:26)(cid:23)(cid:25)(cid:28)
(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)
(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:191)(cid:72)(cid:30)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:72)(cid:71)(cid:3)
(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:89)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:44)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:87)(cid:3)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:31)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:71)(cid:81)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:71)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:17)
(cid:44)(cid:44)(cid:54)(cid:54)(cid:37)(cid:37)(cid:49)(cid:49)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:16)(cid:28)(cid:26)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:27)(cid:22)(cid:16)(cid:16)(cid:22)(cid:26)(cid:16)(cid:24)(cid:26)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:16)(cid:23)(cid:24)(cid:23)(cid:22)(cid:26)(cid:3)(cid:37)(cid:16)(cid:23)(cid:27)(cid:76)(cid:16)(cid:85)(cid:23)(cid:19)(cid:78)(cid:75)(cid:28)(cid:108)(cid:24)(cid:88)(cid:16)(cid:86)(cid:22)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:3)(cid:37)(cid:57)(cid:72)(cid:76)(cid:85)(cid:85)(cid:79)(cid:78)(cid:68)(cid:75)(cid:74)(cid:15)(cid:108)(cid:3)(cid:37)(cid:88)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:72)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:3)(cid:3)(cid:177)(cid:57)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:82)(cid:79)(cid:86)(cid:68)(cid:87)(cid:82)(cid:74)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:3)(cid:177)(cid:37)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:72)(cid:86)(cid:85)(cid:72)(cid:79)(cid:76)(cid:79)(cid:81)(cid:3)(cid:177)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:177)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:76)(cid:81)
(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)
(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)
(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:69)(cid:85)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:70)(cid:68)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:85)(cid:82)(cid:191)(cid:79)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:90)(cid:68)(cid:92)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)
(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:69)(cid:68)(cid:81)(cid:78)(cid:86)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:78)(cid:76)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:80)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:3)(cid:69)(cid:72)
obtained.
(cid:139)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:26)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:51)(cid:17)(cid:50)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:91)(cid:3)(cid:20)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:43)(cid:16)(cid:23)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
(cid:51)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:14)(cid:37)(cid:88)(cid:86)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:48)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:68)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:70)(cid:76)(cid:71)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:70)(cid:75)(cid:79)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:79)(cid:83)(cid:17)(cid:3)(cid:55)(cid:38)(cid:41)(cid:3)(cid:102)
(cid:38)(cid:82)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:86)(cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:43)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:93)(cid:3)(cid:43)(cid:76)(cid:79)(cid:87)(cid:69)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:19)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:19)(cid:28)(cid:24)(cid:16)(cid:19)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:19)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:20)(cid:20)(cid:23)(cid:16)(cid:19)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:22)(cid:29)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:19)(cid:28)(cid:24)(cid:16)(cid:22)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:22)(cid:29)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:20)(cid:20)(cid:23)(cid:16)(cid:20)
(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:3)(cid:25)(cid:3)(cid:24)(cid:3)(cid:23)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:21)(cid:3)(cid:20)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:69)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:68)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:17)(cid:70)(cid:75)
Contents
Preface vii
1 Elementary theory of one-parameter semigroups 1
1.1 Mean ergodic theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Elementary theory of C0-semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Constrictive and quasi-constrictive semigroups . . . . . . . . . . . 43
2 Positive semigroups in ordered Banach spaces 65
2.1 Ordered Banach spaces, constrictors, domination . . . . . . . . . . 65
2.2 Positive semigroups in Banach lattices . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3 Positive semigroups and geometry of Banach lattices . . . . . . . . 102
3 Positive semigroups in L1-spaces 117
3.1 Mean ergodicity of positive semigroups in L1-spaces . . . . . . . . 117
3.2 Stability and lower-bounds for positive semigroups in L1-spaces . . 135
3.3 Positive semigroups in non-commutative L1-spaces . . . . . . . . . 144
Bibliography 159
List of special symbols 173
Preface
The concept of one-parameter operator semigroups is one of the oldest and most
well studied parts of the theory of operators in Banach spaces. It was developed
in the middle of the last century as a natural approach to investigation of PDEs
and has proved to have many useful and important applications. It is difficult
to observe this concept in its entirety, in the sense that there are dozens of text-
booksandthousandsofresearchpapersdirectlyrelatedtoone-parameteroperator
semigroups.We do not attempt such an overview in this book but devote our at-
tention to some relatively new topics from this theory. Namely, we present and
discuss some non-spectral methods that have been developed over the last two
decades for the investigation of asymptotic behavior of operator semigroups.
Thebookhasthreechapters.Thefirstchapter(withtheexceptionofSection
1.3) contains standard background on operator semigroups. It is addressed to
graduatelevelstudents.InSection1.1wepresentseveralbasicergodictheoremsfor
one-parametersemigroups.Wediscussherealmostperiodicityandmeanergodicity
ofoperatorsemigroupsandpresentsuchimportantresultsastheJacobs–Deleeuw–
Glicksberg splitting theorem and the Eberlein mean ergodic theorem. In Section
1.2wediscussbrieflythe spectraltheoryofC0-semigroups.Wehaveonlyone,but
quitedifficultproblem,whichistofindawaytomakeourexplanationshortenough
for a first introduction. All results presented in Sections 1.1 and 1.2 (as well as
manyothersrelatedtoC0-semigroups)canbefoundinstandardtextbooksonC0-
semigroups.Then, in Section 1.3 (the content of which is not quite standard), we
deal with a very interesting class of one-parameter semigroups — asymptotically
finite dimensional semigroups.
Maintools inthe investigationofC0-semigroupsarethe notionsofa genera-
torandanalysisofitsspectralproperties.Sucha“spectral”approachtothestudy
ofC0-semigroupsiswellknownanditcanbefoundinstandardtextbooksandre-
searchmonographs[13],[41],[48],[57],[80],[89],[104],[130],etc.(seealsoSection
1.2). However, in many important cases, this approach does not work satisfacto-
rily,particularlyin the investigationofasymptotic propertiesofC0-semigroupsof
Markovoperators.Recently,essentialprogresswasmadeinthedevelopingofnon-
spectral methods in analysis of one-parameter Markov semigroups in L1-spaces,
motivated by applications to probability theory and dynamical systems. These
methods and their applications are reflected in the excellent book of Lasota and
Mackey [71].
viii Preface
The subject of the second and the third chapters is completely new and
not covered in other books, with the exception, that some theorems on Markov
operators in commutative L1-spaces are explained in the above mentioned book
[71]. In this part of our book, we give very recent results on non-spectral analy-
sis of asymptotic behavior of positive semigroups and discuss open problems on
semigroups of positive operators in ordered Banach spaces.
Inthesecondchapter,wedevelopsomenon-spectralmethodsfortheasymp-
totic analysis of positive one-parameter operator semigroups in ordered Banach
spaces.We introduce twoclassesof orderedBanachspaceswhich include classical
Lpspacesfor1≤p<∞aswellaspredualsofvonNeumannalgebras.Mostresults
of Section 2.1 are about the asymptotic behavior of positive one-parameter oper-
ator semigroups in these spaces. Section 2.2 is devoted to positive semigroups in
Banachlattices.Inthissectionwepresentsometheoremsoninheritanceofasymp-
totic properties of positive semigroups under the domination, and some theorems
concerningthemeanergodicityofpositivesemigroups.TheninSection2.3wedis-
cussseveralproblemsonthegeometryofBanachspaces,relatedtoone-parameter
operator semigroups.
In the third chapter, we investigate positive semigroups in L1-spaces and in
predualsofvonNeumannalgebras.Westudymainlythefollowingtwoasymptotic
problems. The first one is: under what conditions is a one-parameter operator
semigroup mean ergodic, almost periodic, or asymptotically stable? The second
problem concerns preserving under domination of various asymptotic properties
of positive semigroups.
The important aim of the second and the third chapter of the book is an
attempt to unify recent results,proofs,and terminology fromvarious sources.We
try to present them in a reasonable manner for the potential reader. The author
hopes that the bibliography is considerably complete.
The major theorems are usually given with proofs. Only in the case of the
proof being too long or involving special methods, the author prefers to send the
reader to standard textbooks. At the end of each section we put a supplement,
which includes related results, historical notes, exercises, and open problems. In
thesesupplementsweusuallyomitproofsorleavethemasexercisesforthereader.
We assume that the reader is familiar with the basic functional analysis and op-
erator theory, and refer for the more advanced technique to special monographs.
Iamindebtedtomany.IthankManfredWolffformanyfruitfuldiscussionson
thisbook,mywifeSvetlanaGorokhovaforhelpinginpreparingofthemanuscript,
Safak Alpay, Ali Binhadjah, Zafer Ercan, Konstantin Storozhuk, Vladimir Troit-
sky, and many others for careful reading of the early versions of this book and
suggesting of many improvements. I thank the Alexander von Humboldt Foun-
dation for generous support during my stay in 2000–2002 at the University of
Tu¨bingen, where the significant part of the work on the second and the third
chapters of the book was done.
Ankara, October 2006 Eduard Yu. Emel’yanov
Chapter 1
Elementary theory of
one-parameter semigroups
In the first chapter of the book, we give an introduction to the theory of one-
parameter operator semigroups. We begin with the splitting theorem of Jacobs–
Deleeuw–Glicksberg and the Eberlein mean ergodic theorem for a one-parameter
operator semigroup. Then we present the elementary theory of C0-semigroups
and discuss some relations between spectral properties of the generator of a C0-
semigroup and its asymptotic behavior. We follow the standard textbooks [13],
[48], [57], [67], [74], [80], [130], and send the reader for other deep and delicious
topics of this theory to those books and to [17], [67], [87], [41], [89]. In the last
section, we discuss the asymptotically finite-dimensional semigroups. We use fre-
quentlywell-knownresultsfromoperatortheoryandfunctionalanalysis,andsend
the reader to standard textbooks [2], [74], [105], and [130] for them.
1.1 Mean ergodic theorems
In this section we give the main definitions concerning operator semigroups and
prove in the one-parameter case the important and rich on applications Jacobs–
Deleeuw–Glicksberg’s theorem, and we discuss some elementary applications of
this theorem. Then we give several basic mean ergodic theorems adapted to one-
parameter semigroups. We consider mainly the discrete case and refer the reader
for its various generalizations to Krengel’s book [67].
1.1.1 Given a real or complex Banach space X, we denote by L(X) the set of
all bounded linear operators in X equipped with the operator norm
(cid:3)T(cid:3):= sup (cid:3)Tx(cid:3).
(cid:1)x(cid:1)≤1
2 Chapter 1. Elementary theory of one-parameter semigroups
It is well known that L(X) = (L(X),(cid:3)·(cid:3)) is a Banach algebra. In addition to
the normtopology,wealsoconsiderthestrongandtheweak operatortopologyon
L(X). We shall frequently use the complexification of a real vector space and of
operators acting on it (see [2] and Exercises 1.1.41, 1.1.42, 1.1.43, and 1.1.44 at
the end of this section).
Thesubjectofthisbookisone-parametersemigroupsinL(X).Anon-empty
subset A⊆L(X) is called a semigroup if
T,S ∈A⇒T ◦S ∈A (∀ T,S ∈A).
A semigroup A is called abelian if
T ◦S =S◦T (∀ T,S ∈A).
Thedefinitionsofanidempotent,unit,nilpotent,andinverseelementarestandard.
Whenever a semigroup has a unit, and every element is invertible, the semigroup
becomesa group. AsubsetB ofa semigroupA is calledanideal if A◦B◦A⊆B.
Weshallstudymainlyoperatorsemigroupsindexedbynon-negativeintegers
or non-negative reals (we call them one-parameter semigroups). Obviously, any
one-parameter semigroup is abelian. If a semigroup is indexed by R+, we always
assume that it is strongly continuous, that is
lim(cid:3)Ts+tx−Tsx(cid:3)=0 (∀s≥0, x∈X).
t→0
Let us use the notation (Tt)t≥0 for a one-parametersemigroup in the continuous-
parameter case, and (Tn)∞ for the discrete semigroup, generated by a single
n=1
operatorT.Inthefollowing,wealsousethe notationT =(Tt)t∈J (whereJ =R+
or J =N∪{0}) for any one-parameter semigroup.
We shall assume that any continuously parametered semigroup T =(Tt)t≥0
satisfies T0 = I (where I = IX denotes the identity operator in X). Such a semi-
groupiscalledaC0-semigroup.ThetheoryofC0-semigroupsisaveryoldandrich
partofthe theoryofoperators,whichpossessesmanyimportantapplications.We
give an introduction to this theory in Section 1.2.
A semigroup T is called bounded if
MT :=sup{(cid:3)T(cid:3):T ∈T}<∞.
An operator T is called power bounded if the semigroup(Tn)∞ is bounded. T is
n=0
called doubly power bounded if T is invertible and sup{(cid:3)Tn(cid:3):n∈Z}<∞.
Throughout the book, we mainly deal with bounded semigroups. Given a
bounded semigroup T, we define an equivalent norm (cid:3)·(cid:3)T:
(cid:3)x(cid:3)T :=sup{(cid:3)Tx(cid:3):T ∈T} (x∈X).
Our semigroup is contractive with respect to this new norm, i.e.,
(cid:3)Tx(cid:3)T ≤(cid:3)x(cid:3)T (∀ T ∈T,x∈X).
1.1. Mean ergodic theorems 3
1.1.2 The following class of operators is a starting point for the important
notionofalmostperiodicity.AnoperatorT iscalledperiodicifTp+1 =T forsome
p∈N. If T is a periodic operator, then
per :=inf{m≥1:T =Tm+1}
T
iscalledthe period ofT.Inthis case,TperT is aprojection.Any periodic operator
T, obviously, has the property that any orbit {Tnx}∞ is a finite and therefore
n=0
compact subset of X. This observation leads to the following definition.
Definition 1.1.1. A one-parameter operator semigroup T in a Banach space X
is called (weakly) almost periodic whenever the orbit Tx = {Ttx}t∈J is (weakly)
precompact for any x ∈ X. An operator T ∈ L(X) is called (weakly) almost
periodic if the semigroup (Tn)∞ is (weakly) almost periodic.
n=0
Itisaneasyexercisetoshowthat T is (weakly)almostperiodiciff,forevery
x ∈ X and every sequence (t )∞ in J converging to ∞, there is a subsequence
n n=1
(t )∞ of (t )∞ such that the limit
nk k=1 n n=1
(cid:1) (cid:2)
w− lim T x (cid:3)·(cid:3)− lim T x
k→∞ tnk k→∞ tnk
exists. By the uniform boundedness principle, any weakly almost periodic semi-
groupis bounded.In many cases,the converseis alsotrue.For example,since the
closed unit ball of a reflexive Banach space is weakly compact, we have (due to
the Eberlein–Smulian theorem) the following result.
Theorem 1.1.2. Any bounded one-parameter semigroup T in a reflexive Banach
space is weakly almost periodic. (cid:1)
A one-parameter semigroup T = (Tt)t∈J in X is called strongly stable if
(cid:3) · (cid:3)-lim T x exists for all x ∈ X. An operator T ∈ L(X) is called strongly
t
t→∞
stable whenever the semigroup T = (Tn)∞ is strongly stable. Of course, any
n=0
strongly stable semigroup is almost periodic. Remark that some authors use the
term “(strongly) stable semigroup” if lim (cid:3)T x(cid:3)=0 for all x∈X.
t
t→∞
We say that an operator T ∈ L(X) has finite rank if dimT(X) < ∞. In
this case we denote dimT(X) by rank(T). An operator T is called asymptotically
periodic whenever there exists a periodic operator Q of finite rank such that the
sequence(Tn−Qn)∞ convergesto0inthestrongoperatortopology.Inthiscase,
n=0
aper := per is called the asymptotic period of T. Any asymptotically periodic
T Q
operator is almost periodic.
In Chapters 2 and 3, we shall study in detail strongly stable and asymptoti-
cally periodic semigroups of positive operators.
1.1.3 The next proposition reduces the notion of almost periodicity of a one-
parameter semigroup to its special case, namely, almost periodicity of a single
operator.