Noch mehr Analysis: Mehrdimensionale Integration, Fouriertheorie, Funktionentheorie

369 Pages·2015·2.517 MB·German

by  Jürgen Pöschel (auth.)

Jürgen Pöschel
Noch mehr
Analysis
Mehrdimensionale Integration –
Fouriertheorie – Funktionentheorie
Noch mehr Analysis
Jürgen Pöschel
Noch mehr Analysis
Mehrdimensionale Integration,
Fouriertheorie, Funktionentheorie
JürgenPöschel
FachbereichMathematik
UniversitätStuttgart
Stuttgart,Deutschland
ISBN978-3-658-05853-1 ISBN978-3-658-05854-8(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-05854-8
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Für
Sima
Amiskwia
Muriel
Vorwort
Nach Etwas Analysis und Etwas mehr Analysis ist dies der dritte Band einer
EinführungindieGrundlagenderAnalysis.DieersteHälfteistdemLebesgue-
integralundderIntegrationinhöherenDimensionengewidmet.Danachfolgen
dieGrundlagenderLp-Räume,derFouriertheorieundderDistributionen.Den
AbschlussbildeteinekurzeEinführungindieFunktionentheoriebishinzum
Residuenkalkül.
DieGrundlegungdesn-dimensionalenLebesgueintegralskommtvölligoh-
neklassischeMaßtheorieaus,diefürStudienanfängerohnehinschwerzugäng-
lichist.Stattdessenbeginnenwir,wiebeimCauchyintegral,mitdemIntegral
vonTreppenfunktionen,wofürlediglicheineMaßfunktionfürn-dimensionale
Intervallebenötigtwird.Diesistflexibelgenug,umauchdasLebesgue-Stieltjes-
Integral und diskrete Masseverteilungen einzuschließen, vermeidet aber die
Mühen,Maßeaufσ-Algebrenzukonstruieren.
DerhierbeschriebeneZuganggehtübrigensaufdieAnalysisvorlesungen
vonHirzebruchinden60-erJahrenzurück[10]undscheintbisherkaumSpuren
inderdeutschenLehrbuchliteraturhinterlassenzuhaben.
DaszweiteKapitelwidmetsichspeziellderhöherdimensionalenIntegrati-
on,genauerdemSatzvonFubiniundderTransformationsformel.Beiletzterer
folgen wir einer sehr schönen Darstellung von Lax [11, 12], der die Transfor-
mationsformelaufdeneindimensionalenFundamentalsatzzurückführtund
mühsamemehrdimensionaleApproximationenvölligvermeidet.IndieserForm
kannderBeweistatsächlichdenStudentinnenundStudenteninderVorlesung
vorgeführt werden. Ein Nebenprodukt ist der Mittelwertsatz im Rn und der
BrouwerscheFixpunktsatz.DieserBeweisderTransformationsformelscheintin
derdeutschenLehrbuchliteraturebenfallsneuzusein.
ImdrittenundviertenKapitelfolgtderSatzvonStokes,alsoderhöher-
dimensionaleFundamentalsatz,zuerstim Rn unddannaufMannigfaltigkeiten.
HierfürentwickelnwirdennötigenKalkülderDifferenzialformen,wobeiwir
demelegantenBüchleinvonSpivak[8]folgen.DieklassischenSätzederVektor-
analysiswerdenhiernatürlichauchbesprochen.
DienächstenvierKapitelbetrachtenLp-Räume,FourierreihenundFourier-
integralesowieDistributionen.HierwerdennotwendigerweiseauchErgebnisse
derFunktionalanalysisbenötigt.EinigedavonwerdenimTextentwickelt,für
tieferliegendeResultateverweisenwiraufdieLiteratur,insbesonderedasschö-
neBüchleinvonHirzebruch-Scharlau[3]unddasStandardwerkvonRudin[6].
DerZugänglichkeitdesTextessolltedieskeinenAbbruchtun.
DasletzteKapitelentwickeltdieFunktionentheoriebiszumResiduenkal-
külundistunabhängigvondenübrigenKapiteln.EsbenötigtnurdasCauchyin-
tegralausdemerstenBandundkönntedaherauchdirektnachdermehrdimen-
sionalenDifferenzialrechnungdeszweitenBandesgelesenwerden.Einkleiner
AkzentisthierderBeweisdesFundamentalsatzesderAlgebradirektausder
CauchyschenIntegralformel,alsoohneMaximumprinzipundSatzvonLiouville,
denwirdemBüchleinvonLax&Zalcman[13]entnommenhaben.
Aufgaben WiedergibteszuallenKapitelnzahlreicheAufgaben,und
dieLeserinundderLesersolltenweiterhinversuchen,sovielewiemöglichzu
bearbeiten.LösungengibtesaufderWebseitewww.etwas-analysis.dedes
erstenBandes.
ZumUmfang NatürlichgehtderUmfangdiesesBandüberdashinaus,
wasineinemdrittenSemesterbehandeltwerdenkann.InsbesonderedieKapitel
5–8gehörenmeistineineHöhereAnalysis.AndererseitssindKapitel1–4,Kapi-
tel9sowiedieKapitel5–8ausEtwasmehrAnalysisunabhängigvoneinanderund
könnenbeliebigpermutiertwerden,sodasssichderStoffandieBedürfnisse
einerdreisemestrigenVorlesunganpassenlässt.
Zur Notation Ein Verweis wie1.9.23 bezieht sich auf den ersten Band
EtwasAnalysis,und2.4.3 aufdenzweitenBandEtwasmehrAnalysis.Mit[3]wird
wieüblichaufdiekurzeLiteraturlisteverwiesen.
Zum Schluss Wieder bin ich Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch zu
großemDankverpflichtetfürdieangenehme,unkomplizierteundsehreffiziente
ZusammenarbeitmitdemSpringer-Verlag.
Nagold,den30.Juni2014
Inhaltsverzeichnis
1 Das Lebesgueintegral
1.1 Intervallfunktionen 2
1.2 Treppenfunktionen 10
1.3 MonotonapproximierbareFunktionen 16
1.4 MessbareFunktionen 20
1.5 IntegrierbareFunktionen 25
1.6 MessbareMengen 29
1.7 ParameterabhängigeIntegrale 31
Aufgaben 34
2 Integration im Rn
2.1 DerSatzvonFubini 38
2.2 ZerlegungenderEins 45
2.3 DieTransformationsformel 50
2.4 DerSatzvonSard 56
2.5 AnwendungenderTransformationsformel 58
Aufgaben 62
3 Der Fundamentalsatz im Rn
3.1 EtwasmultilineareAlgebra 66
3.2 Differenzialformen 74
3.3 Ketten 81
3.4 DerFundamentalsatz 84
Aufgaben 88
4 Der Satz von Stokes
4.1 Mannigfaltigkeiten 92
4.2 Vektorfelder,Formen,Orientierung 100
4.3 DerSatzvonStokes 108
4.4 DasVolumenelement 115
4.5 DieklassischenSätze 118
4.6 ZweiAnwendungen 124
Aufgaben 126
x Inhaltsverzeichnis
5 Lp-Räume
5.1 DefinitionderRäume 130
5.2 Vollständigkeit 138
5.3 Einbettungen 141
5.4 Dualräume 147
5.5 Faltungen 150
5.6 ApproximativeEinheiten 153
Aufgaben 157
6 Fourierreihen
6.1 Hilberträume 168
6.2 OrthonormaleBasen 173
6.3 Fourierreihen 183
6.4 Fourierkoeffizienten 190
6.5 Gleichmäßige&punktweiseKonvergenz 193
6.6 GemittelteKonvergenz 200
6.7 Divergenz 204
Aufgaben 210
7 Fouriertransformation
7.1 DefinitionundUmkehrsatzinL1 216
7.2 ElementareEigenschaften 220
7.3 DerSchwartzraum 224
7.4 DieFouriertransformationimSchwartzraum 227
7.5 DieFouriertransformationinL2 231
7.6 Fouriermultiplikationsoperatoren 233
Aufgaben 237
8 Distributionen
8.1 TestfunktionenundDistributionen 240
8.2 Rechenregeln 246
8.3 Darstellungssätze 252
8.4 TemperierteDistributionen 255
8.5 Fundamentallösungen 262
Aufgaben 270
Inhaltsverzeichnis xi
9 Funktionentheorie
9.1 KomplexeDifferenzierbarkeit 274
9.2 DerCauchyscheIntegralsatz 278
9.3 DieCauchyscheIntegralformel 288
9.4 HolomorpheFunktionen 302
9.5 MeromorpheFunktionen 315
9.6 Laurentreihen 318
9.7 DieWindungszahl 326
9.8 ResiduensatzundSatzvonRouché 331
9.9 BerechnungvonIntegralen 340
Aufgaben 349
Literatur 353
Index 354
Bezeichnungen 360