Nichtlineare Regelungssysteme: Ein differentialalgebraischer Ansatz

338 Pages·2002·8.489 MB·German

by  Dr. Torsten Wey (auth.)

Torsten Wey
Nichtlineare
Regelungssysteme
Ein differentialalgebraischer Ansatz
Torsten Wey
Nichtlineare Regelungssysteme
Ein differentialalgebraischer Ansatz
Torsten Wey
Nichtlineare Regelungssysteme
Ein differentialalgebraischer Ansatz
Mit 80 Abbildungen und 13 Tabellen
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Die Deutsche Bibliothek-CIP-Einheitsaufnahme
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der Deutschen Bibliothek erhältlich.
Dr. Torsten Wey ist Abteilungsleiter im Bereich "Globale Fahrzeugdynamik" der Ford AG Köln und
habilitierte sich an der Universität Duisburg.
Von der Fakultät für lngenieurwissenschaften, Abteilung Maschinenbau der Gerhard-Mercator
Universität Duisburg genehmigte Habilitationsschrift.
Tag der Verleihung der Lehrbefähigung: 17. Januar 2001
1. Auflage August 2002
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2002
Ursprünglich erschienen bei B. G. Teubner Stuttgart/Leipzig!Wiesbanden 2002
www.teubner.de
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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN 978-3-519-00395-3 ISBN 978-3-663-12258-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-12258-6
Vorwort
Ziel des vorliegenden Buches ist eine in sich geschlossene Beschreibung der Dif
ferentialalgebra, zunächst im Hinblick auf ihre Eigenschaft als mathematischer
Ansatz und anschließend bei der Betrachtung nichtlinearer Regelungssysteme. In
dem Kontext der (nichtlinearen) Regelungstheorie werden außerdem Parallelen so
wie Unterschiede zu bereits etablierten mathematischen Ansätzen, insbesondere
der Differentialgeometrie, aufgezeigt.
Die Diskussion von Regelungssystemen ist ein zentraler Bestandteil der Ausarbei
tung, daher orientiert sich die inhaltliche Struktur stark an den Begriffen System
und Systemtechnik. Eine Beschreibung hierfür geben Ellis und Ludwig (1962):
Ein System ist ein Mittel, ein Verfahren oder ein Schema, welches sich
entsprechend einer Beschreibung verhält; seine Funktion besteht dar
in, Information und/oder Energie und/oder Stoff in einer bestimmten
Zeitabhängigkeit zu verarbeiten und wiederum Information und/oder
Energie und/oder Stoff auszugeben.
Diese Definition bezieht sich auf die so genannten Systeme erster Art, die Maßnah
men und Einrichtungen zur Gestaltung technischer Gebilde und Verfahren umfas
sen. Daneben existiert der Systembegriff zweiter Art, der technische Gebilde und
Verfahren selbst als Resultate eines Gestaltungsprozesses interpretiert. An derart
gegensätzlichen Ansätzen lässt sich bereits erkennen, dass die Systemtechnik nicht
auf einem enggefassten Systembegriff basiert. Vielmehr handelt es sich um eine
abstrakte Anschauungsweise, die auf beliebige Bereiche nicht nur der Technik be
zogen werden kann. Wesentlich ist aber nicht die Art des Ansatzes, sondern der
damit verfolgte Zweck:
Das Ziel systemtechnischer Methoden liegt in dem Bestreben, den un
tersuchten Komplex so zu strukturieren, dass bestimmte Funktionen
gemessen an vorher festgesetzten Zielsetzungen optimal ausgeflihrt
werden (Spur 1969, Ropohll974).
Eine solche Sichtweise gibt zwar recht allgemein den Zweck der Systemtechnik
wieder, die hier interessierenden zentralen Ansatzpunkte flir Regelungssysteme -
u. a. die Verbesserung der Systemdynamik und Robustheit durch Rückkopplung -
lassen sich trotzdem sofort darin wiederfinden. Eine differenzierte Aufführung der
in der Systemtechnik enthaltenen Thematiken zeigt Bild 1. Besonders hervorge
hoben sind alle diejenigen Gebiete, die in der vorliegenden Ausarbeitung ange
sprochen werden. Zu erkennen ist, dass sich der Inhalt, einmal abgesehen von den
"wirtschaftlichen Aspekten", auf alle Hauptgebiete der Systemtechnik erstreckt.
VI Vorwort
I
Themen der Systemtechnik
• Algebraische Strukturen
• Aussagenlogik
~ Mathematik allgemein •1.. --.. • Numerische Analyse
• Wahr chcinlichkeitstheorie
• Statistik
• Spieltheorie
• Mathemalische Modelle
• Modellbildung und Simulation
H
Operations Research 1•.. • Entscheidungstheorie
• Optimierungsverfahren
• Prognose-und Planungsverfahren
- Netzplantechnik
-..J
• Informationstheorie
Mathematisch-technische II • Steuerungs-. Regelungstheorie und -technik
Theorien. Anwendungen I • Prozeß-Aut )lllatisierung
• Zuverlässigkeitstheorie
H • Computer-Technik
•I..
Informatik • Struktur von Informationssystemen
• adaptive und lernende ysteme
• Wertanalyse
• Management
~ WirtSchaftliche Aspekte •1.. - Finanzienmg
- Verwaltung
• Projekt-Management
• Systemumgebungcn
• Logi ehe eh rille der Systemanalyse und -synlhese
--.j
Spezifische Systemaspekte; • zeitliche Phasen der Systementwicklung
- Planung und Organisation
• Kybernetik
Bild 1 Themen der Systemtechnik
Die Reihenfolge der Themenübersicht auf dieser Seite skizziert bereits grob die
weitere Vorgehensweise. Zunächst wird allgemein auf die notwendigen mathema
tischen Grundlagen eingegangen, wobei hier die wesentlichen Strukturen in Form
Vorwort VII
der kommutativen Algebra und Differentialalgebra Inhalt sind. Die Methoden wer
den im nächsten Schritt zur mathematischen Modellbildung genutzt, um dann die
Verbindung zur Regelungstheorie herstellen zu können. Der Schwerpunkt liegt im
Bereich der Analyse und auch Synthese von Regelungssystemen, die naturgemäß
mit dem Einsatz von Teilgebieten der Informatik einhergehen. Bei der Abarbei
tung von Analyse und Synthese sind spezifische Systemaspekte - darunter fallen
z. B. die Berücksichtigung von Normalformen und Systemteilklassen, die logi
sche Verknüpfung von Systemkenngrößen untereinander und die Optimierung von
Algorithmen für spezifische Systembeschreibungen-von zentraler Bedeutung.
Dieser nur abstrakt umrissene Inhalt soll nun näher spezifiziert und hinsichtlich
Sinn und Zweck erläutert werden, um dem Leser so eine Hilfe bei der Auswahl
geeigneter Abschnitte zu sein. Die Struktur wurde bewusst so angelegt, dass eine
möglichst vollständige Vorgehensweise bei der Auslegung von Regelungskonzep
ten-die von der Modellbildung über die Systemanalyse zur Konzeptsynthese und
schließlich zur Implementierung führt- mit den Ansätzen und Methoden der Dif
ferentialalgebra dargestellt wird. Die Übersicht in Bild 2 dokumentiert dies.
Der erste Abschnitt befasst sich in allgemeiner Weise mit nichtlinearen Regelungs
systemen, wobei die grundlegende Nomenklatur geklärt und die Formulierung des
Regelungsproblems angesprochen werden. Außerdem erläutert der Abschnitt ei
nige Modelle technischer Systeme, auf die im weiteren Verlauf zurückgegriffen
wird.
Daran schließen sich einige mathematische Grundlagen aus dem Bereich der Al
gebra an, die einerseits für das grundsätzliche Verständnis notwendig sind und
andererseits den Leser mit ausgewählten Begriffen der Differentialalgebra vertraut
machen sollen. Abschnitt 3 definiert auf dieser Basis die Begriffe "System" und
"Dynamik" und zeigt Möglichkeiten auf, diese mathematisch darzustellen.
Einen Schwerpunkt des Buches stellt Abschnitt 4 dar, der sich mit der differentia
lalgebraischen Analyse nichtlinearer Systeme auseinandersetzt Wesentliche Sys
temkenngrößen wie Rang, Struktur im Unendlichen, Entkoppelbarkeit, essentielle
Ordnungen, Flachheit und Nulldynamik werden eingeführt und ausführlich anhand
von Beispielen erläutert. Soweit es möglich und sinnvoll ist, werden ausgesuchte
Normalformen nichtlinearer Systeme berücksichtigt. Um eine Einordnung in den
regelungstechnischen Kontext zu erreichen, werden die genannten Kenngrößen zu
dem für den Fall linearer Systeme untersucht, um so Parallelen und Divergenzen
zwischen linearen und nichtlinearen Systemen herauszuarbeiten. In Abschnitt 5
wird ebenfalls Systemanalyse betrieben, wobei im Gegensatz zu den vorherigen
Ausführungen ein struktureller Ansatz favorisiert wird.
VIII Vorwort
Abschnitte 4 und 5 Abschnitt 6
Sy Iern Reg1elung
eigenschaften konzepte
Entwicklung
Abschnitt 6
.------A-na-ly-se, _rAb schnitt 7
Abschnitte 4
und 5
Transfer Simulation
Nichtlineare -Ab-sch-nit+t 2 Modell- +I
____
...R__e gelungssystem__e_ , beschreibung Abschnitt 7
Abschnitt 1 Abschnitt 3 Implementierung
Abschnitt 1: Nichtlineare Regelungssysteme
Abschnitt 2: Mathematische Grundlagen
Abschnitt 3: Beschreibungsformen für dynamische
Mehrgrößensysteme
Abschnitt 4: Kenngrößen nichtlinearer Systeme
Abschnitt 5: Strukturelle Analyse
Abschnitt 6: Grundlagen zur Synthese nichtlinearer
Regelungskonzepte
Abschnitt 7: Anwendung nichtlinearer
Regelungskonzepte
Bild 2 Gliederung des Inhalts
Der nachfolgende Abschnitt nutzt die in der Systemanalyse erzielten Ergebnis
se für die Synthese von Regelungskonzepten. Das Hauptaugenmerk liegt auf der
Auslegung dynamischer Rückführungen, wobei zahlreiche Klassen solcher Rück
führungen unterschieden werden. Als wichtigste Regelungsziele sind hierbei die
Linearisierung, Entkopplung und Störentkopplung sowie Trajektorienfolgerege
lung zu nennen. Während Abschnitt 6 die theoretischen Grundlagen zur Synthese
von Regelungskonzepten beleuchtet, wird daran anschließend in Abschnitt 7 die
Anwendung auf technische Beispiele untersucht.
Vorwort IX
Das Vorwort möchte ich abschließen mit einem herzlichen Dank an alle dieje
nigen, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Zuerst zu nennen ist
sicherlich Herr Professor Dr.-Ing. Helmut Schwarz, der am Entstehen maßgeblich
beteiligt war, indem er mir geeignete Rahmenbedingungen in seinem Fachgebiet
zur Verfügung stellte und auch sonst mit Rat und Tat zur Seite stand. Des weiteren
möchte ich den Herren Professoren Dr. rer. nat. Manfred Braun und Dr.-Ing. habil.
Boris Lohmann für die Übernahme der Gutachten und die wertvollen Anmerkun
gen herzlich danken. Ohne die vielen Kolleg(inn)en am Fachgebiet MSRT - aus
Gründen der Gerechtigkeit möchte ich hier lieber keinen namentlich herausstel
len - wäre diese Arbeit wohl sowieso nicht möglich gewesen, denn erst dieses
angenehme Umfeld hat mich davon überzeugt, länger als für eine Dissertation an
der Universität zu bleiben!
Duisburg, im Mai 2002 Torsten Wey
Inhaltsverzeichnis
Vorwort V
I Nichtlineare Regelungssysteme I
1.1 Systeme und Zustände . . . . . . . . . 4
1.2 Der Regelkreis und seine Komponenten 9
1.3 Formulierung des Regelungsproblems . 12
1.4 Technische Beispiele für nichtlineare Systeme 14
1.4.1 Planarer Roboterarm mit elastischen Gelenken 14
1.4.2 Differentialzylinder mit Servoventil-Ansteuerung 17
1.4.3 Ditlerentialzylinder mit 2 Servoventilen 20
1.4.4 Modell eines Kraftfahrzeugs . . . . . . 21
2 Mathematische Grundlagen 25
2.1 Lineare Algebra . . . . . 26
2.2 Begriffe der Differentialalgebra . 30
2.2.1 Differentielle Körper . . 33
2.2.2 Ditlerentielle Polynome 35
2.2.3 Differentielle Körpererweiterung . 36
3 Beschreibungsformen für dynamische Mehrgrößensysteme 4I
3.1 Realisierung ......... . 42
3.2 System und Dynamik ......... . 45
3.3 Ansatz nach LIE-BÄCKLUND .... . 49
3.4 Systeme in Ein-/A usgangsbeschreibung 51
3.5 Strukturelle Vorgehensweise . . . . . . 52
3.5.1 Graphentheoretische Begriffe und Definitionen 56
3.5.2 Strukturelle und graphentheoretische Systembeschreibung 59
3.5.3 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Kenngrößen nichtlinearer Systeme 66
4.1 KÄHLER-Differentiale ..... 67
4.2 Beobachtbarkeit . . . . . . . . . 69
4.3 Differentieller Rang und Invertierbarkeit 74
4.3.1 Inversionsalgorithmus .... . 80
4.4 Struktur im Unendlichen ....... . 83
4.4.1 Systemtheoretische Bedeutung . 84
4.4.2 Lineare Eingrößensysteme . . . 84