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Ruºzicka
Nichtlineare Funktionalanalysis
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Michael Ruºzicka
Nichtlineare
Funktionalanalysis
Eine Einführung
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Prof. Dr. Michael Ruºzicka
Universität Freiburg
Mathematisches Institut
Abteilung für Angewandte Mathematik
Eckerstraße 1
79104 Freiburg, Deutschland
e-mail: [email protected]
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internetüber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Mathematics Subject Classification (2000): 46-01, 46T, 47H, 47J, 35J, 35K
ISBN 3-540-20066-5 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
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©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004
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benutzt werden dürften.
Einbandgestaltung: design & production, Heidelberg
Satz: Datenerstellung durch den Autor unter Verwendung eines Springer L a T E X - Makropakets
Gedruckt auf säurefreiem Papier 44/3142CK-543210
fu¨r Susanne,
Martin und Felix
Vorwort
Das Buch ist entstanden aus einsemestrigen Vorlesungen, die ich im SS 1999
an der Universit¨at Bonn und in den SS 2002, 2003 an der Universit¨at Frei-
burg fu¨r Studierende ab dem 6. Semester gehalten habe. Ziel war es, aus
demgroßenGebietdernichtlinearenFunktionalanalysissolcheMethodenund
Technikenauszuw¨ahlen,dievonallgemeinemInteressesindundeinezentrale
Rolle bei der Untersuchung von nichtlinearen elliptischen und parabolischen
partiellen Differentialgleichungen spielen.
Bei der Auswahl und der Darstellung des Stoffes habe ich das Zusam-
menspiel und die gegenseitige Beeinflussung von Theorie und Anwendungen
in den Vordergrund gestellt. Zugleich sollte der Stoff in einer einsemestrigen
Vorlesung darstellbar und in sich geschlossen sein. Es ist klar, dass dabei
viele interessante und wichtige Themenkomplexe nicht beru¨cksichtigt wer-
den k¨onnen, wie schon allein aus dem Umfang des enzyklop¨adischen Werkes
von E. Zeidler Nonlinear functional analysis and its application. I – IV“
”
[23], [24], [25], [26], [27] ersichtlich ist. Fu¨r das Verst¨andnis des Buches ist
natu¨rlich die Grundausbildung in Analysis und Linearer Algebra Vorausset-
zung.Daru¨berhinaussindKenntnisseinlinearerFunktionalanalysisundLe-
besguescherMaß–undIntegrationstheorienotwendig.AlleResultateausden
beiden letztgenannten Gebieten, die im vorliegenden Buch benutzt werden,
sind im Appendix zusammengestellt.
An dieser Stelle m¨ochte ich mich ganz herzlich bei all jenen bedanken,
die zur Entstehung des Buches beigetragen haben. Ich m¨ochte mich bei
J. Frehsefu¨rvieleinhaltlicheDiskussionenbedankenunddafu¨r,dassermich
darin best¨arkt hat, dieses Buch zu schreiben. Eine erste Mitschrift der Vor-
lesung, die auch die Grundlage dieses Buches ist, wurde von S. Goj und
K. Lorenz geTEXt und ausgearbeitet. Ich m¨ochte mich auch bei L. Diening
und S. Knies bedanken, die das gesamte Buch gelesen und viele Verbesse-
rungen eingebracht haben. Und nicht zuletzt bin ich den Studenten meiner
Vorlesungen,insbesondereC.Diehl,F.Ettwein,A.Huber,H.Jungingerund
B. Mu¨nstermann, dankbar fu¨r die vielen Fragen und Anregungen, die hof-
fentlich dem Buch zugute gekommen sind.
Freiburg, November 2003 M. R˚uˇziˇcka
Notation
In jedem Abschnitt der einzelnen Kapitel sind S¨atze, Lemmata, Definitionen
und Formeln fortlaufend gemeinsam durchnummeriert. Hierfu¨r wird die Ab-
schnittsnummer und die laufende Nummer benutzt. Bei Verweisen innerhalb
eines Kapitels, werden nur diese Nummern angegeben. Wird in ein anderes
Kapitel verwiesen, so wird zus¨atzlich die Kapitelnummer vorangestellt, z.B.
wird auf Satz 2.17 bzw. Formel (2.24) des Kapitels 1 innerhalb von Kapitel
1 durch Satz 2.17 bzw. (2.24) verwiesen und von allen anderen Kapitels aus
durch Satz 1.2.17 bzw. (1.2.24). Auf Abschnitte bzw. Formeln im Appendix
wird z.B. durch Abschnitt A.12.2 bzw. Formel (A.12.26) verwiesen.
In diesem Buch wird die allgemein u¨bliche Notation verwendet. Vektoren
p ∈ Rd, d ∈ N, und vektorwertige Funktionen f: Ω ⊆ Rd → Rn, d,n ∈ N,
werden im Fettdruck notiert. Eine Ausnahme bilden Punkte x ∈ Ω ⊂ Rd,
d ∈ N, wenn Ω der Definitionsbereich einer Funktion ist. In den Rechnun-
gen auftretende Konstanten sind immer positiv und werden mit c,C,C1,...
bezeichnet. Sie k¨onnen sich von Zeile zu Zeile ver¨andern. Durch c(α) wird
angegeben, dass die Konstante c von der Gr¨oße α abh¨angt.
Inhaltsverzeichnis
Notation...................................................... IX
1 Fixpunkts¨atze ............................................ 1
1.1 Der Banachsche Fixpunktsatz............................ 2
1.1.1 Gew¨ohnliche Differentialgleichungen ................ 5
1.2 Die Fixpunkts¨atze von Brouwer und Schauder.............. 9
1.2.1 Der Satz von Brouwer ............................ 11
1.2.2 Kompakte Operatoren ............................ 21
1.2.3 Der Satz von Schauder............................ 26
1.2.4 Anwendung auf Differentialgleichungen.............. 28
2 Integration und Differentiation in Banachr¨aumen......... 33
2.1 Bochner–Integrale ...................................... 33
2.1.1 Lp–R¨aume mit Werten in Banachr¨aumen............ 39
2.2 Differentiation von Funktionen mit Werten in Banachr¨aumen 41
2.2.1 Satz u¨ber implizite Funktionen..................... 48
3 Die Theorie monotoner Operatoren....................... 55
3.1 Monotone Operatoren................................... 59
3.1.1 Der Satz von Browder und Minty................... 63
3.1.2 Der Nemyckii–Operator ........................... 67
3.1.3 Quasilineare elliptische Gleichungen ................ 69
3.2 Pseudomonotone Operatoren............................. 74
3.2.1 Der Satz von Brezis .............................. 74
3.2.2 Quasilineare elliptische Gleichungen II .............. 79
3.2.3 Die station¨aren Navier–Stokes–Gleichungen.......... 82
3.3 Maximal monotone Operatoren .......................... 86
3.3.1 Subdifferentiale .................................. 89
3.3.2 Zeitableitungen .................................. 102
3.3.3 Der Satz von Browder ............................ 106
3.3.4 Variationsungleichungen........................... 113
3.3.5 Evolutionsprobleme............................... 117
3.3.6 Quasilineare parabolische Gleichungen .............. 119
XII Inhaltsverzeichnis
4 Der Abbildungsgrad ...................................... 129
4.1 Der Abbildungsgrad von Brouwer......................... 129
4.1.1 Die Konstruktion des Abbildungsgrades von Brouwer . 130
4.1.2 Technische Hilfsmittel............................. 132
4.1.3 Erweiterung auf nichtregul¨are Punkte und stetige
Funktionen ...................................... 143
4.1.4 Eigenschaften des Abbildungsgrades von Brouwer .... 146
4.2 Der Abbildungsgrad von Leray–Schauder .................. 150
4.2.1 Abbildungsgrad fu¨r endlich–dimensionale Vektorr¨aume 151
4.2.2 KonstruktiondesAbbildungsgradesvonLeray–Schauder153
4.2.3 Eigenschaften des Abbildungsgrades von Leray–
Schauder ........................................ 155
4.2.4 Quasilineare elliptische Gleichungen III.............. 158
A Appendix................................................. 165
A.1 Topologische R¨aume .................................... 165
A.2 Metrische R¨aume....................................... 168
A.3 Vektorr¨aume........................................... 170
A.4 Banachr¨aume .......................................... 171
A.5 Hilbertr¨aume .......................................... 172
A.6 Operatoren ............................................ 173
A.7 Dualit¨at in Banachr¨aumen............................... 173
A.8 Schwache Topologie und schwache Konvergenzen ........... 175
A.9 Konvexit¨at und Glattheitseigenschaften der Norm .......... 180
A.10Wichtige S¨atze aus der linearen Funktionalanalysis ......... 181
A.11Lebesgue–Maß und Lebesgue–Integral..................... 183
A.12Funktionenr¨aume....................................... 191
A.12.1R¨aume stetiger Funktionen ........................ 191
A.12.2Lebesgue–R¨aume Lp(Ω)........................... 194
A.12.3Sobolev–R¨aume Wk,p(Ω).......................... 198
Literaturverzeichnis .......................................... 203
Index......................................................... 205
1 Fixpunkts¨atze
EinesderwichtigstenInstrumentebeiderBehandlungnichtlinearerProbleme
mit Methoden der Funktionalanalysis sind Fixpunkts¨atze. Fu¨r eine gegebene
Abbildung T: A→B bezeichnet man jede L¨osung der Gleichung
Tx=x
als Fixpunkt. Fixpunkts¨atze garantieren, unter bestimmten Bedingungen
an die Abbildung T: A → B und die Mengen A und B, die Existenz von
Fixpunkten. Ein einfaches Beispiel fu¨r eine Abbildung, die keinen Fixpunkt
besitzt, ist die Translation
Tx=x+x0 x0 ∈X, x0 (cid:5)=0.
DiefolgendenBeispieleillustrieren,wiedieBehandlungnichtlinearerProble-
me auf die L¨osung von Fixpunktproblemen zuru¨ckgefu¨hrt werden kann:
• Nullstellenbestimmung von nichtlinearen Funktionen:
F(x)=0.
Diese Gleichung kann auf verschiedene Weisen in ein Fixpunktproblem fu¨r
einen Operator T umgeschrieben werden:
Tx=x−F(x) (einfachste M¨oglichkeit),
Tx=x−ωF(x) (lineare Relaxation mit ω >0),
(cid:1) (cid:2)
Tx=x− F(cid:1)(x) −1F(x) (Newtonverfahren).
• Gew¨ohnliche Differentialgleichungen:
x(cid:1)(t)=f(t,x(t)),
x(0)=p0.
Fu¨r eine gegebene stetige Funktion f :Q⊆R×X →X, wobei X ein Ba-
nachraumseinkann,istdiesesAnfangswertproblem¨aquivalentzufolgender
Integralgleichung
(cid:3)t
(cid:1) (cid:2)
x(t)=p0+ f s,x(s) ds.
0
Wenn man die rechte Seite dieser Gleichung mit Tp0x bezeichnet, ist die
