Nichtlineare Finite-Elemente-Berechnungen: Kontakt, Geometrie, Material

301 Pages·2011·0.86 MB·German

by  Prof. Dr. Wilhelm Rust Masterstudiengang Maschinenbau-Entwicklung (auth.)

Wilhelm Rust
Nichtlineare Finite-Elemente-Berechnungen
Aus dem Programm Maschinenelemente
Entwickeln, Konstruieren, Berechnen
von H. Theumert und B. Fleischer
Leichtbau-Konstruktion
von B. Klein
FEM
von B. Klein
Konstruieren, Gestalten, Entwerfen
von U. Kurz, H. Hintzen und H. Laufenberg
Roloff/Matek Maschinenelemente
von H. Wittel, D. Muhs, D. Jannasch und J. Voßiek
Roloff/Matek Maschinenelemente Aufgabensammlung
von H. Wittel, D. Muhs, D. Jannasch und J. Voßiek
Roloff/Matek Maschinenelemente Formelsammlung
von H. Wittel, D. Muhs, D. Jannasch und J. Voßiek
Roloff/Matek Bauteilkatalog
von H. Wittel, D. Muhs, D. Jannasch und J. Voßiek
www.viewegteubner.de
Wilhelm Rust
Nichtlineare
Finite-Elemente-
Berechnungen
Kontakt, Geometrie, Material
2., überarbeitete und erweiterte Auflage
Mit 210 Abbildungen
STUDIUM
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Prof. Dr.-Ing. Wilhelm Rustist an der Fachhochschule Hannover für den Masterstudiengang Maschi-
nenbau-Entwicklung verantwortlich und lehrt Simulationsverfahren im Maschinenbau.
1. Auflage 2009
2., überarbeitete und erweiterte Auflage 2011
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011
Lektorat: Thomas Zipsner | Ellen Klabunde
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Vervielfältigungen, Über setzun gen, Mikro verfil mungen und die Ein speiche rung und
Ver ar beitung in elek tro nischen Syste men.
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berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
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von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-1491-3
Vorwort
Dieses Buch ist ein Lehrbuch, das einführend die Theorie der nichtlinearen Finite-Elemente-
Methoden (FEM) in den Teilbereichen geometrische Nichtlinearität, nichtlineares Material-
verhalten und Kontakt behandelt. Ist es schon nicht möglich, die gesamte FEM der linearen
Mechanik der Tragwerke (in Anlehnung an die Bedeutung des Wortstammes „Struktur“ in
einigen Fremdsprachen auch im Deutschen „Strukturmechanik“ genannt) in einem Buch zu
beschreiben, so gilt dies für nichtlineare FEM erst recht, bedeutet „nichtlinear“ doch keine
spezielle Eigenschaft, sondern das Fehlen einer solchen, die aber die Lehre in der Techni-
schen Mechanik aus gutem Grund dominiert. Bei Erfolg dieses Buches wird der Leser sich
bereit fühlen, nun weiterführende Literatur aufzuarbeiten.
Bewusst wurde eine detaillierte Herleitung der verwendeten Formeln vorgenommen, damit
die Lernenden alsbald in der Lage sind, die dargestellten Zusammenhänge in Programme
umzusetzen, aber auch Gleichungen für verwandte physikalische Effekte aufzustellen.
Das Buch richtet sich in erster Linie an Studierende, die Master-Niveau anstreben. Aber auch
für den FEM-Anwender sollten sich hier nützliche Erkenntnisse ergeben. Während in der
linearen FEM, wenn nicht gerade eine Verschieblichkeit vorliegt, stets ein Ergebnis erzielt
wird – die Richtigkeit sei hier nicht diskutiert –, wird insbesondere für den unbedarften Nut-
zer eine nichtlineare Berechnung öfter in Nichtkonvergenz und damit ohne Gleichgewichtslö-
sung enden. Dann ist es gut zu wissen, was die Ursachen dafür sein können. Hier werden
besonders die Kapitel über Stabilität und über Konvergenzerzielung im Kontakt empfohlen.
Es sollte aber auch beachtet werden, dass der Erfolg einer nichtlinearen Berechnung davon
abhängt, dass die Eingabedaten einigermaßen der Wirklichkeit entsprechen, weil eine Über-
lastung des Systems nicht erst im Nachhinein bei der Ergebnisauswertung festgestellt wird,
sondern sich schon im Konvergenzverhalten niederschlägt.
Noch eine Notwendigkeit ergibt sich für den Anwender, die vielleicht sogar an erster Stelle
steht und der hier in Ausschnitten entsprochen werden soll: Die marktgängigen FEM-
Programme bieten eine Vielzahl von Optionen, die für eine erfolgreiche Aufgabenbewälti-
gung hilfreich sind. Ihre Beschreibungen sind gewöhnlich für Nutzer mit Theoriekenntnissen
formuliert. Die Beispielergebnisse sind nahezu sämtlich mit dem Programmsystem ANSYS
erzielt worden, andere bekannte FE-Programme verwenden aber ähnliche Konzepte, sodass
die Erkenntnisse übertragbar sind.
Vorausgesetzt wird, dass man grundsätzlich weiß, wie Finite Elemente formuliert werden,
jedenfalls im Linearen. Dazu gibt es zahlreiche Literatur und oft entsprechende Lehrveran-
staltungen im Ingenieurstudium.
Dieses Buch ist ein Lehrbuch. Das Wissen hat sich der Autor über viele Jahre aufgebaut.
Vieles ist in der Fachwelt Allgemeingut. Daher wird hier im Wesentlichen nur auf weiterfüh-
rende Literatur verwiesen, jedoch nicht auf die Ursprünge der hier dargestellten Theorien und
Algorithmen.
Schließlich wird der Lehrbuchcharakter und die Herkunft aus Vorlesungsskripten auch daran
deutlich, dass allgemeine Problemstellungen und Verfahren zu ihrer Lösung zunächst exem-
plarisch erarbeitet werden, und zwar meist bei ihrem ersten Auftreten.
VI Vorwort
Dieses Werk entstand aus Skripten zu Vorlesungen, die der Verfasser an seiner Fachhoch-
schule Hannover sowie an der FH Lausitz und an der European School of Computer Aided
Engineering Technology (ESoCAET) im Rahmen von Masterstudiengängen hielt und hält.
Die Wurzeln liegen allerdings schon in den Schulungs- und Entwicklungsaufgaben des Au-
tors während seiner langjährigen Tätigkeit bei der CADFEM GmbH. An dieser Stelle herzli-
chen Dank für die lehrreiche Zeit. Dank auch an den Chef, Dr.-Ing. Günter Müller, für die
unkomplizierte Behandlung möglicher urheberrechtlicher Fragen.
Seine ersten Sporen auf dem Gebiet der Finite-Elemente-Methode – auch damals schon mit
einem gewissen Anteil Nichtlinearität – verdiente sich der Verfasser am Institut für Baume-
chanik und Numerische Mechanik der Universität Hannover unter der Leitung von Prof. Dr.-
Ing. Erwin Stein, der die Begeisterung erst für die Mechanik, dann für die FEM weckte. Auch
hierfür ein Dankeschön.
Die zweite Auflage wurde noch einmal durchgesehen, wo nötig korrigiert, grafisch verbessert
und an einigen Stellen ergänzt.
Dank gilt Frau Ellen Klabunde und Herrn Thomas Zipsner vom Lektorat Maschinenbau des
Vieweg+Teubner-Verlages für die Betreuung bei der erstmaligen Fertigstellung des Werkes
und jetzt auch bei der zweiten Auflage.

Langenhagen, im April 2011 Wilhelm Rust
Inhaltsverzeichnis

Bezeichnungsweise ............................................................................................................... XII
1 Lösung der nichtlinearen Gleichungen ......................................................................... 1
1.1 Newton-Raphson-Verfahren .................................................................................. 1
1.2 Andere Lösungsverfahren ...................................................................................... 3
1.3 Schrittweitensteuerung ........................................................................................... 4
1.4 Eindimensionale Minimum-Suche (line search) .................................................... 4
1.5 Konvergenzkriterien ............................................................................................... 6
Hauptabschnitt I: Geometrische Nichtlinearitäten
2 Geometrisch nichtlineares Verhalten ............................................................................ 8
2.1 Grundbegriffe der geometrischen Nichtlinearitäten ............................................... 8
2.2 Theorie 2. Ordnung, Gleichgewicht am verformten System .................................. 9
2.2.1 Motivation und FE-Umsetzung ................................................................ 9
2.2.2 Warum Theorie 2. Ordnung? .................................................................. 11
2.2.3 Lineares Beulen ...................................................................................... 13
2.2.4 Korrekte Spannungsversteifungs-Matrix für den Balken ....................... 18
2.3 Große Drehungen (Rotationen) ............................................................................ 21
2.3.1 Geeignetes Dehnungsmaß: Green-Lagrange-Dehnungen ....................... 21
2.3.2 Das Prinzip der virtuellen Arbeiten bei geometrisch nichtlinearen
Problemstellungen .................................................................................. 25
2.3.3 Lösung der nichtlinearen Gleichungen mit dem Newton-Raphson-
Verfahren ................................................................................................ 26
2.3.4 Testproblem Zweibock ........................................................................... 29
2.3.5 Mitdrehende Formulierung (Co-rotational formulation) ........................ 33
2.4 Große Dehnungen ................................................................................................ 49
2.4.1 Eindimensionale Betrachtungen ............................................................. 49
2.4.2 Zugehörige Spannungen ......................................................................... 51
2.4.3 Übergang ins Zwei- und Dreidimensionale ............................................ 56
2.4.4 Hencky-Dehnungen in Symbolen der Kontinuumsmechanik ................. 58
2.4.5 Klassische Updated-Lagrange-Formulierung ......................................... 58
2.4.6 Logarithmische Dehnungen und mitdrehende Formulierung ................. 62
3 Stabilitätsprobleme ....................................................................................................... 64
3.1 Phänomene ........................................................................................................... 64
3.2 Bedingungen für kritische Punkte, Indifferenzkriterium ...................................... 68
3.2.1 Allgemeines ............................................................................................ 68
3.2.2 Formulierungen der Instabilitätsbedingung ............................................ 70
3.2.3 Modalanalyse (Eigenfrequenzanalyse) und Stabilitätsprobleme ............ 72
3.2.4 Direkte Identifikation kritischer Punkte durch ein erweitertes System .. 76
3.3 Bedeutung des Eigenvektors ................................................................................ 77
3.4 Imperfektionen ..................................................................................................... 78
VIII Inhaltsverzeichnis
3.4.1 Imperfektion durch Kräfte ...................................................................... 79
3.4.2 Imperfektion durch geometrische Vorgaben ........................................... 79
3.4.3 Imperfektion durch eine lineare Beulanalyse .......................................... 79
3.4.4 Begleitende Eigenwert-Analyse .............................................................. 80
3.4.5 Imperfektionsempfindlichkeit ................................................................. 82
3.4.6 Größe der Imperfektion ........................................................................... 84
4 Lastinkrementierung in einer nichtlinearen Berechnung ......................................... 86
4.1 Kraftsteuerung ...................................................................................................... 86
4.2 Einfache Verschiebungssteuerung ........................................................................ 86
4.3 Verschiebungssteuerung mit Kraftgrößen ............................................................ 88
4.4 Bogenlängenverfahren (arc-length method) ......................................................... 89
4.4.1 Suche senkrecht zur letzten Sekante ....................................................... 90
4.4.2 Modellproblem ........................................................................................ 91
4.4.3 Suche senkrecht zur ersten Tangente ...................................................... 93
4.4.4 Suche senkrecht zur aktuellen Tangente ................................................. 94
4.4.5 Suche auf einem Kreis bzw. einer Hyperkugel ....................................... 97
4.4.6 Anfangswerte und Bogenlänge ............................................................. 103
4.4.7 Lösung des erweiterten Systems ........................................................... 105
Hauptabschnitt II: Nichtlineares Materialverhalten
5 Grundzüge der Materialmodelle ................................................................................ 108
5.1 Repräsentative eindimensionale Grundelemente ................................................ 108
5.1.1 Elastizität (Hooke-Element) .................................................................. 108
5.1.2 Plastizität (St.-Venant-Element) ........................................................... 109
5.1.3 Zeitabhängiges Verhalten (Newton-Element) ....................................... 109
5.2 Aus Grundelementen zusammengesetzte Modelle ............................................. 110
5.2.1 Elasto-Plastizität (Prandtl-Element) ...................................................... 110
5.2.2 Maxwell-Element für Kriechen ............................................................ 112
5.2.3 Kelvin-Voigt-Element für Visko-Elastizität ......................................... 114
5.2.4 Erweitertes Viskoelastizitätsmodell ...................................................... 117
5.2.5 Bingham-Modell als Beispiel für Visko-Plastizität .............................. 117
5.2.6 Burghers-Modell ................................................................................... 118
5.3 Tensor- und Vektorschreibweise, Tensor- und Ingenieurnotation ...................... 120
5.4 Aufspaltung und Darstellung räumlicher Spannungszustände ........................... 121
5.4.1 Hauptspannungen .................................................................................. 121
5.4.2 Kugeltensor und Deviator ..................................................................... 122
5.4.3 Hauptspannungsraum ............................................................................ 123
5.5 Berücksichtigung des Materialverhaltens in der FEM ........................................ 124
6 Theorie und Numerik der linearen Visko-Elastizität ............................................... 126
6.1 Grundformeln für den eindimensionalen Fall ..................................................... 126
6.2 Einführung von Zeitschritten .............................................................................. 128
6.3 Numerik .............................................................................................................. 129
6.4 Werkstofftangente .............................................................................................. 131
6.5 Algorithmus ........................................................................................................ 132
Inhaltsverzeichnis IX
6.6 Mehrdimensionaler Fall ..................................................................................... 132
6.6.1 Spannungsberechnung .......................................................................... 132
6.6.2 Werkstofftangente ................................................................................ 133
6.6.3 Algorithmus .......................................................................................... 135
6.7 Temperaturabhängigkeit .................................................................................... 136
6.7.1 Grundlagen thermo-rheologisch einfacher Materialien, Pseudo-Zeit ... 137
6.7.2 Zeitintegration ...................................................................................... 139
6.7.3 Shift-Funktionen ................................................................................... 141
6.7.4 Spannungen .......................................................................................... 143
6.7.5 Tangente ............................................................................................... 144
6.7.6 Algorithmus .......................................................................................... 144
6.8 Ebener Spannungs- und Verzerrungszustand ..................................................... 145
6.8.1 Ebener Verzerrungszustand .................................................................. 145
6.8.2 Ebener Spannungszustand .................................................................... 145
6.9 Beispielrechnungen ............................................................................................ 147
6.9.1 Zu Kapitel 6.1 ....................................................................................... 147
6.9.2 Zu Kapitel 6.2 ....................................................................................... 148
6.9.3 Zu Kapitel 6.3 ....................................................................................... 150
7 Theorie und Numerik des Kriechens ......................................................................... 151
7.1 Grundsätzliches .................................................................................................. 151
7.2 Zeitintegration beim Kriechen ........................................................................... 155
7.2.1 Differenzenquotienten .......................................................................... 155
7.2.2 Kriechbeispiel ....................................................................................... 155
7.2.3 Explizite Zeitintegration ....................................................................... 156
7.2.4 Variabler Zeitschritt .............................................................................. 160
7.2.5 Implizite Zeitintegration ....................................................................... 161
7.2.6 Zusammenfassung Kriechbeispiel ........................................................ 166
7.2.7 Zusammenwirken mit anderen Materialnichtlinearitäten ..................... 166
7.3 Konsistente Tangente für implizites Kriechen ................................................... 167
7.3.1 Herleitung ............................................................................................. 167
7.3.2 Beispiele ............................................................................................... 170
7.4 Allgemeine Form für lokale und globale Iteration ............................................. 175
8 Theorie und Numerik der Elasto-Plastizität ............................................................. 179
8.1 Grundbegriffe eindimensionalen Verhaltens ...................................................... 179
8.2 Bausteine einer mehrdimensionalen Elasto-Plastizitätstheorie .......................... 181
8.3 Fließregeln ......................................................................................................... 182
8.4 Klassische Fließbedingungen ............................................................................. 183
8.4.1 Gestaltänderungsenergie-Hypothese (nach von Mises) ........................ 183
8.4.2 Schubspannungs-Hypothese (Tresca) ................................................... 185
8.4.3 Mohr-Coulomb-Bedingung .................................................................. 188
8.4.4 Drucker-Prager-Bedingung .................................................................. 190
8.5 Verfestigungsregeln ........................................................................................... 192
8.5.1 Einachsige Spannungs-Dehnungs-Beziehungen ................................... 192
8.5.2 Mehrdimensionales Verfestigungsverhalten ......................................... 193
8.6 Erfüllung der Stoffgleichungen in der FEM, lokale Iteration ............................ 199
X Inhaltsverzeichnis
8.6.1 Allgemeine Darstellung ........................................................................ 199
8.6.2 Beispiel lineare Verfestigung ................................................................ 202
8.7 Konsistente Tangente ......................................................................................... 205
8.7.1 Allgemeine Darstellung ........................................................................ 205
8.7.2 Beispiel lineare Verfestigung ................................................................ 208
8.8 Beispielprogrammierung in USERPL von ANSYS ........................................... 208
8.9 Modelle für kinematische Verfestigung ............................................................. 214
8.9.1 Besseling-Modell (Overlay-Modell) ..................................................... 214
8.9.2 Armstrong-Frederik- bzw. Chaboche-Modell ....................................... 219
8.10 Einspielen (Shakedown) und Ratcheting ............................................................ 221
8.10.1 Begriffe ................................................................................................. 221
8.10.2 Melan-Theorem .................................................................................... 222
8.10.3 Struktur-Ratcheting ............................................................................... 224
8.10.4 Material-Ratcheting .............................................................................. 227
8.10.5 Thermisches Ratcheting ........................................................................ 231
8.10.6 Numerisches Ratcheting bei Temperaturzyklen ................................... 232
Hauptabschnitt III: Kontakt
9 Kontaktberechungen: Einführung, Kinematik ......................................................... 235
9.1 Was bedeutet Kontakt? ....................................................................................... 235
9.2 Modellierung von Kontakt.................................................................................. 236
9.2.1 Punkt-zu-Punkt- bzw. Knoten-zu-Knoten-Kontakt ............................... 236
9.2.2 Knoten-zu-Oberfläche-Kontakt ............................................................ 236
9.2.3 Punkt-zu-Oberfläche-Kontakt ............................................................... 237
9.2.4 Oberfläche-zu-Oberfläche-Kontakt ....................................................... 238
9.3 Kontakt-Kinematik ............................................................................................. 238
10 Erfüllung der Kontaktbedingung ............................................................................... 242
10.1 Direkte Einführung der Nebenbedingung ........................................................... 243
10.2 Penalty-Methode................................................................................................. 244
10.3 Lagrange-Multiplikator-Methode ....................................................................... 246
10.4 Finite-Elemente-Testproblem ............................................................................. 247
10.4.1 Direkte Einführung der Nebenbedingung in das Gleichungssystem ..... 249
10.4.2 Penalty-Verfahren ................................................................................. 253
10.4.3 Methode der Lagrange’schen Multiplikatoren ...................................... 256
10.4.4 Perturbed-Lagrange-Methode ............................................................... 257
10.4.5 Augmented-Lagrange-Verfahren .......................................................... 260
10.5 Überbestimmtheit durch Kontakt (Overconstraining) ........................................ 262
10.6 Reibung .............................................................................................................. 263
11 Aspekte der Kontaktmodellierung ............................................................................. 265
11.1 Knoten-zu-Oberfläche-Kontakt .......................................................................... 265
11.2 Punkt-zu-Oberfläche-Kontakt ............................................................................ 267
11.2.1 Integrationspunkt-Kontakt .................................................................... 267
11.2.2 Knoten als Integrationspunkte .............................................................. 273
11.3 Konvergenz-Erzielung ........................................................................................ 274