Table Of ContentPeter Wriggers
Nichtlineare Finite-Element-Methoden
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Peter Wriggers
Ni chtl i neare
Fi n ite-Element-Methoden
Mit 250 Abbildungen
Springer
Professor Dr.-Ing. habil. Peter Wriggers
Universität Hannover
Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik
AppeJstraße 9A
30167 Hannover
ISBN 978-3-540-67747-5
Die Deutsche Bibliothd -CIP·EinheitsauCnahme
WriggefS. Pettr
Nichtlineare Finite-Element-Methoden f Peter Wriggers
Berlin; Heidelberg; NewYork; Hongkong; London; Mailand; Paris; Tokio: Springer 2001
ISBN 978-3-S40-07747-5 ISBN 978-3-642-56865-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-56865-7
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CI Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2001
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Satz: Reproduktionsfertigc Vorlag~ des AutoT$
Gedruckt aufs äurefreiem Papier SPIN: 12069637 6213ISORw. 5 4 3 2
Vorwort
Die Methode der finiten Elemente (FEM) hat sich in den letzten Jahren
als universelles Hilfsmittel des Ingenieurs zur Berechnung von komplexen
Tragstrukturen erwiesen. Mit zunehmender Rechnerkapazität werden die un
terschiedlichsten nichtlinearen Aufgabenstellungen behandelbar.
Das vorliegende Buch beschreibt neben den physikalischen und mathema
tischen Grundlagen der Methode der finiten Elemente auch spezielle Element
techniken und Algorithmen zur Behandlung von nichtlinearen Problemen der
Festkörpermechanik. Dies schließt eine Darstellung der kontinuumsmechani
schen Grundlagen, ingenieurgerechter Materialgleichungen und der für die
FEM notwendigen Variationsprinzipien ebenso ein, wie die matrizielle Formu
lierung der Methode in unterschiedlichen Bezugsdarstellungen und die Anga
be von Algorithmen zur Lösung der entstehenden nichtlinearen algebraischen
Gleichungen. Auch zeitabhängige Problemstellungen werden diskutiert und
die entsprechende algorithmische Behandlung wird beschrieben. Dies gilt so
wohl für nichtlineare dynamische Probleme als auch für zeitabhängiges Mate
rial verhalten. Da bei nichtlinearen Problemen auch Singularitäten auftreten,
die zu Durchschlags- oder Verzweigungspunkten gehören, werden Formulie
rungen angegeben, die die Berechnung dieser Punkte ermöglichen.
Daneben werden Elementformulierungen für nichtlineare Fachwerke, Bal
ken- und Schalenstrukturen bereitgestellt und beispielhaft angewendet. Eben
so werden unterschiedliche spezielle Diskretisierungsansätze für die Finite
Element-Analyse dreidimensionaler Bauteile entwickelt und diskutiert.
Adaptive Verfahren gewinnen heute immer mehr Bedeutung für die siche
re und effiziente Anwendung der Methode der finiten Elemente. Daher wer
den diese Verfahren beschrieben und so formuliert, daß sie auf geometrisch
und physikalisch nichtlineare Problemstellungen angewendet werden können.
Entsprechendes gilt auch für die Formulierung von nichtlinearen Randbedin
gungen im Rahmen von Kontaktanalysen, deren Diskretisierung und algo
rithmische Aufbereitung dargestellt wird.
Das Buch wendet sich an Ingenieurstudenten aller Fachrichtungen, die
sich im Vertiefungsstudium befinden und sich in numerischen Methoden für
nichtlineare Problemstellungen der Festkörpermechanik einarbeiten wollen.
Dies gilt auch für Doktoranden unterschiedlicher Disziplinien und in der Pra
xis tätige Ingenieure, die auf dem genannten Gebiet arbeiten. Aus diesem
VI Vorwort
Grund sind im Text Beispiele eingefügt, die das Verständnis für die gewähl
ten Formulierungen und Algorithmen vertiefen sollen.
Die einzelnen Kapitel wurden von D. Freßmann, C. S. Han, C. Hahn,
T. Raible, S. Reese und H. Tschöpe mit großer Sorgfalt durchgesehen. Viele
Zeichnungen fertigte T. Raible an. Numerische Ergebnisse stammen unter
anderem aus Arbeiten, die zusammen mit A. Boersma, R. Eberlein, C. S.
Han, S. Meynen, T. Raible, S. Reese, A. Rieger, O. Scherf, J. Sansour und
H. Tschöpe entstanden sind. Ihnen allen gebührt mein Dank für die hervor
ragende Zusammenarbeit.
Zu erwähnen ist in diesem Zusammenhang auch die meinem Institut sei
tens der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) gewährte Förderung un
terschiedlicher Projekte im Bereich nichtlinearer Finite-Element-Methoden.
Die hieraus entstandenen Ergebnisse sind an vielen Stellen des Buches zu
finden. Nicht zuletzt sei auch dem Springer Verlag für Geduld und die ange
nehme Zusammenarbeit gedankt.
Hannover, im Juli 2000 Peter Wriggers
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung................................................ 1
2. Nichtlineare Phänomene. . . .. .. . .. . . . . .. .. . . .. .. . .. .. . . .. . 7
2.1 Geometrische Nichtlinearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Große Verschiebungen eines starren Balkens ......... 7
2.1.2 Große Verschiebungen eines elastischen Systems. . . . . . 9
2.1.3 Verzweigungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ... 11
2.1.4 Durchschlagproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13
2.2 Physikalische Nichtlinearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
2.3 Nichtlinearität infolge von Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . .. 16
3. Kontinuumsmechanische Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . .. 19
3.1 Kinematik............................................. 19
3.1.1 Bewegung, Deformationsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
3.1.2 Verzerrungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
3.1.3 Transformation von Vektoren und Tensoren. . . . . . . ... 29
3.1.4 Zeitableitungen .................................. 31
3.2 Bilanzgleichungen ...................................... 33
3.2.1 Volumenbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
3.2.2 Lokale Impulsbilanz, Drallbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
3.2.3 1. Hauptsatz der Thermodynamik. . . . . .. . . . . .. . . . .. 35
3.2.4 Umrechnung auf die Ausgangskonfiguration, verschie-
dene Spannungstensoren .......................... 36
3.2.5 Zeitableitungen der Spannungstensoren ............. 38
3.3 Materialgleichungen .................................... 39
3.3.1 Elastisches Materialverhalten .... . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41
3.3.2 Elasto-plastische Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52
3.3.3 Viskoelastisches und viskoplastisches Materialverhalten 63
3.3.4 Inkrementelle Form der Materialgleichungen . . . . . . . .. 72
3.4 Schwache Form des Gleichgewichts, Variationsprinzipien . . . .. 81
3.4.1 Schwache Formulierung des Gleichgewichts in der Aus-
gangskonfiguration ............................... 82
3.4.2 Räumliche schwache Formulierung des Gleichgewichtes 83
3.4.3 Variationsprinzipien .............................. 84
VIII Inhaltsverzeichnis
3.5 Linearisierungen........................................ 87
3.5.1 Linearisierung der kinematischen Größen. . . . . . . . . . .. 90
3.5.2 Linearisierung der Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . .. 92
3.5.3 Linearisierung der Variationsformulierung ........... 94
4. Räumliche Diskretisierung der Grundgleichungen ......... 101
4.1 Generelles isoparametrisches Konzept ..................... 101
4.1.1 Eindimensionale Ansätze .......................... 107
4.1.2 Zweidimensionale Ansätze ......................... 110
4.1.3 Dreidimensionale Ansätze ......................... 115
4.2 Diskretisierung der Grundgleichungen ..................... 120
4.2.1 FE-Formulierung der schwachen Form bezogen auf die
Ausgangskonfiguration ............................ 120
4.2.2 Linearisierung der schwachen Form in der Ausgangs-
konfiguration .................................... 125
4.2.3 FE-Formulierung der schwachen Form bezüglich der
Momentankonfiguration ........................... 130
4.2.4 Linearisierung der schwachen Form in der Momentan-
konfiguration .................................... 133
4.2.5 Verformungsabhängige Lasten ...................... 139
5. Lösungsverfahren für zeitunabhängige Probleme .......... 145
5.1 Lösung nichtlinarer Gleichungssysteme .................... 148
5.1.1 Newton-Raphson-Verfahren ........................ 148
5.1.2 Modifiziertes Newton-Verfahren .................... 150
5.1.3 Quasi-Newton-Verfahren .......................... 151
5.1.4 Gedämpftes Newton Verfahren, Line-Search ......... 153
5.1.5 Bogenlängenverfahren ............................. 156
5.2 Löser für lineare Gleichungssysteme ....................... 165
5.2.1 Direkte Gleichungslöser ........................... 166
5.2.2 Iterative Gleichungslöser .......................... 169
5.2.3 Parallele Gleichungslöser .......................... 176
5.3 Beispiele zu den Algorithmen und Gleichungslösern ......... 184
6. Lösungsverfahren für zeitabhängige Probleme ............ 195
6.1 Integration der Bewegungsgleichungen ..................... 197
6.1.1 Explizite Verfahren ............................... 199
6.1.2 Implizite Verfahren ............................... 201
6.1.3 Impuls-, drall- und energieerhaltende Algorithmen .... 204
6.1.4 Numerische Beispiele ............................. 209
6.2 Integration inelastischer Materialgleichungen bei kleinen De-
formationen ........................................... 212
6.2.1 Viskoelastisches Materialverhalten .................. 214
6.2.2 Elasto-plastisches Materialienverhalten .............. 216
6.2.3 Elasto-viskoplastisches Materialverhalten ............ 224
Inhaltsverzeichnis IX
6.3 Integration der Materialgleichungen bei großen Deformationen 225
6.3.1 Allgemeine implizite Integration .................... 226
6.3.2 Implizite Integration mit Bezug auf Hauptachsen ..... 228
6.3.3 Konsistenter Tangentenmodul ...................... 233
7. Stabilitätsprobleme ....................................... 237
7.1 Vorbemerkungen ....................................... 237
7.1.1 Klassische und lineare Beulanalyse .................. 238
7.1.2 Nichtlineare Stabilitätsuntersuchungen .............. 240
7.2 Direkte Berechnung von Stabilitätspunkten ................ 243
7.2.1 Formulierung eines erweiterten Systems ............. 244
7.2.2 Berechnung der Richtungsableitung von KT .......... 247
7.2.3 Beispiel: Verzweigungspunkt eines Bogenträgers ...... 250
7.3 Algorithmus für nichtlineare Stabilitätsprobleme ............ 251
8. Adaptive Verfahren ....................................... 255
8.1 Randwertproblem und Diskretisierung ..................... 261
8.1.1 Randwertproblem für finite Elastizität .............. 262
8.1.2 Das linearisierte Randwertproblem ................. 262
8.1.3 Diskretisierung ................................... 263
8.2 Fehlerschätzer und -indikatoren .......................... 264
8.2.1 Fehlerschätzung bei nichtlinearen Problemen ......... 265
8.2.2 Residuenbasierter Fehlerschätzer ................... 267
8.2.3 Fehlerindikator basierend auf der Z2-Methode ........ 269
8.2.4 Fehlerestimatoren basierend auf dualen Methoden .... 271
8.3 Fehlerschätzung für Plastizität ........................... 274
8.4 Netzverfeinerung ....................................... 276
8.5 Adaptive Netzgenerierung ............................... 279
8.5.1 Netzerzeugung ................................... 280
8.5.2 Transfer der Geschichtsdaten ...................... 282
8.6 Beispiele .............................................. 285
8.6.1 Kontaktproblem nach Hertz ....................... 285
8.6.2 Elastoplastische Deformation einer Zylinderschale .... 287
9. Spezielle Strukturelemente ............................... 295
9.1 Nichtlineares Fachwerkelement ........................... 296
9.1.1 Kinematik und Verzerrungen ...................... 296
9.1.2 Materialgleichungen für den Fachwerkstab ........... 298
9.1.3 Variationsformulierung und Linearisierung ........... 299
9.1.4 Finite-Element-Modell ............................ 300
9.2 Zweidimensionales geometrisch exaktes Balkenelement ...... 307
9.2.1 Kinematik ....................................... 308
9.2.2 Schwache Form des Gleichgewichtes ................. 312
9.2.3 Materialgleichungen .............................. 313
9.2.4 FE-Formulierung ................................. 316
X Inhaltsverzeichnis
9.2.5 Beispiel ........................... ,., .. " ....... 325
9.2.6 Zusammenfassung ........................... , .... 327
9.3 Rotationssymmetrisches Schalenelement ................... 328
9.3.1 Kinematik und Verzerrungen der rotationssymmetri-
schen Schale ............ , , .............. , ........ 328
9,3.2 Variationsformulierung ............ , ........ , ...... 332
9.3.3 Materialgleichungen .... , ........... , .... ,.,' .. , .. 332
9.3.4 Finite-Element-Formulierung ......... , ...... , ... , .. 339
9.4 Allgemeine Schalenelemente .. ,., ........................ 345
9.4.1 Vorbemerkungen ....... " ....... , ............. , .. 345
9.4.2 Kinematik ... , ................................... 351
9.4.3 Parametrisierung der Rotationen ................... 354
9.4.4 Schwache Form .................................. 357
9.4.5 Materialgleichungen für die Schale .................. 358
9.4.6 Finite-Element-Formulierung für das 5-Parameter Mo-
delI .................... , ........................ 360
9.4.7 Schalenverschneidungen .. , ........................ 374
9.5 Beispiele .............................................. 375
9.5.1 Biegung eines Kragträgers ......................... 376
9.5.2 Aufblasvorgang einer quadratischen Platte ........... 376
9.5.3 Zylinder unter Einzellast .......................... 378
9.5.4 Abschließende Bemerkungen ....................... 379
10. Spezielle Kontinuumselemente ............................ 383
10.1 Anforderungen an Kontinuumselemente ................... 383
10.2 Gemischte Elemente für Inkompressibilität ................. 388
10.2.1 Gemischtes Q1-PO Element ........................ 391
10.2.2 Linearisierung des Q1-PO Elementes ................ 392
10.3 Stabilisierte finite Elemente .............................. 394
10.3.1 Stabilisierungsvektoren ............................ 396
10.3.2 Schwache Form und Linearisierung ................. 398
10.4 Enhanced Strain Element ................................ 399
10.4.1 Generelle Vorgehensweise, klassische Formulierung .... 401
10.4.2 Diskretisierung ................................... 402
10.4.3 Kombination aus enhanced Formulierung und hour-
glass Stabilisierung ............................... 413
10.4.4 Instabilitäten bei den enhanced Elementen .......... 417
10.4.5 Stabilisierung der enhanced Formulierung ........... 424
10.4.6 Spezielle Interpolation der enhanced Modes .......... 426
11. Kontaktprobleme ......................................... 429
11.1 Kontaktkinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
11.2 Konstitutive Gleichungen in der Kontaktzone .............. 433
11.2.1 Normalkontakt ................................... 433
11.2.2 Tangentialkontakt ................................ 435
