Nichtlineare Filterverfahren mit Anwendungen auf Lokalisierungsprobleme

142 Pages·2003·1.85 MB·German

Lehrstuhl fu¨r Steuerungs- und Regelungstechnik der Technischen Universit¨at Mu¨nchen
Nichtlineare Filterverfahren mit Anwendungen auf
Lokalisierungsprobleme
Kai Peter Briechle
Vollst¨andiger Abdruck der von der Fakult¨at fu¨r Elektrotechnik und Informationstechnik
der Technischen Universit¨at Mu¨nchen zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktor-Ingenieurs
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Klaus Diepold
Pru¨fer der Dissertation: 1. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Gu¨nther Schmidt (em.)
2. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Uwe Hanebeck,
Universit¨at Karlsruhe (TH)
Die Dissertation wurde am 25. M¨arz 2003 bei der Technischen Universit¨at Mu¨nchen ein-
gereicht und durch die Fakult¨at fu¨r Elektrotechnik und Informationstechnik am
15. September 2003 angenommen.

III
Vorwort
Die vorliegende Dissertation entstand w¨ahrend meiner viereinhalbj¨ahrigen T¨atigkeit als
wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl fu¨r Steuerungs– und Regelungstechnik der
Technischen Universit¨at Mu¨nchen.
Mein besonderer Dank gilt dem Lehrstuhlinhaber, Herrn Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h.
Gu¨nther Schmidt, der mir die Durchfu¨hrung der Forschungst¨atigkeiten, auf welchen die
vorliegende Arbeit basiert, erm¨oglichte und durch Ratschl¨age und Diskussionen unter-
stu¨tzte.
Mein Dank gilt Prof. Dr.-Ing. Klaus Diepold fu¨r die U¨bernahme des Vorsitzes in der
Pru¨fungskommission. Danken m¨ochte ich Prof. Dr.-Ing. Uwe Hanebeck fu¨r die freundliche
U¨bernahmedesKorreferats,seinInteresseanmeinerArbeitunddielangj¨ahrigefruchtbare
Zusammenarbeit.
MeinenKollegenamLehrstuhlfu¨rSteuerungs–undRegelungstechnikbinichdurchdiegu-
te Zusammenarbeit, zahlreiche interessante fachliche Diskussionen und ihre große Hilfsbe-
reitsschaftsehrverbunden.Ebensom¨ochteichmichbeidenHerrenJaschik,Gradl,Kubick
undLowitzausderelektrischenundmechanischenWerkstattfu¨rdieguteZusammenarbeit
beim Aufbau der Experimentalplattform ROMAN II bedanken.
Nicht zuletzt m¨ochte ich mich bei meinen Eltern bedanken, die mich immer auf meinem
Weg unterstu¨tzt haben.
Mu¨nchen, im M¨arz 2003 Kai Briechle
IV
Fu¨r meine Eltern und
meine Schwester
V
Inhaltsverzeichnis
Konventionen und Symbolik VIII
Kurzfassung XII
1 Einfu¨hrung 1
1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Modellierung des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Stand des Wissens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Optimale Filterverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Einordnung nichtlinearer Filterverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Inhaltsu¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Nichtlineare Filterverfahren im Hyperraum 13
2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Dichterepr¨asentationen im Hyperraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Transformation des Filterproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Pseudo–Gaußdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Pseudo–Ellipsoidale Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Filterung im Hyperraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1 Grundprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Filteralgorithmus fu¨r Pseudo–Gaußdichten . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.3 Filteralgorithmus fu¨r pseudo–ellipsoidale Mengen . . . . . . . . . . 24
2.4 Berechnung der Messunsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Vk∗
2.4.1 Berechnung der Messunsicherheit im Falle stochastischer Fehler . 27
Vk∗
2.4.2 Berechnung der Messunsicherheit im Falle mengenbegrenzter
Vk∗
Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Beispiel: Nichtlineare Abstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Der Pr¨adiktionsschritt der Hyperraumfilterung . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Nichtlineare Filterverfahren basierend auf Gaussian–Mixture–Dichten 38
3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.1 Motivation fu¨r den Einsatz nichtlinearer Filterverfahren auf der
Basis von Gaussian–Mixture–Dichten . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.2 Beispiel: Nichtlineare Abstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Dichterepr¨asentation durch Gaussian–Mixture–Dichten . . . . . . . . . . . 41
3.3 Stand der Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
VI Inhaltsverzeichnis
3.4 Optimale Filterung mit Formapproximation: Das PGME–Verfahren . . . . 45
3.4.1 Grundidee der Filterung mit Formapproximation . . . . . . . . . . 46
3.4.2 Ein quadratisches Gu¨temaß fu¨rdie A¨hnlichkeit von Wahrscheinlich-
keitsdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Der Filterschritt des PGME–Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5.1 Progressionsverfahren mit Parametrisierung der Messunsicherheit . 51
3.5.2 Das quadratische Gu¨temaß G fu¨r den Filterschritt . . . . . . . . . . 53
3.5.3 Berechnung des Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.4 Parametrische Adaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.5 Strukturelle Adaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5.6 Effiziente Berechnung des Gu¨temaßes . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5.7 Algorithmischer Ablauf des PGME–Filterschrittes . . . . . . . . . . 70
3.6 Der Pr¨adiktionsschritt des PGME–Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.1 Lineare Pr¨adiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6.2 NichtlinearePr¨adiktionmitMinimierungeinesquadratischenGu¨te-
maßes G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.7 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4 Experimentelle Validierung 76
4.1 Fallbeispiel 1: Lokalisierung im Falle relativer Winkelmessungen . . . . . . 76
4.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.2 Beschreibung der Lokalisierungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.3 Motivation des gew¨ahlten Ansatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.4 Lokalisierung im Falle relativer Winkelmessungen mit nichtlinearen
Filterverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.5 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.6 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Fallbeispiel 2: Lokalisierung von Mobiltelefonen . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2 Beschreibung der Lokalisierungsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.3 Modellierung des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.4 Parameteridentifikation fu¨r das Testszenario . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.5 Nichtlineare Lokalisierung mit Abstandsmessungen . . . . . . . . . 95
4.2.6 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.7 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5 Zusammenfassung und Ausblick 103
5.1 Zusammenfassende Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A Filterverfahren fu¨r lineare Systeme 106
A.1 Kalman–Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.2 Mengenbasierte Zustandssch¨atzung fu¨r lineare Systeme . . . . . . . . . . . 106
A.2.1 Filterschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.2.2 Pr¨adiktionsschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Inhaltsverzeichnis VII
B Optimale mengenbasierte Filterverfahren 109
B.1 Optimales rekursives Filterverfahren fu¨r mengenbasierte Unsicherheitsmo-
dellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
C Filterverfahren auf der Basis von Matrixabsch¨atzungen 110
C.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
C.2 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
C.3 Matrixabsch¨atzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
C.4 Anwendung der Matrixabsch¨atzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
C.4.1 Pr¨adiktionsschritt des Filterverfahrens im Falle unbekannter Kor-
relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
C.4.2 Filterschritt des Filterverfahrens im Falle unbekannter Korrelationen113
C.4.3 Optimale Parameter fu¨r den Pr¨adiktions– und den Filterschritt . . 114
C.5 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
D Herleitung des CI–Filterschrittes 117
D.1 Beweis des CI–Filterschrittes mit Hilfe einer Matrixapproximation . . . . . 117
D.2 Herleitung des optimalen Pr¨adiktionsparameters . . . . . . . . . . . . . . . 118
D.3 Herleitung des optimalen Fusionsparameters . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Literaturverzeichnis 121
VIII Konventionen und Symbolik
Konventionen und Symbolik
Konventionen
a Skalar
a Spaltenvektor
aT Zeilenvektor
A Matrix
AT Transponierte Matrix
˜ Wahrer Wert der Gr¨oße *
∗
ˆ Nominaler Wert der Gr¨oße *
∗
IR Menge der reellen Zahlen
atan2(x,y) arctan–Funktion zweier Argumente
E[x] Erwartungswert der Zufallsvariable x
Symbolik
Symbole fu¨r Zustandsraumbeschreibungen
Dynamisches System
S
Lineares dynamisches System
L
S
x Zustandsvektor zum Zeitpunkt k
k
z Messvektor
k
u Eingangsgr¨oßenvektor
k
w Vektor des Systemrauschens
k
v Vektor des Messrauschens
k
Zk Menge aller Messungen z bis zum Zeitpunkt k
i
f (.) Nichtlinearer Funktionenvektor der Systemdynamik
k
h (.) Nichtlinearer Funktionenvektor der Messungen
k
A Systemmatrix fu¨r ein lineares System
k
B Eingangsmatrix
k
H Messmatrix
k
N Dimension des Zustandsraums
Symbole fu¨r das Hyperraum–Filterverfahren
R¨aume, Mannigfaltigkeiten, Transformationen
S Zustandsraum, Originalraum IRN
S Hyperraum IRLx
∗
T Messraum IRM
T Messhyperraum IRLz
∗
N Dimension des Zustandsraums
Konventionen und Symbolik IX
M Dimension des Messraums
L Dimension des Hyperraums
x
L Dimension des Messhyperraums
z
U Universelle Mannigfaltigkeit
∗
W Mannigfaltigkeit des Messrauschens
∗
T(.) Nichtlineare Transformation in den Hyperraum
η (.) Nichtlineare Transformation in den Messhyperraum
k
Mengen
Menge von Zust¨anden
Xk
˜
Wahre Menge von Zust¨anden
Xk
Pseudo–ellipsoidale Menge im Hyperraum S
Xk∗ ∗
p Priore Menge gesch¨atzter Zust¨ande
Xk
e Posteriore Menge gesch¨atzter Zust¨ande
Xk
Menge aller m¨oglichen Zust¨ande des Messrauschens
k
V
Menge aller m¨oglichen Zust¨ande des Systemrauschens
k
W
Pseudo–ellipsoidale Menge aller m¨oglichen Zust¨ande des Messrauschens im
Vk∗
Hyperraum T
∗
˜
Wahre Menge aller m¨oglichen Zust¨ande des Messrauschens im Hyperraum
Vk∗
T
∗
Menge aller m¨oglichen Eingangsgr¨oßen
k
U
¯
Approximierte Menge aller transformierten Messungen im Hyperraum
Zk∗
˜¯
Wahre Menge aller transformierten Messungen im Hyperraum
Zk∗
Menge in Form eines Hyperquaders
R∗k
Intervalle
Skalares Intervall
I
vL Untere Intervallgrenze fu¨r das Messrauschen
vU Obere Intervallgrenze fu¨r das Messrauschen
zL Untere Intervallgrenze fu¨r die transformierte Messung z¯
k
zU Obere Intervallgrenze fu¨r die transformierte Messung z¯
k
Sonstige Symbole
xˆ Mittelpunktvektor einer ellipsoidalen Menge bzw. Erwartungswert einer
k
Gaußdichte
xˆ Mittelpunktvektor einer pseudo–ellipsoidalen Menge bzw. Erwartungswert
∗k
einer Pseudo–Gaußdichte
v¯ Messrauschen im Hyperraum S
∗k ∗
v In Abh¨angigkeit von z transformiertes Messrauschen im Hyperraum S
∗k k ∗
vˆ Mittelpunktvektor der ellipsoidalen Menge des Messrauschens v bzw. Er-
k k
wartungswert des Messrauschens
X Konventionen und Symbolik
vˆ Mittelpunktvektorderpseudo–ellipsoidalenMengedesMessrauschensv im
∗k ∗k
Hyperraum
vˆ¯ Erwartungswert der Pseudo–Gaußdichte f (v¯ )
∗k v¯∗ ∗k
C Positiv definite, symmetrische Matrix die eine Gaußdichte bzw. eine ellip-
k
soidale Menge definiert
C Positivdefinite,symmetrischeMatrixdieeinePseudo–Gaußdichtebzw.eine
∗k
pseudo–ellipsoidale Menge definiert
C¯v,∗ Positiv definite, symmetrische Matrix die die Pseudo–Gaußdichte des
k
Messrauschens v¯ definiert
∗k
V Positiv definite, symmetrische Matrix die die pseudo–ellipsoidale Menge
∗ Vk∗
des Messrauschens definiert
z¯ Transformierte Messung
k
zˆ¯ Nominalwert der Sch¨atzung fu¨r die transformierte Messung
k
f (.) Wahrscheinlichkeitsdichte im Hyperraum
∗
f (.) Wahrscheinlichkeitsdichte des Messrauschens im Hyperraum
v∗
G Transformationsmatrix des Messrauschens im Hyperraum
∗k
Symbole fu¨r das PGME–Filterverfahren
Wahrscheinlichkeitsdichten
f (.) Allgemeine Wahrscheinlichkeitsdichte
˜
f (.) Wahre, theoretisch exakte Wahrscheinlichkeitsdichte
f (z x ) Likelihoodfunktion: Wahrscheinlichkeitsdichte von z unter der Bedin-
k| k k
gung x
k
f x x Zustandstransitionsfunktion: Wahrscheinlichkeitsdichte von x unter
k+1| k k+1
der Bedingung x
¡ ¢ k
f x ,η Approximierende Gaussian–Mixture–Dichte
A k
f (.) j–te Komponente der Gaussian–Mixture–Dichte f (.)
A,j¡ ¢ A
f x Pr¨adizierte Dichte zum Zeitpunkt k +1
p k+1
f (x ) Posteriore Dichte nach Filterschritt zum Zeitpunkt k
e¡ k ¢
˜
f (x ,τ) Wahre, parametrisierte Wahrscheinlichkeitsdichte
τ k
˜
f (x ,τ) Wahre, parametrisierte Wahrscheinlichkeitsdichte im Filterschritt
e k
f (v ) Wahrscheinlichkeitsdichte des Messrauschens v
v k k
f (w ) Wahrscheinlichkeitsdichte des Systemrauschens w
w k k
(.) Gauß’sche Normaldichte
N
Parameter einer Gaussian–Mixture–Dichte
η Parametervektor der approximierenden Gaussian–Mixture–Dichte f (.)
A
(wp )2 Quadriertes Gewicht, j–te pr¨adizierte Dichte
jk
µp Erwartungswert, j–te pr¨adizierte Dichte
j,k
Cp Kovarianzmatrix, j–te pr¨adizierte Dichte
j,k
(we )2 Quadriertes Gewicht, j–te posteriore Dichte
jk