Table Of ContentHochschultext
H. W SchUBler
Netzwerke, Signale
undSysteme
Band II
Theorie kontinuierlicher und
diskreter Signale und Systeme
Mit 176 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York Tokyo
1984
Dr.-Ing. Hans Wilhelm SchuBler
o. Professor, Lehrstuhl fUr Nachrichtentechnik
der Universitat Erlangen-NUrnberg
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
SchUBler, Hans Wilhelm
Netzwerke, Signale und Systeme 1 H.w. SchUBler
Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer
(Hochschultext)
Bd.2 : SchUBler, Hans Wilhelm
Theorie kontinuierlicher und diskreter Signale und Systeme
H.w. SchUBler
Berlin; Heidelberg; New York; Tokyo: Springer 1984
(Netzwerke, Signale und Systeme 1 H.W. SchUBler; Bd. 2)
(Hochschultext)
ISBN-13: 978-3-540-13118-2 e-ISBN-13: 978-3-642-96810-5
001: 10.1007/978-3-642-96810-5
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2362/3020-543210
Fur die Signal- und Systemtheor~e ist in besonders starkem MaBe
charakteristisch, daB sie mit mathematischen Modellen arbeiten,
mit denen die Signale und die an einem Gebilde gultigen Be
ziehungen zwischen ihnen beschrieben werden. Da es dabei stets
nur auf diese mathematischen Aussagen ankommt, tritt die Art der
auftretenden GraBen und der Realisierung der Systeme in den Hin
tergrund. Fur die Untersuchungen ist es zunachst gleichgultig,
ob ihre Ergebnisse fur die approximative Beschreibung des Ver
haltens von z.B. elektrischen oder mechanischen Gebilden verwen
det werden sol len oder ob sie flir ein Rechnerprogramm gel ten.
MaBgebend ist, wenn vorhanden, die gemeinsame mathematische
Basis.
In dem hier vorgelegten zweiten Teil des Buches wird der Versuch
unternommen, sowohl diskrete wie kontinuierliche Signale und
Systeme einheitlich und weitgehend parallel zu behandeln. Die
engen Verwandtschaften zwischen beiden Gebieten werden aufge
zeigt, die Unterschiede herausgearbeitet. Ebenso werden deter
minierte und stochastische Signale nebeneinander betrachtet. Es
wird untersucht, wie Systeme auf sie reagieren.
Das erste Hauptkapitel behandelt zunachst die verwendeten Signale
im Zeit- und Frequenzbereich. Dabei werden sowohl Folgen wie Funk
tionen betrachtet und die zwischen ihnen bestehenden Beziehungen
untersucht, falls z.B. die Folgen durch Abtastung der Funktionen
entstanden sind. Die Behandlung erstreckt sich dabei sowohl auf
determinierte wie stationare stochastische Signale. Es schlieBt
sich eine allgemeine Theorie der Systeme an, die auf der Basis der
durch sie vermittelten Relation zwischen Eingangs- und Ausgangs
graBen klassifiziert werden. Eingehender werden lineare Systeme
betrachtet, die durch Impuls- oder Sprungantwort gekennzeichnet
sind. Die weitere Spezialisierung fuhrt auf zeitinvariante lineare
Systeme, die zusatzlich im Frequenzbereich beschrieben werden kannen.
VI Vorwort
Bis hierher waren noch keine Voraussetzungen uber die mathematische
Form der die Systeme beschreibenden Beziehungen gemacht worden. Die
restlichen drei Kapitel fuhren solche Spezialisierungen ein. Sehr
eingehend werden die Systeme betrachtet, die durch gewahnliche Dif
ferential- oder Differenzengleichungen beschrieben werden, wobei
der lineare, zeitinvariante Fall einen besonders breiten Raum einnimmt
Bezuglich kontinuierlicher Systeme kann dabei haufig auf das Beispiel
der in Band I behandelten Netzwerke verwiesen werden. Hier wird die
dazu magliche Verallgemeinerung dargestellt, besonders aber die
groBe Parallelitat zu den Systemen herausgestellt, die durch Diffe
renzengleichungen beschrieben werden. Die Eigenschaften der sie
kennzeichnenden Impuls- und Sprungantworten sowie der Ubertragungs
funktion und des Frequenzganges werden ausfuhrlich diskutiert, so
wie das fur die entsprechenden GraBen kontinuierlicher Systeme be
reits im Band I geschah. Die fur beide Systemarten gultigen Unter
suchungen der Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit und Stabilitat schlie Ben
sich an. In diesem Abschnitt finden sich weiterhin charakteristische
Beispiele fur die Anwendung diskreter Systeme sowie fur das Zusammen
spiel beider Systemarten. SchlieBlich werden die wichtigsten gefun
denen Beziehungen tabellarisch zusarnrnengestellt. Es folgen eine kurz
gefaBte Untersuchung linearer, zeitvariabler, insbesondere periodisch
zeitvariabler Systeme und ein Abschnitt uber die Stabilit~t all
gemeiner Systeme.
Die Behandlung von Gebilden mit verteilten Parametern beschrankt
sich auf Systeme, bei denen die beschreibende partielle Differen
tialgleichung nur zwei unabhangige variable hat, neben der Zeit
also eine Ortsvariable. Als charakteristisches Beispiel wird die
homogene Leitung untersucht und ihr Frequenz- und Zeitverhalten
insbesondere fur einige wichtige Spezialfalle dargestellt. Eine
Verbindung zu diskreten Systemen ist hier insofern maglich, als
diese als Modell fur spezielle Leitungsnetzwerke verwendet werden
konnen. In einem kurzen Abschnitt wird gezeigt, daB das Verhalten
einiger anderer, nicht elektrischer physikalischer Systeme durch
die gewonnenen Ergebnisse ebenfalls beschrieben werden kann.
Das abschlieBende 5. Kapitel befaBt sich mit idealisierten, linea
ren, zeitinvarianten Systemen. Oem klassischen Vorgehen von Kupf
muller folgend wird das Zeitverhalten von kontinuierlichen und
diskreten systemen untersucht, fur die willkurlich idealisierte
Ubertragungsfunktionen angenornrnen werden. Dadurch gelingen sehr
allgemeingultige Aussagen uber die Wirkung charakteristischer Ab-
Vorwort VII
weichungen vom idealen Verhalten. Es schlieBt sich eine Betrachtung
tiber kausale Systeme und die bei ihnen vorliegenden Beziehungen
zwischen den Komponenten des Frequenzganges an. Erganzende Aussa
gen zur Signaltheorie bilden den AbschluB. Der Anhang bringt eine
z.T. tabellarische Zusammenstellung von Beziehungen und Aussagen
aus verschiedenen im Buch benotigten mathematischen Gebieten.
Auch der II. Band der Reihe' ist als Lehrbuch gedacht. Er ist aus
Vorlesungen liber Systemtheorie und Digitale Signalverarbeitung
entstanden, die an der Universitat Erlangen-Nlirnberg fUr das 5.
und 6. semester gehalten werden. Das Buch enthalt eine Vielzahl
von Beispielen, die durch MeBergebnisse von Versuchen unterstlitzt
werden, die ihrerseits z.T. wieder von Vorlesungsdemonstrationen
stammen.
Bei der Niederschrift konnte ich mir zu Einzelfragen Rat und Hin
weise bei den Professoren Brand, Brehm, Brunk, Henze, Mecklen
brauker, Pfaff und Rupprecht sowie bei Dr. Kittel holen. Die Vor
bereitung der Beispiele und der vorgestellten Experimente erfor
derte die Hilfe mehrerer Mitarbeiter des Institutes, von denen
ich die Herren Dipl.-Ing. Rabenstein und Weith besonders erwahne.
Bei der mlihevollen Arbeit des Korrekturlesens haben mich die
Herren Dr.-Ing. habil. Heute und Dr. Steffen sehr unterstlitzt.
Insbesondere habe ich hier die Hilfe von Dr. Steffen hervorzu
heben, der mir zu allen Kapiteln ein kritischer Gesprachspartner
war und zu verschiedenen Punkten konstruktive Vorschlage ge
macht hat. Die Reinschrift des Textes, die Anfertigung der zahl
reichen Zeichnungen und die photographischen Arbeiten lagen in
den bewahrten Handen von Frau Frizlen, Frau Grlindl, Frau Felske
und Frau WeiB. Ihnen allen gilt mein Dank. Ebenso danke ich dem
Springer-Verlag flir die gute Zusammenarbeit.
Erlangen, 31.12.1983
H.W. SchliBler
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
2 Eigenschaften von Signalen und Systemen 4
2. 1 Determinierte S ignale . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . • . • . • • . . . . . 4
2.1.1 Betrachtung im Ze i tbereich .. . . . . . . . . . . . . . . . • . . 4
2.1.2 Betrachtung im Frequenzbereich 14
2.1.2.1 Periodische Funktionen, Fourierreihen 14
2.1.2.2 Periodische Folgen, Diskrete Fourier-
transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2.3 Spektrum von Funktionen, Fouriertrans-
formation .. . . • . . . . . . • . . . • . • . . . .• . . • . . . 27
1. Einflihrung 27
2. Gesetze der Fouriertransformation 30
2.1.2.4 Spektren von Folgen 41
2.1.2.5 Spektren verallgemeinerter Funktionen 46
2.1.2.6 Spektren abgetasteter Funktionen 49
2.1.2.7 Das Abtasttheorem ....•....•........... 53
2.2 Stochastische Folgen und Funktionen 59
2.2.1 Betrachtung im Zeitbereich ....•...•........... 59
2.2.1.1 Einflihrung ........................... . 59
2.2.1.2 Erwartungswert, Charakteristische
Funktion •..........................•.. 66
2.2.1.3 Zwei Zufallsvariablen ................ . 68
2.2.1.4 Korrelation und Kovar ianz ............ . 74
2.2.1.5 Zeitmittelwerte, Ergodische Prozesse 79
2.2.2 Betrachtung im Frequenzbereich 83
2.3 Systeme 87
2.4 Beschreibung von linearen Systemen im Zeitbereich 95
2.4.1 Kennzeichnung durch die Sprungantwort ......... 96
2.4.2 Kennzeichnung durch die Impulsantwort ......... 100
2.4.3 Eine StabilitKtsbedingung ..•.................. 103
2.4.4 Zeitverhalten von linearen Systemen mit ~ Ein-
gKngen und r AusgKngen ........................ 107
Inhaltsverzeichnis IX
2.5 Beschreibung von linearen, zeitinvarianten Systemen
im Frequenzbereich ••....•.•••.••.•••.•.••••••.•••••. 109
2.6 Reaktion eines linearen, zeitinvarianten Systems auf
ein Zufallssignal .•....••.•.•.••.••••..•••.••.••.•.... 114
2.7 Verlustfreie und verlustbehaftete Systeme 122
2.8 Beispiele .•...............•...••.•.•.••.....••••....•. 125
1. Verzogerungsglied •.••••....•...••.•..••.•.....••... 126
2. Angenaherte und exakte Differentiation 127
3. Angenaherte und exakte Integration ...•..•....•..... 129
4. Mittelwertbildung tiber ein Fenster fester Breite 131
5. System erster Ordnung 136
2.9 Bemerkungen zu nichtlinearen Systemen 138
2.9.1 Regulare Verzerrungen .....•..•.....•..•........• 139
2.9.2 MeBgroBen fur nichtlineare Verzerrungen .....•... 141
2.9.3 Nichtregulare nichtlineare Verzerrungen 143
a) Ubersteuerung 143
b) Quantisierung 144
2.9.4 Hystereseverzerrungen 146
Literatur 148
3 Kausale Systeme, beschrieben durch gewohnliche Differenzen
oder Differentialgleichungen ..............•............... 150
3.1 Zustandskonzept und Zustandsgleichungen 150
3.2 Lineare, zeitinvariante Systeme ........••............. 152
3.2. 1 Vorbemerkung .........•..••............•.....•... 152
3.2.2 Zustandsgleichungen, realisierende Strukturen,
Ubertragungsfunktionen ......................... . 157
3.2.2.1 Beispiele 159
3.2.2.2 Systeme n-ter Ordnung 165
3.2.2.3 Verallgemeinerung 176
3.2.2.4 Transformation von Zustandsvariablen 180
3.2.3 Die Losung der Zustandsgleichung im Zeitbereich 184
3.2.3.1 Kontinuierliche Systeme 184
3.2.3.2 Diskrete Systeme 186
3.2.4 Die Losung der Zustandsgleichung im Frequenzbe-
reich .....................•..................... 193
3.2.4.1 Kontinuierliche Systeme 193
3.2.4.2 Diskrete Systeme 194
3.2.5 Erganzende Betrachtung diskreter Systeme ......•. 202
3.2.5.1 Impuls- und Sprungantwort .............•. 202
3.2.5.2 Stabilitat 205
3.2.5.3 Frequenzgang 208
3.2.5.4 Beziehungen zwischen den Komponenten
einer Ubertragungsfunktion .......•...... 215
x Inhaltsverzeichnis
3.2.5.5 Mindestphasensysteme und Allpasse 226
3.2.5.6 Autokorrelierte der Impulsantwort 231
3.2.5.7 Nichtrekursive Systeme 237
3.2.5.8 Systeme linearer Phase ................. . 240
3.2.5.9 Charakteristische Frequenzgange ........ . 242
3.2.6 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit .............. . 251
3.2.7 Erganzende Betrachtungen zur Stabilitat linearer,
zeitinvarianter Systeme ........................ . 258
3.2.7.1 Stabilitatsuntersuchung basierend auf den
Zustandsvariablen ...................... . 258
3.2.7.2 Graphische Stabilitatstests 260
a) Nyquist-Kriterium 261
b) Wurzelortsverfahren 272
3.2.8 Anwendungen 283
a) Simulation . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . 284
b) Digital-Analogwandlung und Glattung .......... 291
3.2.9 Zusammenstellung von Beziehungen dieses Abschnit-
tes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29'5
3.3 Lineare, zeitvariante Systeme 301
3.3.1 Losung der Zustandsgleichung 302
3.3.1.1 Behandlung der homogenen Gleichungen 302
a) Allgemeiner Fall 302
b) Periodisch zeitvariable Systeme 308
3.3.1.2 Behandlung der inhomogenen Gleichungen 318
3.3.2 Behandlung zeitvarianter Systeme im Frequenzbe-
reich ........................................... 322
3.4 Allgemeine Systeme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .. .. 323
3.4.1 Stabilitatsdefinition nach LYAPUNOV (1892) 324
3.4.2 Stabilitat nicht erregter linearer Systeme 328
3.4.3 Die direkte Methode von LYAPUNOV 331
3.4.4 Stabilitat erregter linearer Systeme 342
Literatur 344
4 Lineare, kausale Systeme, beschrieben durch partielle Diffe-
rentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 347
4.1 Vorbemerkungen 347
4.2 Homogene Leitungen 348
4.2.1 Leitungsgleichungen 348
4.2.2 Untersuchung des Frequenzverhaltens 349
1. Verzerrungsfreie Leitung 358
2. Verlustfreie Leitung 359
4.2.3 Untersuchung des Zeitverhaltens ................ . 362
4.2.4 Wellenmatrizen ................................. . 369
Inhaltsverzeichnis XI
4.2.4.1 Einftihrung 369
4.2.4.2 Die Wellenquelle 371
4.2.4.3 Eintorige StoBstelle .•......•....•....... 372
4.2.4.4 Zweitorige StoBstelle, Streumatrix •...••• 374
4.2.4.5 Kaskadenmatrix 377
4.2.4.6 Beispiele 379
a) Die Elementarleitung .........•....•..• 379
b) Zusammenschaltung zweier Leitungen 380
c) Betriebsverhalten einer Leitungs-
kaskade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
4.3 Physikalische Systeme, die zur homogenen Leitung analog
sind .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . • . . . . . . . . . 383
4.3.1 Die Wellengleichung 383
4.3.2 Die Warmeleitungsgleichung 385
Literatur 388
5 Idealisierte, lineare, zeitinvariante Systeme .•..........•. 390
5.1 Einftihrung ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
5.2 Verzerrungsfreie Systeme ... '" . .. ... .. . ... . . .. . .. ... . .. 392
5.3 Impuls- und Sprungantworten idealisierter Systeme 395
5.3.1 Verzerrung des Betragsfrequenzganges 395
5.3.1.1 Idealisierter TiefpaB 395
5.3.1.2 Allgemeine Systeme linearer Phase ........ 400
5.3.1.3 Spezielle Verzerrungen des Betragsfre-
quenzganges ....... '.' . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . 407
1. Ansteigender oder abfallender Verlauf
von Ho (w) ., • ••• •• •• •• •• • •• ••• •• ••• • •• • 408
2. Schwankende Ubertragungsfunktion 409
3. Gtinstige Ubertragungsfunktion 412
5.3.1.4 Impulsantwort von Bandpassen 415
5.3.2 Systeme mit Phasenverzerrung ..............•...... 419
5.3.2.2 Tiefpasse mit Phasenverzerrung .......... . 422
5.3.3 Allgemeine Verfahren zur Berechnung des Zeitver-
hal tens von Systemen .....•........•..........•.•. 425
5.4 Wechselschaltvorgange 431
5.4.1 Allgemeine Zusammenhange ........................ . 431
5.4.2 Wechselschaltvorgange in idealisierten Tiefpassen 436
5.4.3 Wechselschaltvorgange im idealisierten BandpaB 442
5.5 Kausale Systeme 446
5.5.1 Vorbemerkung 446
5.5.2 Beziehungen zwischen Real- und Imaginarteil
eines Frequenzganges •........................... 450
5.5.3 Beziehungen zwischen Dampfung und Phase 461
