Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Hans Wilhelm Schüßler
Netzwerke, Signale
und Systeme
Band2
Theorie kontinuierlicher
und diskreter Signale und Systeme
Zweite, neubearbeitete und erweiterte Auflage
Mit 198 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Dr.-lng. Hans Wilhelm Schüßler
Universitätsprofessor, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik
der Universität Erlangen-Nürnberg
Die I. Auflage 1984 erschien unter gleichem Titel als »Hochschultext«
ISBN 978-3-540-52986-6
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Schüßler, Hans W.:
Netzwerke, Signale und Systeme I Hans Wilhelm Schüßler.
(Springer-Lehrbuch)
Literaturangaben
Bd. 2. Theorie kontinuierlicher und diskreter Signale und Systeme.
2., neubearb. u. erw. Aull.-1990
ISBN 978-3-540-52986-6 ISBN 978-3-662-08932-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-08932-3
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©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1984 and !990
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Beideiberg New York !990
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2362/3020-543210
Vorwort
Für die Signal- und Systemtheorie ist in besonders starkem Maße charakteri
stisch, daß sie mit mathematischen Modellen arbeiten, mit denen die Signale und
die an einem Gebilde gültigen Beziehungen zwischen ihnen beschrieben werden.
Da es dabei stets nur auf diese mathematischen Aussagen ankommt, sind die
physikalische Bedeutung der auftretenden Größen und Fragen der Realisierung
der Systeme ohne primären Belang. Für die Untersuchungen ist es zunächst
gleichgültig, ob ihre Ergebnisse für die approximative Beschreibung des Verhal
tens von z.B. elektrischen oder mechanischen Gebilden verwendet werden sollen
oder ob sie für ein Rechnerprogramm gelten. Maßgebend ist nur die gemeinsame
mathematische Basis.
In dem hier vorgelegten zweiten Teil des Buches wird der Versuch unternom
men, sowohl diskrete wie kontinuierliche Signale und Systeme einheitlich und
weitgehend parallel zu behandeln. Die engen Verwandtschaften zwischen beiden
Gebieten werden aufgezeigt, die Unterschiede herausgearbeitet. Ebenso wer
den determinierte und stochastische Signale nebeneinander betrachtet. Es wird
untersucht, wie Systeme auf sie reagieren.
Das erste Hauptkapitel behandelt zunächst die verwendeten Signale im Zeit- und
Frequenzbereich. Dabei werden sowohl Folgen wie Funktionen betrachtet und
die zwischen ihnen b'estehenden Beziehungen untersucht, falls z.B. die Folgen
durch Abtastung der Funktionen entstanden sind. Es interessieren hier auch
die spektralen Eigenschaften kausaler Signale sowie die Beziehungen zwischen
Impulsdauer und Bandbreite. Ein Unterabschnitt bringt eine Einführung in die
Beschreibung stationärer stochastischer Signale.
Es schließt sich eine allgemeine Theorie kontinuierlicher und diskreter Systeme
an, die auf der Basis der durch sie vermittelten Relationen zwischen Eingangs
und Ausgangsgrößen klassifiziert werden. Eingehender werden lineare Systeme
betrachtet, die durch Impuls-oder Sprungantwort gekennzeichnet sind. Die wei
tere Spezialisierung führt auf zeitinvariante lineare Systeme, deren Beschreibung
im Frequenzbereich ausführlich behandelt wird. Die sich für den Frequenzgang
ergebenden Konsequenzen bei zusätzlich angenommener Kausalität und Verlust
freiheit werden betrachtet. Auch wird die Reaktion dieser Systeme auf stocha-
VI Vorwort
stische Signale untersucht. Die sich anschließenden Bemerkungen zu nichtli
nearen Systemen beschränken sich auf die Beschreibung verschiedener Arten der
durch die Nichtlinearität verursachten Verzerrungen sowie auf die Vorstellung
von quantitativen Untersuchungsverfahren.
Abgesehen von den zur Erläuterung vorgestellten Beispielen waren bis hierher
noch keine Voraussetzungen über die mathematische Form der die Systeme be
schreibenden Beziehungen gemacht worden. Die restlichen drei Kapitel führen
solche Spezialisierungen ein. Sehr eingehend werden die Systeme betrachtet, die
durch gewöhnliche Differential-oder Differenzengleichungen beschrieben werden,
wobei der lineare, zeitinvariante Fall einen besonders breiten Raum einnimmt.
Bezüglich kontinuierlicher Systeme kann dabei häufig auf das Beispiel der in
Band I behandelten Netzwerke verwiesen werden. Hier wird die dazu mögliche
Verallgemeinerung dargestellt, besonders aber die große Parallelität zu den Sy
stemen herausgestellt, die durch lineare Differenzengleichungen beschrieben wer
den. Die Eigenschaften der sie kennzeichnenden Impuls- und Sprungantworten
sowie der Übertragungsfunktion und des Frequenzganges werden ausführlich dis
kutiert, so wie das für die entsprechenden Größen kontinuierlicher Systeme be
reits im Band I geschah. Die wichtigsten gefundenen Beziehungen für beide Sy
stemarten werden vergleichend tabellarisch zusammengestellt. Untersuchungen
der Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit und Stabilität schließen sich an. In diesem
Abschnitt finden sich weiterhin charakteristische Beispiele für die Anwendung
diskreter Systeme sowie fiir das Zusammenspiel beider Systemarten. Es folgen
eine kurzgefaßte Untersuchung linearer, zeitvariabler, insbesondere periodisch
zeitvariabler Systeme und ein Abschnitt über die Stabilität allgemeiner Systeme.
Die Behandlung von Gebilden mit verteilten Parametern beschränkt sich auf
Systeme, bei denen die beschreibende partielle Differentialgleichung nur zwei
unabhängige Variable hat, neben der Zeit also eine Ortsvariable. Als charak
teristisches Beispiel wird die homogene Leitung untersucht und ihr Frequenz
und Zeitverhalten insbesondere für einige wichtige Spezialfälle dargestellt. Eine
Verbindung zu diskreten Systemen ist hier insofern möglich, als diese als Mo
dell für spezielle Leitungsnetzwerke verwendet werden können. In einem kurzen
Abschnitt wird gezeigt, daß das Verhalten einiger anderer, nicht elektrischer
physikalischer Systeme durch die gewonnenen Ergebnisse ebenfalls beschrieben
werden kann.
Das abschließende 6. Kapitel befaßt sich mit idealisierten, linearen, zeitinvari
anten Systemen. Dem klassischen Vorgehen von Küpfmüller folgend wird das
Zeitverhalten von kontinuierlichen und diskreten Systemen untersucht, für die
willkürlich idealisierte Übertragungsfunktionen angenommen werden. Dadurch
gelingen sehr allgemeingültige Aussagen über die Wirkung charakteristischer
Abweichungen vom verzerrungsfreien Fall. Es schließt sich eine erneute Betrach
tung kausaler Systeme und die bei ihnen vorliegenden Beziehungen zwischen den
Komponenten des Frequenzganges an. Der Anhang bringt eine z.T. tabellarische
Zusammenstellung von Beziehungen und Aussagen aus verschiedenen im Buch
benötigten mathematischen Gebieten.
Vorwort VII
Auch dieser zweite Band ist als Lehrbuch gedacht. Er ist aus Vorlesungen über
Systemtheorie und Digitale Signalverarbeitung entstanden, die an der Univer
sität Erlangen-Nürnberg für das 5. und 6. Semester gehalten werden. Das
Buch enthält eine Vielzahl von Beispielen, die durch Meßergebnisse von Versu
chen unterstützt werden, die ihrerseits z.T. wieder von Vorlesungsdemonstratio
nen stammen.
Schon bei der ersten Auflage habe ich zu Einzelfragen den Rat der Kollegen
Brand, Brehm, Brunk, Henze, Kittel, Mecklenbräuker, Pfaff und Rupprecht in
Anspruch nehmen können. Die Vorbereitung der Beispiele und der vorgestellten
Experimente erforderte die Hilfe mehrerer Mitarbeiter des Institutes, von denen
ich die Herren Dipl.-Ing. Rabenstein und Weith besonders erwähne.
Die hier vorgelegte 2. Auflage entstand aus einer völligen Überarbeitung des ur
sprünglichen Buches. Neue Ergebnisse wurden zusätzlich aufgenommen, weitere
Beispiele zur Illustration verwendet. Der Rat von Herrn Kollegen Dejon und die
Hilfe der Herren Dipl.-lng. Lang und Schulist ist hier zu nennen.
Bei der mühevollen Arbeit des Korrekturlesens haben mich insbesondere Frau
Dipl.-lng. Dong und die Herren Dipl.-Ing. Lang, Meyer, Reng und Schulist un
terstützt. Vor allem habe ich hier die Hilfe von Herrn Privatdozent Dr. Steffen
hervorzuheben, der mir zu allen Kapiteln ein kritischer Gesprächspartner war
und zu verschiedenen Punkten konstruktive Vorschläge gemacht hat. Die Rein
schrift des Textes, die Anfertigung der zahlreichen Zeichnungen und die photo
graphischen Arbeiten lagen in den bewährten Händen von Frau Bärtsch, Frau
Frizlen, Frau Koschny, Frau Sperk und Frau Weiß. Allen erwähnten Damen
und Herren gilt mein Dank. Ebenso danke ich dem Springer-Verlag für die gute
Zusammenarbeit.
Erlangen, Juni 1990 H.W. Schiißler
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Theorie der Signale 5
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Determinierte Signale ...... . 8
2.2.1 Betrachtung im Zeitbereich 8
2.2.2 Betrachtung im Frequenzbereich 16
2.2.2.1 Periodische Funktionen, Fourierreihen 17
2.2.2.2 Periodische Folgen, Diskrete Fouriertransforma-
tion ........................ . 23
2.2.2.3 Spektren von Funktionen, Fouriertransformation 28
2.2.2.4 Spektren von Folgen ....... . 48
2.2.2.5 Spektrum abgetasteter Funktionen 51
2.2.2.6 Das Abtasttheorem .. 58
2.2.3 Kausale und analytische Signale 64
2.2.4 Zusammenfassung ...... . 73
2.3 Stochastische Folgen und Funktionen . 75
2.3.1 Betrachtung im Zeitbereich .. 75
2.3.1.1 Einführung ..... . 75
2.3.1.2 Definitionen und grundlegende Beziehungen . 76
2.3.1.3 Funktionen einer Zufallsvariablen ..... . 83
2.3.1.4 Erwartungswert, Charakteristische Funktion 87
2.3.1.5 Zwei Zufallsvariablen ........ . 90
2.3.1.6 Korrelation und Kovarianz ..... . 96
2.3.1.7 Zeitmittelwerte, Ergodisehe Prozesse . 99
2.3.2 Betrachtung im Frequenzbereich 102
2.4 Literatur ......................... . 106
3 Systeme 109
3.1 Systemeigenschaften ................. . 109
3.2 Beschreibung von linearen Systemen im Zeitbereich . 116
3.2.1 Kennzeichnung durch die Sprungantwort . 116
3.2.2 Kennzeichnung durch die Impulsantwort . . . 120
3.2.3 Eine Stabilitätsbedingung .......... . 124
3.2.4 Zeitverhalten von linearen Systemen mit fEingängenund
r Ausgängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
X Inhaltsverzeicll nis
3.3 Beschreibung von linearen Systemen im Frequenzbereich 127
3.3.1 Zeitinvariante Systeme . 127
3.3.2 Zeitvariante Systeme . 136
3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . 138
3.4.1 Verzögerungsglied 138
3.4.2 Angenäherte und exakte Differentiation 139
3.4.3 Angenäherte und exakte Integration . . 141
3.4.4 Mittelwertbildung über ein Fenster fester Breite 143
3.4.5 System erster Ordnung . . . . . 114
3.5 Kausale, lineare, zeitinvariante Systeme 146
3.5.1 Kausalität . . . . . . . . . . . . . 146
3.5.2 Passivität und Verlustfreiheit . . 148
3.6 Reaktion eines linearen, zeitinvarianten Systems auf ein Zufallssi-
gnal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.7 Bemerkungen zu nichtlinearen Systemen . . 163
3.7.1 Reguläre Verzerrungen . . . . . . . . 164
3.7.2 Beschreibung nichtlinearer Systeme . 168
3.7.3 Ein Verfahren zur Messung der Eigenschaften nichtlinearer
Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.7.4 Nichtreguläre nichtlineare Verzerrungen 176
3.7.4.1 Ubersteuerung . . . . 176
3.7.4.2 Quantisierung . . . . 178
3.7.4.3 Realer Multiplizierer. 179
3. 7.5 Hystereseverzerrungen 182
3.8 Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4 Kausale Systeme, beschrieben durch gewöhnliche Differential-
oder Differenzengleichungen 185
4.1 Zustandskonzept und Zustandsgleichungen . 185
4.2 Lineare, zeitinvariante Systeme . . . . . . . 187
4.2.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . 187
4. 2. 2 Z ustan dsglei chu ngen, realisierende Basisstrukturen, U bcr-
tragungsfunktionen . . . . . . . . 192
4.2.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.2.2.2 Systeme n-ter Ordnung . . . . . . . . 197
4.2.2.3 Transformation von Zustandsvektoren 210
4.2.3 Die Lösung der Zustandsgleichung im Zeitbereich 215
4.2.3.1 Kontinuierliche Systeme . . . . . . . . . 215
4.2.3.2 Diskrete Systeme . . . . . . . . . . . . . 221
4.2.4 Die Lösung der Zustandsgleichung im Frequenzbereich 224
4.2.4.1 Kontinuierliche Systeme . . . . . . . 224
4.2.4.2 Diskrete Systeme . . . . . . . . . . . 225
4.2.5 Ergänzende Betrachtungen diskreter Systeme 230
4.2.5.1 Impuls- und Sprungantwort . 230
4.2.5.2 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.2.5.3 Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . 234
4.2.5.4 Mindestphasensysteme und Allpässe 240
4.2.5.5 Nichtrekursive Systeme . . . . . . . 244
Inhaltsverzeichnis XI
4020506 Systeme linearer Phase 0 0 o o o 246
4020507 Charakteristische Frequenzgänge 249
40206 Zusammenfassung 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 254
40207 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit 0 0 0 0 260
40208 Ergänzende Betrachtungen zur Stabilität linearer, zeitin-
varianter Systeme 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 267
4020801 Stabilitätsuntersuchung basierend auf den Zustands
variablen 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 267
4020802 Graphische Stabilitätstests 269
40209 Anwendungen 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 289
403 Lineare, zeitvariante Systeme 0 0 0 0 0 0 0 0 302
40301 Die Lösung der Zustandsgleichung 0 303
40301.1 Behandlung der homogenen Gleichungen 303
40301.2 Behandlung der inhomogenen Gleichungen 312
4.4 Allgemeine Systeme 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 315
4.401 Stabilitätsdefinition nach LYAPUNOV 0 315
4.402 Die direkte Methode von LYAPUNOV 321
405 Literatur 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 331
5 Lineare, kausale Systeme, beschrieben durch partielle Differen-
tialgleichungen 335
501 Vorbemerkungen 0 0 0 0 0 0 335
502 Homogene Leitungen 0 0 0 0 336
50201 Leitungsgleichungen 336
50202 Untersuchung des Frequenzverhaltens 337
50203 Untersuchung des Zeitverhaltens 349
502.4 Wellenmatrizen 0 0 0 0 0 0 355
502.401 Einführung 0 0 0 0 0 355
502.402 Die Wellenquelle 0 0 357
502.403 Eintorige Stoßstelle 358
502.4.4 Zweitorige Stoßstelle, Streumatrix 359
502.405 Kaskadenmatrix 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 362
502.406 Beispiele 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 364
503 Physikalische Systeme, die zur homogenen Leitung analog sind 367
50301 Die Wellengleichung 0 0 0 0 0 367
50302 Die Wärmeleitungsgleichung 369
5.4 Literatur 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 371
6 Idealisierte, lineare, zeitinvariante Systeme 373
601 Einführung 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 373
602 Verzerrungsfreie Systeme 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 374
603 Impuls- und Sprungantworten idealisierter Systeme 377
60301 Verzerrung des Betragsfrequenzganges 0 0 0 377
60301.1 Idealisierter Tiefpaß 0 0 0 0 0 0 0 0 377
60301.2 Allgemeine Systeme linearer Phase 0 382
60301.3 Spezielle Verzerrungen des Betragsfrequenzgan-
ges 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o o 0 0 0 0 0 0 0 388
°
6o3ol.4 Impulsantwort von Bandpässen o o 0 0 0 0 0 o 0 0 395
XII Inhaltsverzeichnis
6.3.2 Systeme mit Phasenverzerrung . . . . . . 399
6.3.2.1 Reine Phasenverzerrung . . . . . 399
6.3.2.2 Tiefpässe mit Phasenverzerrung 402
6.3.3 Allgemeine Verfahren zur Berechnung des Zeitverhaltens
von Systemen . . . . . . . . . 404
6.4 Wechselschaltvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
6.4.1 Allgemeine Zusammenhänge. . . . . . . . . . . . 409
6.4.2 Wechselschaltvorgänge in idealisierten Tiefpässen 413
6.4.3 Wechselschaltvorgänge im idealisierten Bandpaß 419
6.5 Kausale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
6.5.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
6.5.2 Beziehungen zwischen Real- und Imaginärteil des Frequenz-
ganges eines kontinuierlichen Systems . . . . 426
6.5.3 Beziehungen zwischen Dämpfung und Phase . 432
6.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
7 Anhang 441
7.1 Einführung in die Distributionentheorie 441
7 .1.1 Lokal integrable Funktionen . 441
7.1.2 Die allgemeine Distribution .. . 443
7.2 Fourierintegrale ............. . 447
7.2.1 Definition, Eigenschaften und Sätze 447
7 .2.2 Fouriertransformation von Distributionen 448
7.3 Funktionentheorie . . . . . . . 455
7.3.1 Holomorphe Funktionen 455
7.3.2 Potenzreihen 456
7.3.3 Integration ...... . 457
7.4 Z-Transformation . . . . . . . . 459
7.4.1 Definition und Eigenschaften 459
7.4.2 Die Rücktransformation 464
7.5 Signalflußgraphen . 465
7.6 Literatur ........ . 468
Namen- und Sachverzeichnis 471
